2024-2025學(xué)年河北省石家莊四十四中八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2024-2025學(xué)年河北省石家莊四十四中八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）交通安全不僅是對自己生命的尊重，也是對他人的尊重，每一個(gè)交通參與者的行為都會影響到其他人的安全，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）對于實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，則4※6的結(jié)果有（）A．平方根 B．算術(shù)平方根 C．立方根2 D．立方根﹣23．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，按照要求進(jìn)行尺規(guī)作圖，若△ACG的面積是4，則BG＝（）A．2 B．3 C．4 D．54．（3分）正方形代表著符合、安寧、穩(wěn)固、安全和平等，它們是熟悉的和值得信任的形狀，若某正方形的面積為11，估計(jì)m的值所在的范圍是（）A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜55．（3分）如圖是一個(gè)中心對稱圖形，A為對稱中心，若∠C＝90°，AC＝2，則BB′的長為（）A．8 B． C．4 D．6．（3分）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)M表示的數(shù)不可能是（）A． B． C． D．7．（3分）下列說法中，正確的是（）A．校門口的自動伸縮柵欄門的原理是三角形穩(wěn)定性 B．“若a＞b，則|a|＞|b|”的逆命題是真命題 C．將分式中的x，y的值都變?yōu)樵瓉淼?倍，分式的值不變 D．用反證法證明“在△ABC中，∠A≠∠B．則AC≠BC”．應(yīng)先假設(shè)“∠A＝∠B”8．（3分）某學(xué)校進(jìn)行根式運(yùn)算大賽，其中一道題為，下列計(jì)算步驟正確的是（）A．＝0.3 B． C． D．9．（3分）下列說法中，錯(cuò)誤的有（）①9的平方根是3；②是8的算術(shù)平方根；③﹣8的立方根為±2；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．（3分）如圖，OC為∠AOB內(nèi)部一條射線，點(diǎn)D為射線OC上一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為射線OA，若△DEF周長的最小值為2，則∠AOB＝（）A．30° B．45° C．60° D．35°11．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，b，c在下列條件中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）①a2+b2＝c2；②∠A：∠B：∠C＝1：1：2；③；④∠A＝∠B＝∠C．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)12．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝20cm，∠B＝60°，有一動點(diǎn)M自A向B以1cm/s的速度運(yùn)動，若M，N同時(shí)分別從A，△BMN為直角三角形，則t＝（）A．6s或10s B．4s或10s C．4s或8s D．6s或8s二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分，把答案寫在題中橫線上）13．（3分）科技人員在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)需要將數(shù)據(jù)3.25136精確到十分位，他得到近似數(shù)為．14．（3分）在初中數(shù)學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用非常廣泛，不僅在數(shù)學(xué)內(nèi)部有著重要的地位、而且在其他學(xué)科和實(shí)際生活中也有著廣泛的應(yīng)用，請你比較大?。ㄟx填“＞”“＜”或“＝”）．15．（3分）已知分式（m，n為常數(shù)）滿足表格中的信息，則a＝．x的取值﹣23a分式的值無意義0116．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動（D不與B、C重合），連接AD，DE交線段AC于點(diǎn)E，在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，∠BDA＝．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（7分）老師讓小玲和小靜到黑板上分別解方程，兩人解題過程如下：小玲：解：去分母，得x﹣（x﹣2）＝x﹣3去括號，得x﹣x+2＝x﹣3合并同類項(xiàng)，得2＝x﹣3解得x＝5經(jīng)檢驗(yàn)x＝5是原方程的解∴原方程的解是x＝5小靜：解：去分母，得x+（x﹣2）＝1去括號，得x+x﹣2＝1合并同類項(xiàng)，得2x﹣2＝1解得經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解∴原方程的解是（1）你認(rèn)為她們的解法是否正確？