安徽省江南十校2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁安徽省江南十校2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)z=i1?i，則z的共軛復(fù)數(shù)zA．12i B．?12i 2．已知集合A=x∣?x2+x+2>0,B=A．1 B．0,1 C．0,1,2 D．?1,0,1,23．已知a是直線2x?y+1=0的一個(gè)方向向量，若a=m,1，則實(shí)數(shù)m的值為（A．12 B．?12 C．24．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S15=120，等比數(shù)列bn的首項(xiàng)為1，若aA．15 B．?5 C．?15．已知角α,β的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角α的終邊與圓O交于點(diǎn)A1,22.動(dòng)點(diǎn)P以A為起點(diǎn)，沿圓周按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡長為3π4，當(dāng)角β的終邊為射線OB時(shí)，A．42?77 B．7?427 6．已知雙曲線x2a2?y2b2=1A．355 B．32 C．57．若函數(shù)fx=logax+A．0,5?12 B．5?12,18．已知x>0,y>0,x+3y=x3y2，則A．22 B．13 C．26 二、多選題9．已知數(shù)據(jù)x1,x2,?,A．?dāng)?shù)據(jù)y1B．?dāng)?shù)據(jù)x1C．?dāng)?shù)據(jù)x1D．若數(shù)據(jù)x1,x2,?,x10．如圖，已知圓臺的軸截面為ABCD，其中AB=3CD=123,AD=8,M為圓弧AB的中點(diǎn)，DE=2A．圓臺的體積為208B．圓臺母線所在直線與平面ABCD所成角的最大值為πC．過任意兩條母線作圓臺的截面，截面面積的最大值為32D．過C,E,M三點(diǎn)的平面與圓臺下底面的交線長為3611．已知定義在R上的偶函數(shù)fx滿足f0=2,f3?x+fx=1，設(shè)fA．g2025=0 C．gx+6=gx三、填空題12．曲線C：y=xex在點(diǎn)M（1，e）處的切線方程為13．已知F1,F2分別是橢圓x28+y24=1的左、右焦點(diǎn)，P,A,B為橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，直線PA的方程為x=2，且14．程大位（1533-1606）是明代珠算發(fā)明家，微州人.他所編撰的《直指算法統(tǒng)宗》是最早記載珠算開平方、開立方方法的古算書之一，它完成了計(jì)算由籌算向珠算的轉(zhuǎn)變，使算盤成為主要的計(jì)算工具.算盤其形長方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”.現(xiàn)有一種算盤（如圖1）共三檔，自右向左分別表示個(gè)位、十位和百位，檔中橫以梁，梁上一珠，下?lián)芤恢橛涀鲾?shù)字5：梁下五珠，上撥一珠記作數(shù)字1.例如：圖2中算盤表示整數(shù)506.如果撥動(dòng)圖1中算盤的3枚算珠，則可以表示不同的三位整數(shù)的個(gè)數(shù)為.四、解答題15．一個(gè)不透明的盒子中裝有規(guī)格完全相同的3個(gè)小球，標(biāo)號分別為1,2,3，現(xiàn)采用有放回的方式摸球兩次，每次摸出1個(gè)小球，記第一次摸到的小球號碼為i，第二次摸到的小球號碼為j.(1)記“i+j>i?j”為事件A，求PA(2)完成兩次摸球后，再將與前面3個(gè)球規(guī)格相同的4號球和5號球放入盒中，并進(jìn)行第三次摸球，且將第三次摸到的小球號碼記為k，號碼i,j,k中出現(xiàn)偶數(shù)的個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.16．已知函數(shù)fx(1)若a=2，求fx在0,(2)若函數(shù)gx=fx?fπ17．如圖，在四棱錐E?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD且AB=12CD=1(1)若M,N分別是棱AD,EC的中點(diǎn)，證明：MN∥平面ABE；(2)求平面BCE與平面ADE夾角的余弦值.18．