四川省巴中市普通高中2025屆高三一診考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2025年四川省巴中市高考數(shù)學(xué)一診試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)滿足，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合所形成圖形的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【詳解】由，可知在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合確定的圖形為以為圓心，1為半徑的圓環(huán)及內(nèi)部，故在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的集合確定的圖形面積為故選：B2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可求出集合A，B，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】，得或，即或，，得，所以或，，故選：C3.設(shè)，則“是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】若，則；若，則，即“”是“”的既不充分也不必要條件、故選：D.4.已知向量，，若，則的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的垂直關(guān)系寫出等式，再化簡(jiǎn)計(jì)算求解參數(shù)的值.【詳解】，即，，得：，整理得，，所以選項(xiàng)A正確.故選：A.5.若函數(shù)奇函數(shù)，則（）A.0 B.1 C.2 D.無(wú)解【答案】D【解析】【分析】利用奇函數(shù)定義，列出等式，即可得到結(jié)果.詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，則，若為奇函數(shù)，則，即，a的值不是常數(shù)，即無(wú)解．故選：D6.已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（）A.56 B.60 C.64 D.68【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解．【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，由為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，，解得，，則故選：B7.已知三棱錐四個(gè)頂點(diǎn)都在球O面上，，，M為AB的中點(diǎn)，C在面APB內(nèi)的射影為PM的中點(diǎn)，則球O的表面積等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知三棱錐的外接球的球心O在過(guò)M且垂直平面PAB的垂線上，設(shè)球心O到平面PAB的距離為t，球O的半徑為R，再根據(jù)勾股定理，建立方程，即可求解．【詳解】如圖，設(shè)PM的中點(diǎn)為N，則由平面PAB，可知，又，，所以，所以，所以，又三棱錐的外接球的球心O在過(guò)M且垂直平面PAB的垂線上，設(shè)球心O到平面PAB的距離為t，球O的半徑為R，則，解得，所以，所以球O的表面積為故選：B8.已知函數(shù)則方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（）A.6 B.7 C.10 D.11【答案】D【解析】【分析】令，則有，解得，，，，再結(jié)合函數(shù)的圖象，分別求出的解的個(gè)數(shù)，即可得答案．【詳解】解：作出函數(shù)的圖象，如圖所示：令，則有，易得此時(shí)有4個(gè)解，分別為，，，，結(jié)合圖象可得：當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)有1個(gè)解；當(dāng)，即時(shí)，有4個(gè)解；當(dāng)，即有3個(gè)解；當(dāng)，即有3個(gè)解；所以原方程共有個(gè)解．故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于令，將題意轉(zhuǎn)化為方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象求解.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列命題正確的有（）A.回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心，且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)B.兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)越接近C.將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)正數(shù)，則其方差不變D.將個(gè)數(shù)的一組數(shù)去掉一個(gè)最小和一個(gè)最大數(shù)，則中位數(shù)不變【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)方差的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)中位數(shù)的定義可判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心，但是不一定過(guò)樣本點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由方差的性質(zhì)可知，將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)正數(shù)，則其方差不變，故C正確；對(duì)于D，將個(gè)數(shù)的一組數(shù)去掉一個(gè)最小和一個(gè)最大數(shù)，則中位數(shù)不變，故D正確．故選：CD.10.已知函數(shù)，則（）A.是的對(duì)稱軸 B.的最小正周期為C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.在點(diǎn)處的切線方程為【答案】BD【解析】【分析】化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可．詳解】，對(duì)于A，由于，則不是的對(duì)稱軸，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，函數(shù)的最小正周期為，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，故D正確．故選：BD11.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線的斜率分別是，則（）A.以為直徑的圓與軸相切；B.C.D.分別過(guò)兩點(diǎn)作拋物線的切線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)在上.【答案】ABD【解析】【分析】由題意作圖，對(duì)于A，由梯形中位線得性質(zhì)以及拋物線的性質(zhì)，可得其正誤；對(duì)于B，設(shè)出直線方程，并聯(lián)立拋物線方程，寫出韋達(dá)定理，結(jié)合拋物線的定義，整理可得其正誤；對(duì)于C，由選項(xiàng)B的韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，可得其正誤；對(duì)于D，對(duì)拋物線函數(shù)求導(dǎo)，由選項(xiàng)B的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出切線方程，聯(lián)立求交點(diǎn)，可得其正誤.【詳解】由題意，取的中點(diǎn)為，分別過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，如下圖：對(duì)于A，由拋物線，則，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，易知以為直徑的圓的圓心為，半徑，由圖可知，由圓心到軸的距離，則圓與軸相切，故A正確；對(duì)于B，由題意易知直線的斜率存在，則設(shè)直線方程為，聯(lián)立可得，消去可得，由，設(shè)，則，，，，由A選項(xiàng)的圖中可知，，所以，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B可知，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意作圖如下：由，求導(dǎo)可得，由選項(xiàng)B，可得直線的斜率分別為，所以直線的方程分別為，，聯(lián)立，兩個(gè)方程分別乘可得消去可得，由在直線上，則，化簡(jiǎn)可得，由，，則，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則______．