四川省樂(lè)山市2024年中考數(shù)學(xué)試卷附真題解析

四川省樂(lè)山市2024年中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．1．不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【解答】解：，

∴x＜2.故答案為：A.【分析】直接解一元一次不等式即可得出答案。2．下列文物中，俯視圖是四邊形的是（）A．帶蓋玉柱形器 B．白衣彩陶缽C．鏤空人面覆盆陶器 D．青銅大方鼎【答案】D【解析】【解答】解：A：帶蓋玉柱形器的俯視圖是圓，所以A不符合題意；

B：白衣彩陶的俯視圖是圓，所B不符合題意；

C：鏤空人面覆盆陶器的俯視圖是圓，所C不符合題意；

D：青銅大方鼎的俯視圖是四邊形，所以D符合題意。故答案為：D.【分析】分別判斷各圖案的俯視圖，即可得出答案。3．2023年，樂(lè)山市在餐飲、文旅、體育等服務(wù)消費(fèi)表現(xiàn)亮眼，網(wǎng)絡(luò)零售額突破400億元，居全省地級(jí)市第一．將40000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：40000000000=4×1010故答案為：C.【分析】大于10的科學(xué)記數(shù)法規(guī)范寫(xiě)法為a×10n，其中1≤a＜10，n為比原整數(shù)位少1的整數(shù)，故而得出答案即可。4．下列多邊形中，內(nèi)角和最小的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：四個(gè)選項(xiàng)中，A的邊數(shù)最少，所以A的內(nèi)角和最小。故答案為：A.【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理可知，邊數(shù)越少，內(nèi)角和越小，即可得出答案。5．為了解學(xué)生上學(xué)的交通方式，劉老師在九年級(jí)800名學(xué)生中隨機(jī)抽取了60名進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果制作成如下統(tǒng)計(jì)表，估計(jì)該年級(jí)學(xué)生乘坐公交車(chē)上學(xué)的人數(shù)為（）交通方式公交車(chē)自行車(chē)步行私家車(chē)其它人數(shù)（人）3051582A．100 B．200 C．300 D．400【答案】D【解析】【解答】解：800×=400.故答案為：D.【分析】用樣本頻率估計(jì)總體頻率，即可得出答案。6．如圖，下列條件中不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】【解答】解：A：根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，可判斷得出四邊形ABCD為平行四邊形；

B：根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可判斷得出四邊形ABCD為平行四邊形；

C：根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可判斷得出四邊形ABCD為平行四邊形；

D：如圖，

，，但它不是平行四邊形，所以不能判定ABCD為平行四邊形；故答案為：D.【分析】分別根據(jù)平行四邊形的判定進(jìn)行判斷即可得出答案。7．已知，化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】【解答】解：∵，

∴x-1＞0，x-2＜0，

∴=x-1-(x-2)=x-1-x+2=1.故答案為：B.【分析】首先根據(jù)得出x-1＞0，x-2＜0，然后化簡(jiǎn)即可得出答案。8．若關(guān)于x的一元二次方程兩根為、，且，則p的值為（）A． B． C． D．6【答案】A【解析】【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程兩根為、，

∴x1+x2=-2，x1x2=p，

∴，

∵，

∴，

∴p=故答案為：A.【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=-2，x1x2=p，從而得出，即可得出p=，即可得出答案。9．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：y=x2-2x=（x-1）2-1，

∵1＞0，

∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最小值是-1，

當(dāng)x=-1時(shí)，y=（-1-1）2-1=3，即函數(shù)的最大值為3，

由圖象知圖象上的點(diǎn)（-1，3）關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為：（3，3），

∴1≤t-1≤3，

∴2≤t≤4.故答案為：C.【分析】首先得出函數(shù)的頂點(diǎn)式，從而得出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出圖象上的點(diǎn)（-1，3）關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為：（3，3），從而得出1≤t-1≤3，解得2≤t≤4，即可得出答案。10．如圖2，在菱形ABCD中，，，點(diǎn)P是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在BC延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱(chēng)，連結(jié)DP、AQ交于點(diǎn)M．當(dāng)點(diǎn)P從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BC，做點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q'，連接BD交AQ于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∵P，Q關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱(chēng)，

