陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1.3 反證法（二）教學(xué)實錄 北師大版選修2-2

陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.3反證法（二）教學(xué)實錄北師大版選修2-2科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué)第一章推理與證明1.3反證法（二）教學(xué)實錄北師大版選修2-2設(shè)計意圖本節(jié)課以“反證法（二）”為主題，旨在引導(dǎo)學(xué)生深入理解反證法的應(yīng)用，通過實際問題分析和小組合作探究，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和證明技巧。教學(xué)內(nèi)容與北師大版選修2-2教材緊密關(guān)聯(lián)，注重實際應(yīng)用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力，使學(xué)生能夠運用反證法進行數(shù)學(xué)證明。

2.提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力，通過實際問題解決反證法的應(yīng)用。

3.強化學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，確保在證明過程中準(zhǔn)確運用數(shù)學(xué)符號和公式。

4.增進學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提高分析問題和解決問題的能力。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了相關(guān)知識：學(xué)生在進入本節(jié)課之前，已具備基本的邏輯推理基礎(chǔ)，能夠進行簡單的數(shù)學(xué)證明。他們熟悉命題、定理、證明的基本概念，并對反證法的基本原理有所了解。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：學(xué)生對數(shù)學(xué)普遍持有一定的興趣，尤其是對解決問題和證明過程有較高的熱情。他們的數(shù)學(xué)能力參差不齊，部分學(xué)生可能在邏輯思維和抽象推理方面較為突出，而另一些學(xué)生可能在運算技巧和符號運用上存在困難。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，有的學(xué)生偏好獨立思考，有的則更傾向于合作學(xué)習(xí)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：學(xué)生在應(yīng)用反證法時可能遇到的困難包括對反證法原理的深入理解、如何構(gòu)造反證法的假設(shè)、如何在證明過程中保持邏輯的嚴(yán)密性等。此外，學(xué)生在面對復(fù)雜問題時，可能會因為缺乏有效的解題策略而感到困惑。這些挑戰(zhàn)需要教師通過恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法和案例引導(dǎo)幫助學(xué)生克服。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有北師大版選修2-2《推理與證明》教材，以便于跟隨課堂內(nèi)容進行學(xué)習(xí)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與反證法相關(guān)的圖片、圖表和視頻等多媒體資源，以幫助學(xué)生直觀理解概念。

3.教學(xué)工具：準(zhǔn)備白板或投影儀，以便展示教學(xué)步驟和關(guān)鍵證明過程。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，以便學(xué)生進行小組合作學(xué)習(xí)；確保教室環(huán)境安靜，有利于學(xué)生集中注意力。教學(xué)過程設(shè)計**時間安排：**總計45分鐘

**一、導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）**

1.**情境創(chuàng)設(shè)**：展示陜西省石泉縣的風(fēng)景圖片，引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。

