湖南省示范性高中2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

高二數(shù)學(xué)考生注意：．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，則（）A.B.C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)瞬時變化率的定義即可求解.【詳解】根據(jù)題意，則．故選:D．2.已知機器中有7個娃娃，機器中有815，機器中分別抓取1個娃娃，則此人抓取娃娃的不同情況共有（）A.15種B.30種C.45種D.56種【答案】D【解析】【分析】運用分步乘法計數(shù)原理計算得到總的不同情況數(shù).【詳解】已知機器中有個娃娃，那么從機器中抓取個娃娃，就有種不同的情況.已知機器中有個娃娃，那么從機器中抓取個娃娃，就有種不同的情況.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得到總的不同情況數(shù)為（種）.第1頁/共19頁故選：D3.若數(shù)列滿足，則稱為“對奇數(shù)列”．已知為“對奇數(shù)列”，且，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】是以3為公比的等比數(shù)列，進而可得通項公式.【詳解】為“對奇數(shù)列”，則，即，又，故是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，故，則.故選：C4.已知點的坐標為，動點滿足，為坐標原點，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出點的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓，從而的最大值為，得到答案.【詳解】點的坐標為，動點滿足，故點的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓，圓的方程為，圓心與原點的距離為，則的最大值為.第2頁/共19頁故選：B5.從3名男生和2名女生中任選33）A.B.C.D.【答案】D【解析】人中選出方法數(shù)，計算比值即可求解.【詳解】從人中選人參加創(chuàng)新大賽共有種選法，所選人全是男生有選法，因為女生人數(shù)少于人，所以不可能所選人全是女生，所以選出的3人中既有男生又有女生的情況有種選法，所以選出的3人中既有男生又有女生的概率為.故選：D6.將4個相同的商品放在，，，4個空貨架上，則有且僅有2個貨架上有商品的放法有（）A.18種B.20種C.24種D.120種【答案】A【解析】【分析】先將4個相同的商品分成兩個組，再從4個貨架上選兩個放入這兩組商品，利用分步計數(shù)原理求解即可.【詳解】將4個相同的商品分成兩個組有兩種不同的分法，即1，3分組或2，2分組，當1，3分組時，因為4個商品相同，只有一種分法，再從4個貨架上選兩個放入這兩組商品有，當2，2分組時，因為4個商品相同，只有一種分法，再從4個貨架上選兩個放入這兩組商品有，故有且僅有2個貨架上有商品的放法有.故選：A.7.設(shè)，為橢圓上存在點的第3頁/共19頁離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由題意，只需在左右頂點時，，據(jù)此計算即可求得的離心率的取值范圍.【詳解】由橢圓，可知焦點，在軸上，且，所以，在上存在點，滿足，在左右頂點時，取到最大值，只需在左右頂點時，，所以，所以，所以，解得，又橢圓的離心率小于1，所以的離心率的取值范圍為.故選：B.8.已知函數(shù)與的定義域均為，且與均為奇函數(shù)，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.B.的圖象關(guān)于直線對稱C.D.【答案】D【解析】【分析】由題意有，即得，令得，即可求解，對求導(dǎo)有即可判斷B，由為偶函數(shù)，即可得的周期為2即可判斷CD.第4頁/共19頁【詳解】因為與均為奇函數(shù)，所以，，即，令有：，由，所以，故A正確；對求導(dǎo)有，即的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；由，對求導(dǎo)有，即為偶函數(shù)，即得，所以的周期為2，所以，故C正確；因為的周期為2，所以，所以，故D錯誤.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.從書架上任取數(shù)學(xué)書、語文書各1本，求共有多少種取法的問題是分步計數(shù)問題B.分步乘法計數(shù)原理是指完成其中一步就完成了整件事情C.分類加法計數(shù)原理可用來求解完成一件事有若干類方法這類問題D.求從甲地經(jīng)丙地到乙地共有多少條路線的問題是分類計數(shù)問題【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理的知識判斷出正確答案.第5頁/共19頁【詳解】對于A，從書架上任取數(shù)學(xué)書、語文書各1本，求共有多少種取法的問題是分步計數(shù)問題，故A正確.