∴點(diǎn)M在CG上，

∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡就是線段CH，

∵AB=CD=1，

∴CG=1×sin60°=，

∵△AHD∽△Q'BH，

∴，

CH=。故答案為：B.【分析】菱形內(nèi)角為60°必有等邊三角形，又因?yàn)镻，Q關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)M一定在CG上運(yùn)動(dòng)，再把B點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)找出來(lái)，則M運(yùn)動(dòng)路徑就是CH這一段，再進(jìn)行求解即可。二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分．11．計(jì)算：．【答案】3a【解析】【解答】解：a+2a=3a.故答案為：3a.【分析】直接合并同類(lèi)項(xiàng)即可得出答案。12．一名交警在路口隨機(jī)監(jiān)測(cè)了5輛過(guò)往車(chē)輛的速度，分別是：66，57，71，69，58（單位：千米/時(shí)）．那么這5輛車(chē)的速度的中位數(shù)是．【答案】66【解析】【解答】解：這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：57，58，66，69，71，

∴這5輛車(chē)的速度的中位數(shù)是66。故答案為：66.【分析】首先把這一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排序，然后根據(jù)中位數(shù)的定義即可得出答案。13．如圖，兩條平行線a、b被第三條直線c所截．若，那么．【答案】120°【解析】【解答】解：如圖

∵a∥b，

∴∠3=∠1=60°，

∴∠2=180°-∠3=180°-60°=120°。故答案為：120°.首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠3=60°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角定義得出∠2的度數(shù)即可。14．已知，，則．【答案】29【解析】【解答】解：∵，，

∴（a-b）2=9，2ab=20，

∴a2-2ab+b2=9，

∴a2+b2=2ab+9=20+9=29故答案為：29.【分析】首先得出（a-b）2=9，2ab=20，然后根據(jù)平方差公式變形得：a2+b2=2ab+9，即可得出答案。15．如圖，在梯形ABCD中，，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，若，則．【答案】【解析】【解答】解：∵，

∴△AOD∽△COB，

∴，

∵，

，

∴（）2=19故答案為：.【分析】首先根據(jù)等高三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解.

16．定義：函數(shù)圖象上到兩坐標(biāo)軸的距離都小于或等于1的點(diǎn)叫做這個(gè)函數(shù)圖象的“近軸點(diǎn)”．例如，點(diǎn)是函數(shù)圖象的“近軸點(diǎn)”．（1）下列三個(gè)函數(shù)的圖象上存在“近軸點(diǎn)”的是（填序號(hào)）；①；②；③．（2）若一次函數(shù)圖象上存在“近軸點(diǎn)”，則m的取值范圍為．【答案】（1）③（2）【解析】【解答】解：（1）①當(dāng)x=0時(shí)，y=3；當(dāng)y=0時(shí)，x=3，直線y=-x+3與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為（0，3）和（3，0），所以①上不存在“近軸點(diǎn)”；②因?yàn)?＞0，所以y隨x的增大而減小，x=1時(shí)，y=2，x=2時(shí)y=1，所以圖像上不存在“近軸點(diǎn)”；③當(dāng)x=1時(shí)，y=0，所以圖象上有“近軸點(diǎn)”。

故答案為：③；

（2）一次函數(shù)經(jīng)過(guò)（3，0），

分兩種情況：當(dāng)m＜0時(shí)，如圖1，

當(dāng)x=1時(shí)，y=m-3m=-2m，

∵一次函數(shù)圖象上存在“近軸點(diǎn)”，

∴-1≤-2m＜0，

∴0＜m≤；

當(dāng)m＞0時(shí)，如圖2，

可得：0≤-2m＜1，

∴

故答案為：0＜m≤或?！痉治觥浚?）分別計(jì)算各函數(shù)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)與增減性結(jié)合，即可得出答案；

（2）分兩種的情況：m＞0或m＜0，分別畫(huà)圖，計(jì)算邊界點(diǎn)即可解答。三、解答題：本大題共10個(gè)小題，共102分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17．計(jì)算：．【答案】解：原式．【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，零整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)和算術(shù)平方根進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再進(jìn)行加減運(yùn)算即可。18．解方程組：【答案】解：①+②，得，解得．將代入①，得．∴．【解析】【分析】根據(jù)加減消元法解二元一次方程組即可.19．如圖，AB是的平分線，，求證：．【答案】證明：∵AB是的平分線，∴．∴在和中，，，，∴（SAS）∴【解析】【分析】首先根據(jù)SAS證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出．20．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．小樂(lè)同學(xué)的計(jì)算過(guò)程如下：解：…①…②…③…④…⑤當(dāng)時(shí)，原式．（1）小樂(lè)同學(xué)的解答過(guò)程中，第步開(kāi)始出現(xiàn)了錯(cuò)誤；（2）請(qǐng)幫助小樂(lè)同學(xué)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【答案】（1）③（2）解：．當(dāng)時(shí)，原式．【解析】【解答】解：（1）第三步出現(xiàn)了錯(cuò)誤，正確的應(yīng)該是：…③

