2024屆廣東省三校聯(lián)考高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題和答案

試題PAGE1試題絕密★啟用前試卷類(lèi)型：A深圳實(shí)驗(yàn)、湛江一中、珠海一中2024屆高三三校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題2023.12注意事項(xiàng)：1．本試卷共4頁(yè)，22小題，滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校，班級(jí)和姓名填在答題卡上，正確粘貼條形碼．3．作答選擇題時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)答案的選項(xiàng)涂黑．4．非選擇題的答案必須寫(xiě)在答題卡各題目的指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．5．考試結(jié)束后，考生上交答題卡．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，集合，則A．B．C．D．2.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．在梯形中，設(shè)，，若，則A．B．C．D．4．已知函數(shù)，則的最大值為A．B．C．D．5．若，則A． B． C． D．6．已知圓臺(tái)的上、下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺(tái)的下底面過(guò)球心，上底面半徑為1，則圓臺(tái)的體積為A． B． C． D．7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則A．B．C．D．8．已知函數(shù)，過(guò)點(diǎn)作的切線，若（），則直線的條數(shù)為A． B． C． D． 二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．某中學(xué)選派甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他們的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：學(xué)生甲乙丙丁戊成績(jī)則下列結(jié)論正確的為A．這位同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是B．這位同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)是C．這位同學(xué)成績(jī)的第百分位數(shù)是D．若去掉戊的成績(jī)，則剩余四人成績(jī)的方差保持不變10.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論正確的為A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．的圖象與的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)11．已知圓，點(diǎn)在圓上，過(guò)可作的兩條切線，記切點(diǎn)分別為，，則下列結(jié)論正確的為A．當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)可是上任意一點(diǎn)B．當(dāng)，時(shí)，可能等于C．若存在使得△為等邊三角形，則的最小值為D．若存在使得△的面積為，則可能為12.已知點(diǎn)在棱長(zhǎng)為的正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且四面體的體積恒為，則下列結(jié)論正確的為A．的軌跡長(zhǎng)度為B．四面體的體積最大值為C．二面角的取值范圍為D．當(dāng)△的周長(zhǎng)最小時(shí)，三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則公差．14．某學(xué)校擬開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，現(xiàn)有四名優(yōu)秀教師將對(duì)三個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組予以指導(dǎo)，若每個(gè)小組至少需要一名指導(dǎo)教師，且每位指導(dǎo)教師都恰好指導(dǎo)一個(gè)小組，則不同的指導(dǎo)方案數(shù)為．15．已知奇函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若恒成立，則．16.已知雙曲線的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在的左支上運(yùn)動(dòng)且不與頂點(diǎn)重合，記為△的內(nèi)心，，若，則的取值范圍為．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.（10分）已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿(mǎn)足（）.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（12分）已知△的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求證：；(2)若△的面積為，且，求．19．（12分）如圖，在三棱錐中，△為等腰直角三角形，，△為等邊三角形.(1)證明：；(2)若直線與平面所成的角為，點(diǎn)在棱上，且，求二面角的大小.20．（12分）已知某足球賽事的決賽將在甲、乙兩隊(duì)之間進(jìn)行.其規(guī)則為：每一場(chǎng)比賽均須決出勝負(fù)，按主、客場(chǎng)制先進(jìn)行兩場(chǎng)比賽（第一場(chǎng)在甲隊(duì)主場(chǎng)比賽），若某一隊(duì)在前兩場(chǎng)比賽中均獲勝，則該隊(duì)獲得冠軍；否則，兩隊(duì)需在中立場(chǎng)進(jìn)行第三場(chǎng)比賽，且其獲勝方為冠軍.已知甲隊(duì)在主場(chǎng)、客場(chǎng)、中立場(chǎng)獲勝的概率依次為，，，且每場(chǎng)比賽的勝負(fù)均相互獨(dú)立.(1)當(dāng)甲隊(duì)獲得冠軍時(shí)，求決賽需進(jìn)行三場(chǎng)比賽的概率；(2)若主辦方在決賽的前兩場(chǎng)中共投資（千萬(wàn)元），則能在這兩場(chǎng)比賽中共盈利（千萬(wàn)元）.如果需進(jìn)行第三場(chǎng)比賽，且主辦方在第三場(chǎng)比賽中投資（千萬(wàn)元），則能在該場(chǎng)比賽中盈利（千萬(wàn)元）.若主辦方最多能投資一千萬(wàn)元，請(qǐng)以決賽總盈利的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，則其在前兩場(chǎng)的投資額應(yīng)為多少萬(wàn)元？21．（12分）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若的極小值點(diǎn)為，證明：存在唯一的零點(diǎn)，且．22．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為和，設(shè)△的面積為，內(nèi)切圓半徑為，當(dāng)時(shí)，記頂點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，，，在上，且直線與相交于點(diǎn)，記，的斜率分別為，．(=1\*romani)設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，證明：存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，；(=2\*romanii)若，當(dāng)最大時(shí)，求四邊形的面積．