已知?jiǎng)狱c(diǎn)Gx,y滿足關(guān)系式x(1)求動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程；(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為曲線C1，拋物線C2:x2=4y的焦點(diǎn)為F，過C1上一點(diǎn)P作C2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，弦AB的中點(diǎn)為M，平行于①證明：P,Q,M三點(diǎn)共線；②當(dāng)直線l與C1有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求QF19．設(shè)an是各項(xiàng)均為正數(shù)的無窮數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S(1)若an?an+2=①求數(shù)列an②已知首項(xiàng)為x1，公比q滿足q<1的無窮等比數(shù)列xn，當(dāng)n無限增大時(shí)，其前n項(xiàng)和無限趨近于常數(shù)x11?q，則稱該常數(shù)為無窮等比數(shù)列xn的各項(xiàng)和.現(xiàn)從數(shù)列an中抽取部分項(xiàng)構(gòu)成無窮等比數(shù)列b(2)若an?an+2≥答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《安徽省江南十校2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題》參考答案題號12345678910答案DBABCABDABABD題號11答案ACD1．D【分析】先對復(fù)數(shù)化簡，然后求出其共軛復(fù)數(shù)，從而可求出z的虛部.【詳解】因?yàn)閦=i所以z=?所以z的共軛復(fù)數(shù)z的虛部為?1故選：D2．B【分析】通過解不等式化簡集合，根據(jù)集合的基本運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】由題意得，A=x∣x2∴A∩B=0,1故選：B.3．A【分析】先由直線方向向量定義結(jié)合直線方程求出直線的一個(gè)方向向量，再利用向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€2x?y+1=0的斜率為k=2，所以直線的一個(gè)方向向量為1,2，所以若a=m,1，則2m?1=0，解得故選：A.4．B【分析】先由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合下標(biāo)性質(zhì)求出a8，進(jìn)而求出等比數(shù)列b【詳解】由題得S15所以b4=a8=8，設(shè)等比數(shù)列b則log1故選：B5．C【分析】先由題意結(jié)合三角函數(shù)、弧長公式等依次求出tanα、圓O的半徑和∠AOB，再由tan【詳解】由題得tanα=221=2所以∠AOB=3所以tanβ=故選：C6．A【分析】由題意結(jié)合倍角公式以及cos∠【詳解】由題cos∠所以9b2=4c2，即9故選：A7．B【分析】根據(jù)f′x≤0可得lna2【詳解】由題意得，函數(shù)fx定義域?yàn)?,+∵fx=log∵a>0且a≠1，∴l(xiāng)na+1>0，則∵a2+a>a，∴l(xiāng)na當(dāng)a=?1+52時(shí)，a∴a的取值范圍是5?1故選：B.8．D【分析】先化簡得出3x+1【詳解】已知x>0,y>0,x+3y=x3y則3x所以3x當(dāng)且僅當(dāng)9x2=4x2，即x=故選：D.9．AB【分析】根據(jù)方差性質(zhì)計(jì)算判斷A，根據(jù)平均數(shù)及方差計(jì)算求解判斷B，C，特例法，先從小到大排列，計(jì)算中位數(shù)及分位數(shù)判斷D.【詳解】對于A：數(shù)據(jù)y1,y對于B：數(shù)據(jù)x1,x對于C：數(shù)據(jù)x1,x方差x1對于D：若取數(shù)據(jù)9,9,10,10,10,12，平均數(shù)為10，方差為1，則中位數(shù)為m=a3+a42=10所以m=n，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.10．