專題14 幾何圖形初步-備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學(xué)真題題源解密（山東專用）

PAGE1專題14幾何圖形初步課標(biāo)要求考點考向1．通過實物和模型，了解從物體抽象出來的幾何體、平面、直線和點等概念。2.會比較線段的長短，理解線段的和、差，以及線段中點的意義。3.掌握基本事實:兩點確定一條直線。4.掌握基本事實:兩點之間線段最短。5.理解兩點間距離的意義，能度量和表達兩點間的距離。6.理解角的概念，能比較角的大小;認(rèn)識度、分、秒等角的度量單位，能進行簡單的單位換算，會計算角的和、差。7.理解對頂角、余角、補角等概念，探索并掌握對頂角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的補角相等的性質(zhì)。8.理解垂線、垂線段等概念，能用三角板或量角器過一點畫已知直線的垂線。9.掌握基本事實:同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。10.理解點到直線的距離的意義，能度量點到直線的距離。11.識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角。12.理解平行線的概念。13.掌握平行線基本事實I:過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行。14.掌握平行線基本事實II:兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。探索并證明平行線的判定定理:兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等(或同旁內(nèi)角互補)，那么這兩條直線平行。15.掌握平行線的性質(zhì)定理I:兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等。16.探索并證明平行線的性質(zhì)定理II:兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等(或同旁內(nèi)角互補)。17.能用三角板和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線。18.了解直棱柱、圓錐的側(cè)面展開圖，能根據(jù)展開圖想象和制作模型.幾何圖形初步考向一幾何體的展開圖考向二圓柱中的相關(guān)計算考向三對頂角考向四平行線求角考點幾何圖形初步?考向一幾何體的展開圖1.（2024?濟寧）如圖是一個正方體的展開圖，把展開圖折疊成正方體后，有“建”字一面的相對面上的字是（

）A．人 B．才 C．強 D．國【答案】D【分析】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，“Z”型首尾是相對的面，根據(jù)這一特點作答．【詳解】解：由圖可得，有“建”字一面的相對面上的字是“國”，故選：D．2.（2024?青島）如圖①，將邊長為的正方形紙板沿虛線剪掉邊長為的小正方形，得到如圖②的“紙板卡”，若用這樣完全相同的“紙板卡”拼成正方形，最少需要塊；如圖③，將長、寬、高分別為的長方體磚塊，切割掉長、寬、高分別為的長方體，得到如圖④的“直角磚塊”，若用這樣完全相同的“直角磚塊”拼成正方體，最少需要塊．【答案】12144【難度】0.65【分析】本題考查展開圖折疊成幾何體，最小公倍數(shù)等知識，先拼成一個基礎(chǔ)圖形（體），再根據(jù)正方形（體）的特征，即可解答．【詳解】解：先用2個圖②拼成一個長為3，寬為2的長方形，面積為6，的最小公倍數(shù)是6，如圖，6個這樣的長方形拼成一個面積為36的正方形，此時邊長為6，需圖②的個數(shù)：（個）；同理用2個圖④拼成長，寬，高分別為4,3,2的長方體，用個這樣的長方體拼成一個長，寬，高為12，12，2的長方體，用6個這樣的長方體可以拼成長，寬，高為12，12，12的正方體，此時需要：（個）．故答案為：12；144．?考向二圓柱中的相關(guān)計算1.（2024?濰坊）（多選）如圖，圓柱的底面半徑為，高為1，下列關(guān)于該圓柱的結(jié)論正確的有（

