2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類(lèi)：第7講、函數(shù)的性質(zhì)（教師版）

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第7講函數(shù)的性質(zhì)

知識(shí)梳理

1、函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間DA：

如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就

Dx1x2x1x2f(x1)f(x2)

說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)．

如果對(duì)于D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么

就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)．

①屬于定義域A內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；

②任意兩個(gè)自變量，且；

x1x2x1x2

③都有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)；

④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右是

下降的．

（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)

在區(qū)間D上具有單調(diào)性，D稱(chēng)為函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．

②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)．

（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，

內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是減（增）

函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).

2、函數(shù)的奇偶性

函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有關(guān)于y軸對(duì)

偶函數(shù)

f(x)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)稱(chēng)

如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

奇函數(shù)

f(x)

f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)稱(chēng)

判斷f(x)與f(x)的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果f(x)f(x)0或

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f(x)f(x)

1(f(x)0)，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；如果f(x)f(x)0或1(f(x)0)，

f(x)f(x)

則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．

注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的

任意一個(gè)x，x也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))．

3、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性

(1)若函數(shù)yf(x＋a)為偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于xa對(duì)稱(chēng)．

(2)若函數(shù)yf(x＋a)為奇函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱(chēng)．

(3)若f(x)f(2ax)，則函數(shù)f(x)關(guān)于xa對(duì)稱(chēng)．

(4)若f(x)＋f(2ax)2b，則函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱(chēng)．

4、函數(shù)的周期性

（1）周期函數(shù)：

對(duì)于函數(shù)yf(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有

f(xT）f(x)，那么就稱(chēng)函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱(chēng)T為這個(gè)函數(shù)的周期.

（2）最小正周期：

如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱(chēng)這個(gè)最小整數(shù)叫做

f(x)的最小正周期.

【解題方法總結(jié)】

1、單調(diào)性技巧

（1）證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

①取值：設(shè)x1，x2是f(x)定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且x1x2；

②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；

③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；

④得出結(jié)論．

（2）函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判

斷．

②圖象法：就是畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．

③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫(xiě)

出它們的單調(diào)區(qū)間．

（3）記住幾條常用的結(jié)論：

①若f(x)是增函數(shù)，則f(x)為減函數(shù)；若f(x)是減函數(shù)，則f(x)為增函數(shù)；

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②若f(x)和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在f(x)和g(x)的公共定義域上f(x)g(x)為增

(或減)函數(shù)；

1

③若f(x)0且f(x)為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)為增函數(shù)，為減函數(shù)；

f(x)

1

④若f(x)0且f(x)為減函數(shù)，則函數(shù)f(x)為減函數(shù)，為增函數(shù)．

f(x)

2、奇偶性技巧

(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.

函數(shù)f(x)是偶函數(shù)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；

函數(shù)f(x)是奇函數(shù)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng).

(3)若奇函數(shù)yf(x)在x0處有意義，則有f(0)0；

偶函數(shù)yf(x)必滿(mǎn)足f(x)f(|x|).

(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.

(5)若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)

11

的和的形式.記g(x)[f(x)f(x)]，h(x)[f(x)f(x)]，則f(x)g(x)h(x).

22

(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除

四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)g(x).

對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；

奇()奇=偶；奇()偶=奇；偶()偶=偶.

(7)復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(8)常見(jiàn)奇偶性函數(shù)模型

ax1ax1

奇函數(shù)：①函數(shù)f(x)m()(x0)或函數(shù)f(x)m()．

ax1ax1

②函數(shù)f(x)(axax)．

xm2mxm2m

③函數(shù)f(x)loglog(1)或函數(shù)f(x)loglog(1)

axmaxmaxmaxm

④函數(shù)2或函數(shù)2．

f(x)loga(x1x)f(x)loga(x1x)

2m2m

注意：關(guān)于①式，可以寫(xiě)成函數(shù)f(x)m(x0)或函數(shù)f(x)m(mR)．

ax1ax1

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偶函數(shù)：①函數(shù)f(x)(axax)．

mx

②函數(shù)f(x)log(amx1)．

a2

③函數(shù)f(|x|)類(lèi)型的一切函數(shù)．

④常數(shù)函數(shù)