若錯(cuò)誤，請寫出你的解答過程；（2）小夏解方程時(shí)把方程抄成，若此方程有增根，求m值．18．（8分）計(jì)算是數(shù)學(xué)知識中的重要內(nèi)容之一，數(shù)學(xué)計(jì)算能力是一項(xiàng)基本的數(shù)學(xué)能力，計(jì)算能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的重要基礎(chǔ)（1）；（2）．19．（8分）已知：a、b、c滿足．（1）求a、b、c的值；（2）某城市建造一條三角形的閉環(huán)賽車跑道，這個(gè)三角形的三邊長度為a、b、c，請計(jì)算該跑道占地面積．20．（8分）先化簡，再求值：，其中，就分式化簡時(shí)需要注意的事項(xiàng)給同學(xué)們提一條建議．21．（9分）中國天文傳統(tǒng)之一，就是“立表測影”，當(dāng)用來觀察季節(jié)或時(shí)間時(shí)：首先“立表”，其次是放置與之垂直的圭尺，第三是觀察正午日影在圭尺上“勾”出的日影長度，在△ABC中，∠B＝90°，MD⊥AC．（1）若“表”AB＝6，AC＝10，求CM的長；（2）連接BD，若AM＝CM，判斷△ABD的形狀22．（9分）在△ABC和△APD中，AB＝AC，AP＝AD，點(diǎn)B、C、P三點(diǎn)共線，連接CD．（1）求證：△ABP≌△ACD；（2）求證：∠PDC＝∠PAC；（3）若AB∥CD，AC＝PC＝2，則四邊形ACPD的面積為．23．（11分）某服裝店預(yù)測某款服裝會暢銷，用18000元購進(jìn)這款服裝，面市后果然供不應(yīng)求，第二批的單價(jià)比第一批貴20元，數(shù)量比第一批增加50%．（1）第一批服裝進(jìn)貨單價(jià)多少元？（2）若兩次購進(jìn)服裝按同一價(jià)格銷售，兩批全部售完后，獲利不少于12000元24．（12分）【方法初探】截長補(bǔ)短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．問題：如圖1，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，求證：∠B＝2∠C．解題思路：我們可以采用“截長補(bǔ)短法”解決該問題，如圖2，輔助線做法在CD上截取DE＝DB，從而證明出結(jié)論．請你根據(jù)上述解題思路，寫出證明過程．【方法應(yīng)用】如圖3，已知：等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，交BC邊于點(diǎn)D．求證：AC＝AB+BD．【實(shí)際應(yīng)用】如圖4，在四邊形ABCD中，已知∠BAD＝50°，∠ACD＝45°，∠BCA＝85°，AD＝12，EB＝3．

2024-2025學(xué)年河北省石家莊四十四中八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）題號1234567891011答案DDACABCBCAC題號12答案B一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）交通安全不僅是對自己生命的尊重，也是對他人的尊重，每一個(gè)交通參與者的行為都會影響到其他人的安全，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形可得答案．【解答】解：選項(xiàng)D的交通標(biāo)志能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對稱圖形，選項(xiàng)A、B、C的交通標(biāo)志均不能找到這樣的一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合．故選：D．2．（3分）對于實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算“※”如下：a※b＝a2﹣ab，則4※6的結(jié)果有（）A．平方根 B．算術(shù)平方根 C．立方根2 D．立方根﹣2【分析】先根據(jù)已知條件中的新定義，求出4※6，再進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵a※b＝a2﹣ab，∴4※6＝42﹣6×6＝16﹣24＝﹣8，∴3※6的結(jié)果有立方根﹣2，故選：D．3．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，按照要求進(jìn)行尺規(guī)作圖，若△ACG的面積是4，則BG＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】過點(diǎn)G作GH⊥AC于點(diǎn)H，由作圖痕跡可知，AG為∠BAC的平分線，可得GH＝BG．由已知條件可得，則GH＝2，即BG＝2．