ABD【分析】求出圓臺的高，根據(jù)體積公式可得選項(xiàng)A正確；把圓臺補(bǔ)成圓錐，根據(jù)母線TM與平面ABCD所成的角最大可得選項(xiàng)B正確；利用兩條母線所在直線夾角為π2時(shí)截面面積最大可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；找出過C,E,M【詳解】A.∵AB=3CD=123,AD=8，∴圓臺上底面圓半徑為23∴圓臺的高?=8∴圓臺的體積V=1B.由?=4，BC=8，得sin∠OBC=48=1如圖，將圓臺補(bǔ)成圓錐，頂點(diǎn)記為T，底面圓的圓心記為O，連接TO,MO,MT，∵M(jìn)為圓弧AB的中點(diǎn)，∴MO⊥AB.∵TO⊥平面AMB，MO?平面AMB，∴TO⊥MO，∵TO∩AB=O,TO,AB?平面ABCD，∴MO⊥平面ABCD，∵M(jìn)O?平面TMO，∴平面TMO⊥平面ABCD，此時(shí)母線所在直線TM與平面ABCD所成的角最大，最大為∠MTO，∠MTO=πC.由∠TBO=π6,OB=63得，當(dāng)兩條母線所在直線夾角為π2時(shí)，截面面積最大，最大值為1D.如圖，在梯形ABCD中，連接CE并延長交BA的延長線于點(diǎn)F，連接MF交底面圓于點(diǎn)N，則MN為截面與底面圓的交線.由CDAF=DEEA=2得，AF=23，取MN中點(diǎn)G，則OG⊥MN,MN=2MG，∴MN=2×63故選：ABD.11．ACD【分析】先由題設(shè)結(jié)合奇偶性和對稱性性質(zhì)、求導(dǎo)運(yùn)算依次求出gx是奇函數(shù)、g0=0、函數(shù)fx和gx是周期為6的函數(shù)和g【詳解】由題得f?x=fx，所以?所以gx是奇函數(shù)，故g又由f3?x+fx=1得函數(shù)fx所以fx+fx+3所以fx+6=fx所以gx也是周期為6的函數(shù)，即g由f3?x+fx=1求導(dǎo)得所以g3對于A，g2025對于B，由函數(shù)fx關(guān)于點(diǎn)32,對于C，由上gx也是周期為6的函數(shù)，即g對于D，由f?x+fx+3且f0+f3=1即f3且f?2+f5=1所以f5所以f1所以n=12025故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是求出函數(shù)fx和g12．y=2ex?e【詳解】試題分析：因?yàn)閥′=ex+xe考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)幾何意義13．5【分析】先由題意依次求出AF2,PF2,AF1,F1F2即可由S△AF【詳解】由題意可知AF所以由S△AF1由上得tan∠F所以tan∠所以kPB=1tan∠令y=0得x=?2，故直線PB經(jīng)過點(diǎn)F1聯(lián)立x?22所以2y所以同理可得r2所以r1故答案為：5.14．26【分析】分“百位”撥動(dòng)3枚算珠、“百位”撥動(dòng)2枚算珠、“百位”撥動(dòng)1枚算珠三種情況羅列出可表示的數(shù)據(jù)即可得解.【詳解】由題“百位”撥動(dòng)3枚算珠可以表示的不同的三位整數(shù)有：300、700；“百位”撥動(dòng)2枚算珠可以表示的不同的三位整數(shù)有：210、250、201、205，610、650、601、605；“百位”撥動(dòng)1枚算珠可以表示的不同的三位整數(shù)有：120、102、160、106、111、151、115、155；520、502、560、511、551、515、555.則符合條件的三位整數(shù)的個(gè)數(shù)為26.故答案為：26.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是理解題意，將問題拆分“百位”撥動(dòng)3枚算珠、“百位”撥動(dòng)2枚算珠、“百位”撥動(dòng)1枚算珠三種簡單情況進(jìn)行分析再整合即可得解.15．(1)5(2)分布列見解析；1615【分析】（1）根據(jù)古典概型的計(jì)算公式即可求得答案.