3、周期性技巧

函數(shù)式滿(mǎn)足關(guān)系（xR）周期

f(xT)f(x)T

f(xT)f(x)2T

11

f(xT);f(xT)2T

f(x)f(x)

f(xT)f(xT)2T

f(xT)f(xT)4T

f(ax)f(ax)

2(ba)

f(bx)f(bx)

f(ax)f(ax)

2a

f(x)為偶函數(shù)

f(ax)f(ax)

2(ba)

f(bx)f(bx)

f(ax)f(ax)

2a

f(x)為奇函數(shù)

f(ax)f(ax)

4(ba)

f(bx)f(bx)

f(ax)f(ax)

4a

f(x)為奇函數(shù)

f(ax)f(ax)

4a

f(x)為偶函數(shù)

4、函數(shù)的的對(duì)稱(chēng)性與周期性的關(guān)系

（1）若函數(shù)yf(x)有兩條對(duì)稱(chēng)軸xa，xb(ab)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且

T2(ba)；

（2）若函數(shù)yf(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心(a,c),(b,c)(ab)，則函數(shù)yf(x)是周期

函數(shù)，且T2(ba)；

（3）若函數(shù)yf(x)有一條對(duì)稱(chēng)軸xa和一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心(b,0)(ab)，則函數(shù)yf(x)

是周期函數(shù)，且T4(ba).

5、對(duì)稱(chēng)性技巧

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（1）若函數(shù)yf(x)關(guān)于直線(xiàn)xa對(duì)稱(chēng)，則f(ax)f(ax)．

（2）若函數(shù)yf(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱(chēng)，則f(ax)f(ax)2b．

（3）函數(shù)yf(ax)與yf(ax)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，函數(shù)yf(ax)與yf(ax)關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．

必考題型全歸納

題型一：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用

例1．已知函數(shù)fx的定義域是R，若對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，總有

fxfx

210成立，則函數(shù)fx一定是（）

x2x1

A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．增函數(shù)D．減函數(shù)

【答案】C

fx2fx1

【解析】對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，總有0成立，

x2x1

等價(jià)于對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1x2，總有fx1fx2.

所以函數(shù)fx一定是增函數(shù).

故選：C

f(a)-f(b)

例2．若定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，總有>0成立，則

a-b

必有（）

A．f(x)在R上是增函數(shù)B．f(x)在R上是減函數(shù)

C．函數(shù)f(x)先增后減D．函數(shù)f(x)先減后增

【答案】A

f(a)-f(b)

【解析】由>0知f(a)-f(b)與a-b同號(hào)，即當(dāng)a<b時(shí)，f(a)<f(b)，或當(dāng)a>b時(shí)，f(a)>f(b)，

a-b

所以f(x)在R上是增函數(shù).

故選：A.

例3．下列函數(shù)中，滿(mǎn)足“fxyfxfy”的單調(diào)遞增函數(shù)是

1

3

A．fxx2B．fxx

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x

1x

C．fxD．fx3

2

【答案】D

【解析】由于axaraxr，所以指數(shù)函數(shù)f(x)ax滿(mǎn)足f(xy)fxfy，且當(dāng)a1時(shí)

單調(diào)遞增，0x1時(shí)單調(diào)遞減，所以fx3x滿(mǎn)足題意，故選D．

考點(diǎn)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．

變式1．函數(shù)fxx23x2的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

33

A．,B．1,和2,

22

33

C．,1和,2D．,和2,

22

【答案】B

x23x2,x1

【解析】yx23x2x23x2,1x2

2

x3x2,x2

如圖所示：

3

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是1,和2,．

2

故選：B.

變式2．（江蘇省泰州市海陵區(qū)2024學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)

2x

f(x),x(0,)．

x1

(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并利用定義證明；

(2)若f2m1f1m，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

【解析】（1）f(x)在(0,)上遞減，理由如下：

任取x1,x2(0,)，且x1x2，則

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2x22x1

f(x2)f(x1)

x21x11

2x(x1)2x(x1)

1221

(x21)(x11)

2(xx)

12，

(x21)(x11)

因?yàn)閤1,x2(0,)，且x1x2，

所以x1x20，(x21)(x11)0，

所以f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，

所以f(x)在(0,)上遞減；

（2）由（1）可知f(x)在(0,)上遞減，

所以由f2m1f1m，得

2m10

12

1m0，解得m，

23

2m11m

12

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為,.

