重難點(diǎn)11 輕松搞定立體幾何的軌跡問題 （三大題型）（原卷版）

重難點(diǎn)專題11輕松搞定立體幾何的軌跡問題【題型歸納目錄】題型一：軌跡圖形題型二：軌跡長度題型三：軌跡面積【典型例題】題型一：軌跡圖形【例1】（2024·浙江溫州·一模）如圖，所有棱長都為1的正三棱柱，，點(diǎn)是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，直線平面，則點(diǎn)的軌跡為（

）

A．三角形（含內(nèi)部） B．矩形（含內(nèi)部）C．圓柱面的一部分 D．球面的一部分【變式1-1】（2024·高二·湖北黃岡·期末）如圖所示，為正三角形，四邊形為正方形，平面平面.為平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡為（為正方形的中心）

A．

B．

C．

D．

【例2】（2024·高一·遼寧鐵嶺·階段練習(xí)）如圖所示，在正四棱錐S-ABCD中，是的中點(diǎn)，P點(diǎn)在側(cè)面△SCD內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總是保持．則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與△組成的相關(guān)圖形最有可有是圖中的()A． B．C． D．題型二：軌跡長度【例3】（2025·高二·重慶黔江·階段練習(xí)）已知正方體的棱長為分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面無公共點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【變式3-1】（2025·高一·貴州黔西·期末）如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．平面截正方體所得截面為等腰梯形B．若∥平面，則直線CQ不可能垂直于直線C．若，則點(diǎn)Q的軌跡長度為D．三棱錐的外接球的半徑為【變式3-2】（2025·高二·四川樂山·期末）已知正方體棱長為1，點(diǎn)是正方體表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A．2 B． C．4 D．【變式3-3】（多選題）（2025·高一·遼寧·期末）如圖，已知正三棱臺(tái)由一個(gè)平面截棱長為6的正四面體所得，分別是的中點(diǎn)，P是棱臺(tái)的側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)（包含邊界），則下列結(jié)論中正確的是（

）A．該三棱臺(tái)的體積為B．平面平面C．直線與平面所成角的正切值的最小值為D．若，則點(diǎn)的軌跡的長度為題型三：軌跡面積【例4】（2025·高一·福建泉州·期中）已知正方體棱長為，點(diǎn)在正方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)（包括表面），且平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成區(qū)域的面積為．【變式4-1】（2024·高一·浙江杭州·期末）如圖，已知正方體的棱長為2，長為2的線段的一個(gè)端點(diǎn)M在棱上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在正方體的底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則的中點(diǎn)P的軌跡的面積是（

）A． B． C． D．【變式4-2】（2025·高一·江蘇常州·期末）如圖，在長方體中，，，，點(diǎn)P是長方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形的面積等于（）A． B． C． D．

【過關(guān)測(cè)試】1．（2025·高一·重慶·期末）已知正方體的棱長為4，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，為四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，的軌跡把正方體截成兩部分，則較小部分的外接球的體積為（

）A． B． C． D．2．（多選題）（2025·高一·廣東廣州·階段練習(xí)）已知正方體中，以下結(jié)論正確的有（

）A．點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積不變B．點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成角的大小不變C．點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的大小不變D．是平面上到點(diǎn)和距離相等的點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)的直線3．（多選題）（2025·高一·山東聊城·期末）在長方體中，，點(diǎn)M，N分別在側(cè)棱和底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，且，則（

）A．直線BM與直線所成角的范圍為B．存在直線MN，使MN∥平面C．設(shè)點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡與側(cè)面的交線長度為D．設(shè)點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為4．（多選題）（2025·高一·黑龍江黑河·期末）如圖，在正三棱臺(tái)中，，棱的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面B．正三棱臺(tái)的體積為C．與平面所成角的正切值為D．動(dòng)點(diǎn)形成的軌跡長度為5．（多選題）（2025·高一·云南曲靖·期末）在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），則（

）A．平面B．若，則點(diǎn)的軌跡長度為C．若平面，則點(diǎn)的軌跡長度是D．當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值是6．（多選題）（2025·高一·湖北武漢·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，O為正方體的中心，M為的中點(diǎn)，為側(cè)面正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則（

）A．三棱錐的外接球表面積為B．動(dòng)點(diǎn)F的軌跡的線段為C．三棱錐的體積為D．若過A，M，三點(diǎn)作正方體的截面，Q為截面上一點(diǎn)，則線段長度的取值范圍為7．（多選題）（2025·高一·江蘇鹽城·期末）如圖，在直棱柱中，底面是邊長為2的菱形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若點(diǎn)在線段上，則四面體的體積為定值C．若，則點(diǎn)軌跡的長度為D．若點(diǎn)在直線上，則的最小值為8．（多選題）（2025·高一·吉林·期中）如圖，在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，P是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若平面，則點(diǎn)P的軌跡長度為B．若平面，則三棱錐的體積為定值C．若，則點(diǎn)P的軌跡長度為D．若P是棱的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的表面積是9．（多選題）（2025·高一·海南?？凇て谥校┰谡睦馀_(tái)中，，，點(diǎn)P在四邊形ABCD內(nèi)，且正四棱臺(tái)的各個(gè)頂點(diǎn)均在球Q的表面上，，則（