2.**提出問題**：提出一個與反證法相關(guān)的生活實例，如“證明某個地方不能種植某種作物”，激發(fā)學(xué)生思考。

3.**師生互動**：提問學(xué)生如何證明，引入反證法的概念。

4.**用時**：5分鐘

**二、講授新課（20分鐘）**

1.**反證法原理**：講解反證法的基本原理，包括假設(shè)、推導(dǎo)矛盾、得出結(jié)論等步驟。

2.**案例分析**：分析課本中的典型例題，講解如何構(gòu)造反證法的假設(shè)，如何推導(dǎo)矛盾。

3.**互動提問**：針對案例提出問題，如“為什么這個假設(shè)會導(dǎo)致矛盾？”引導(dǎo)學(xué)生思考。

4.**小組討論**：分組討論如何將反證法應(yīng)用于實際問題，如“證明一個幾何圖形的性質(zhì)”。

5.**用時**：20分鐘

**三、鞏固練習(xí)（15分鐘）**

1.**練習(xí)題展示**：展示幾道與反證法相關(guān)的練習(xí)題，包括基礎(chǔ)題和應(yīng)用題。

2.**學(xué)生獨立完成**：學(xué)生獨立完成練習(xí)題，教師巡視指導(dǎo)。

3.**小組討論**：學(xué)生分組討論練習(xí)題，互相解答疑問。

4.**全班講解**：每組選派代表講解解題思路，其他學(xué)生補充或提問。

5.**用時**：15分鐘

**四、課堂提問（5分鐘）**

1.**回顧概念**：提問學(xué)生反證法的定義和步驟。

2.**難點解析**：提問學(xué)生反證法中可能遇到的難點，如如何構(gòu)造假設(shè)。

3.**應(yīng)用拓展**：提問學(xué)生如何將反證法應(yīng)用于其他學(xué)科領(lǐng)域。

4.**用時**：5分鐘

**五、師生互動環(huán)節(jié)（5分鐘）**

1.**開放式問題**：提出一個開放式問題，如“反證法在數(shù)學(xué)證明中的優(yōu)勢是什么？”

2.**學(xué)生討論**：學(xué)生分組討論，分享各自的觀點。

3.**教師總結(jié)**：教師總結(jié)學(xué)生的討論結(jié)果，強調(diào)反證法的重要性。

4.**用時**：5分鐘

**六、總結(jié)與反思（5分鐘**）

1.**回顧重點**：引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的重點內(nèi)容，包括反證法的原理和應(yīng)用。

2.**反思提升**：鼓勵學(xué)生反思自己在學(xué)習(xí)過程中的收獲和不足。

3.**布置作業(yè)**：布置與反證法相關(guān)的課后作業(yè)，鞏固所學(xué)知識。

4.**用時**：5分鐘

**總計用時：45分鐘**知識點梳理1.反證法的基本概念：

-反證法是一種通過否定命題的結(jié)論，推導(dǎo)出矛盾，從而證明原命題成立的證明方法。

-反證法適用于證明那些直接證明較困難的命題。

2.反證法的基本步驟：

-假設(shè)原命題的否定為真。

-在這個假設(shè)下，通過邏輯推理，導(dǎo)出至少一個明顯矛盾。

-由于矛盾的存在，原假設(shè)不成立，因此原命題成立。

3.反證法在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用：

-構(gòu)造反證法的假設(shè)：根據(jù)命題的內(nèi)容，合理地構(gòu)造出一個與命題結(jié)論相反的假設(shè)。

-推導(dǎo)矛盾：在假設(shè)的前提下，通過一系列邏輯推理，導(dǎo)出一個與已知事實或公理相矛盾的結(jié)論。

-得出結(jié)論：由于矛盾的存在，原假設(shè)不成立，從而證明原命題成立。

4.反證法的優(yōu)點：

-可以避免直接證明中可能遇到的困難。

-在證明過程中，有助于發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，提高邏輯思維能力。

5.反證法的局限性：

-不適用于所有類型的命題，特別是那些結(jié)論可以輕易被直接證明的命題。

-在構(gòu)造假設(shè)和推導(dǎo)矛盾的過程中，可能需要較高的邏輯推理能力。

6.反證法的注意事項：

-在構(gòu)造反證法的假設(shè)時，要確保假設(shè)與原命題結(jié)論相反，且邏輯上成立。

-在推導(dǎo)矛盾的過程中，要嚴(yán)謹(jǐn)、細心，避免出現(xiàn)錯誤。

-反證法的證明過程要清晰、簡潔，便于理解和接受。

7.反證法的實際應(yīng)用案例：

-證明一個幾何圖形的性質(zhì)，如證明三角形的內(nèi)角和為180度。

-證明一個數(shù)學(xué)定理，如費馬大定理。

8.反證法與其他證明方法的關(guān)系：

-反證法是證明方法的一種，與其他證明方法如直接證明、歸納證明等相輔相成。

-在實際應(yīng)用中，可以根據(jù)具體問題選擇合適的證明方法。

9.反證法的學(xué)習(xí)與提高：

-通過大量的練習(xí)，熟悉反證法的應(yīng)用場景和步驟。

-培養(yǎng)邏輯思維能力，提高對數(shù)學(xué)問題的分析和解決能力。

-學(xué)習(xí)借鑒他人的證明方法，豐富自己的證明技巧。教學(xué)反思與改進這節(jié)課下來，我覺得收獲頗豐，但也發(fā)現(xiàn)了一些需要改進的地方。

