阿基米德三角形

答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁專題3阿基米德三角形微點1阿基米德三角形專題3阿基米德三角形微點1阿基米德三角形【微點綜述】在近幾年全國各地高考的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及到與一個特殊的三角形——由拋物線的弦及過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形有關(guān)的問題，這個三角形常被稱為阿基米德三角形.阿基米德三角形包含了直線與圓錐曲線相交、相切兩種位置關(guān)系，聚焦了軌跡方程、定值、定點、弦長、面積等解析幾何的核心問題，“坐標法”的解題思想和數(shù)形結(jié)合方法的優(yōu)勢體現(xiàn)得淋漓盡致，能很好的提升學生解決圓錐曲線問題的能力，落實邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng).鑒于此，微點研究阿基米德三角形。一、預備知識——拋物線上一點的切線方程（1）過拋物線上一點的切線方程為：；（2）過拋物線上一點的切線方程為：；（3）過拋物線上一點的切線方程為：；（4）過拋物線上一點的切線方程為：．下面僅以情形（3）為例給出證明，同理可證其余三種情形。證法1：設(shè)拋物線上一點的切線方程為：，代入，整理得，由，得拋物線上一點處的切線唯一，關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，所求的切線方程為，即，又，過拋物線上一點的切線方程為：。證法2：，甴導數(shù)的幾何意義得所求切線的斜率為所求的切線方程為，即，又，過拋物線上一點的切線方程為：。二、阿基米德三角形概念拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形（如圖1，即為阿基米德三角形）．重要結(jié)論：拋物線與弦之間所圍成區(qū)域的面積（圖二中的陰影部分）為阿基米德三角形面積的三分之二．阿基米德運用逼近的方法證明了這個結(jié)論．證明：如圖3，是中邊上的中線，則平行于軸（下面的性質(zhì)1證明會證到），過作拋物線的切線，分別交、于，則、也是阿基米德三角形，可知是中邊上的中線，且平行于軸，可得點是的中點，同理是的中點，故是的中點，則是的，由此可知：是的，是的，以此類推，圖2中藍色部分的面積是紅色部分而知的，累加至無窮盡處，便證得重要結(jié)論．三、阿基米德三角形的性質(zhì)【性質(zhì)1】阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸．證明：設(shè)為弦AB的中點，則過A的切線方程為，過B的切線方程為，聯(lián)立方程，，，解得兩切線交點，又，//軸．【性質(zhì)2】若阿基米德三角形的底邊即弦過拋物線內(nèi)的定點，則另一頂點的軌跡為一條直線．證明：設(shè)，，為拋物線內(nèi)的定點，弦的過定點，則過的切線方程為，過的切線方程為，則設(shè)另一頂點，滿足且，故弦所在的直線方程為，又由于弦過拋物線內(nèi)的定點，故，即點的軌跡方程為直線．【性質(zhì)3】拋物線以點為中點的弦平行于點的軌跡．證明：由性質(zhì)2的證明可知：點的軌跡方程為直線．∵點為弦的中點，故的軌跡方程為，斜率；而弦所在的直線方程為，由性質(zhì)1的證明可知：，，故弦所在的直線方程為，斜率，又∵直線與的軌跡方程不重合，故可知兩者平行．【性質(zhì)4】若直線與拋物線沒有公共點，以上的點為頂點的阿基米德三角形的底邊過定點（若直線方程為：，則定點的坐標為．證明：任取直線：上的一點，則有，即┅①，過點作拋物線的兩條切線，切點分別為，則又由性質(zhì)2的證明可知：弦所在的直線方程為，把①式代入可得：，即，令且，可得：弦所在的直線過定點．【性質(zhì)5】底邊為的阿基米德三角形的面積最大值為．證明：，設(shè)到的距離為，由性質(zhì)1知：（直角邊與斜邊），設(shè)直線的方程為，則，∴．【性質(zhì)6】若阿基米德三角形的底邊過焦點，頂點的軌跡為準線，且阿基米德三角形的面積最小值為．證明：由性質(zhì)2，若底邊過焦點，則，點的軌跡方程是，即為準線；易驗證，即，故阿基米德三角形為直角三角形，且為直角頂點，阿基米德三角形的面積最小值為．【性質(zhì)7】在阿基米德三角形中，．證明：作準線，準線，連接，則，顯然，∴，又∵，由三角形全等可得，∴，同理可得，∴．【性質(zhì)8】拋物線上任取一點（不與重合），過作拋物線切線交，于，則的垂心在準線上．證明：設(shè)，，，可求得過的切線交點，過向作垂線，垂線方程為：，它和拋物線準線的交點的縱坐標為，同理可知：，過向作垂線，垂線方程為：，它和拋物線準線的交點的縱坐標為：，即交點坐標相同，即可得的垂心在準線上．【性質(zhì)9】．證明：，而．【性質(zhì)10】的中點在拋物線上，且處的切線與平行．證明：由性質(zhì)1知，可得點坐標為，此點顯然在拋物線上；過點的切線斜率為，結(jié)論得證．【性質(zhì)11】拋物線上任取一點（不與重合），過作拋物線切線交，于，連接，則的面積是面積的2倍．證明：如圖所示：由阿基米德重