廣東省湛江市2025年普通高考測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)廣東省湛江市2025年普通高考測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知集合A=xx2+2xA．?1,0 B．?2,12．已知向量a=?1,12，b=A．3 B．2 C．5 D．53．在等比數(shù)列an中，a3?a5=49A．?567 B．567 C．451 4．一組數(shù)據(jù)1，3，7，9，mm>0的中位數(shù)不小于平均數(shù)，則mA．5,7 B．5,15 C．5．一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為3，圓心角為2π3的扇形，在該圓錐內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，則該球的體積V的最大值是（A．2π B．23π C．26．已知函數(shù)f(x)=sin(2A．7π6 B．π C．π37．已知A?1,0，B1,0，點(diǎn)P滿足PA．334 B．324 C．8．已知定義在R上的函數(shù)fx為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，fx=ex?aA．?2025 B．2025 C．e2二、多選題9．已知A1,6，B2,4，C3,4，D

A．樣本相關(guān)系數(shù)r變大B．殘差平方和變小C．決定系數(shù)R2D．若經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)點(diǎn)3.5,2.810．復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1+zA．z1?zC．z1+z11．設(shè)定義在R上的函數(shù)fx和gx，記gx的導(dǎo)函數(shù)為g′x，且滿足fx+A．f2+fC．n=12025三、填空題12．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S2n?1=13．已知tanα+π1214．已知橢圓A:x2a12+y2b12=1a1>b1>0與雙曲線B:x2a22四、解答題15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且3asinB+bcos(1)求∠B(2)若AD=158，16．已知函數(shù)fx=a(1)若a=?8(2)當(dāng)a<?217．如圖，四棱錐S?ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的2倍，P為側(cè)棱S(1)求證：AC(2)求直線SB到平面P(3)請(qǐng)判斷在平面PAC上是否存在一點(diǎn)E，使得△ESB是以S18．已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，A，B分別為C上的點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B上方）．過(guò)點(diǎn)A，B分別作C的切線l1(1)求拋物線C的方程；(2)若直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡以及點(diǎn)P到直線A19．甲參加了一場(chǎng)智力問(wèn)答游戲，每輪游戲均有兩類(lèi)問(wèn)題（難度系數(shù)較低的A類(lèi)問(wèn)題以及難度系數(shù)較高的B類(lèi)問(wèn)題）供選擇，且每輪游戲只回答兩類(lèi)問(wèn)題中的其中一個(gè)問(wèn)題．甲遇到每類(lèi)問(wèn)題的概率均為12，甲遇到A類(lèi)問(wèn)題時(shí)回答正確的概率為12，回答正確記1分，否則記0分；甲遇到B類(lèi)問(wèn)題時(shí)回答正確的概率為14(1)當(dāng)進(jìn)行完2輪游戲時(shí)，求甲的總分X的分布列與數(shù)學(xué)期望．(2)設(shè)甲在每輪游戲中均回答正確且累計(jì)得分為n分的概率為Gn（?。┳C明：Gn（ⅱ）求Gn的最大值以及對(duì)應(yīng)n答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)《廣東省湛江市2025年普通高考測(cè)試（一）數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案ACBBDADDBCDABD題號(hào)11答案ABC1．A【分析】解不等式確定集合A，然后由交集定義計(jì)算．【詳解】因?yàn)锳=xx所以A∩故選：A．2．C【分析】根據(jù)垂直向量的數(shù)量積以及其坐標(biāo)表示，建立方程，求得參數(shù)，利用模長(zhǎng)公式，可得答案.【詳解】因?yàn)閍⊥b，所以a?b=故選：C．3．B【分析】由已知根據(jù)等比中項(xiàng)可得a4【詳解】因?yàn)閍3?a當(dāng)a4=?7時(shí)，故a4=7，所以7所以a8故選：B.4．B【分析】先計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由平均數(shù)可得這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)只可能是m或7，分兩種情況分別求解即可.【詳解】因?yàn)檫@組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1+所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)只可能是m或7，若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是m，則4+m5若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是7，則4+m5綜上所述，m的取值范圍為5≤故選：B.5．