【答案】##【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解的值，進(jìn)而利用二倍角的正弦公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解的值．【詳解】解：因?yàn)椋?，則故答案為：13.除以7的余數(shù)為_(kāi)_____．【答案】1【解析】【分析】由，利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)計(jì)算即可．【詳解】解：因?yàn)?，除?的余數(shù)是故答案：14.已知，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線右支上且不與右頂點(diǎn)重合，過(guò)作平分線的垂線，垂足為若，則離心率的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)角平分線及其垂線的特征得到、的長(zhǎng)度，再根據(jù)余弦定理和三角形三邊的關(guān)系求出雙曲線離心率的取值范圍．【詳解】根據(jù)題意作圖如下：連接，設(shè)平分線的垂線交于點(diǎn)N，因?yàn)榻瞧椒志€，所以三角形為等腰三角形，，且M為中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)镺為中點(diǎn)，M為中點(diǎn)，所以，又，，在三角形中，，在三角形中，，因?yàn)椋?，即，得，所以，又在三角形中，由三角形的三邊關(guān)系，有，即，解得，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.甲乙兩人進(jìn)行投籃比賽，要求各投籃2次．已知甲乙兩人每次投中的概率分別為，，且每人每次投中與否互不影響．（1）求“甲第一次未投中，乙兩次都投中”的概率；（2）求“乙獲勝”的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)“甲第一次投中”，“甲第二次投中”，“乙第一次投中”，“乙第二次投中”，設(shè)“甲第一次未投中，乙兩次都投中”，易得，由相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得答案；（2）設(shè)“乙獲勝”，則，由互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得答案．【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，設(shè)“甲第一次投中”，“甲第二次投中”，“乙第一次投中”，“乙第二次投中”，設(shè)“甲第一次未投中，乙兩次都投中”，則；【小問(wèn)2詳解】設(shè)“乙獲勝”，則，故16.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為（1）求證：；（2）令，證明：【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）直接利用函數(shù)的單調(diào)性和放縮法求出結(jié)果；（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和相消法的應(yīng)用求出結(jié)果．【小問(wèn)1詳解】數(shù)列的通項(xiàng)公式為，由于函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故，所以【小問(wèn)2詳解】由，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，.綜上可知，17.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．（1）若，平面AEF與平面PBC是否互相垂直？如果垂直．請(qǐng)證明；如果不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若底面ABCD為正方形，當(dāng)平面AEF與平面PCD夾角為時(shí)，求的值．【答案】（1）平面平面PBC；證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先證平面PBC，再利用面面垂直得判定定理即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面AEF與平面PCD的法向量，利用向量法求解即可．【小問(wèn)1詳解】平面平面PBC，理由如下：證明：平面ABCD，平面ABCD，，又，而，平面PAB，平面PAB，平面PAB，，，E為PB的中點(diǎn)，，而，且平面，平面PBC，平面AEP，平面平面PBC；【小問(wèn)2詳解】由底面ABCD為正方形及底面ABCD，，AD，AP兩兩垂直，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，，，，設(shè)，設(shè)平面AEF的法向量為，，，則：，取，則，，得，設(shè)平面PCD的法向量為，，，則，取，則，，得，則，解得，即18.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的極值；（2）求證：當(dāng)時(shí)，；（3）若，其中，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1），無(wú)極大值（2）證明見(jiàn)解析（3）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的極值；不等式等價(jià)于，，令，，利用導(dǎo)數(shù)證明即可；討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，先對(duì)x分類討論去絕對(duì)值，易得在上總有唯一的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，對(duì)求導(dǎo)，再對(duì)t分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)及零點(diǎn)存在性定理判斷即可．【小問(wèn)1詳解】，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，無(wú)極大值．【小問(wèn)2詳解】證明：原不等式等價(jià)于：，，即，，令，，下證：，則，設(shè)，則，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以在上單調(diào)遞增，，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以在上單調(diào)遞減，，即原不等式成立．【小問(wèn)3詳解】等價(jià)于的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題：①當(dāng)時(shí)，，顯然在上單調(diào)遞增，又，?e?1=e?2>0②當(dāng)時(shí)，，則，Ⅰ若，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，?x>?e?1=Ⅱ若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；，令，得若，則?(x)min=?t>0若，則在上有唯一零點(diǎn)；若，則，又?e?1=e又由知，得，得，由零點(diǎn)存在性定理可知，在，上各有一個(gè)零點(diǎn)．綜上所述：當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，不等式的證明，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，去絕對(duì)值分類討論是關(guān)鍵.19.已知雙曲線：與曲線：有4個(gè)交點(diǎn)A，B，C，按逆時(shí)針排列（1）若方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根，，，證明：（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：為定值；（3）求四邊形ABCD面積的最大值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得出，展開(kāi)整理，對(duì)比系數(shù)即可得證；（2）由題意整理出關(guān)于x的方程，得出，，代入，即可求解；（3）按點(diǎn)O的位置，分O在內(nèi)部和當(dāng)O在外部時(shí)兩個(gè)情況，根據(jù)面積關(guān)系