2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第57講、直線的方程（學(xué)生版）

第57講直線的方程

知識梳理

知識點一：直線的傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角

若直線l與x軸相交，則以x軸正方向為始邊，繞交點逆時針旋轉(zhuǎn)直至與l重合所成的角

稱為直線l的傾斜角，通常用，，，表示

（1）若直線與x軸平行（或重合），則傾斜角為0

（2）傾斜角的取值范圍[0，)

2、直線的斜率

設(shè)直線的傾斜角為，則的正切值稱為直線的斜率，記為ktan

（1）當時，斜率不存在；所以豎直線是不存在斜率的

2

（2）所有的直線均有傾斜角，但是不是所有的直線均有斜率

（3）斜率與傾斜角都是刻畫直線的傾斜程度，但就其應(yīng)用范圍，斜率適用的范圍更廣

（與直線方程相聯(lián)系）

（4）k越大，直線越陡峭

（5）傾斜角與斜率k的關(guān)系

當k0時，直線平行于軸或與軸重合；

當k0時，直線的傾斜角為銳角，傾斜角隨k的增大而增大；

當k0時，直線的傾斜角為鈍角，傾斜角k隨的增大而減??；

3、過兩點的直線斜率公式

yy

，，21

已知直線上任意兩點，A(x1y1)，B(x2y2)則k

x2x1

（1）直線的斜率是確定的，與所取的點無關(guān)．

（）若，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為

2x1x2AB90°

4、三點共線．

兩直線AB，AC的斜率相等→A、B、C三點共線；反過來，A、B、C三點共線，則直

線AB，AC的斜率相等（斜率存在時）或斜率都不存在．

知識點二：直線的方程

1、直線的截距

若直線l與坐標軸分別交于(a，0)，(0，b)，則稱a，b分別為直線l的橫截距，縱截距

（1）截距：可視為直線與坐標軸交點的簡記形式，其取值可正，可負，可為0（不要

顧名思義誤認為與“距離”相關(guān)）

（2）橫縱截距均為0的直線為過原點的非水平非豎直直線

2、直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點斜式y(tǒng)y1kxx1不含垂直于x軸的直線

斜截式y(tǒng)kxb不含垂直于x軸的直線

yyxx

11

兩點式不含直線xx1(x1x2)和直線yy1(y1y2)

y2y1x2x1

xy

截距式1不含垂直于坐標軸和過原點的直線

ab

AxByC0

一般式平面直角坐標系內(nèi)的直線都適用

(A2B20)

3、求曲線（或直線）方程的方法：

在已知曲線類型的前提下，求曲線（或直線）方程的思路通常有兩種：

（1）直接法：尋找決定曲線方程的要素，然后直接寫出方程，例如在直線中，若用直

接法則需找到兩個點，或者一點一斜率

（2）間接法：若題目條件與所求要素聯(lián)系不緊密，則考慮先利用待定系數(shù)法設(shè)出曲線

方程，然后再利用條件解出參數(shù)的值（通常條件的個數(shù)與所求參數(shù)的個數(shù)一致）

4、線段中點坐標公式

若點，的坐標分別為，，，且線段的中點的坐標為，，則

P1P2(x1y1)(x2y2)P1P2M(xy)

x1x2

x

2

，此公式為線段PP的中點坐標公式．

yy12

y12

2

5、兩直線的夾角公式

k2k1

若直線yk1xb1與直線yk2xb2的夾角為，則tan.