首先，我覺得導(dǎo)入環(huán)節(jié)的設(shè)計還可以更加生動有趣。雖然我嘗試通過展示石泉縣的風(fēng)景圖片來激發(fā)學(xué)生的興趣，但感覺效果并不理想?？赡苁且驗閳D片與數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)性不夠強，導(dǎo)致學(xué)生的注意力沒有完全集中。接下來，我打算嘗試結(jié)合一些學(xué)生熟悉的日常生活實例，比如使用反證法來解決一些實際問題，這樣可能更容易引起他們的興趣。

其次，在講授新課的過程中，我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對反證法的原理理解不夠透徹。在講解過程中，我可能過于注重邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，而忽略了學(xué)生的接受程度。因此，我計劃在未來的教學(xué)中，更多地采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問和討論，引導(dǎo)學(xué)生逐步理解反證法的核心思想。

在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的參與度不高，有些學(xué)生甚至出現(xiàn)了抄襲現(xiàn)象。這讓我意識到，練習(xí)的設(shè)計需要更加多樣化，既要保證練習(xí)的難度適中，又要能夠激發(fā)學(xué)生的興趣。我打算在未來的教學(xué)中，設(shè)計一些小組合作練習(xí)，讓學(xué)生在合作中學(xué)習(xí)，提高他們的團隊協(xié)作能力和解決問題的能力。

課堂提問環(huán)節(jié)，我發(fā)現(xiàn)有些問題過于簡單，學(xué)生回答得都很順利，沒有達到預(yù)期的效果。同時，有些問題又過于復(fù)雜，學(xué)生無法回答，導(dǎo)致課堂氣氛略顯尷尬。我意識到，課堂提問的設(shè)計需要更加精心，既要考慮學(xué)生的實際水平，又要能夠引導(dǎo)學(xué)生深入思考。

在師生互動環(huán)節(jié)，我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生不太敢于表達自己的觀點。這可能是因為他們對數(shù)學(xué)知識的掌握不夠自信，或者害怕犯錯。我計劃在未來的教學(xué)中，營造一個更加輕松、包容的課堂氛圍，鼓勵學(xué)生積極參與討論，勇于表達自己的觀點。

最后，我認(rèn)為教學(xué)反思是非常重要的環(huán)節(jié)。通過反思，我能夠及時發(fā)現(xiàn)教學(xué)中存在的問題，并制定相應(yīng)的改進措施。在未來的教學(xué)中，我將繼續(xù)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，不斷調(diào)整教學(xué)策略，以提高教學(xué)效果。內(nèi)容邏輯關(guān)系①反證法的基本概念：

-反證法的定義

-反證法的步驟

-反證法的應(yīng)用場景

②反證法的基本步驟：

-假設(shè)原命題的否定為真

-在假設(shè)下推導(dǎo)矛盾

-由于矛盾得出原假設(shè)不成立，原命題成立

③反證法在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用：

-構(gòu)造反證法的假設(shè)

-推導(dǎo)矛盾的過程

-反證法證明的結(jié)論

④反證法的優(yōu)點：

-避免直接證明的困難

-提高邏輯思維能力

-發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)

⑤反證法的局限性：

-不適用于所有類型的命題

-需要較高的邏輯推理能力

⑥反證法的注意事項：

-構(gòu)造假設(shè)的合理性

-推導(dǎo)矛盾的嚴(yán)謹(jǐn)性

-證明過程的清晰性

⑦反證法與其他證明方法的關(guān)系：

-反證法與其他證明方法的互補性

-選擇合適的證明方法

⑧反證法的學(xué)習(xí)與提高：

-大量練習(xí)