23

ax1

變式3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)a0，a1，證明：函數(shù)x是x的增函

x

數(shù)x0．

x1

x2

【解析】證明：當(dāng)x2x10，在伯努利不等式定理3中取1xa，r,0r1，

x2

x1

rxx1x

則有1x1rx，即a2x21a21，

x2

xa1a1

則有ax111ax21，從x2x1，

x2x2x1

即x2x1.

所以當(dāng)x0時(shí)，x是x的增函數(shù)．

2xa

變式4．（2024·上海靜安·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)f(x)(a0)，且f(0)0.

a2x

(1)求a的值，并指出函數(shù)f(x)的奇偶性；

(2)在（1）的條件下，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f(x)在(,)上是增函數(shù).

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1

【解析】（1）因?yàn)閒(0)a0，又a0，所以a1，

a

1

所以f(x)2x，x(,)，

2x

1

此時(shí)f(x)2xf(x)，所以f(x)為奇函數(shù)；

2x

x11x21

（2）任取x1x2，則f(x1)f(x2)22

2x12x2

x1x2

2211

x1x2x1x2x1x2x1，

(22)(22)(1)2(1)(12)

2x1x22x1x22x1x2

x11

因?yàn)樗詘2x1所以x2x1

x1x2,21,120,2(1xx)0

212

所以f(x1)f(x2)0即f(x1)f(x2)，

所以函數(shù)f(x)在(,)上是增函數(shù).

【解題總結(jié)】

函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判

斷．

②圖象法：就是畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．

③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫(xiě)

出它們的單調(diào)區(qū)間．

題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

例4．函數(shù)yx23x的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

33

A．,B．,

22

C．0,D．,3

【答案】D

【解析】由題意，得x23x0，解得x3或x0，

所以函數(shù)yx23x的定義域?yàn)?,3][0,)，

3

令tx23x，則tx23x開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x，

2

所以tx23x在(,3]上單調(diào)遞減，在[0,)上單調(diào)遞增，

而yt在[0,)上單調(diào)遞增，

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所以函數(shù)yx23x的單調(diào)遞減區(qū)間為(,3].

故選：D.

2

例5．（陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)2024學(xué)年高三下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）函數(shù)ylog2(2xx)的單

調(diào)遞減區(qū)間為（）

A．(1,2)B．1,2

C．(0,1)D．0,1

【答案】A

【解析】由2xx20，得0x2，

2

令t2xx，則ylog2t，

t2xx2在(0,1)上遞增，在(1,2)上遞減，

因?yàn)閥log2t在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

2

所以ylog2(2xx)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2)，

故選：A

例6．（陜西省榆林市2024學(xué)年高三下學(xué)期階段性測(cè)試）函數(shù)ylg2cosx3的單調(diào)遞增

區(qū)間為（）

11

A．2k,2k2kZB．2k，2kkZ

6

C．2k,2kkZD．2k,2kkZ

66

【答案】C

ππ

【解析】根據(jù)題意，2cosx30，解得，2kπx2k,kZ

66

又函數(shù)ylgx在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，

π

且函數(shù)y2cosx3在2k,2k,kZ內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)

6

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：

π

ylg2cosx3的單調(diào)增區(qū)間為2k,2kπ,kZ

6

選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)ABD錯(cuò)誤.

故選：C.

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【解題總結(jié)】

討論復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]的單調(diào)性時(shí)要注意：既要把握復(fù)合過(guò)程，又要掌握基本函數(shù)

的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的復(fù)合，

然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：

1、若ug(x)，yf(u)在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則yf[g(x)]為

增函數(shù)；

2、若ug(x)，yf(u)在所討論的區(qū)間上一個(gè)是增函數(shù)，另一個(gè)是減函數(shù)，則

yf[g(x)]為減函數(shù)．列表如下：

ug(x)yf(u)yf[g(x)]

增增增

增減減

減增減

減減增

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡(jiǎn)記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時(shí)遞增；單性相異時(shí)遞減．