1k1k2

必考題型全歸納

題型一：傾斜角與斜率的計算

例1．（2024·四川眉山·仁壽一中?？寄M預(yù)測）已知是直線x2y30的傾斜角，則

π

2sinsin

4的值為（）

cos2

4454535

A．B．C．D．

331520

例2．（2024·重慶·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知直線l的一個方向向量為

ππ

psin,cos，則直線l的傾斜角為（）

33

ππ2π4π

A．B．C．D．

6333

例3．（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）經(jīng)過A(1,3),B(3,3)兩

點的直線的傾斜角是（）

A．45B．60C．90D．120

變式1．（2024·全國·高二專題練習(xí)）如圖，若直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3，則（）

A．k1k3k2B．k3k1k2

C．k1k2k3D．k3k2k1

變式2．（2024·全國·高二專題練習(xí)）直線y3x3的傾斜角為（）

A．30B．60C．120D．150

變式3．（2024·全國·高二課堂例題）過兩點A4,y，B2,3的直線的傾斜角是135°，則y

等于（）

A．1B．5C．1D．5

變式4．（2024·高二課時練習(xí)）直線l經(jīng)過A2,1，B1,m2mR兩點，那么直線l的斜

率的取值范圍為（）．

A．0,1B．,1C．2,1D．1,

1

變式5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)x3x2的圖像上有一動點，則在此動點處

3

切線的傾斜角的取值范圍為（）

3ππ3π

A．0,B．0,,π

424

3ππ3π

C．,πD．,

424

【解題方法總結(jié)】

yy

正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式k12，根據(jù)該公

x1x2

式求出經(jīng)過兩點的直線斜率，當x1x2,y1y2時，直線的斜率不存在，傾斜角為90，求斜

率可用ktan(90)，其中為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互關(guān)聯(lián)，不可分割．牢

記“斜率變化分兩段，90是其分界，遇到斜率要謹記，存在與否要討論”．這可通過畫正切

函數(shù)在0,,上的圖像來認識．

22

題型二：三點共線問題

k

例4．（2024·全國·高二專題練習(xí)）已知三點(2,3),(4,3),5,在同一條直線上，則實數(shù)k的

2

值為（）

A．2B．4C．8D．12

例5．（2024·遼寧營口·高二?？茧A段練習(xí)）若三點A0,8，B4,0，Cm,4共線，則實

數(shù)m的值是（）

A．6B．2C．6D．2

例6．（2024·重慶渝中·高二重慶復(fù)旦中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若三點M（2，2），N（a，0），

11

Q（0，b），（ab0）共線，則的值為（）

ab

11

A．1B．1C．D．

22

變式6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若平面內(nèi)三點A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則

a＝（）

25

A．1±2或0B．或0

2

252+5

C．D．或0

22

【解題方法總結(jié)】

斜率是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點所確定的方向不變，

即在同一直線上任意不同的兩點所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點共線的原因．

題型三：過定點的直線與線段相交問題

例7．（2024·吉林·高三?？计谀┮阎cA1,3,B2,1.若直線l:ykx21與線段

AB相交,則k的取值范圍是（）

1

A．kB．k2

2

11

C．k或k2D．2k

22

例8．（2024·高三課時練習(xí)）已知點M2,3和N3,2，直線l:yaxa1與線段MN相

交，則實數(shù)a的取值范圍是（）

33

A．a(chǎn)或a4B．4a

44

33

C．a(chǎn)4D．a(chǎn)4

44

例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知A2,0，B0,2，若直線ykx2與線段AB有

公共點，則k的取值范圍是（）

A．1,1B．1,

C．0,1D．,11,

變式7．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點A2,3,B3,2，若直線axy20與線段AB

沒有交點，則a的取值范圍是（）

5445

A．,,B．,

2332

5445

C．,D．,,

2332

變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線xay2a0和以M3,5,N4,2為端點的

線段相交，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A．a(chǎn)1B．1a1

C．a(chǎn)1或a1D．a(chǎn)1或a1或a0

變式9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知A2,3，B3,2，直線l過點P1,1且與線段AB

相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（）

33

A．k4或kB．4k

44

143

C．k或kD．k4

434

變式10．（2024·全國·高三對口高考）已知點P1,1,Q2,2，若直線l:xmym0與PQ的

延長線（有方向）相交，則m的取值范圍為．

變式11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知A(1,2),B(2,4)，點P(x,y)是線段AB上的動點，

y

則的取值范圍是.

x

變式12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）Px，y在線段AB上運動，已知A2，4，B5，2，

y1

則的取值范圍是.