-培養(yǎng)邏輯思維能力

-學(xué)習(xí)借鑒他人的證明方法作業(yè)布置與反饋**作業(yè)布置：**

1.**基礎(chǔ)知識鞏固**：完成課本中“反證法（二）”部分的相關(guān)練習(xí)題，包括單選題、填空題和簡答題，共計5題。

-單選題：判斷下列命題是否可以用反證法證明，并說明理由。

-填空題：給出一個可以用反證法證明的命題，并寫出其反證法的步驟。

-簡答題：簡述反證法的基本原理和步驟。

2.**能力提升練習(xí)**：選擇課本中的兩個例題，分別嘗試用反證法進行證明，并與其他證明方法進行比較。

-例題1：證明一個幾何圖形的性質(zhì)。

-例題2：證明一個數(shù)學(xué)定理。

3.**應(yīng)用拓展題**：設(shè)計一個與實際生活相關(guān)的問題，要求學(xué)生運用反證法進行解決。

-問題：假設(shè)某個城市沒有發(fā)生過交通事故，請用反證法證明這個假設(shè)不成立。

**作業(yè)反饋：**

1.**及時批改**：在學(xué)生提交作業(yè)后的第二天，及時進行批改。

2.**詳細反饋**：對每道題目的答案進行詳細批改，指出學(xué)生的正確答案和錯誤答案。

3.**問題指出**：針對學(xué)生在作業(yè)中出現(xiàn)的錯誤，指出具體的問題所在，如概念理解錯誤、邏輯推理錯誤等。

4.**改進建議**：針對每個學(xué)生的作業(yè)，給出具體的改進建議，如如何修改錯誤、如何提高解題技巧等。

5.**個別輔導(dǎo)**：對于作業(yè)中表現(xiàn)不佳的學(xué)生，進行個別輔導(dǎo)，幫助他們理解和掌握反證法。

6.**總結(jié)反饋**：在下一節(jié)課開始時，對上一節(jié)課的作業(yè)進行總結(jié)反饋，讓學(xué)生了解自己的學(xué)習(xí)情況，并鼓勵他們在接下來的學(xué)習(xí)中繼續(xù)努力。課后作業(yè)1.**證明題目**：證明三角形的三邊之和大于任意一邊。

**解題步驟**：

-假設(shè)存在一個三角形ABC，使得AB+BC≤AC。

-根據(jù)三角形的性質(zhì)，三邊之和必須大于第三邊，即AB+BC>AC。

-這與假設(shè)AB+BC≤AC矛盾。

-因此，假設(shè)不成立，原命題成立，即三角形的三邊之和大于任意一邊。

2.**證明題目**：證明在直角三角形中，斜邊長是兩條直角邊長的平方和的平方根。

**解題步驟**：

-設(shè)直角三角形ABC中，∠C為直角，AB為斜邊，AC和BC為直角邊。

-根據(jù)勾股定理，AB2=AC2+BC2。

-對AB2兩邊同時開平方根，得到AB=√(AC2+BC2)。

-因此，斜邊AB是兩條直角邊AC和BC的平方和的平方根。

3.**證明題目**：證明一個等腰三角形的底邊上的高同時也是它的高和中線。

**解題步驟**：

-設(shè)等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底邊BC上的高，同時也是中線。

-因為AD是高，所以∠ADB=∠ADC=90°。

-因為AD是中線，所以BD=DC。

-在直角三角形ADB和ADC中，由于AB=AC，AD=AD（公共邊），∠ADB=∠ADC（都是直角），根據(jù)HL定理（斜邊-直角邊定理），三角形ADB和ADC全等。

-因此，BD=DC，AD是BC的中線，同時也是高。

4.**證明題目**：證明任意四邊形對角線相交的點將四邊形分成面積相等的兩部分。

**解題步驟**：

-設(shè)四邊形ABCD，對角線AC和BD相交于點O。

-考慮三角形AOB、BOC、COD和DOA。

-由于AC和BD是對角線，所以O(shè)A=OC，OB=OD。

-三角形AOB和三角形COD有相同的底邊OB和OC，且高相同（從O點到AB和CD的距離）。

-同理，三角形BOC和三角形DOA也有相同的底邊OC和OD，且高相同。

-因此，三角形AOB、BOC、COD和DOA的面積都相等，所以四邊形ABCD被對角線AC和BD分成的兩個部分面積相等。

5.**證明題目