2025版高中數(shù)學第二講直線與圓的位置關(guān)系2.3圓的切線的性質(zhì)及判定定理練習含解析新人教A版選修4-1

PAGE1-三圓的切線的性質(zhì)及判定定理課時過關(guān)·實力提升基礎鞏固1下列說法:①與圓有公共點的直線是圓的切線;②垂直于圓的半徑的直線是圓的切線;③到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線;④過直徑的端點,且垂直于此直徑的直線是圓的切線.其中正確的是()A.①② B.②③ C.③④ D.①④解析與圓有公共點的直線,可能是切線,也可能與圓相交,則①不正確;②不符合切線判定定理的條件,缺少過半徑外端的條件;很明顯③④正確.答案C2如圖,PA為☉O的切線,A為切點,已知PA=4,OA=3,則cos∠APO的值為()A.34 B.C.45 D.解析由PA為☉O的切線,知OA⊥PA.在Rt△OAP中,由勾股定理,得OP=OA2+故cos∠APO=PAOP答案C3如圖,已知CB為☉O的直徑,P是CB的延長線上一點,且OB=BP,∠AOC=120°,則PA與☉O的位置關(guān)系是()A.相離 B.相切 C.相交 D.不確定解析如圖,連接AB.∵∠AOC=120°,∴∠AOB=60°.又OA=OB,∴△AOB是等邊三角形,∴OB=AB.又OB=BP,∴AB=BP,∴∠P=∠BAP.又∠OBA=60°,∴∠P=30°.又∠AOB=60°,∴∠OAP=90°.∴OA⊥AP,則PA與☉O相切.答案B4如圖,已知AB與☉O切于點B,AO=6cm,AB=4cm,則☉O的半徑r等于()A.45cm B.25cm C.213cm D.13cm解析如圖,連接OB,則OB=r且OB⊥AB,故OB=r=OA2-AB答案B5如圖,已知在半徑分別為5cm和3cm的兩個同心圓中,大圓的弦AB與小圓相切于點C,則弦AB的長為cm.

解析如圖,連接OA,OC,OB,則OC⊥AC.又OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.∴AC=CB.由題意知,OA=5cm,OC=3cm,∴AC=OA2-∴AB=2AC=8(cm).答案86已知在Rt△ABC中,AC⊥CB,AB=12,AC=6,以C為圓心,作與AB相切的圓C,則☉C的半徑r=.

解析如圖,設切點為D,連接CD,則CD⊥AB,CD=r.∵AC⊥CB,∴CD2=AD·BD.又AB=12,AC=6,AC2=AD·AB,∴AD=AC2AB∴BD=AB-AD=12-3=9.∴CD2=3×9=27,∴CD=33.答案337如圖,DB,DC是☉O的兩條切線,A是圓上一點,已知∠D=46°,則∠A=.

解析如圖,連接OB,OC,則OB⊥BD,OC⊥CD,故∠DBO+∠DCO=90°+90°=180°,則有∠BOC=180°-∠D=180°-46°=134°,所以∠A=12∠BOC=12×134°=答案67°8如圖,已知圓O的直徑AB=8,C為圓周上一點,BC=4,過點C作圓的切線l,過點A作直線l的垂線AD,點D為垂足,AD與圓O交于點E,則線段AE的長為.