x1

【解題方法總結(jié)】

一般地，若已知，過點作垂直于軸的直線，過點

Ax1,y1,Bx2,y2,Px0,y0PxlP

的任一直線l的斜率為k，則當l與線段AB不相交時，k夾在kPA與kPB之間；當l與線段AB

相交時，k在kPA與kPB的兩邊．

題型四：直線的方程

例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）過點1,2且方向向量為(-1,2)的直線的方程為（）

A．2xy40B．xy30

C．x2y30D．x2y30

例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）過點A1,4的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該

直線方程為（）

A．xy30B．xy50

C．4xy0或xy50D．4xy0或xy30

y6

例12．（2024·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）對方程2表示的圖形，下列

x3

敘述中正確的是（）

A．斜率為2的一條直線

1

B．斜率為的一條直線

2

C．斜率為2的一條直線，且除去點（3,6）

1

D．斜率為的一條直線，且除去點（3,6）

2

變式13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）經(jīng)過點P(1,0)且傾斜角為60的直線的方程是（）

A．3xy10B．3xy30

C．3xy30D．x3y10

1

變式14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）方程yaxa0表示的直線可能是（）

a

A．B．

C．D．

變式15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知過定點直線kxy4k0在兩坐標軸上的截距都

是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（）

A．x2y70B．x2y70C．2xy60D．x2y60

ac

變式16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若直線l的方程yx中，ab0，ac0，則

bb

此直線必不經(jīng)過（）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

變式17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l的傾斜角為60，且l在y軸上的截距為1，

則直線l的方程為（）

33

A．yx1B．yx1

33

C．y3x1D．y3x1

【解題方法總結(jié)】

要重點掌握直線方程的特征值（主要指斜率、截距）等問題；熟練地掌握和應(yīng)用直線方

程的幾種形式，尤其是點斜式、斜截式和一般式．

題型五：直線與坐標軸圍成的三角形問題

例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若一條直線經(jīng)過點A2,2，并且與兩坐標軸圍成的三

角形面積為1，則此直線的方程為．

例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l過點M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的

正半軸交于A，B兩點，O為原點，當△AOB面積最小時，直線l的方程為.

例15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l的方程為：2mx12my43m0．

(1)求證：不論m為何值，直線必過定點M；

(2)過點M引直線l1，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求l1的方程．

變式18．（2024·全國·高三專題練習(xí)）直線l過點M(1,2)，且分別與x,y軸正半軸交于A、B

兩點，O為原點.

(1)當AOB面積最小時，求直線l的方程；

(2)求OA2OB的最小值及此時直線l的方程.

變式19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標系xOy中，直線l過定點P3,2，且

與x軸的正半軸交于點M，與y軸的正半軸交于點N.

（1）當PMPN取得最小值時，求直線l的方程；

（2）求△MON面積的最小值.

變式20．（2024·北京懷柔·高二北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎本€l經(jīng)過點P2,2，

O為坐標原點．

(1)若直線l過點Q2,0，求直線l的方程，并求直線l與兩坐標軸圍成的三角形面積；

(2)如果直線l在兩坐標軸上的截距之和為8，求直線l的方程．

變式21．（2024·高二單元測試）已知直線l過點P4,3，與x軸正半軸交于點A?與y軸正

半軸交于點B.

（1）求OAB面積最小時直線l的方程（其中O為坐標原點）；

（2）求PAPB的最小值及取得最小值時l的直線方程.

變式22．（2024·江西吉安·高二吉安一中?？茧A段練習(xí)）過點M(4,3)的動直線l交x軸的正

半軸于A點，交y軸正半軸于B點.

（Ⅰ）求OAB(O為坐標原點)的面積S最小值，并求取得最小值時直線l的方程.

（Ⅱ）設(shè)P是OAB的面積S取得最小值時OAB的內(nèi)切圓上的動點，求

222

uPOPAPB的取值范圍.

