高中數(shù)學(xué)必修+選修全部知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

必修4數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

第一章：三角函數(shù)

§144、任意角

1、正角、負(fù)角、零角、象限角的概念.

2、與角a終邊相同的角的集合:

1|b=a+2Ap,左ez）

§m盤、弧度制

1、把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.

2'?iai

=〃PR=IL

3、弧長(zhǎng)公式:I]80卜卜.

npR2i

4、扇形面積公式：$==出2

-----------35（r―

§柱卜任意角的三角函數(shù)

aP（x,y）zsina=y,cosa=x,tana=>

1、設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，那么：

~x

2、設(shè)點(diǎn)A（x，丁）為角a終邊上任意一點(diǎn)，那么：（設(shè)廠=廣寸）

y%y%

sina=r,cosa=r,tana=x,cota=y

3、sina,COSa,tana在四個(gè)象限的符號(hào)和三角函數(shù)線的畫法.

正弦線：MP；

余弦線：0M;

正切線：AT

5、特殊角0°,特。，45°,60°,

90°,180°,270等的三角函數(shù)值.

0

P32P

?p2P_31P

ap,PI1~T~4F

~6N

sina（&

iana

§i-i-i同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

1、平方關(guān)系：sin2cos21

a+a=

sin

dQ

3、倒數(shù)關(guān)系：tanacota=1

§L3、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

(概括為奇變以幾變”■考看J瓶"keZ)

1、誘導(dǎo)公式一:

sin(a+2左p)=sina,

cos(a+2左p)=cosa,(其中：％EZ)

tan(a+2左p)=tana.

2、誘導(dǎo)公式二：

"I""),

sinp+a=-sma,

cosip+a)=—cosa,

tan(p+a)=tana.

3、誘導(dǎo)公式三：

sin(-a)=-sina,

cosJa)=cosa,

tan(-a)=_tana.

4、誘導(dǎo)公式四：

sin(p-a)=sina,

cosG-a)=-cosa,

tan(p-a)=-tana.

5、誘導(dǎo)公式五:

sin/P-a1=cosa,

UJ

(pY.

cos|-a|=sma.

UJ

6、誘導(dǎo)公式六：

sin「P+a)=cosa,

a；

cosHP+a'b-sina.

UJ

§1.4.1,正弦、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)

1、記住正弦、余弦函數(shù)圖象：

單調(diào)性、周期性.

3、會(huì)用五點(diǎn)法作圖.

P3P

y=sinx在xw[0,2p]上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為：（°，°），（/）,（p,°）,（金),").

§143、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、記住正切函數(shù)的圖象:

2、能夠?qū)φ請(qǐng)D象講出正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、值域、對(duì)稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性.

周期函數(shù)定義：對(duì)于函數(shù)/6），如果存在Y非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，者陪

/G+T）=/G）,那么函數(shù)/G）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

圖表歸納：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像及其性質(zhì)

y=sinxy=cosxy=tanX

ikV.

yy

O32?

/?\JI22兀

\兀2??27d/3x1X

圖象0\1-147771

0X；/X

定義域RR[x\x^+kp,kEZ}

)

值域[-1,1][-1,1]R

p

%=2?+一,左eZ時(shí)，y=1

2maxx=2kp,keZ時(shí)，y=1

最值max無(wú)

%=2Ap+p,Z￡Z時(shí)，y=-l

Emin

X=2kp—2,kGZ時(shí)，＞min=-1

周期性T=T=T=

奇偶性2p2pp奇

奇偶

在---------上單調(diào)遞增在［2你-p,2綠］上單調(diào)遞增

在(左p_p，即+p)上單調(diào)遞增

單調(diào)性在戌斗

kGZ22

［2即+j2即+「上單調(diào)遞減在［2碌,2兆+P］上單調(diào)遞減

22

P對(duì)稱軸方程：X=無(wú)對(duì)稱

對(duì)稱性對(duì)稱軸方程：兄=和+

kp對(duì)稱中心軸對(duì)稱中,0)

kEZ對(duì)稱中心儂,0)2

心(kp

0)2

§1.5、函數(shù)>=Asin(wx+j)的圖象

1、對(duì)于函數(shù)：On

y=Asin(wx+f)+5(A>0,w>0)有：振幅A,周期T=—，初相j,相位w》+j,頻率=工

W72P

2、能夠講出函數(shù)y=sinX的圖象與

y=Asin(wx+j)+B的圖象之間的平移伸縮變換關(guān)系.