題型三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值

例7．（河南省2024屆高三下學(xué)期仿真模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)fx為定義在R上的

單調(diào)函數(shù)，且ffx2x2x10，則fx在2,2上的值域?yàn)開(kāi)_____．

7

【答案】,10

4

【解析】因?yàn)閒x為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，

所以存在唯一的tR，使得ft10，

則fx2x2xt，ft2t2tt，即ft2t3t10，

因?yàn)楹瘮?shù)y2t3t為增函數(shù)，且223210，所以t2，

fx2x2x2．

7

易知fx在2,2上為增函數(shù)，且f2，f210，

4

7

則fx在2,2上的值域?yàn)?10．

4

7

故答案為：,10.

4

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

ax

例8．（上海市靜安區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)fx(a0)為偶函數(shù)，

2x1

則函數(shù)fx的值域?yàn)開(kāi)__________.

1

【答案】0,

2

ax

【解析】函數(shù)fx（a0）是偶函數(shù)，

2x1

x

2

xx

aaa2，

fxfxaa2

2x12x12x1a

(2)x

fx，易得fx0，

2x1

設(shè)t(2)x(t0)，

t11

y

則21，

t1t2

t

1

當(dāng)且僅當(dāng)t即t1時(shí)，等號(hào)成立，

t

1

所以0t，

2

1

所以函數(shù)fx的值域?yàn)?,．

2

1

故答案為：0,．

2

例9．（河南省部分學(xué)校大聯(lián)考2024學(xué)年高三下學(xué)期3月質(zhì)量檢測(cè)）已知函數(shù)

fxax3x1(a0且a1)，若曲線(xiàn)yfx在點(diǎn)0,f0處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x2y10

垂直，則fx在1,2上的最大值為_(kāi)_________.

1

【答案】7

e2

【解析】由題意得fxaxlna3，所以f0lna3，

1

因?yàn)榍芯€(xiàn)與直線(xiàn)x2y10垂直，而x2y10的斜率為，

2

所以切線(xiàn)斜率為2，即lna32，解得ae1，

所以fxex3x1，且fxex3，

顯然fx是增函數(shù)，

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

當(dāng)x1,2時(shí)，fxf13e0，

1

所以fx在1,2上單調(diào)遞增，故f(x)f27.

maxe2

1

故答案為：7

e2

2xm

變式5．（新疆烏魯木齊市第八中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第一次月考）若函數(shù)fx在

x1

區(qū)間0,1上的最大值為3，則實(shí)數(shù)m=_______.

【答案】3

2xmm2

【解析】∵函數(shù)fx2，

x1x1

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，

2xm

當(dāng)m2時(shí)，fx在0,1上單調(diào)遞減，最大值為f0m3；

x1

2xm2m

當(dāng)m2時(shí)，fx在0,1上單調(diào)遞增，最大值為f13，

x12

即m=4，顯然m=4不合題意，

故實(shí)數(shù)m=3.

故答案為：3

【解題總結(jié)】

利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：

1、如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b]上是增函數(shù)，在區(qū)間[b，c)上是減函數(shù)，則函數(shù)

yf(x)(xa，c)在xb處有最大值f(b)．

2、如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b]上是減函數(shù)，在區(qū)間[b，c)上是增函數(shù)，則函數(shù)

yf(x)(xa，c)在xb處有最小值f(b)．

3、若函數(shù)yf(x)在[a，b]上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)yf(x)在[a，b]上一定有最大、

最小值．

4、若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則yf(x)的最大值是f(b)，最

小值是f(a)．

5、若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)遞減函數(shù)，則yf(x)的最大值是f(a)，最

小值是f(b)．

題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

3a1x4a(x1)

例10．已知函數(shù)fxa，滿(mǎn)足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2且x1x2，都有

x1

x

f(x1)f(x2)(x1x2)0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

11111

A．,1B．0,C．,D．,1

73636

【答案】C

fx1fx2

【解析】對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1x2，都有f(x1)f(x2)(x1x2)0,即0成立，

x1x2

可得函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)連線(xiàn)的斜率小于0，說(shuō)明函數(shù)是減函數(shù)；