）

A．體積為 B．母線長為1C．側(cè)面積為 D．側(cè)面展開圖的周長為【答案】BC【分析】本題主要考查圓柱的體香，母線長，側(cè)面積以及側(cè)面展開圖的周長，運用相關(guān)知識求解各選項再判斷即可【詳解】解：A.∵圓柱的底面半徑為，高為1，∴圓柱的體積為，故選項A不符合題意；B.∵圓柱的高為1，∴圓柱的母線長為1，故選項B正確，符合題意；C.∴圓柱的底面半徑為，高為1，∴圓柱的底面周長為，∴側(cè)面積為，故選項C正確，符合題意；D.∵圓柱的底面周長為，高為1，∴圓柱的側(cè)面展開圖的周長為，故選項D錯誤，不符合題意綜上，正確的結(jié)論為B，C，故選：BC?考向三對頂角1.（2024?日照）如圖，直線相交于點O．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查對頂角的定義，幾何中角度的計算，由對頂角相等得到，即可解答．【詳解】解：，．故選：B．?考向四平行線求角1.（2024?東營）已知，直線，把一塊含有角的直角三角板如圖放置，，三角板的斜邊所在直線交于點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得出，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：B．2.（2024?濟南）如圖，已知，是等腰直角三角形，，頂點分別在上，當(dāng)時，．【答案】/65度【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，等邊對等角，得到，再根據(jù)角的和差關(guān)系求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∴；故答案為：．3.（2024?泰安）如圖，直線，等邊三角形的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，即，∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，故選：B．4.（2024?濰坊）一種路燈的示意圖如圖所示，其底部支架與吊線平行，燈桿與底部支架所成銳角．頂部支架與燈桿所成銳角，則與所成銳角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線性質(zhì)，平行公理的推論，過點作，可得，即得，，根據(jù)求出即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點作，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴與所成銳角的度數(shù)為為，故選：．5.（2024?淄博）如圖，已知，平分．若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查的是平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，解題時要熟練掌握并能靈活運用平行線的性質(zhì)是關(guān)鍵．依據(jù)題意，根據(jù)平行線及角平分線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：，，；平分，．．故選：C一、單選題1．（24-25七年級上·山東青島·期末）如圖，小東制作了一個無蓋正方體收納盒，盒子的前面有一圓形標(biāo)簽，則此收納盒的展開圖是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本題考查了幾何體的展開圖，從實物出發(fā)，結(jié)合具體的問題，根據(jù)正方體展開圖的特征解答即可．【詳解】解：此收納盒的展開圖是：

故選：B．2．（22-23七年級下·山東菏澤·期中）下列說法中正確的是（

）A．若，則平分.B．若，則，，互為補角.C．相等的角是對頂角.D．等角的余角相等.【答案】D【分析】此題考查了角平分線的定義、互補的定義、對頂角、余角的性質(zhì)等知識，根據(jù)相關(guān)知進行判斷即可【詳解】A.若，則不一定平分，故選項錯誤，不符合題意；B.若兩個角的和為，就說這兩個角互為補角，互為補角是兩個角之間的關(guān)系，故選項錯誤，不符合題意；C.相等的角不一定是對頂角.故選項錯誤，不符合題意；D.等角的余角相等.故選項正確，符合題意；故選：D3．（23-24七年級下·山東臨沂·期末）按下列要求畫圖，只能畫出一條直線的是（

）過點P畫與已知直線l垂直的直線

過點P畫與已知直線l相交的直線

過點P畫與直線l平行的直線①

②

③A．①②③ B．②③ C．①② D．①③【答案】D【分析】本題考查平行公理和垂直，根據(jù)“在同一平面內(nèi)，過直線外一點只能作一條直線與已知直線垂直”和“在同一平面內(nèi)，過直線外一點只能作一條直線與已知直線平行”即可解答．【詳解】在同一平面內(nèi)，過直線外一點只能作一條直線與已知直線垂直，故①只能畫出一條直線；在同一平面內(nèi)，過直線外一點能作無數(shù)條直線與已知直線相交，故②能畫出無數(shù)條直線；在同一平面內(nèi)，過直線外一點只能作一條直線與已知直線平行，故③只能畫出一條直線；故選：D．4．（24-25九年級上·山東青島·期中）如圖，將三角尺和三角尺疊放在一起，直角邊與完全重合，已知長為，若三角尺沿方向移動，此時測得長是6，則移動距離是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由題意知，，則，如圖，作于，則，，，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：由題意知，，∴，如圖，作于，∴cm，cm，cm，∴cm，∴cm，故選：C．【點睛】本題考查了平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正切，正弦，余弦等知識．熟練掌握平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正切，正弦，余弦是解題的關(guān)鍵．二、填空題5．（24-25七年級上·山東青島·期中）如圖是有五個正方形組成的平面圖形，小軍手中還有大小相同，標(biāo)有不同數(shù)字的正方形，現(xiàn)在他想這五個正方形基礎(chǔ)上添加一個正方形，拼接后可以折疊成一個正方體，并且要求正方體對面數(shù)字之和相等，則他共有種拼接方法，如果他添加的正方形上的數(shù)字是，則．【答案】?8【分析】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形確定出相對面，再根據(jù)相對面上的數(shù)字之和相等解答．【詳解】解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，“”與“”是相對面，“”與“”是相對面，所以，要添加的是“3”的相對面，∴要添加一個正方形，使它能折疊成一個正方體，且使相對面上的數(shù)字之和相等，則共有4種不同的添法．如圖所示：∵正方體對面數(shù)字之和相等，∴∴∴?8，故答案為：，?8．6．（2023·山東煙臺·二模）七巧板是古代中國勞動人民的發(fā)明，是一種古老的中國傳統(tǒng)智力游戲，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀(jì)．小明將一個邊長為4的正方形制作成一副如圖1所示的七巧板，取出其中的六塊，拼成了一個（如圖2），則的對角線AC的長度為．