）A．該正四棱臺(tái)的高為3B．該正四棱臺(tái)的側(cè)面面積是C．球心Q到正四棱臺(tái)底面ABCD的距離為D．動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度是10．（多選題）（2025·高一·陜西西安·階段練習(xí)）已知正方體的棱長為2，點(diǎn)為平面上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．三棱錐的體積為定值B．當(dāng)點(diǎn)在棱上，的最小值為C．當(dāng)點(diǎn)在正方形內(nèi)，若與平面所成的角為45°，則點(diǎn)的軌跡長度為D．當(dāng)點(diǎn)在棱（不含頂點(diǎn)）上，平面截此正方體所得的截面為梯形11．（多選題）（2025·高一·重慶·期中）如圖，在棱長為2的正方體中，為正方體的中心，為的中點(diǎn)，為側(cè)面正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∥平面，則（

）A．三棱錐的外接球表面積為B．動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條線段C．三棱錐的體積是隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化的D．若過A，，三點(diǎn)作正方體的截面，為截面上一點(diǎn)，則線段長度的取值范圍為12．（多選題）（2025·高一·江蘇南京·期末）如圖所示，正方體的棱長為2，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是（

）

A．B．與平面所成角的正弦值為C．存在點(diǎn)使得⊥平面D．若平面，則點(diǎn)的軌跡長度為13．（多選題）（2025·高一·廣東廣州·期末）如圖,在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則平面B．連接，則直線與平面成角正弦值為C．若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的最小值為D．若點(diǎn)在側(cè)面正方形內(nèi)（包含邊界），且，則點(diǎn)的軌跡長度為14．（多選題）（2025·高一·黑龍江齊齊哈爾·期末）如圖，已知正方體的棱長為1，分別為棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，則以下說法正確的有（

）A．平面B．過點(diǎn)作正方體的截面，所得截面的面積是C．點(diǎn)到平面的距離為D．若平面，則點(diǎn)的軌跡長度為15．（多選題）（2025·高一·安徽銅陵·期末）如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方形內(nèi)（包含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)四點(diǎn)共面B．幾何體的外接球的體積為C．滿足平面的點(diǎn)的軌跡長度為D．的最小值為16．（多選題）（2025·高二·江西·期末）在棱長為1的正方體中，P為棱的中點(diǎn)，Q為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說法中正確的是（

）A．若面，則Q的軌跡是一條線段B．三棱錐的體積為C．平面與的夾角的正弦值的取值范圍為D．若，則Q的軌跡長度為17．（多選題）（2025·高一·江蘇南京·階段練習(xí)）已知四面體的各個(gè)面均為全等的等腰三角形，且.設(shè)E為空間內(nèi)任一點(diǎn)，且A，B，C，D，E五點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則（

）A．四面體的表面積為B．四面體的體積為C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E的軌跡長度為D．當(dāng)三棱錐的體積為時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為18．（多選題）（2025·高一·吉林·期中）如圖，在棱長為1的正方體中，M，N分別是AB，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方形內(nèi)部（含邊界）運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則點(diǎn)P的軌跡長為B．在線段上存在點(diǎn)P，使得直線PM與直線為異面直線C．若P為線段的中點(diǎn)，則三棱錐與三棱錐體積相等D．過點(diǎn)P可以作4條直線與，AC均成角19．（多選題）（2025·高一·浙江麗水·期中）已知正方體的棱長為2，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是正方體內(nèi)（含表面）的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．動(dòng)點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)軌跡的長度是B．三角形在正方體內(nèi)運(yùn)動(dòng)形成幾何體的體積是2C．直線與所成的角為，則的最小值是D．存在某個(gè)位置M，使得直線與平面所成的角為20．（多選題）（2025·高一·山東濱州·期末）在棱長為2的正方體中，M，N，Q分別是，，的中點(diǎn)，P為四邊形（含邊界）內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且．則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線AM與直線是異面直線 B．三棱錐的體積為C．點(diǎn)P的軌跡長度為 D．直線平面21．（多選題）（2025·高一·重慶·期末）在棱長為的正方體中，已知分別為線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為B．當(dāng)時(shí)，四棱錐外接球半徑為C．周長的最小值為D．若，則點(diǎn)的軌跡長為22．（多選題）（2025·高一·重慶·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)，O為正方體內(nèi)一點(diǎn)，則以下命題正確的是（

）A．取得最小值B．當(dāng)M為線段中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所得的截面為平行四邊形C．四面體ABMD的外接球的表面積為5π時(shí)，D．若，則點(diǎn)O的軌跡長為23．（多選題）（2025·高一·吉林長春·期末）如圖，正三棱錐和正三棱錐的側(cè)棱長均為，．若將正三棱錐繞BD旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)A，C分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)M，N處，且M，B，D，E四點(diǎn)共面，點(diǎn)M，E分別位于BD兩側(cè)，則（

）A． B．C．MC的長度為 D．點(diǎn)C與點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長度之比為24．（多選題）（2025·高一·內(nèi)蒙古赤峰·期末）如圖，在正三棱柱中，分別為的中點(diǎn)則下列說法正確的是（

）A．四點(diǎn)共面B．與所成角的余弦值為C．正三棱柱的外接球表面積為D．點(diǎn)在四邊形內(nèi)及其邊界上運(yùn)動(dòng)，若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為25．（多選題）（2025·高一·福建莆田·期中）如圖，棱長為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(包括邊界)，且平面，則下列說法正確的是（

）A．記的中點(diǎn)為上存在一點(diǎn)，使得平面平面B．動(dòng)點(diǎn)軌跡的長度為C．三棱錐體積的最小值為1D．的最小值為26．（多選題）（2025·高一·吉林長春·期末）如圖，已知正方體的棱長為1，為底面內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．存在點(diǎn)，使平面C．若，則的軌跡長度為D．若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過，作平面平面，則平面截正方體的截面面積為27．（2025·高一·福建廈門·期中）如圖