變式23．（2024·河南洛陽·高二洛寧縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線l：

kxy12k0．

（1）求l經(jīng)過的定點坐標P；

（2）若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B．

①AOB的面積為S，求S的最小值和此時直線l的方程；

②當PAPB取最小值時，求直線l的方程．

2

變式24．（2024·河南鄭州·高二宜陽縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線

l:kxy23k0經(jīng)過定點P．

(1)證明：無論k取何值，直線l始終過第二象限；

11

(2)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，當|PA||PB|取最小值時，求

23

直線l的方程．

變式25．（2024·江蘇宿遷·高二泗陽縣實驗高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線l過定點P2,1，

且交x軸負半軸于點A?交y軸正半軸于點B．點O為坐標原點．

（1）若AOB的面積為4，求直線l的方程；

（2）求OAOB的最小值，并求此時直線l的方程；

（3）求PAPB的最小值，并求此時直線l的方程．

【解題方法總結(jié)】

（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直線與坐標軸圍成的三角形的面積（與

截距有關(guān)），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”

之說．

（2）在求直線方程時，要恰當?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以

根據(jù)已知條件恰當?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問題的解決．例如：已知一點的坐標，求過

這點的直線方程，通常選用點斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或

兩點，選擇截距式或兩點式．在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法

求解，但要注意對特殊情況的討論，以免遺漏．

題型六：兩直線的夾角問題

例16．（2024·上海浦東新·高三上海市川沙中學(xué)校考期末）直線x3y20與直線

3x2y1所成夾角的余弦值等于

例17．（2024·高三課時練習(xí)）直線x2y20與直線3xy20相交，則這兩條直線的

夾角大小為.

例18．（2024·上海寶山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直線l1:2xy0,l2:3xy10，則l1與l2

的夾角大小是.

11

變式26．（2024·重慶·高考真題）曲線y2x2與yx32在交點處切線的夾角

24

是．（用弧度數(shù)作答）

變式27．（2024·全國·模擬預(yù)測）等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為xy20與

x7y40，原點在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為．

變式28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）兩條直線l1:3xy30，l2:x3y10的夾

角平分線所在直線的方程是．

【解題方法總結(jié)】

k2k1

若直線yk1xb1與直線yk2xb2的夾角為，則tan.

1k1k2

題型七：直線過定點問題

例19．（2024·四川綿陽·綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校校考模擬預(yù)測）已知直線l1:xmy10過

22

定點A，直線l2:mxym30過定點B，l1與l2相交于點P，則PAPB．

例20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)a,b滿足a2b1，則直線ax3yb0過定

點.

例21．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）直線ykxke恒過定點A，則A點的坐標為．

變式29．（2024·遼寧營口·高二?？茧A段練習(xí)）直l的方程為kxy2k10kR，則該

直線過定點．

變式30．（2024·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若實數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，則直線ax+by+c=0

必經(jīng)過一個定點，則該定點坐標為.

【解題方法總結(jié)】

合并參數(shù)

題型八：軌跡方程

例22．（2024·全國·高三對口高考）在平面直角坐標系中，已知ABC的頂點坐標分別為

A2,3、B1,1、C5,1，點P在直線BC上運動，動點Q滿足PQPAPBPC，求點

Q的軌跡方程．

例23．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）如圖，在平行四邊形OABC中，點O是原點，點A和點C

的坐標分別是3,0、1,3，點D是線段AB上的動點.

(1)求AB所在直線的一般式方程；

(2)當D在線段AB上運動時，求線段CD的中點M的軌跡方程.

例24．（2024·湖北咸寧·高二鄂南高中?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點A是直線l1:x2y10

上任意一點，點B是直線l2:x2y40上任意一點，連接AB，在線段AB上取點C使得

2CA3BC.

(1)求動點C的軌跡方程；

(2)已知點P4,2，是否存在點C，使得PC3？若存在，求出點C的坐標；若不存在，

說明理由.

變式31．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知A1,1，B2,1，動點M與A，B兩點連線的

斜率分別為kMA、kMB，若kMA2kM