3a10

可得：a0，

3a14aa

11

解得a,，

63

故選：C

3

例11．（吉林省松原市2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考）若函數(shù)fxlogaxax（a0

1

且a1）在區(qū)間,0內(nèi)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）

2

1399

A．,1B．,1C．,D．1,

4444

【答案】B

1

【解析】函數(shù)f(x)log(x3ax)(a0,a1)在區(qū)間(,0)內(nèi)有意義，

a2

111

則()3a0,a，

224

32

設(shè)txax,則ylogat，t3xa

(1)當(dāng)a

1時(shí)，

ylogat是增函數(shù)，

1

要使函數(shù)f(x)log(x3ax)(a0,a1)在區(qū)間(,0)內(nèi)單調(diào)遞增，

a2

1

需使tx3ax在區(qū)間(,0)內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞增，

2

11

則需使t3x2a0，對(duì)任意x(0)恒成立,即a3x2對(duì)任意x(,0)恒成立；

22

131

因?yàn)閤(,0)時(shí)，03x2所以a<0與a矛盾，此時(shí)不成立.

244

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

(2)當(dāng)0a1時(shí)，y1ogat是減函數(shù)，

31

要使函數(shù)

f

x

loga

xax

(a0,a1)在區(qū)間(,0)內(nèi)單調(diào)遞增，

2

1

需使tx3ax在區(qū)間(,0)內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞減，

2

1

則需使t3x2a0對(duì)任意x(,0)恒成立，

2

1

即a3x2對(duì)任意x(,0)恒成立，

2

13

因?yàn)閤(,0)

時(shí),03x2，

24

3

所以a，

4

3

又a1，所以a1.

4

3

綜上，a的取值范圍是a1

4

故選：B

例12．（四川省廣安市2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)

x2ax9,x1

fxa在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

,x1

x

A．5,0B．(,2)

C．5,2D．(,0)

【答案】C

【解析】由題意，xR，

x2ax9,x1

在fxa中，函數(shù)單調(diào)遞增，

,x1

x

a

1

21

∴a0，解得：5a2，

a

1a9

1

故選：C.

變式6．（江西省臨川第一中學(xué)2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

2

fxlogaxax3在0,1上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A．0,1B．1,4

C．0,11,4D．2,4

【答案】D

2

【解析】函數(shù)fxlogaxax3在0,1上是減函數(shù)，

aa2a2

當(dāng)0a1時(shí)，x2ax3(x)2330恒成立，

244

而函數(shù)ux2ax3在區(qū)間0,1上不單調(diào)，因此0a1，不符合題意，

2

當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)ylogau在(0,)上單調(diào)遞增，于是得函數(shù)uxax3在區(qū)間0,1上單

調(diào)遞減，

a

因此1，并且12a130，解得2a4，

2

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是2,4.

故選：D

變式7．（天津市復(fù)興中學(xué)2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)fxx22kx5

在2,4上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）．

A．k4B．k2

C．k4或k2D．k4或k2

【答案】C

【解析】函數(shù)fxx22kx5的對(duì)稱(chēng)軸為xk，

因?yàn)楹瘮?shù)fxx22kx5在2,4上具有單調(diào)性，

所以k4或k2，即k4或k2.

故選：C

【解題總結(jié)】

若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)a的取值范圍問(wèn)題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)

a的不等式，利用下面的結(jié)論求解．

1、若af(x)在[m，n]上恒成立af(x)在[m，n]上的最大值．

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

2、若af(x)在[m，n]上恒成立af(x)在[m，n]上的最小值．

題型五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性

例13．（2024·天津河西·天津市新華中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)yfx2是R上的偶函

fx1fx2

數(shù)，對(duì)任意x1，x22,，且x1x2都有0成立．若aflog318，

x1x2

e2ln10

bfln，cfe2，則a，b，c的大小關(guān)系是（）

2

A．bacB．a(chǎn)bcC．cbaD．b<c<a

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)yfx2是R上的偶函數(shù)，

所以函數(shù)yfx的對(duì)稱(chēng)軸為x2，

fx1fx2

又因?yàn)閷?duì)任意x1，x22,，且x1x2都有0成立．

x1x2

所以函數(shù)yfx在2,上單調(diào)遞增，

2

e2ln10

而，，ln10，

3log327log318log392lnlneln22ln222

2ee103

ln102

2e

所以elog3182ln，

2

所以ca，

因?yàn)楹瘮?shù)yfx的對(duì)稱(chēng)軸為x2，

e2e2

所以bflnf4lnf2ln2，

22

而aflog318flog392f2log32，

因?yàn)閘n2log32，

e2

所以24lnlog3183，

2

所以ba，

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

所以bac．

故選：A．

例14．（多選題）（甘肅省慶陽(yáng)市寧縣第一中學(xué)2024學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知函

