7.2 離散型隨機變量及其分布列 課件高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

7.2離散型隨機變量及其分布列[學習目標]

1．借助教材實例，了解離散型隨機變量及其分布列．(數(shù)學抽象)2．了解離散型隨機變量分布列的性質(zhì)、兩點分布的概念．

(數(shù)學抽象)3．會求簡單的離散型隨機變量的分布列．(數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析)[討論交流]預習教材，思考以下問題：問題1.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，有“正面朝上”和“反面朝上”兩種可能結(jié)果，可以將試驗結(jié)果用數(shù)值來表示嗎？問題2.在一塊地里種10棵樹苗，設(shè)成活的樹苗棵數(shù)為X，則X可取什么數(shù)值？探究建構(gòu)探究1隨機變量的概念及分類探究問題1

(1)某人在射擊訓練中，射擊一次命中的環(huán)數(shù)，能否用數(shù)值表示相應結(jié)果呢？(2)籃球運動員每次罰球具有一定的隨機性，那么他三次罰球的得分結(jié)果可能是什么？(3)擲一枚骰子，出現(xiàn)正面向上的點數(shù)共有幾種不同的數(shù)字？能否用數(shù)值表示相應結(jié)果呢？(4)拋擲一枚硬幣，可能會出現(xiàn)哪幾種結(jié)果？能否用數(shù)值來表示隨機試驗的結(jié)果呢？0，1，2，…，10.0分，1分，2分，3分1，2，3，4，5，6用1表示正面，0表示反面正面向上、反面向上兩種(1)(2)(3)隨機試驗樣本點與數(shù)值有關(guān)系，我們可以直接與實數(shù)建立對應關(guān)系．(4)樣本點與數(shù)值沒有直接關(guān)系，我們可以根據(jù)問題的需要為每個樣本點指定一個數(shù)值．對于任何一個隨機試驗，總可以把它的每個樣本點與一個實數(shù)對應．即通過引入一個取值依賴于樣本點的變量X，來刻畫樣本點和實數(shù)的對應關(guān)系，實現(xiàn)樣本點的數(shù)量化．

因為在隨機試驗中樣本點的出現(xiàn)具有隨機性，所以變量X的取值也具有隨機性．新知探究：隨機變量即離散型隨機變量的概念考察下列隨機試驗及其引入的變量：試驗1：從100個電子元件（至少含3個以上次品）中隨機抽取三個進行檢驗，變量X

表示三個元件中的次品數(shù)；試驗2：拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y

表示需要的拋擲次數(shù).這兩個隨機試驗的樣本空間各是什么？各個樣本點與變量的值是如何對應的？變量X，Y

有哪些共同的特征？問題1新知探究：隨機變量即離散型隨機變量的概念試驗1：從100個電子元件（至少含3個以上次品）中隨機抽取三個進行檢驗，變量X

表示三個元件中的次品數(shù)；

如果用0表示“元件為合格品”，1表示“元件為次品”，用0和1組成長度為3的字符串表示樣本點，則樣本空間Ω1＝

{000,001,010,011,100,101,110,111}00100001001110010111011110121223Ω1X各樣本點與變量X的值的對應關(guān)系如圖所示.新知探究：隨機變量即離散型隨機變量的概念試驗2：拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y

表示需要的拋擲次數(shù).

如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出現(xiàn)“正面朝上”，則樣本空間

Ω2＝{h,th,tth,tth,???}.

Ω2包含無窮多個樣本點.各樣本點與變量Y的值的對應關(guān)系如圖所示.thhtthttth

thh2134

thhΩ2Ytt問題2以上兩個試驗中的變量X,Y有哪些共同的特征?在上面兩個隨機試驗中，每個樣本點都有唯一的一個實數(shù)與之對應．變量X，Y

有如下共同點：

(1)取值依賴于樣本點；(2)所有可能取值是明確的．新知探究：隨機變量即離散型隨機變量的概念(1)隨機變量的概念一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有______的實數(shù)________與之對應，我們稱X為隨機變量．(2)隨機變量的特點①取值依賴于樣本點．②所有可能取值是明確的．(3)隨機變量的表示通常用大寫英文字母表示隨機變量，例如X，Y，Z；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，例如x，y，z.唯一X(ω)[新知生成](4)離散型隨機變量可能取值為________或可以__________的隨機變量，稱為離散型隨機變量．有限個一一列舉(5)離散型隨機變量的特征①可用數(shù)值表示．②試驗之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值．③在試驗之前不能確定取何值．④試驗結(jié)果能一一列出．[典例講評]

