河南省名校大聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)試題

2024—2025學(xué)年高一開學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊(cè)第一章至第五章5.4.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題判斷選項(xiàng)即可．【詳解】命題“，”的否定是，.故選：B.2.已知集合，，則B可能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合的并集運(yùn)算，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一檢驗(yàn)即可得解.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，或，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，或，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C正確；當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：C.3.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過第三象限，則（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】由冪函數(shù)的概念求得，再驗(yàn)證即可；【詳解】由題意得，得．當(dāng)時(shí)，的圖象不經(jīng)過第三象限；當(dāng)時(shí)，的圖象經(jīng)過第三象限．綜上，．故選：A4.若，，則（）A.3 B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】由指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，利用對(duì)數(shù)的換底公式，可得答案.【詳解】由，，得，，所以．故選：D.5.不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由不等式，化簡得，由余弦函數(shù)的性質(zhì)得.故選：C.6.某食品保鮮時(shí)間（單位：h）與儲(chǔ)藏溫度（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系．若該食品在的保鮮時(shí)間是320h，在的保鮮時(shí)間是80h，則該食品在的保鮮時(shí)間是（）A.5h B.5.5h C.4h D.4.5h【答案】A【解析】【分析】利用給定條件列出方程組，求得，再將代入計(jì)算即得.【詳解】由題意得，兩式相除得，當(dāng)時(shí)，.故選：A.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示、則的解析式可能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇偶性和取自變量接近于0的函數(shù)值來判斷正負(fù)即可得到選項(xiàng).【詳解】由奇偶性判斷可知：是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，而函數(shù)圖象是關(guān)于軸對(duì)稱，必然是偶函數(shù)，所以BD錯(cuò)誤；再當(dāng)時(shí)，可知，故A錯(cuò)誤；所以C正確，故選：C.8.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將與和分別進(jìn)行比較，即可判斷大小.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，都是減函數(shù)，所以；；又，所以．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知某鐘表分針的長度為5cm，在某天中，從到，則（）A.分針轉(zhuǎn)過的角的弧度為 B.分針轉(zhuǎn)過的角的弧度為C.分針尖端所走過的弧長為 D.分針掃過的扇形面積為【答案】BC【解析】【分析】由任意角的概念及扇形弧長、面積公式逐個(gè)判斷即可；【詳解】由題意得分針轉(zhuǎn)過的角的弧度為，所以分針尖端所走過的弧長為，分針掃過的扇形面積為．故選：BC10.已知關(guān)于的不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（）A.可能為空集 B.中可能只有一個(gè)元素C.若，則中的元素為負(fù)數(shù) D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)根的判別式即可判斷AB；由，求出集合即可判斷C；由，結(jié)合C選項(xiàng)，列出不等式即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由題意得，則不可能為空集，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，當(dāng)，即時(shí)，，得，則，B正確；對(duì)于C，當(dāng)，即時(shí)，，C正確．對(duì)于D，當(dāng)，即時(shí)，，因?yàn)?，所以，得，D正確．故選：BCD.11.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且.則（）A. B. C. D.可能為增函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】利用賦值可求出特殊值，從而判斷AB選項(xiàng)，利用舉特例函數(shù)，來檢驗(yàn)CD選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以令，可得，故A正確；再令，可得，又因?yàn)?，所以，又令，可得，所以，故B正確；不妨取，則，，此時(shí)滿足原恒等式，但是當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；但由于此時(shí)在上是增函數(shù)，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)的定義求出函數(shù)值.【詳解】依題意，．故答案為：13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)的單調(diào)性、結(jié)合對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解作答.【詳解】函數(shù)上單調(diào)遞增，依題意，，，且在上單調(diào)遞增，因此，解得，所以a的取值范圍是.故答案為：14.函數(shù)的最小值為______，此時(shí)______.【答案】①②.【解析】【分析】利用因式分解，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，重新結(jié)合因式展開，再展開可得二次型函數(shù)求最值即可.【詳解】由所以可知當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取到最小值，故答案為：①；②.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用齊次式法，弦化切計(jì)算即得；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡，齊次式法，弦化切計(jì)算得解【小問1詳解】．【小問2詳解】．16.已知，，且．（1）求的最大值；（2）求的最小值．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）利用基本不等式，可得答案；（2）利用基本不等式中“1”的妙用，可得答案.【小問1詳解】由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故的最大值是3．【小問2詳解】由，得，即．，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立．故的最小值為．17.已知函數(shù)（，且）．（1）求的定義域；（2）若，求；（3）求不等式的解集．【答案】（1）（2）或（3）答案見解析【解析】【分析】（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)定義域構(gòu)造不等式求解即可；（2）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可；（3）分和判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可求解；【小問1詳解】由題意得解得，即的定義域?yàn)椋拘?詳解】由，得或，解得或．【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，又在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，則是增函數(shù)，由，得，解得，即的解集為．當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，又在上為減函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，可得是減函數(shù)，由，得，解得，即的解集為．綜上：當(dāng)時(shí)，解集為，當(dāng)時(shí)，解集為.18.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求在上的值域；（3）若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用整體思想，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，建立不等式，可得答案；（2）利用整體思想，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得答案；（3）由題意建立方程，求得的值，由小到大寫出個(gè)零點(diǎn)，建立不等式，可得答案.【小問1詳解】由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．【小問2詳解】由，得．由正弦函數(shù)的圖象可得，，所以在上的值域?yàn)椋拘?詳解】由，得，得或，解得或，則在上的3個(gè)零點(diǎn)為，，，所以，得，即的取值范圍為．19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由．（2）若不等式的解集為，證明：．（3）若函數(shù)在上的最小值為5，求的值．【答案】（1）奇函數(shù)，理由見解析（2）證明見解析（3）或3【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的概念可得；（2）由題得，構(gòu)造函數(shù)，，利用函數(shù)圖象找到交點(diǎn)橫坐標(biāo)范圍，進(jìn)而可得；（3）設(shè)，轉(zhuǎn)化為在上的最小值為5，根據(jù)絕對(duì)值對(duì)的范圍進(jìn)行分類，由單調(diào)性確定最值，進(jìn)而構(gòu)建方程可得.【小問1詳解】是奇函數(shù)．理由如下：由題意得，．的定義域?yàn)?，且，所以是奇函?shù)．【小問2詳解】證明：由題意得，則．由，得．設(shè)函數(shù)，，，在上的大致圖象如圖1所示，由圖可知，在上的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，易得這2個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．由圖得，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．故．【小?詳解】設(shè)，由，得，則．當(dāng)，即時(shí)，在