導(dǎo)學(xué)案數(shù)學(xué)專(zhuān)題突破課四空間中的平行關(guān)系

專(zhuān)題突破課四空間中的平行關(guān)系——寸轄制輪尋專(zhuān)題,綱舉目張謀突破空間中的平行關(guān)系是本章的重點(diǎn),也是高考的命題熱點(diǎn).利用圖形,結(jié)合判定與性質(zhì)定理,作出相應(yīng)的輔助線,靈活轉(zhuǎn)化線面關(guān)系是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.類(lèi)型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)【典例1】如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,P,Q分別是BC,C1D1,AD1,BD的中點(diǎn).(1)求證:PQ∥平面DCC1D1;(2)求PQ的長(zhǎng);(3)求證:EF∥平面BB1D1D.【解析】(1)連接AC,CD1,因?yàn)镻,Q分別是AD1,AC的中點(diǎn),所以PQ∥CD1.又因?yàn)镻Q?平面DCC1D1,CD1?平面DCC1D1,所以PQ∥平面DCC1D1.(2)由(1)易知PQ=12D1C=2(3)取B1C1的中點(diǎn)E1,連接EE1,FE1,B1D1,則有FE1∥B1D1,EE1∥BB1,所以平面EE1F∥平面BB1D1D.又因?yàn)镋F?平面EE1F,所以EF∥平面BB1D1D.【總結(jié)升華】線線、線面平行的證明方法方法關(guān)鍵利用線面平行的判定定理證線面平行在該平面內(nèi)找或作一條直線,證其與已知直線平行利用面面平行的性質(zhì)證線面平行過(guò)該線找或作一平面,證明其與已知平面平行利用線面平行的性質(zhì)證線線平行過(guò)線作平面,產(chǎn)生交線【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖所示,三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形,設(shè)D是A1C1上的點(diǎn),且A1B∥平面B1CD.求A1D∶DC1的值.【解析】設(shè)B1C∩BC1=E,連接DE,因?yàn)锳1B∥平面B1CD,A1B?平面A1BC1,平面A1BC1∩平面B1CD=DE,平面A1BC1∩平面ABB1A1=A1B,所以A1B∥DE,因?yàn)镋為BC1的中點(diǎn),所以D為A1C1的中點(diǎn),所以A1D∶DC1的值為1.類(lèi)型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)【典例2】如圖所示,在四棱錐PABCD中,AB⊥AD,BC∥AD,PA=AD=4,AB=BC=2,∠PAB=90°,點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段PA上,且EF∥平面PCD,直線PD與平面CEF交于點(diǎn)H,求線段CH的長(zhǎng).【解析】因?yàn)橹本€PD與平面CEF交于點(diǎn)H,所以平面CEF∩平面PCD=CH.因?yàn)镋F∥平面PCD,所以EF∥CH,過(guò)點(diǎn)H作HM∥AP交AD于點(diǎn)M,連接CM,因?yàn)镋F∩AP=F,CH∩HM=H,所以平面AEF∥平面CHM.因?yàn)槠矫鍭EF∩平面ABCD=AE,平面CHM∩平面ABCD=CM,所以AE∥CM.又因?yàn)锽C∥AM,所以四邊形ABCM為平行四邊形,所以AM=2.又因?yàn)锳D=4,所以M是AD的中點(diǎn),則H為PD的中點(diǎn),因?yàn)椤螾AB=90°,所以∠HMC=90°,所以CH=CM2+MH【總結(jié)升華】1.判定面面平行的四種方法(1)面面平行的定義,即判斷兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn).(2)面面平行的判定定理.(3)垂直于同一條直線的兩平面平行.(4)平面平行的傳遞性,即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行.2.當(dāng)已知兩平面平行時(shí),可以得出線面平行,如果要得出線線平行,必須是與第三個(gè)平面的交線.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,在三棱錐PABC中,△PAB是正三角形,G是△PAB的重心,D,E,H分別是PA,BC,PC的中點(diǎn),點(diǎn)F在BC上,且BF=3FC,求證:平面DFH∥平面PGE.【證明】連接BG,由題意可得BG與GD共線,且BG=2GD,因?yàn)镋是BC的中點(diǎn),BF=3FC,所以F是CE的中點(diǎn),所以BGGD=BEEF=2,所以GE∥DF,GE?平面PGE;DF?平面PGE,所以DF∥因?yàn)镠是PC的中點(diǎn),所以FH∥PE,PE?平面PGE,FH?平面PGE,所以FH∥平面PGE.因?yàn)镈F∩FH=F,DF?平面DFH,FH?平面DFH,所以平面DFH∥平面PGE.類(lèi)型平行關(guān)系的探索問(wèn)題【典例】如圖所示,正四棱錐PABCD的各棱長(zhǎng)均為13,M為PA上的點(diǎn),且PM∶MA=5∶8.(1)在線段BD上是否存在一點(diǎn)N,使直線MN∥平面PBC?如果存在,求出BN∶ND的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)假設(shè)存在滿足條件(1)的N點(diǎn),求線段MN的長(zhǎng).【解析】(1)存在,BN∶ND=5∶8.理由如下:連接AN并延長(zhǎng),交BC于點(diǎn)E,連接PE.因?yàn)檎叫蜛BCD中,AD∥BC,所以ENNA=BNND=又因?yàn)镻MMA=58,所以MN∥PE,又因?yàn)镻E?平面PBC,MN?平面PBC,所以MN∥(2)由(1)得BE∶AD=5∶8,所以BE=658在△PBE中,PE2=PB2+BE22PB·BEcos60°=132+65822×13×658×1所以PE=918因?yàn)镸N∥PE,所以MN∶PE=8∶13,所以MN=918×813【總結(jié)升華】對(duì)于探索問(wèn)題往往采取逆向思維(1)對(duì)命題條件的探索常采用以下三種方法:①先猜后證,即先觀察與嘗試給出條件再證明;②先通過(guò)命題成立的必要條件探索出命題成立的條件,再證明其充分性;③把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,探索命題成立的條件.(2)對(duì)命題結(jié)論的探索常采用以下方法:首先假設(shè)結(jié)論存在,然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證,如果通過(guò)推理得到了合乎情理的結(jié)論,就肯定假設(shè),如果得到了矛盾的結(jié)論,就否定假設(shè).【即學(xué)即練】如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分別為線段AC1,A1C1的中點(diǎn).(1)求證:EF∥平面BCC1B1.(2)在線段BC1上是否存在一點(diǎn)G,使平面EFG∥平面ABB1A1?請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)因?yàn)镋,F分別為線段AC1,A1C1的中點(diǎn),所以EF∥A1A.因?yàn)锽1B∥A1A,所以EF∥B1B.又因?yàn)镋F?平面BCC1B1,B1B?平面BCC1B1,所以EF∥平面BCC1B1.(2)取BC1的中點(diǎn)G,連接GE,GF(圖略).因?yàn)镋為AC1的中點(diǎn),所以GE∥AB.因?yàn)镚E?平面ABB1A1,AB?平面