【解答】解：過點(diǎn)G作GH⊥AC于點(diǎn)H，由作圖痕跡可知，AG為∠BAC的平分線，∵∠B＝90°，∴GH＝BG．∵△ACG的面積是4，AC＝4，∴，∴GH＝4，∴BG＝2．故選：A．4．（3分）正方形代表著符合、安寧、穩(wěn)固、安全和平等，它們是熟悉的和值得信任的形狀，若某正方形的面積為11，估計(jì)m的值所在的范圍是（）A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5【分析】由題意得m＝，然后利用夾逼法估算其大小即可．【解答】解：∵某正方形的面積為11，它的邊長為m，∴m＝，∵9＜11＜16，∴3＜＜4，即3＜m＜4，故選：C．5．（3分）如圖是一個(gè)中心對稱圖形，A為對稱中心，若∠C＝90°，AC＝2，則BB′的長為（）A．8 B． C．4 D．【分析】在直角△ABC中，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求得AB，依據(jù)中心對稱可得BB′＝2AB，據(jù)此即可求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠B＝30°，∵AC＝2，∴AB＝2AC＝2，∵B與B'關(guān)于A中心對稱，∴BB′＝2AB＝8．故選：A．6．（3分）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)M表示的數(shù)不可能是（）A． B． C． D．【分析】判斷各個(gè)選項(xiàng)中數(shù)的取值范圍即可．【解答】解：∵＜＜，∴2＜＜4，∴點(diǎn)M表示的數(shù)可能是，∴A不符合題意；＝﹣1，∵＜＜，∴4＜＜6，∴3＜﹣1＜4，∴點(diǎn)M表示的數(shù)不可能是，∴B符合題意；∵＜＜，∴2＜＜3，∴點(diǎn)M表示的數(shù)可能是，∴C不符合題意；∵3＜π＜8，∴2＜π＜，∵＜3，∴2＜π＜2，∴點(diǎn)M表示的數(shù)可能是π，∴D不符合題意．故選：B．7．（3分）下列說法中，正確的是（）A．校門口的自動伸縮柵欄門的原理是三角形穩(wěn)定性 B．“若a＞b，則|a|＞|b|”的逆命題是真命題 C．將分式中的x，y的值都變?yōu)樵瓉淼?倍，分式的值不變 D．用反證法證明“在△ABC中，∠A≠∠B．則AC≠BC”．應(yīng)先假設(shè)“∠A＝∠B”【分析】A、根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性解決問題；B、首先確定逆命題，然后找出反例即可求解；C、利用分式的基本性質(zhì)解決問題；D、利用反證法的定義解決問題．【解答】解：A、校門口的自動伸縮柵欄門的原理是四邊形的不穩(wěn)定性；B、“若a＞b，則a＞b”，b＝1時(shí)是假命題；C、將分式，y的值都變?yōu)樵瓉淼?倍＝，分式的值不變；D、反證法證明命題：“在△ABC中，則AC≠BC”，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．8．（3分）某學(xué)校進(jìn)行根式運(yùn)算大賽，其中一道題為，下列計(jì)算步驟正確的是（）A．＝0.3 B． C． D．【分析】利用二次根式的混合運(yùn)算的法則分別計(jì)算后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：A、＝＝，故A錯(cuò)誤；B、＝＝，故B正確；C、﹣不能再進(jìn)一步運(yùn)算，不符合題意；D、＝＝，故D錯(cuò)誤．故選：B．9．（3分）下列說法中，錯(cuò)誤的有（）①9的平方根是3；②是8的算術(shù)平方根；③﹣8的立方根為±2；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)立方根，平方根及算術(shù)平方根的定義逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：9的平方根是±3，則①錯(cuò)誤，3是8的算術(shù)平方根，﹣4的立方根為﹣2，則③錯(cuò)誤，＝﹣5，綜上，錯(cuò)誤的有3個(gè)，故選：C．10．（3分）如圖，OC為∠AOB內(nèi)部一條射線，點(diǎn)D為射線OC上一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為射線OA，若△DEF周長的最小值為2，則∠AOB＝（）A．30° B．45° C．60° D．35°【分析】作點(diǎn)D關(guān)于OA的對稱點(diǎn)P，點(diǎn)D關(guān)于OB的對稱點(diǎn)Q，連接PQ，與OA的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，與OB的交點(diǎn)即為點(diǎn)F，則此時(shí)E、F符合題意．【解答】解：作點(diǎn)D關(guān)于OA的對稱點(diǎn)P，點(diǎn)D關(guān)于OB的對稱點(diǎn)Q，與OA的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，與OB的交點(diǎn)即為點(diǎn)F，則△DEF的最小周長為DE+EF+QF＝PE+EF+QF＝PQ＝2，∴△OPQ是等邊三角形，∴∠POQ＝60°，∵點(diǎn)D關(guān)于OA的對稱點(diǎn)P，點(diǎn)D關(guān)于OB的對稱點(diǎn)Q，∴AOC＝∠AOP，∠BOC＝∠BOQ，∴∠AOB＝POQ＝30°，故選：A．