對于B，分步乘法計數(shù)原理是指完成所有的步驟才是完成整件事情，故B錯誤.對于C，分類加法計數(shù)原理可用來求解完成一件事有若干類方法這類問題，故C正確.對于D，求從甲地經(jīng)丙地到乙地共有多少條路線的問題是分步計數(shù)問題，故D錯誤.故選：AC10.已知點，到直線的距離相等，且過點，則的方程可能是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】先利用幾何意義得到直線與平行或經(jīng)過的中點．然后由點斜式和兩點式求直線方程.【詳解】由已知直線與平行或經(jīng)過的中點．當直線與AB平行時，由，可得直線的斜率為：，所以由點斜式直線的方程為：，整理得；由，可知其中點坐標為，當直線經(jīng)過的中點和點時，由兩點式可得直線方程：，整理得直線方程為．故選：BD．繞其頂點分別逆時針旋轉(zhuǎn)，，后所得的三條曲線及圍成的，若，則（）第6頁/共19頁A.開口向上的拋物線的方程為B.四葉圖上的點到點的距離的最大值為C.動直線被第一象限的葉子所截得的弦長的最大值為2D.四葉圖的面積小于32【答案】ABD【解析】【分析】由題意可得，可求得逆時針旋轉(zhuǎn)拋物線方程判斷A；與的交點B與拋物線斜率為1的切線方程，再求出它們的距離即可判斷C；.求出拋物線在點處的切線，求出該切線與軸及直線所圍成三角形面積，再結(jié)合對稱性即可推理得證.【詳解】對于A，若，則拋物線，若拋物線繞其頂點逆時針旋轉(zhuǎn)，可得拋物線方程為，即，開口向上，故A正確；對于B，由拋物線的性質(zhì)，可得四葉草關(guān)于原點對稱，關(guān)于，軸，軸對稱，可知與的交點到原點的距離是四葉圖上的點到點的距離最大的點，解方程組可求得的距離的最大值為B正確；對于C，設(shè)直線與拋物線相切于點，由，消去得，由，得，切點，第7頁/共19頁設(shè)直線與拋物線相切于點，由，消去得，由，得，切點，直線的斜率為，即直線與直線平行或重合，所以直線被第一象限封閉圖形截的弦長最大值為，故C正確.對于D，拋物線，求導(dǎo)得，則拋物線在點處的切線斜率為，拋物線在點處的切線方程為，即，該切線交軸于點，因此在第一象限的半個草葉的面積必小于，所以四葉圖的面積小于，故D正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：理解題意，結(jié)合圖形對稱性特征，通過曲線方程聯(lián)立，計算判斷，并運用函數(shù)的圖象單調(diào)性情況，有時還需要以直代曲的思想進行估算、判斷求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.若，則________．第8頁/共19頁【答案】5【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)來求解的值.【詳解】已知，根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)可得或.當時，可得.但因為，舍去；當時，解得，則成立，也滿足的條件.故答案為：513.已知反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，則這個雙曲線的離心率為________．【答案】【解析】【分析】由題意可得雙曲線是等軸雙曲線，可求離心率.【詳解】由反比例函數(shù)的圖象是雙曲線且兩漸近線為軸，所以兩漸近線互相垂直，所以雙曲線為等軸雙曲線，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.14.已知，若在函數(shù)，的圖象上存在4個點，，，構(gòu)成一個以原點為對稱中心的平行四邊形，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】關(guān)于原點對稱的函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，進而可得有兩個不等的正實根，令，求導(dǎo)可得單調(diào)性，進第9頁/共19頁而可得有兩個不等的正實數(shù)根，計算可求實數(shù)的取值范.關(guān)于原點對稱的函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，又為奇函數(shù)，所以關(guān)于原點對稱的函數(shù)為，即有兩個正實數(shù)根，所以有兩個不等的正實根，令，求導(dǎo)得，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以有兩個不等的正實數(shù)根，即有兩個不等的正實數(shù)根，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.關(guān)于原點對稱的函數(shù)圖象與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，可得有兩個不等的正實根，進而構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可求解.