（2）先確定X的取值，結(jié)合獨(dú)立事件概率乘積公式及組合數(shù)求得每個(gè)值對應(yīng)的概率，即可得分布列，繼而求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）兩次摸球，摸出的小球號碼i,j的所有情況共C3其中，滿足“i+j>i?j”的情形有：i=1時(shí)，j=1,2,3；i=2時(shí)，j=1；i=3時(shí)，j=1；共5種情況，故PA（2）X的可能取值為0,1,2,3，則PX=0=CPX=2=C故X的分布列為：X0123P44112故E16．(1)極大值為0，(2)答案見詳解【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，列表分析f′x隨（2）化簡得gx=cosx?sinxa?2sinx+cosx，令gx=0，得x=π4【詳解】（1）當(dāng)a=2時(shí)，fx則f′令f′x=0，得x=π6因此，當(dāng)x變化時(shí)，fx，fx0,ππππ5π5πf?0+0?0+f單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以當(dāng)x=π2時(shí)，fx（2）g=?a=a=cos當(dāng)x∈0,π時(shí)，由gx=0，得其中sinx+cosx=2sin當(dāng)a<?2或a>22時(shí)，方程sinx+cosx=a當(dāng)a=22時(shí)，方程gx=0只有一解為x=當(dāng)2≤a<22時(shí)，方程sinx+cosx=a當(dāng)?2≤a<2時(shí)，方程sinx+cosx=a2綜上，當(dāng)a<?2或a≥22時(shí)，函數(shù)g當(dāng)2≤a<22時(shí)，函數(shù)g當(dāng)?2≤a<2時(shí)，函數(shù)gx17．(1)證明見解析(2)21【分析】（1）通過線線平行得到平面MNF//平面BAE，進(jìn)而證明MN∥平面ABE.（2）通過分析可得MD,ME,MC兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求兩平面夾角的余弦值.【詳解】（1）如圖，取DE的中點(diǎn)F，連接MF,NF.∵M(jìn),N分別是棱AD,EC的中點(diǎn)，∴MF∥AE,NF∥CD.∵AB∥CD，∴NF∥AB.∵M(jìn)F∥AE，MF?平面BAE，AE?平面BAE，∴MF//平面BAE，同理可得NF//平面BAE，∵M(jìn)F∩NF=F,MF,NF?平面MNF，∴平面MNF//平面BAE，∵M(jìn)N?平面MNF，∴MN∥平面ABE.（2）如圖，連接CM,ME,AC，取DC的中點(diǎn)G，連接AG，∵AB∥CD且AB=12CD=1，∴AB∥CG∴四邊形ABCG為平行四邊形，故BC∥AG，∵AB⊥BC，∴AG⊥CD，且GD=1，∵∠ADC=60°，∴AD=2，故∴CM⊥AD，CM=3∵△ADE為等邊三角形，∴DE=2,EM=3在△CDE中，由余弦定理得，CE∴CM2+ME2以M為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則C0,0,3，E0,3,0由AB=12∴EC=設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為n=x,y,z，則令z=3，則y=3,x=?3，故n取平面ADE的一個(gè)法向量m=0,0,1，則∴平面BCE與平面ADE夾角的余弦值為21718．(1)y(2)①證明見解析；②QF的取值范圍為5+1【分析】（1）由雙曲線定義即可求解；（2）①由切線方程和導(dǎo)數(shù)幾何意義依次求出xM=x②求出直線l的方程，與曲線C1聯(lián)立，利用判別式結(jié)合焦半徑公式QF【詳解】（1）設(shè)F1則x2+(y?所以由雙曲線定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)G的軌跡是以F10,所以動(dòng)點(diǎn)G的軌跡方程為y2（2）①證明：由（1）曲線C1:y2?x2對函數(shù)y=x24所以兩切線方程為：y?a24又切線過點(diǎn)P，所以ax即a,b滿足xx0=2所以xM設(shè)QxQ,所以xQ=xM=x0②由上得Qx0,x024聯(lián)立y=x因?yàn)橹本€l與C1所以x0所以QF=所以QF的取值范圍為5+119．(1)12n?1(2)證明見解析【分析】（1）①應(yīng)用等比數(shù)列及Sn（2）先應(yīng)用分析法將問題轉(zhuǎn)化為qn+1n≥q1【詳解】（1）①因?yàn)閍n?an+2=an+1對任意n∈則