①先平移后伸縮：

y=sinx平移|j|個(gè)單位?=sin(%+j)

--------------------b>

(左加右減)

V=Asin(呼j)

巫標(biāo)'不.

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍

-----縱坐標(biāo)不變-----?y=Asin(wx+j)

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1-1倍

W

年彩1目本的伯卜)=Asin(wx+j)+B

(上加下減)

②先伸縮后平移：

y=sinx橫比標(biāo)不變.7=Asinx

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍

—縱坐標(biāo)不二_?一sinwx

1

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1-1倍

W.

平移L個(gè)單位y=AinwW

?()

(左加右減)

平談【均個(gè)單住,1=《in(wx+j)+B

(上加下減)

3、三角函數(shù)的周期，對(duì)稱軸和對(duì)稱中心9n

函數(shù)y=sin(wx+j),xGR及函數(shù)y=cos(w%+j),xGR(A,w,J為常數(shù)，目AWO)的周期T="函數(shù)

|w|

>=tan(wx+j)P

x^kp+—，kqZ0,3」為常數(shù)，且人。0)的周期T=—.

2

對(duì)于y=Asin(wx+j)和y=ACos(wx+j)來(lái)說，對(duì)稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對(duì)稱軸與最值點(diǎn)聯(lián)系

“p

求函數(shù)y=Asin(wx+j)圖像的對(duì)稱軸與對(duì)稱中心，只需令w》+j=迎+_(%6Z)與w%+j=和/eZ)

解出了即可.余弦函數(shù)可與正弦函數(shù)類比可得.

4、由圖像確定三角函磬的解析式+

利用圖像特征：A=max-^mjnB=^max?

2,2—?**-.

w要根據(jù)周期來(lái)求,j要用圖像的關(guān)鍵點(diǎn)來(lái)求.

§L6、三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用

1、要求熟悉課本例題.

第三章、三角恒等變換

§3.1.1、兩角差的余弦公式

記住15°的三角函數(shù)值：

asinacosatana

■4■五.2-^3

E44

§3.1.2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

1、sin(a+b)=sinacosb+cosasin

b2、sinva-b7=sinacosb-cosasin

b3、cos(a+b)=cosacosb-sinasin

b

4、cos(a—b)=cosacosb+sinasinb

+Lb)罌牌^

-t曲(ab)R；nb

1+tanatanD

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、sin2a=2sinacosa,

變形：sinacosa=1sin2a.

---------?2

22

2、cos2a=cosa-sina

2

=2cosa-1

=1-2sin2a.

變形科下：_

+

----------Ilcos8a=2cos2a

升易公式：\

[1-cos2a=2sin2a

I-

rcos?(1cos2J

降累公式：4.=2+

1sin1(1cos2)

I2a=——a

Z

-2-

3、tiano2oa=---2--t-a--n-a---.

1-tan2a

_sin2a_1-cos2a

4、tana--------------------------

1+cos2asin2a

§3.2、簡(jiǎn)單的三角恒等變換

1、注意正切化弦、平方降次.

爰、輔助角公式

y=〃sin%+bcos%+Z?2sin（x+j）

（其中輔助角）所在象限由點(diǎn)（。,3的象限決定但門='_）.

a

直線與方程

7y-y

1、傾斜角與斜率：％=tana=?！猧

二A：-X

21

2、直線方程?(、

⑴點(diǎn)斜式：一工/

00

⑵斜截式：y=kx+b

⑶兩點(diǎn)式：y乂=2一4

X-XX-X

121

%y1

⑷截距式：一+丁二

ab

⑸一般式：Ax+By+C=0

3、對(duì)于直線：

I：y=kx+b,I:+b有：

111222

⑴/〃/0口=勺；

12b手b

112

(2)1和/相交ok手k；

1212

⑶/和/重合合匕=9

12\b=b

l12

⑷/1Zokk=」.

1212

4、對(duì)于直線;

-3-

I:Ax+By+C=0,

?iii有:

，2:人2x+B?y+Co=0

fAB=AB

(1)///I=1221.

12\BCC'

I1221

⑵/和/相交oAB^AB.

I21221

(AB=AB

⑶/和/重合U>41221.

12\BC=BC

(1221

⑷/1/oAA+BB=°.

121212

5、兩點(diǎn)間距離公式：

匕。I=JU-x>+G-y>

6、點(diǎn)到直線距離公式：

〃一”+叫+q

J—2+B2

7、兩平行線間的俳離公式：

id

h：+By+Ci=0與，2：Ax+By+C2=0平行，則d=JA2+Bz

-2-

第四章：圓與方程

1、圓的方程：(}()

⑴標(biāo)準(zhǔn)方程：x-a+y-b=r

其中圓心為(a,力，半徑為J

22

⑵一般方程：X+y+Dx+Ey+F=o.