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列通項公式為，是公比為的等比數(shù)列，且，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)與的公共項由小到大排列構(gòu)成新數(shù)列，求的前5項和．【答案】（1）（2）682【解析】第10頁/共19頁12）根據(jù)通項公式找到公共項，求和即可.【小問1詳解】因為，，所以，解得所以．【小問2詳解】設(shè)的第項與的第項相等，則，即，．當時，，當時，，則，當時，，當時，，則，當時，，當時，，則，當時，，當時，，則，當時，，當時，，則．故．16.在如圖所示的幾何體中，四邊形為矩形，平面，，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析第11頁/共19頁（2）．【解析】1）作出輔助線，由中位線得到線線平行，得到線面平行；（2）由線面垂直得到線線垂直，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出平面的法向量，利用線面角的向量夾角公式進行求解.【小問1詳解】如圖，連接，交于點，連接．因為四邊形為矩形，所以，因為，分別為和的中點，所以，又平面，平面，所以平面．【小問2詳解】因為平面，平面，所以，，因為四邊形為矩形，所以，以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，得．設(shè)直線與平面所成的角為，第12頁/共19頁則，所以直線與平面所成角的正弦值為．17.已知橢圓，，為的上頂點，的面積為2．（1）求的方程；（2）過點作斜率為1的直線交于，兩點，設(shè)點、關(guān)于軸的對稱點分別為、，當四邊形的面積為時，求直線的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】1）根據(jù)得，再由的面積為2得，結(jié)合求出，即可得解.（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，韋達定理，由四邊形的面積得，將韋達定理代入求得，即可求解直線方程.【小問1詳解】設(shè)，，．由，可知．因為的面積為2，所以，由得，解得或，即或，所以或，結(jié)合，可得，所以的方程為.第13頁/共19頁【小問2詳解】由題意得直線的方程為，設(shè)，．由，關(guān)于軸的對稱點分別為，，構(gòu)成四邊形，可知點，位于軸同側(cè)，則四邊形的面積．將代入，化簡得，則，，且，解得，所以，整理得，所以，解得，所以直線的方程為或．18.已知函數(shù)，，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若當時，與的單調(diào)性相同，求實數(shù)的取值范圍；（3）若當時，有最小值，證明：．【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）（3）證明見解析第14頁/共19頁【解析】1）對函數(shù)求導(dǎo)即可判斷的單調(diào)性；（21）可知將單調(diào)性相同轉(zhuǎn)化為在時恒成立，求出，可得實數(shù)的取值范圍；（3）對求導(dǎo)后構(gòu)造函數(shù)再求導(dǎo)，利用零點存在性定理可判段導(dǎo)函數(shù)的符號，求出其單調(diào)性可得最小值的表達式，再構(gòu)造函數(shù)求出其值域即可.【小問1詳解】由題可知的定義域，，令，可得，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問2詳解】由（I）可知在上單調(diào)遞增，即在時恒成立，即在時恒成立．令，，則，可得當時，，當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，又時，，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍是．【小問3詳解】第15頁/共19頁由題可知，，令，，則，因為，，所以，所以在上單調(diào)遞增．又，，所以存在唯一的，使得，即，即．當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以．令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，即，所以．19.已知函數(shù)的所有正零點從小到大排列組成數(shù)列．（1）求的通項公式．（2）從的前項中隨機選出不同的兩項相乘，所得結(jié)果為偶數(shù)的概率記為，問：是否存在正整數(shù)，使得當時，恒有？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．（3）若，且數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】（1）（2）存在，的最小值為5（3）證明見解析【解析】第16頁/共19頁1）令，求得所有正零點，可求得的通項公式；（2）分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類討論求解.先求積為奇數(shù)的情況，再利用對立事件的