故答案為：③；

【分析】（1）根據(jù)分式的運(yùn)算法則，逐步檢查即可得出答案；

（2）根據(jù)異分母分式的加減法，首先進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再代入求值即可。

21．樂(lè)山作為聞名世界的文化旅游勝地，吸引了大量游客．為更好地提升服務(wù)質(zhì)量，某旅行社隨機(jī)調(diào)查了部分游客對(duì)四種美食的喜好情況（每人限選一種），并將調(diào)查結(jié)果繪制成統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示．根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）本次抽取的游客總?cè)藬?shù)為人，扇形統(tǒng)計(jì)圖中m的值為；（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）旅行社推出每人可免費(fèi)品嘗兩種美食的活動(dòng)，某游客從上述4種美食中隨機(jī)選擇兩種，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求選到“缽缽雞和蹺腳牛肉”的概率．【答案】（1）240；35（2）解：如下圖所示．（3）解：記A：麻辣燙，B：蹺腳牛肉，C：缽缽雞，D：甜皮鴨．由題可得樹(shù)狀圖：P（選到“缽缽雞和蹺腳牛肉”）．【解析】【解答】解：（1）本次抽取的游客總?cè)藬?shù)為：72÷30%=240；

缽缽雞所占的比例為：，所以m=35，；

故第1空答案為：240；第2空答案為：35；

（2）240-(48+72+84)=36，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示；

【分析】（1）蹺腳牛肉的人數(shù)除以它對(duì)應(yīng)的百分?jǐn)?shù)，即可得出抽取的游客總?cè)藬?shù)；用缽缽雞人數(shù)除以總?cè)藬?shù)，再乘100%，即可得出缽缽雞所占的百分比，即可得出m的值；

（2）從總?cè)藬?shù)里邊減去喜好其他三種美食人數(shù)，即可得出喜好甜皮鴨的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；

（3）首先用樹(shù)狀圖分析所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果，然后分析得出所關(guān)注事件的結(jié)果，再根據(jù)概率計(jì)算公式，求得關(guān)注事件概率即可。22．如圖，已知點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，過(guò)點(diǎn)A的一次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)．（1）求m、n的值和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連結(jié)AB，求點(diǎn)C到線段AB的距離．【答案】（1）解：∵點(diǎn)、在反比例函數(shù)圖象上，∴，．又∵一次函數(shù)過(guò)點(diǎn)，，∴解得∴一次函數(shù)表達(dá)式為．（2）解：如圖，連結(jié)BC．過(guò)點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)E．∵，，∴軸，．∴點(diǎn)，，．在中，．又∵，即，∴，即點(diǎn)C到線段AB的距離為．【解析】【分析】（1）首先根據(jù)反比例函數(shù)解析式，可求得m，n的值；然后再根據(jù)點(diǎn)A，C的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖，連結(jié)BC，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)E．首先根據(jù)點(diǎn)，，可得出軸，，進(jìn)一步即可得出點(diǎn)，在中，根據(jù)勾股定理得出．然后根據(jù)面積法，即可求出點(diǎn)C到線段AB的距離．23．我國(guó)明朝數(shù)學(xué)家程大位寫(xiě)過(guò)一本數(shù)學(xué)著作《直指算法統(tǒng)宗》，其中有一道與蕩秋千有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題是使用《西江月》詞牌寫(xiě)的：平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？詞寫(xiě)得很優(yōu)美，翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)的大意是：有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推進(jìn)10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺．（假設(shè)秋千的繩索拉的很直）（1）如圖1，請(qǐng)你根據(jù)詞意計(jì)算秋千繩索OA的長(zhǎng)度；（2）如圖2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置釋放，秋千擺動(dòng)到另一側(cè)與豎直方向夾角為β的地方，兩次位置的高度差．根據(jù)上述條件能否求出秋千繩索OA的長(zhǎng)度？如果能，請(qǐng)用含α、β和h的式子表示；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)B．設(shè)秋千繩索的長(zhǎng)度為x尺．由題可知，，，，∴．在中，由勾股定理得：∴．解得．答：秋千繩索的長(zhǎng)度為14.5尺（2）解：能．由題可知，，．在中，同理，．∵，∴．∴．24．如圖，是的外接圓，AB為直徑，過(guò)點(diǎn)C作的切線CD交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）若EF垂直平分OB，，求陰影部分的面積．【答案】（1）解：如圖，連結(jié)OC．∵CD為的切線，點(diǎn)C在上，∴，即．又∵AB為直徑，∴，即．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．（2）解：連結(jié)OE、BE．∵EF垂直平分OB，∴．又∵，∴為等邊三角形．∴，．∵，∴．∵，∴．又∵，∴．∵，∴為等邊三角形．∴，．∴．∴．∴．∴．∴．又∵，∴．25．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們稱(chēng)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)為“完美點(diǎn)”．拋物線（a為常數(shù)且）與y軸交于點(diǎn)A．（1）若，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若線段OA（含端點(diǎn)）上的“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，求a的取值范圍；（3）若拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，線段MN與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，求a的取值范圍．【答案】（1）解：當(dāng)時(shí)，拋物線．∴頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）解：由題可知．∵線段OA上的“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，∴“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4個(gè)或5個(gè)．∴當(dāng)“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為4個(gè)時(shí)，分別為，，，；當(dāng)“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)為5個(gè)時(shí)，分別為，，，，．∴．∴a的取值范圍是．（3）解：易知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)，，．顯然，“完美點(diǎn)”，，符合題意．下面討論拋物線經(jīng)過(guò)，的兩種情況：①當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)時(shí)，解得此時(shí)，，，．如圖所示，滿(mǎn)足題意的“完美點(diǎn)”有，，，，共4個(gè)．②當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)時(shí)，解得此時(shí)，，，．如圖所示，滿(mǎn)足題意的“完美點(diǎn)”有，，，，，，共6個(gè)．∴a的取值范圍是．【解析】【分析】（1）把a(bǔ)=1代入中，并轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，即可得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）由解析式得出拋物線與Y軸的交點(diǎn)A（0，2a），根據(jù)線段OA上的“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，即可得出“完美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4個(gè)或5個(gè)，分別得出“完美點(diǎn)”的坐標(biāo)，即可得出．解得a的取值范圍是；

（3）首先分類(lèi)討論得出完美點(diǎn)的坐標(biāo)，①當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)時(shí)，解得；②當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)時(shí)，解得，可得a的取值范圍是．26．在一堂平面幾何專(zhuān)題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問(wèn)題：（1）【問(wèn)題情境】如圖10.1，在中，，，點(diǎn)D、E在邊BC上，且，，，求DE的長(zhǎng)．解：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連結(jié)．由旋轉(zhuǎn)的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴①▲．∴．又∵，∴在中，②▲．∵，，∴③▲．【問(wèn)題解決】上述問(wèn)題情境中，“①”處應(yīng)填：；“②”處應(yīng)填：；“③”處應(yīng)填：．（2）劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬(wàn)變．【知識(shí)遷移】如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，滿(mǎn)足的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的周長(zhǎng)的一半，連結(jié)AE、AF，分別與對(duì)角線BD交于M、N兩點(diǎn)．探究BM、MN、DN的數(shù)量關(guān)系并證明．（3）【拓展應(yīng)用】如圖4，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且．探究BE、EF、DF的數(shù)量關(guān)系：（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）．（4）【問(wèn)題再探】如圖5，在中，，，，點(diǎn)D、E在邊AC上，且．設(shè)，，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．【答案】（1）；；5（2）解：證明：如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到．過(guò)點(diǎn)D作交邊于點(diǎn)H，連結(jié)NH．由旋轉(zhuǎn)的特征得，，．由題意得，∴．在和中，，，，∴（SSS）．∴．又∵BD為正方形ABCD的對(duì)角線，∴．∵，∴．在和中，，，，∴（ASA）．∴，．在和中，，，，∴（SAS）．∴．在中，，∴．（3）（4）解：如圖，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到，連結(jié)．過(guò)點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)D作交AB于點(diǎn)H，、DF交于點(diǎn)F．由旋轉(zhuǎn)的特征得，，，．∵，，∴．∴，，即．在和中，，，，∴（SAS）．∵，，，∴．又∵，，∴．∵，∴，．∴．∴，即，．