D【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖可得圓錐的半徑和高，由三角形面積公式即可求解內(nèi)切球半徑，進(jìn)而由球的體積公式求出答案.【詳解】由題意得，扇形的弧長(zhǎng)l=所以該圓錐的底面圓的半徑r=所以該圓錐的高h(yuǎn)=設(shè)該圓錐內(nèi)的球的最大半徑為R，圓錐的軸截面如圖所示：則依題意得S△所以R=所以該球的體積V的最大值是43故選：D6．A【分析】在指定區(qū)間內(nèi)求出相位的范圍，再結(jié)合極大值點(diǎn)的意義列出不等式求解.【詳解】當(dāng)x∈(0,m)時(shí)，得π2<2所以m的最大值為76故選：A7．D【分析】由PA=3PB可得點(diǎn)P軌跡方程，然后由直線A【詳解】設(shè)Px,y，由P即x?22+y2=當(dāng)直線AP與圓D相切時(shí)，∠PA又PD=3，A又AB=2故選：D．8．D【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出fx的解析式，再按a的不同取值分類(lèi)討論fx在【詳解】因?yàn)槎x在R上的函數(shù)fx為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0所以當(dāng)x<0時(shí)，?x>0，f令ex?a因?yàn)閑x+e?x若a≤1，則函數(shù)fx又x?a?即f?x+若a>1，則a?1>又f?x+可理解為函數(shù)fx?a所以由圖象可得a?1≥令ga則g2025=2ge故選：D9．BCD【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的性質(zhì)可知去掉E后相關(guān)性變強(qiáng)判斷A選項(xiàng)；殘差平方和以及決定系數(shù)判斷BC選項(xiàng)；根據(jù)回歸直線的求法和性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由圖可知，變量x與變量y是負(fù)相關(guān)，且將數(shù)據(jù)E5,4所以r變小，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：將數(shù)據(jù)E5,4去掉后，變量x所以殘差平方和變小，決定系數(shù)R2對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=bx且x=2.5，y=4，可得所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程是y=故選：BCD．10．ABD【分析】由題意根據(jù)韋達(dá)定理建立一元二次方程，求得復(fù)數(shù)，根據(jù)模長(zhǎng)公式以及復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，可得答案.【詳解】依題意得，復(fù)數(shù)z1，z2是方程x2?4解得x=4±4i所以z1z1z1z1故選：ABD．11．ABC【分析】利用已知得出g′(x)的圖象關(guān)于1,0對(duì)稱(chēng)，又得出【詳解】由fx+g又fx?1?g所以g′x關(guān)于1,又因?yàn)間x是奇函數(shù)，故g′x是偶函數(shù)，所以g對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)間′4=所以f2f2025因?yàn)間′3=所以n=對(duì)于選項(xiàng)D，g′故選：ABC．12．a(chǎn)【分析】設(shè)出公差，根據(jù)S3=15【詳解】設(shè)an的公差為d因?yàn)镾2所以S3又S3=a1+a2又a1=1故答案為：a13．45【分析】利用同角關(guān)系式可求得cos2α+【詳解】tanα+π又cos2α+所以sin=cos故答案為：4514．3【分析】法一：由題意可得焦點(diǎn)三角形為直角三角形，根據(jù)橢圓的定義、雙曲線的定義與勾股定理，建立方程組，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案；法二：由題意可得焦點(diǎn)三角形為直角三角形，根據(jù)橢圓與雙曲線焦點(diǎn)三角形面積的二級(jí)結(jié)論，建立方程，利用基本不等式的“1”的妙用，可得答案.【詳解】法一：因?yàn)镺P=1設(shè)PF1=m，PF依題意有m+n=2a所以22當(dāng)且僅當(dāng)e22=所以2e12法二：因?yàn)镺P=1對(duì)于焦點(diǎn)三角形△F1P根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得S=b2所以a12?所以22當(dāng)且僅當(dāng)e22=所以2e12故答案為：3215．(1)∠(2)15【分析】1由正弦定理得3sin∠BAC2由題意可得S△ABC=S△【詳解】（1）由正弦定理得3sin又因?yàn)閟inB≠0所以sin∠∴∠BAC+∴∠BAC又∵∠BA（2）∵AD∴∠∵S所以121所以34即bc=由余弦定理得72即49=b將①代入②得8b所以b+c=所以△ABC16．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為1,3(2)兩個(gè)零點(diǎn)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得fx（2）先判斷2是fx的一個(gè)零點(diǎn)，利用分類(lèi)討論法，對(duì)a【詳解】（1）由題知x>1，當(dāng)a=?8令f′x=0，得當(dāng)x∈1,3時(shí)，f′當(dāng)x∈3,+∞時(shí)，f（2）解法一：因?yàn)閒2=0令f′x=0，解得當(dāng)x∈1,x2當(dāng)x∈x2,+當(dāng)a<?2時(shí)，xf1下面先證明當(dāng)x≥1時(shí)，令gx=x故gx在1所以gx因?yàn)?a>2易知1?a>x2，所以f所以當(dāng)a<?2時(shí)，f解法二：當(dāng)x=2時(shí)，f2令f′x=0，又當(dāng)x∈1,x0當(dāng)x∈x0,+所以x=x0當(dāng)a<?2時(shí)，x下證lnx令gx=x當(dāng)x∈0,1時(shí)，g′x<0，從而gx所以當(dāng)x>1時(shí)，所以aln即fx令x1>2?a易得當(dāng)a<?2時(shí)，2?a綜上，當(dāng)a<?2解法三：令fx當(dāng)x=2時(shí)，f2當(dāng)x≠2時(shí)，令gx易得gx在1,2因?yàn)閘imx所以當(dāng)x∈2,故當(dāng)a<?2時(shí)，a而當(dāng)x∈1,故當(dāng)a<?2綜上可知，當(dāng)a<?2【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0求出關(guān)鍵點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)在不同區(qū)間的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這是解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的基本方法.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，先找出一個(gè)已知零點(diǎn)，再通過(guò)求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，然后構(gòu)造函數(shù)證明相關(guān)不等式，進(jìn)而判斷在其他區(qū)間是否存在零點(diǎn)，這種方法綜合運(yùn)用了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和不等式證明.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)6(3)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)線線垂直可證明AC⊥平面（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，即可利用點(diǎn)面距離的向量法求解.（3）根據(jù)線面平行的性質(zhì)，結(jié)合（2）可知Q到平面PAC的距離為62【詳解】（1）證明：如圖，連接BD設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，連接SO，由S在正方形ABCD又SO∩BD=O，SO又因?yàn)镾D?平面SB（2）連接PO，因?yàn)镾B∥平面PAC，SB?所以SB在△SBD中，O為BD的中點(diǎn)，所以點(diǎn)易知直線SO，AC，BD因?yàn)檎叫蜛B所以A0,?2,0，C0設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為m=所以22y=令x=32因?yàn)镾B∥平面PAC，所以直線SB到平面PBC在法向量m上的投影的模為B所以直線SB到平面PAC（3）不存在．理由如下：根據(jù)第（2）問(wèn)可得直線SB到平面PAC又因?yàn)镾B∥平面PAC，設(shè)點(diǎn)Q為SB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)Q假設(shè)在平面PAC上存在點(diǎn)E，使得△ESB則有EQ因?yàn)镋Q=18．(1)y(2)軌跡為直線x=【分析】（1）由題意作圖，根據(jù)正三角形的性質(zhì)與拋物線的性質(zhì)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程，可得答案；（2）設(shè)出直線方程，并聯(lián)立拋物線方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，設(shè)出切線方程，聯(lián)立拋物線方程，寫(xiě)出根的判別式為零，進(jìn)而求得切線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式，可得答案.【詳解】（1）因?yàn)椤鱋AB為正三角形時(shí)，其面積為483，可得根據(jù)正三角形以及拋物線的對(duì)稱(chēng)性，可知此時(shí)點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為12,將點(diǎn)A代入拋物線的方程可得48=24p所以拋物線C的方程為y2（2）易得F1,0．設(shè)直線A聯(lián)立直線AB與拋物線C的方程可得yΔ=設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為y124根據(jù)韋達(dá)定理可得y1+y設(shè)直線l1的方程為x因?yàn)閘1是拋物線C的切線，所以l1與聯(lián)立兩個(gè)方程可得y2Δ=16m所以直線l1的方程為x同理可得直線l2的方程為x計(jì)算l1與l2的交點(diǎn)可得y2所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為直線x=將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入直線l1及l(fā)2，可得其縱坐標(biāo)為y=兩者相加可得2y=y所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為?1所以點(diǎn)P到直線AB的距離d當(dāng)且僅當(dāng)m=所以點(diǎn)P到直線AB19．(1)分布列見(jiàn)解析，1(2)（ⅰ）證明見(jiàn)解析；（ⅱ）當(dāng)n=1時(shí)，G【分析】（1）由已知可得X的可能取值，分別求解概率即可得分布列和期望；（2）（?。└鶕?jù)等比數(shù)列的定義證明即可；由（?。┛勺CGn+1【詳解】（1）X可以取0，1，2，3，4，每次回答A類(lèi)問(wèn)題且回答正確的概率為12回答A類(lèi)問(wèn)題且回答不正確的概率為12每次回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題且回答正確