1．指出下列隨機變量是不是離散型隨機變量，并說明理由．(1)某座大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X；(2)某超市5月每天的銷售額；(3)某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差ξ；(4)某水位監(jiān)測站所測水位在(0，29]這一范圍內(nèi)變化，該水位站所測水位ξ.車輛數(shù)X的取值可以一一列出，是銷售額可以一一列出，是實際測量值與規(guī)定值之間的差值無法一一列出，不是水位在(0，29]這一范圍內(nèi)變化，不能按次序一一列舉，不是[母題探究]

(變題設(shè))本例題中的(4)改為：若用X＝0表示監(jiān)測站所測水位沒有超過警戒線，X＝1表示監(jiān)測站所測水位超過警戒線，警戒水位是29m，X是離散型隨機變量嗎？[解]

X是離散型隨機變量．反思領(lǐng)悟

判斷一個隨機變量X是否為離散型隨機變量的具體方法(1)明確隨機試驗的所有可能結(jié)果．(2)將隨機試驗的試驗結(jié)果數(shù)量化．(3)確定試驗結(jié)果所對應的實數(shù)是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，則該隨機變量是離散型隨機變量，否則不是．[學以致用]

1．(1)袋中有3個白球、5個黑球，從中任取兩個，可以作為隨機變量的是(

)A．至少取到1個白球 B．至多取到1個白球C．取到白球的個數(shù) D．取到的球的個數(shù)(2)下列隨機變量中不是離散型隨機變量的是________．(填序號)①某賓館每天入住的旅客的數(shù)量X；②某水文站觀測到一天中珠江的水位X；③深圳歡樂谷一天接待游客的數(shù)量X；④虎門大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)量X.√②(1)根據(jù)離散型隨機變量的定義可得，選項C是離散型隨機變量，其結(jié)果可以一一列出，其中隨機變量X的取值為0，1，2.(2)①③④中的隨機變量X的可能取值都可以按照一定的次序一一列出，因此它們是離散型隨機變量；②中的隨機變量X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，但無法按照一定的次序一一列出，故不是離散型隨機變量．]探究2離散型隨機變量的分布列探究問題2一瓶中裝有5個球，編號為1，2，3，4，5.從瓶中同時取3個，以X表示取出的3個球中的最大編號數(shù)．請思考：(1)隨機變量X的可能取值是什么？(2)試求X取不同值的概率？

(3)用表格表示X與P的對應關(guān)系？X的可能取值為3，4，5.

X345P能．X與P的對應關(guān)系表示如下．

[提示]

X01P0.50.51．概率分布列(1)概念：一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．(2)表示：離散型隨機變量的分布列可以用______或圖形表示．Xx1x2…xnPp1p2…pn表格[新知生成](3)性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝___．1

X01P1－pp我們稱X服從__________或0—1分布．兩點分布【微提醒】

隨機變量X只取0和1，才是兩點分布，否則不是．角度1

離散型隨機變量的分布列【鏈接·教材例題】例3一批筆記本電腦共有10臺，其中A品牌3臺，B品牌7臺．如果從中隨機挑選2臺，求這2臺電腦中A品牌臺數(shù)的分布列．

∴X的分布列為X012P[典例講評]

2．一個箱子里裝有5個大小相同的球，有3個白球、2個紅球，從中摸出2個球．(1)求摸出的2個球中有1個白球和1個紅球的概率；(2)用X表示摸出的2個球中的白球個數(shù)，求X的分布列．

X012P反思領(lǐng)悟

求離散型隨機變量的分布列關(guān)鍵有三點(1)隨機變量的取值．(2)每一個取值所對應的概率．(3)用所有概率之和是否為1來檢驗．

X01P1－pp

X01P所以X的分布列是反思領(lǐng)悟

兩點分布的特點(1)兩點分布中只有兩個對應結(jié)果，且兩個結(jié)果是對立的．(2)由對立事件的概率的求法可知，兩點分布中兩個概率的和為1.注意：解答此類問題時要充分利用兩點分布的特點，并利用其性質(zhì)特點對問題的結(jié)果進行檢驗．[學以致用]

2．在一次購物抽獎活動中，假設(shè)10張獎券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品，顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，求中獎次數(shù)X的分布列．