11．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，b，c在下列條件中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）①a2+b2＝c2；②∠A：∠B：∠C＝1：1：2；③；④∠A＝∠B＝∠C．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)勾股定理逆定理、三角形面積、三角形內(nèi)角和定理判斷求解即可．【解答】解：∵a2+b2＝c7，∴△ABC是直角三角形，故①符合題意；∵∠A：∠B：∠C＝1：1：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故②符合題意；∵，∴△ABC是直角三角形，故③符合題意；∵∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ABC是銳角三角形，故④不符合題意；綜上，符合題意得有3個(gè)，故選：C．12．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝20cm，∠B＝60°，有一動點(diǎn)M自A向B以1cm/s的速度運(yùn)動，若M，N同時(shí)分別從A，△BMN為直角三角形，則t＝（）A．6s或10s B．4s或10s C．4s或8s D．6s或8s【分析】設(shè)M，N同時(shí)分別從A，B出發(fā)經(jīng)x秒時(shí)，△BMN是直角三角形，分兩種情況，①∠MNB＝90°，②∠NMB＝90°，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：設(shè)M，N同時(shí)分別從A，△BMN是直角三角形，①當(dāng)∠BNM＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴∠BMN＝90°﹣∠B＝30°，∴BN＝BM，即5x＝（20﹣x），解得：x＝2；②當(dāng)∠BMN＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴∠BNM＝90°﹣∠B＝30°，∴BM＝BN，即20﹣x＝×2x，解得：x＝10，即M，N同時(shí)分別從A，△BMN是直角三角形，故選：B．二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分，把答案寫在題中橫線上）13．（3分）科技人員在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)需要將數(shù)據(jù)3.25136精確到十分位，他得到近似數(shù)為3.3．【分析】根據(jù)四舍五入法可以將題目中的數(shù)據(jù)精確到十分位．【解答】解：3.25136≈3.7（精確到十分位），故答案為：3.3．14．（3分）在初中數(shù)學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用非常廣泛，不僅在數(shù)學(xué)內(nèi)部有著重要的地位、而且在其他學(xué)科和實(shí)際生活中也有著廣泛的應(yīng)用，請你比較大小＞（選填“＞”“＜”或“＝”）．【分析】由是正實(shí)數(shù)，即可得出答案．【解答】解：∵＞0，∴+1＞，故答案為：＞．15．（3分）已知分式（m，n為常數(shù)）滿足表格中的信息，則a＝﹣7．x的取值﹣23a分式的值無意義01【分析】由分式無意義的條件可得﹣4﹣m＝0，再由分式值為零的條件可得3+n＝0，解得m，n的值后再根據(jù)當(dāng)x＝a時(shí)分式的值為1列得分式方程，解方程后檢驗(yàn)即可．【解答】解：當(dāng)x＝﹣2時(shí)，分式無意義，則﹣4﹣m＝2，解得：m＝﹣4，當(dāng)x＝3時(shí)，分式的值為7，則3+n＝0，解得：n＝﹣2，當(dāng)x＝a時(shí)，分式的值為1，則＝1，解得：a＝﹣6，經(jīng)檢驗(yàn)，a＝﹣7是分式方程的解，故答案為：﹣7．16．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動（D不與B、C重合），連接AD，DE交線段AC于點(diǎn)E，在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，∠BDA＝115°或100°．【分析】由∠B＝∠C＝∠ADE＝50°，得∠BDA＝∠CED＝130°﹣∠CDE，再分三種情況討論，一是AD＝ED，則∠DAE＝∠DEA＝65°，所以∠BDA＝∠CED＝180°﹣∠DEA＝115°；二是AE＝ED，則∠DAE＝∠ADE＝50°，則∠BDA＝∠CED＝∠DAE+∠ADE＝100°；三是AE＝AD，則∠AED＝ADE＝50°，則∠DAE＝80°＝∠BAC，所以點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不符合題意，于是得到問題的答案．