數(shù)fx在區(qū)間5,5上是偶函數(shù)，在區(qū)間0,5上是單調(diào)函數(shù)，且f3f1，則（）

A．f(1)f(3)B．f0f(1)

C．f(1)f1D．f(3)f5

【答案】BD

【解析】函數(shù)fx在區(qū)間0,5上是單調(diào)函數(shù)，又31，且f3f1，

故此函數(shù)在區(qū)間0,5上是減函數(shù)．

由已知條件及偶函數(shù)性質(zhì)，知函數(shù)fx在區(qū)間5,0上是增函數(shù)．

對(duì)于A，31，故f(3)f(1)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，01，故f0f1，故B正確；

對(duì)于C，f1f1，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，f3f3f5，故D正確．

故選:BD.

例15．（2024屆北京市朝陽(yáng)區(qū)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在

區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增的是（）

32|x|

A．yxB．yx1C．ylog2xD．y2

【答案】D

【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，對(duì)四個(gè)函數(shù)逐一判斷可得答案.函數(shù)yx3是奇函數(shù)，

不符合；

函數(shù)yx21是偶函數(shù)，但是在(0,)上單調(diào)遞減，不符合；

函數(shù)ylog2x不是偶函數(shù)，不符合；

函數(shù)y2|x|既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增，符合.

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

故選：D

【解題總結(jié)】

1、比較函數(shù)值大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決.

2、求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：①求函數(shù)定義域；②求簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)區(qū)間；③

求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間(同增異減).

3、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)時(shí)，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)圖像或單調(diào)性定義，

確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較，利用區(qū)間端點(diǎn)間關(guān)系求參數(shù).同時(shí)注意函數(shù)定義

域的限制，遇到分段函數(shù)注意分點(diǎn)左右端點(diǎn)函數(shù)值的大小關(guān)系.

題型六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明

例16．利用圖象判斷下列函數(shù)的奇偶性：

x22x1,x0

(1)f(x)2

x2x1,x0

x2x,x0,

(2)f(x)2

xx，x0

1

(3)y()x；

2

(4)ylog2(x1)；

(5)yx22x1.

【解析】（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,0)(0,)，

x22x1，x0

對(duì)于函數(shù)，

f(x)2

x2x1，x0

當(dāng)x0,f(x)x22x1，為二次函數(shù)，是一條拋物線(xiàn)，開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x1，

當(dāng)x0,f(x)x22x1，為二次函數(shù)，是一條拋物線(xiàn)，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=1，

x22x1，x0

畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示，

f(x)2

x2x1，x0

函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

（2）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,0)(0,)，

x2x，x0

對(duì)于函數(shù)，

f(x)2

xx，x0

1

當(dāng)x0,f(x)x2x，為二次函數(shù)，是一條拋物線(xiàn)，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x，

2

1

當(dāng)x0,f(x)x2x，為二次函數(shù)，是一條拋物線(xiàn)，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x，

2

x2x，x0

畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示，

f(x)2

xx，x0

函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故f(x)為偶函數(shù)；

11

（3）先作出y()x的圖象，保留y()x圖象中x≥0的部分，

22

1

再作出y()x的圖象中x>0部分關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)部分，

2

1

即得y()x的圖象，如圖實(shí)線(xiàn)部分．

2

1x

由圖知y()的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以該函數(shù)為偶函數(shù).

2

[在此處鍵入]

[在此處鍵入]

（4）將函數(shù)ylog2x的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，

即可得到函數(shù)ylog2(x1)的圖象，如圖，

由圖知ylog2(x1)的圖象既不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，也不關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，

所以該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；