深圳實(shí)驗(yàn)、湛江一中、珠海一中2024屆高三三校聯(lián)考數(shù)學(xué)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題5分，共40分）題號(hào)12345678答案DCABDACC二、多選題（每小題5分，共20分）題號(hào)9101112答案BCADACBCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.214.3615.116.四、解答題：本題共6小題，第17題10分，18―22題各12分，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.（10分）解：(1)∵，∴當(dāng)時(shí)，，………………2分兩式相減得，即()，………3分當(dāng)時(shí)，，符合上式，………………4分∴的通項(xiàng)公式為()．…………………5分(2)∵，………7分∴，…………………9分∴．…………………10分18．（12分）解：(1)（方法一）由余弦定理，得，又∵，∴，………………1分∴，………………2分∵，……………3分∴，…………………4分∴，……………5分又∵，，∴．……………6分（方法二）由正弦定理，得，………1分∴，……………2分∵，，為△的內(nèi)角，∴，∴，………3分∴，………4分即，………………………5分又∵，，∴．……………6分（方法一）由(1)可知，……………………7分∵，∴，即，………………8分∴，…………9分∵，∴，，………………10分記△的面積為，∴，………………11分∴．……………………12分（方法二）由正弦定理，得，即，……7分∵，∴，且，∴，……………8分又∵，∴，∴，∴，∴，……9分∴，…………………10分記△的面積為，∴，………………11分∴．……………………12分19．（12分）解：(1)證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，……………1分∵，∴，………………2分∵△為等邊三角形，∴，…………3分又∵，平面，∴平面，……4分又∵平面，∴.…………………5分(2)（解法一）由(1)不難知道，在平面內(nèi)，若過(guò)作直線的垂線交于點(diǎn)，則該垂線亦為平面的垂線，故直線在平面內(nèi)的射影為直線，∴為直線與平面所成的角，即，……………6分不妨設(shè)，∵，為的中點(diǎn)，∴，∵△為等邊三角形，∴，在△中，由正弦定理,得，∴，∴，即，由(1)知，，且，…………7分以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得，，，，則有，，………8分易知為平面的一個(gè)法向量，………………9分設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即∴則平面的一個(gè)法向量為，…10分，…………11分由圖可知，二面角為銳角，∴二面角的余弦值為，∴二面角的大小為.……………12分（解法二）過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為，連接，由(1)不難知道，在平面內(nèi)，若過(guò)作直線的垂線交于點(diǎn)，則該垂線亦為平面的垂線，故直線在平面內(nèi)的射影為直線，∴為直線與平面所成的角，即，……………6分不放設(shè)，∵，為的中點(diǎn)，∴，∵△為等邊三角形，∴，在△中，由正弦定理得，∴，∴，即.結(jié)合(1)可知，二面角為直二面角，…………7分∴平面，又平面，∴,又，平面，∴平面，又平面，∴，∴為二面角的平面角.………………8分∵，，∴，，，……9分取的中點(diǎn)，連接，則，，∴，…………………10分∴，…………………11分∴二面角的余弦值為，∴二面角的大小為.……………12分20．（12分）解：(1)記“甲隊(duì)獲得冠軍”為事件，“決賽進(jìn)行三場(chǎng)比賽”為事件，由題可知，…………………2分，……………………4分∴當(dāng)甲隊(duì)獲得冠軍時(shí)，決賽需進(jìn)行三場(chǎng)比賽的概率為.…………6分(2)設(shè)主辦方在決賽前兩場(chǎng)中共投資（千萬(wàn)元），其中，若需進(jìn)行第三場(chǎng)比賽，則還可投資（千萬(wàn)元），記隨機(jī)變量為決賽的總盈利，則可以取，，…………7分∴，，………………9分∴隨機(jī)變量的分布列為∴的數(shù)學(xué)期望，………10分令，則，…………11分∴當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，∴主辦方在決賽的前兩場(chǎng)的投資額應(yīng)為千萬(wàn)元，即萬(wàn)元.……12分21．（12分）解：(1)，……………………1分若，由，則時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；…………………2分時(shí)，令，得或，若，則或時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；……………3分若，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增；……4分若，則或時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減．……………5分綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.…………………6分(2)由(1)知，時(shí)，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，則的極小值點(diǎn)為，…………………7分由極大值，且當(dāng)時(shí)，，存在唯一的零點(diǎn)，滿(mǎn)足，…………8分化簡(jiǎn)得，，∴，即，∴，………………9分設(shè)，，，…………………10分當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，…………………11分從而當(dāng)時(shí)，有最小值，綜上所述，存在唯一的零點(diǎn)，且．…………………12分22．（12分）解：(1)由題意得，………1分易知，………………2分由橢圓定義可知，動(dòng)點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓上，又不能在直線上，∴的方程為：．…………3分(2)(=1\*romani)（法一）設(shè)，，，易知直線的方程為，聯(lián)立，得，∴，………………4分∴，，即，…………5分同理可得，，…………6分∴，……………7分欲使，則，即，∴，∴存在唯一常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，．…………8分（法二）設(shè)，，，易知的斜率不為零，否則與重合，欲使，則將在軸上，又為的中點(diǎn)，則軸，這與過(guò)矛盾，故，同理有，…………………4分則，可得，…………5分易知，，且，，∴，即