【解答】解：∵∠B＝∠C＝50°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動，∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠CDE＝130°﹣∠CDE，∠CED＝180°﹣∠C﹣∠CDE＝130°﹣∠CDE，∴∠BDA＝∠CED，如圖1，△ADE是等腰三角形，則∠DAE＝∠DEA，∵∠DAE+∠DEA+∠ADE＝180°，∴2∠DEA+50°＝180°，∴∠DEA＝65°，∴∠BDA＝∠CED＝180°﹣∠DEA＝115°；如圖8，△ADE是等腰三角形，則∠DAE＝∠ADE＝50°，∴∠BDA＝∠CED＝∠DAE+∠ADE＝100°；若AE＝AD，則∠AED＝ADE＝50°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝80°，∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∴∠DAE＝∠BAC，∴點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不符合題意，故答案為：115°或100°．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（7分）老師讓小玲和小靜到黑板上分別解方程，兩人解題過程如下：小玲：解：去分母，得x﹣（x﹣2）＝x﹣3去括號，得x﹣x+2＝x﹣3合并同類項(xiàng)，得2＝x﹣3解得x＝5經(jīng)檢驗(yàn)x＝5是原方程的解∴原方程的解是x＝5小靜：解：去分母，得x+（x﹣2）＝1去括號，得x+x﹣2＝1合并同類項(xiàng)，得2x﹣2＝1解得經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解∴原方程的解是（1）你認(rèn)為她們的解法是否正確？若錯(cuò)誤，請寫出你的解答過程；（2）小夏解方程時(shí)把方程抄成，若此方程有增根，求m值．【分析】（1）根據(jù)小玲和小靜的解方程的步驟進(jìn)行判斷，然后給出正確的解答過程即可；（2）將原方程去分母，然后根據(jù)方程有增根可得x＝3，然后將其代入去分母后所得方程中，解得m的值即可．【解答】解：（1）對于小玲解方程的步驟來說，去分母時(shí)x﹣（x﹣2）＝x﹣3未變號，應(yīng)為x+（x﹣6）＝x﹣3，對于小靜解方程的步驟來說，去分母時(shí)1未乘最簡公分母，應(yīng)為x+（x﹣7）＝x﹣3，則她們的解法是錯(cuò)誤的，正確的解答過程如下：原方程去分母，得x+（x﹣2）＝x﹣8，去括號，得x+x﹣2＝x﹣3，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣8是原方程的解，∴原方程的解是x＝﹣1；（2）原方程去分母得：m+x﹣2＝x﹣2，∵原方程有增根，∴x﹣3＝0，解得：x＝3，則m+3﹣2＝8﹣3，解得：m＝﹣1．18．（8分）計(jì)算是數(shù)學(xué)知識中的重要內(nèi)容之一，數(shù)學(xué)計(jì)算能力是一項(xiàng)基本的數(shù)學(xué)能力，計(jì)算能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的重要基礎(chǔ)（1）；（2）．【分析】（1）先把每個(gè)二次根式化為最簡二次根式，然后根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)、分母有理化、完全平方公式、立方根的定義計(jì)算，再合并即可．【解答】解：（1）＝＝＝；（2）＝＝＝．19．（8分）已知：a、b、c滿足．（1）求a、b、c的值；（2）某城市建造一條三角形的閉環(huán)賽車跑道，這個(gè)三角形的三邊長度為a、b、c，請計(jì)算該跑道占地面積．【分析】（1）利用偶次冪，絕對值及算術(shù)平方根的非負(fù)性即可求得答案；（2）結(jié)合（1）中所求結(jié)果，利用勾股定理的逆定理判定該三角形為直角三角形，然后利用三角形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵，∴a﹣15＝0，b﹣17＝0，解得：a＝15，b＝17；（2）∵22+152＝289，173＝289，∴c2+a2＝b3，∴該三角形為直角三角形，其面積為×5×15＝60，即該跑道占地面積為60．20．（8分）先化簡，再求值：，其中，就分式化簡時(shí)需要注意的事項(xiàng)給同學(xué)們提一條建議．【分析】先把括號內(nèi)通分和除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，再約分得到原式＝，接著把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可，然后從運(yùn)算順序等方面提建議．【解答】解：原式＝?＝?＝，當(dāng)a＝2+5時(shí)＝，建議：在化簡的過程中要注意運(yùn)算順序和運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．21．