DEi__________

其中圓心為(__，___)，半徑為廠=-^D24-E2-4F,

222

2、直線與圓的位置關(guān)系

直線Ax+By+C=0與圓(x—Q)2+(y—b)2="2的位置關(guān)系有三種:

d〉ro相離=A<0；

d=r0相切0A=0；

d<r=相交=A>0.

弦長(zhǎng)公式:I=2jr?—_

=而_x)2_4xx

3、兩圓位置關(guān)系：d=p0?

-------------------------12

⑴外離：d>R+r.

⑵外切：d=R+r.

⑶相交：R-r<d<R+r.

⑷內(nèi)切：d=R—r.

⑸內(nèi)含：d<R-r,

3、空間中兩點(diǎn)間距離公式：

|{今|={履2-X]]+(%—.}+I.—Z]}

-3-

專題二：圓錐曲線與方程

1.橢圓

焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在y軸上

s

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程蘭+￡=1（"人。）—+^-=1（。>^>0）

Q242bi

第一定義到兩定點(diǎn)F、F的距離之和等于常數(shù)2",即屈|+\MF|=2a（2?>|FF1）

121212

ivir

與一定點(diǎn)的距離和到一定直線的距離之比為常數(shù)e,即=e（O<e<1）

第二定義

~d~

范圍且一

A（-。,0）、A（a,0）A（0,-。）、A（o,a）

1212

頂點(diǎn)

B（。，㈤、B（0,b）BQAo）、B（久0）

1212

軸長(zhǎng)軸的長(zhǎng)=2。短軸的長(zhǎng)=

長(zhǎng)對(duì)2b關(guān)于X軸、V軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中

心刈稱

稱性

丁（二八、廠，二八、丁（c二、F（一、

焦點(diǎn)12V

fAn\

焦距FF

e二R

卜2f.1—%（0<e<1）

離心率

aaiaiai

02ai

準(zhǔn)線萬(wàn)桂X—士:y=±C

1\

焦半徑左焦半徑：MF=〃+幺下焦半徑：MF=aey

101i

M{xy\,11。0

上徐邛久.「八L屆邛久

，|~|，、、、||MFVt-??/V_1__*八、、||_L^?MFVT?/

2020

〃仁/互入〃口）

焦晶二用形回枳vctanq

△MF\2012

過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：?m'Lk

通徑

Cl

1

1

IIJ-?

（焦點(diǎn)）肱長(zhǎng)公式--------------八（充y）；4（無(wú)y>二_17k?無(wú)—x（元一元）2一4元元---------------

1,12,2121212

-2-

2.雙曲線

住隹出在丫抽卜

隹占的侍罟、、、I-L-qH—L

圖形―—J

/T\

X2yi

標(biāo)準(zhǔn)方程=1(?>0,/?>0)?X2=1(“〉0力>0)

02biaibi

第一定義到兩定點(diǎn)歹、廠的總巨離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)，即|_|對(duì)尸||=2"（0<2。<|尸尸|）

122a、.___j212

MF

削一定直線的距離之比為常數(shù)e,即_=e（e〉1）

第二定義與一定點(diǎn)的距離和二

d

范x<-ai或y&Ryw—a或eR

用\(anAAnAAfo\

國(guó)A,u）、八J9

A1\J、2t/

頂點(diǎn)

aAnu—Z7

軸實(shí)軸的長(zhǎng)=2。虛軸的長(zhǎng)=2》關(guān)

長(zhǎng)對(duì)于X軸、y軸對(duì)稱，：先于原點(diǎn)中心對(duì)稱

稱性

F(_c,0)、尸(c,0|)IF(0,-c),F(oc)

焦點(diǎn)

12r112

焦距FT=Ec(C2=q+3)

e---“

離心率一=1+，仁〉1）

aa2a2〃2

,b土卜

V二目xd=

漸近線方程a

\=+〃在上支j左焦飛卜：

左焦：MFexa

M在右支《0

右焦：l=ey-a

焦半徑L右焦:MF\=ex-aA/FI

M（xy）2[=_0-*I21__0_

0.0左焦：MFexa.,,左焦：MFeya

i以在左支q1o，”在卜支R10

［右焦：MF=-ex+a—1右焦：MF=-ey+a

20I20

<,q

焦點(diǎn)三角形面積SR*cot(q="「,_

2b7

過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：HH'二

a

-3-

3.拋物線

圖形1寺a