X01P∴X的分布列為探究3分布列的性質(zhì)及應用【鏈接·教材例題】例2某學校高二年級有200名學生，他們的體育綜合測試成績分5個等級，每個等級對應的分數(shù)和人數(shù)如表7.2－4所示．表7.2－4等級不及格及格中等良優(yōu)分數(shù)12345人數(shù)2050604030從這200名學生中任意選取1人，求所選同學分數(shù)X的分布列，以及P(X≥4)．[解]

由題意知，X是一個離散型隨機變量，其可能取值為1，2，3，4，5，且{X＝1}＝“不及格”，{X＝2}＝“及格”，{X＝3}＝“中等”，{X＝4}＝“良”，{X＝5}＝“優(yōu)”．根據(jù)古典概型的知識，可得X的分布列，如表7.2－5所示．表7.2－5X12345P

[解]

由題意得，X的分布列為X1Pa2a3a4a5a

反思領(lǐng)悟

離散型隨機變量分布列的性質(zhì)的應用(1)利用離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)可以求與概率有關(guān)的參數(shù)的取值或范圍，還可以檢驗所求分布列是否正確．(2)由于離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的，所以離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和．[學以致用]

3．若離散型隨機變量X的分布列為X01P9c2－c3－8c試求出離散型隨機變量X的分布列．

X01P243題號1應用遷移√1．(多選)下列隨機變量是離散型隨機變量的是(

)A．連續(xù)不斷地射擊，首次擊中目標所需要的射擊次數(shù)XB．南京長江大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)XC．某型號彩電的壽命XD．連續(xù)拋擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，所得點數(shù)之和X√√X的取值不能一一列舉出來23題號14

√X1234Pm離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)知，

23題號41√

設(shè)失敗率為p，則成功率為2p，分布列為X01Pp2p

243題號14．設(shè)隨機變量X等可能取值1，2，3，…，n，若P(X<4)＝0.3，則n＝________．

101．知識鏈：(1)隨機變量的概念、特征．(2)離散型隨機變量的概念．(3)離散型隨機變量的分布列的概念及其性質(zhì)．(4)兩點分布．2．方法鏈：離散型隨機變量分布列性質(zhì)的應用策略、轉(zhuǎn)化化歸思想．3．警示牌：不能正確地列出隨機變量的取值導致分布列求解錯誤．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：離散型隨機變量有哪些特征？[提示]

(1)可用數(shù)值表示；(2)試驗之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值；(3)在試驗之前不能確定取何值；(4)試驗結(jié)果能一一列出．課時分層作業(yè)(十四)點擊頁面進入…離散型隨機變量及其分布列（WORD版）鞏固課堂所學·激發(fā)學習思維夯實基礎(chǔ)知識·熟悉命題方式自我檢測提能·及時矯正不足本節(jié)課掌握了哪些考點？本節(jié)課還有什么疑問點？課后訓練學習反思課時小結(jié)一、選擇題1．(多選)下列變量中，不是離散型隨機變量的是(

)A．一條河流每日最大流量B．一只剛出生的大熊貓，一年以后的身高C．某人在車站等出租車的時間D．某人投籃10次，可能投中的次數(shù)√√2．(多選)拋擲兩枚骰子，記第一枚骰子擲出的點數(shù)與第二枚骰子擲出的點數(shù)之差為ξ，則“ξ＝4”表示的試驗結(jié)果是(

)A．第一枚6點，第二枚2點B．第一枚5點，第二枚1點C．第一枚2點，第二枚6點D．第一枚1點，第二枚5點√√3．已知隨機變量X的分布列如下表所示．√由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可知，4．離散型隨機變量X的分布列中部分數(shù)據(jù)丟失，丟失數(shù)據(jù)以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下所示．X123456P0.200.100.x50.100.1y0.20

A．0.25 B．0.35C．0.45 D．0.55

√5．(多選)下列選項中的隨機變量服從兩點分布的是(

)A．拋擲一枚骰子，所得點數(shù)XB．某射擊手射擊一次，擊中目標的次數(shù)XC．從裝有除顏色外其余均相同的5個紅球、3個白球的袋中任取1個球，設(shè)X＝D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)X√√√B，C，D中的隨機事件只有兩種結(jié)果，隨機變量均服從兩點分布，拋擲一枚骰子，所得點