解析如圖,連接OC,連接BE交OC于點F,則OC⊥l,BE⊥AD.又AD⊥l,所以AD∥OC,OC⊥BE.又直徑AB=8,則OB=OC=4.又BC=4,故△OBC是等邊三角形.則F是OC的中點.所以AE=2OF=OC=4.答案49如圖,BE是☉O的直徑,點A在EB的延長線上,弦PD⊥BE,垂足為點C,連接OD,且∠AOD=∠APC.求證:AP是☉O的切線.證明連接OP,如圖.∵PD⊥BE,∴∠OCD=90°.∴∠ODC+∠COD=90°.∵OD=OP,∴∠ODC=∠OPC.∵∠AOD=∠APC,∴∠OPC+∠APC=90°.∴∠APO=90°,即AP⊥PO.∴AP是☉O的切線.10如圖,已知AB為半圓O的直徑,直線MN切半圓于點C,AD⊥MN于點D,BE⊥MN于點E,BE交半圓于點F,AD=3cm,BE=7cm,求☉O的半徑r.解如圖,連接OC.∵MN切半圓于點C,∴OC⊥MN.∵AD⊥MN,BE⊥MN,∴AD∥OC∥BE.∵OA=OB,∴CD=CE.∴OC=12(AD+BE)=12×(3+7)=∴☉O的半徑為5cm.實力提升1如圖,已知在Rt△ABC中,∠B=90°,D是AB上一點,且AD=2DB,以D為圓心,DB為半徑的圓與AC相切,則sinA等于()A.33 B.C.12 D.解析如圖,設AC與圓相切于E點,連接DE,則DE⊥AC,DE=DB,則AD=2ED,故在Rt△ADE中,sinA=12.故選C答案C2如圖,已知PB與☉O相切于點B,OP交☉O于點A,BC⊥OP于點C,OA=3,OP=4,則AC等于()A.34 B.C.35解析如圖,連接OB,則OB⊥PB,OB=OA=3.又BC⊥OP,∴在Rt△OBP中,有OB2=OC·OP.∴OC=OB∴AC=OA-OC=3-94答案A3如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,AD=2,BC=6,若以AB為直徑的☉O與CD相切于點E,則DE等于()A.3 B.23 C.4 D.8解析如圖,連接OE,過點D作DF∥AB.在梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,以AB為直徑的☉O與DC相切于點E,故OE⊥CD,OE是梯形ABCD的中位線,OE=12(BC+AD即OE=2+62=4,AB=∵AD∥BC,AB∥DF,∴四邊形ABFD是平行四邊形,BF=AD=2,CF=BC-BF=6-2=4,DF=AB=8,CD=DF2-C∴DE=23.故選B.答案B4已知△ABC內(nèi)接于☉O,過點A作直線EF.如圖,若AB為直徑,則要使得EF是☉O的切線,還需添加的條件是(必需寫出三種狀況):①或②或③.

答案答案不唯一.如∠CAF=∠B,AB⊥EF,∠BAC+∠CAF=90°(∠BAC與∠CAF互余),∠C=∠FAB,∠EAB=∠FAB等.★5如圖,已知PA與圓O相切于點A,半徑OC⊥OP,AC交PO于點B,OC=1,OP=2,則PB=.

解析如圖,連接OA,則OA⊥PA.在△OAP中,∠PAO=90°,OP=2,OA=1,則PA=3,∠P=30°,∠POA=60°.故∠AOC=∠AOP+∠BOC=60°+90°=150°.又OA=OC,則∠BAO=15°.所以∠PBA=∠BAO+∠AOP=15°+60°=75°.在△PAB中,則∠PAB=180°-∠P-∠ABP=180°-30°-75°=75°.所以∠PBA=∠PAB,故PA=PB,所以PB=3.答案36如圖,D是☉O的直徑AB的延長線上一點,PD是☉O的切線,P是切點,∠D=30°.求證:PA=PD.分析欲證PA=PD,只要證明∠A=∠D=30°即可.證明如圖,連接OP.∵PD是☉O的切線,P為切點.∴PO⊥PD.∵∠D=30°,∴∠POD=60°.又OA=OP,∴∠A=∠APO.∴∠A=30°.∴∠A=∠D.∴PA=PD.★7如圖,☉O內(nèi)切于△ABC的邊于點D,E,F,AB=AC,連接AD交☉O于點H,直線HF交BC的延長線于點G.(1)求證:圓心O在AD上;(2)求證:CD=CG;(3)若AH∶AF=3∶4,CG=10,求HF的長.(1)證明由題意知AE=AF,CF=CD,BD=BE,而AB=AC,∴CD=CF=BE=BD.∴D為BC的中點,∴AD是∠BAC的平分線,∴圓心O在AD上.(2)證明如圖,連接DF.∵O在AD上,∴DH為直徑,∴∠DFH=90°.∵CF=CD,∠CFD=∠FDC,∴∠G=90°-∠FDC=90°-∠CFD=∠C