7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算（原卷版）

7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算題型一：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算的策略：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算的策略：（1）按照復(fù)數(shù)的乘法法則，三個(gè)或三個(gè)以上的復(fù)數(shù)相乘可按從左到右的順序運(yùn)算或利用結(jié)合律運(yùn)算，混合運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一致.在計(jì)算時(shí)，若符合乘法公式，則可直接運(yùn)用公式計(jì)算.（2）可類似多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，最后再化簡(jiǎn)為即可.【例1】已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（

）A． B．C． D．【例2】已知，則（

）A．10 B． C．5 D．【變式1-1】已知，則（

）A． B． C．1 D．3【變式1-2】設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，若復(fù)數(shù)，，且是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)等于．【變式1-3】若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．題型二：復(fù)數(shù)的乘方利用i利用i冪值的周期性解題的技巧：（1）熟記i的冪值的4個(gè)結(jié)果，當(dāng)冪指數(shù)除以4所得的余數(shù)是0,1,2,3時(shí)，相應(yīng)的冪值分別為．（2）對(duì)于，有．【例3】（

）A． B． C． D．【例4】已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．1【變式2-1】若，，則的取值可以是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式2-2】復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【變式2-3】知，若，則（

）A． B． C． D．題型三：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算的策略：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算的策略：根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則，通過分子，分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使＂分母實(shí)數(shù)化＂，這個(gè)過程與＂分母有理化＂類似．【例5】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則等于（

）A． B． C． D．【例6】i是虛數(shù)單位，，若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．【變式3-1】歐拉公式（其中為虛數(shù)單位）是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的．若復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式3-2】復(fù)數(shù)是成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式3-3】（多選）已知為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．C．若，則為純虛數(shù)D．若，則的最小值為1題型四：共軛復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱．特別地，實(shí)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，且在實(shí)軸上．互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱．特別地，實(shí)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，且在實(shí)軸上．【例7】復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)的虛部是.【例8】關(guān)于復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．在復(fù)平面內(nèi)，表示復(fù)數(shù)和的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱B．C．必為實(shí)數(shù)，必為純虛數(shù)D．若復(fù)數(shù)為實(shí)系數(shù)一元二次方程的一根，則也必是該方程的根【變式4-1】已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位.(1)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若虛數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，求實(shí)數(shù)值.【變式4-2】（多選）下列命題為真命題的是（

）A．若，互為共軛復(fù)數(shù)，則為實(shí)數(shù)B．若，則C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為D．關(guān)于復(fù)數(shù)的方程（）有實(shí)數(shù)根，則【變式4-3】已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（

）A． B． C．1 D．i題型五：復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的解在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)一元二次方程的求解方法：（1）求根公式法：=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，．（2）利用復(fù)數(shù)相等的定義求解，設(shè)方程的根為，將其代入方程，化簡(jiǎn)后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解.【例9】（多選）已知是虛數(shù)單位，表示的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)滿足，則下列正確的是（

）A．的虛部為B．C．是純虛數(shù)D．若是方程的一個(gè)根，則【例10】已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，且．(1)求復(fù)數(shù)；(2)求復(fù)數(shù)；(3)若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)，的值，并求出方程的另一個(gè)復(fù)數(shù)根．【變式5-1】若關(guān)于的方程有兩個(gè)虛根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式5-2】已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)虛根為，則另外一個(gè)根的虛部為（

）A．1 B． C． D．【變式5-3】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的解的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4 C．6 D．81．已知，且，其中i是虛數(shù)單位，則（

）A．20 B．12 C． D．2．?dāng)?shù)學(xué)試題）（多選）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．的實(shí)部為3B．的虛部為C．D．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限3．已知復(fù)數(shù)，其中，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．?dāng)?shù)學(xué)試題）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．5．（多選）已知，，關(guān)于的方程有一個(gè)根為，為虛數(shù)單位，另一個(gè)根為，則（）A．該方程不存在實(shí)數(shù)根 B．，C．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限 D．6．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（多選）已知為虛數(shù)單位，以下選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則的充要條件是B．若復(fù)數(shù)滿足，則C．D．若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為68．（多選）復(fù)數(shù)，滿足，，則（

）．A． B．C． D．9．已知，