（9分）中國天文傳統(tǒng)之一，就是“立表測影”，當(dāng)用來觀察季節(jié)或時(shí)間時(shí)：首先“立表”，其次是放置與之垂直的圭尺，第三是觀察正午日影在圭尺上“勾”出的日影長度，在△ABC中，∠B＝90°，MD⊥AC．（1）若“表”AB＝6，AC＝10，求CM的長；（2）連接BD，若AM＝CM，判斷△ABD的形狀【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明Rt△ABM≌Rt△ADM得AB＝AD＝6，根據(jù)勾股定理求出BC＝8，進(jìn)而求出CM；（2）根據(jù)角平分線定義證明∠BAD＝60°，進(jìn)而可得結(jié)論．【解答】解：（1）∵AM平分∠BAC，MD⊥AC，∴DM＝BM，在Rt△ABM和Rt△ADM中，，∴Rt△ABM≌Rt△ADM（HL），∴AB＝AD＝6，∵AB＝6，AC＝10，∴BC＝＝8，∴DC＝AC﹣AD＝10﹣8＝4，DM＝BM＝BC﹣CM＝8﹣CM，在Rt△DCM中，根據(jù)勾股定理得：DC4+DM2＝CM2，∴32+（8﹣CM）2＝CM2，∴CM＝5；（2）△ABD是等邊三角形，理由如下：∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM，∵AM＝CM，∴∠C＝∠CAM，∴∠BAM＝∠CAM＝∠C，∵∠BAM+∠CAM+∠C＝90°，∴∠BAM＝∠CAM＝∠C＝30°，∴∠BAD＝60°，由（1）知：AB＝AD，∴△ABD是等邊三角形．22．（9分）在△ABC和△APD中，AB＝AC，AP＝AD，點(diǎn)B、C、P三點(diǎn)共線，連接CD．（1）求證：△ABP≌△ACD；（2）求證：∠PDC＝∠PAC；（3）若AB∥CD，AC＝PC＝2，則四邊形ACPD的面積為4．【分析】（1）由SAS可證△ABP≌△ACD；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠ACD，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠ACB＝∠APD＝∠ADP，由外角的性質(zhì)可求解；（3）由平行線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可求∠B＝∠ACB＝∠ACD＝∠DCP＝60°，可證△ABC是等邊三角形，可求BP＝2AB＝4，AP＝AB＝2，即可求解．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠PAD，∴∠BAP＝∠CAD，又∵AB＝AC，AP＝AD，∴△ABP≌△ACD（SAS），（2）證明：如圖設(shè)AP，CD的交點(diǎn)為O，∵△ABP≌△ACD，∴∠B＝∠ACD，∵AB＝AC，AP＝AD，∴∠B＝∠ACB＝∠APD＝∠ADP，∴∠ACD＝∠APD，∵∠AOD＝∠APD+∠PDC＝∠ACD+∠CAP，∴∠PDC＝∠PAC；（3）解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠DCP，∴∠ACB＝∠ACD＝∠DCP，∵∠BCP＝180°，∴∠B＝∠ACB＝∠ACD＝∠DCP＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝2，∵AC＝CP＝2，∴CD⊥AP，∠CAP＝AC＝30°，∴∠BAP＝90°，∴BP＝2AB＝4，AP＝，∵△ABP≌△ACD，∴BP＝CD＝4，∴四邊形ACPD的面積＝AP?CD＝4，故答案為：4．23．（11分）某服裝店預(yù)測某款服裝會暢銷，用18000元購進(jìn)這款服裝，面市后果然供不應(yīng)求，第二批的單價(jià)比第一批貴20元，數(shù)量比第一批增加50%．（1）第一批服裝進(jìn)貨單價(jià)多少元？（2）若兩次購進(jìn)服裝按同一價(jià)格銷售，兩批全部售完后，獲利不少于12000元【分析】（1）設(shè)第一批服裝進(jìn)貨單價(jià)為x元，則第二批服裝進(jìn)貨單價(jià)為（x+20）元，根據(jù)第二批的數(shù)量比第一批增加50%，列出分式方程，解方程即可．（2）設(shè)銷售單價(jià)為y元，根據(jù)獲利不少于12000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）設(shè)第一批服裝進(jìn)貨單價(jià)為x元，則第二批服裝進(jìn)貨單價(jià)為（x+20）元，依題意得：＝×（1+50%），解得：x＝180，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝180是原方程的解．答：第一批服裝進(jìn)貨單價(jià)為180元；（2）由（1）可知，第一批服裝數(shù)量為18000÷180＝100（件），設(shè)銷售單價(jià)為y元，依題意得：（100+150）y﹣18000﹣30000≥12000，解得：y≥320，答：銷售單價(jià)至少為320元．24．（12分）【方法初探】截長補(bǔ)短法，是初中幾何題中一種添加輔助線的方法，也是把幾何題化難為易的一種策略．問題：如圖1，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，求證：∠B＝2∠C．解題思路：我們可以采用“截長