【答案】【分析】延長，過點A作于點E，根據(jù)七巧板的特點得到，，根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】如圖所示，延長，過點A作于點E，

根據(jù)七巧板的特點可得，，是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了七巧板的特點，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)．7．（23-24七年級下·山東威?！て谀┮桓比前迦鐖D擺放，點F是邊中點，連接．將繞點B旋轉(zhuǎn)．若，則．【答案】或或或【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，與三角板有關(guān)的計算，分4種情況進行討論求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，∵點是邊中點，∴，∴，如圖，∵，∴，∴；如圖，∵，∴，∴，∴；如圖，∵，∴，∴；如圖，∵，∴，∴，綜上所述，的度數(shù)為或或或．故答案為：或或或．三、解答題8．（23-24七年級上·山東濟寧·期中）數(shù)學(xué)課上，王老師在黑板上寫出了一道題讓大家回答，題目如下：在直線上取A，，三點，使得，；如果是線段的中點，那么線段的長度是多少？學(xué)生小明讀完題后，稍微一想就畫出了如圖所示圖形，并進行了解答：因為，是線段的中點，所以______，因為____________，，所以______cm．(1)請你幫助小明將其解答過程在橫線上補充完整．(2)學(xué)生小惠看完小明的解答后，對其產(chǎn)生了質(zhì)疑，她認(rèn)為小明對此題的考慮不全面，忽略了一種情況．請你把小明忽略的那種情況畫出圖形，并模仿（1）中的格式進行解答．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了線段的和差和線段的中點的定義，解題關(guān)鍵是掌握各點之間的位置關(guān)系．（1）先計算，再根據(jù)線段之間的和差關(guān)系進行加減即可；（2）畫出圖形后利用即可求解．【詳解】（1）解：因為，是線段的中點，所以，因為，，所以cm．（2）解：如圖所示：因為，是線段的中點，所以，因為，，所以cm．9．（24-25七年級上·山東青島·期末）如圖，點在直線上，過作射線和，，是的角平分線，已知，求．【答案】【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差，由得，進而根據(jù)角平分線的定義得，即可得，再根據(jù)即可求解，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵是的角平分線，∴，∴，∵，∴．10．（23-24六年級下·山東煙臺·期末）【閱讀材料】在利用平行線的性質(zhì)解答角的問題時，有時需要添加輔助線來幫助解答．輔助線的添加既可以產(chǎn)生新的條件，又能將題目中的原有條件聯(lián)系在一起．例：如圖①，，M，N分別為直線上的點，E為之間一點，連接得到．請說明．解：過點E作．因為，所以．因為，所以．所以．因為，所以．【問題解決】如圖，，M，N分別為直線上的點．(1)如圖②，E為之間一點，銳角和鈍角的角平分線所在的直線交于點F，與交于點G．①若，，求，的度數(shù)；②若，，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；(2)如圖③，E，F(xiàn)均為之間的點，，請直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)①；；②(2)【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確做出輔助線是解題關(guān)鍵（1）如圖，過點E作，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和結(jié)合角平分線定義即可求出結(jié)果；過點E作，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和結(jié)合角平分線定義即可求出結(jié)果；（2）過點作，過點F作，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和即可求出結(jié)果；【詳解】（1）解：①如圖，過點E作，，，，；∵銳角和鈍角的角平分線所在的直線交于點F，，，，，；②如圖，過點E作，，，平分，，，，，，，，，，；（2）如圖，過點作，過點F作，，，，，，，，，11．（24-25八年級上·山東濰坊·期中）小瑩將兩把完全相同的長方形直尺和如圖放置，兩把直尺的接觸點為，的延長線經(jīng)過點且與相交于點．(1)試說明點在的角平分線上；(2)已知點，在直尺上的刻度讀數(shù)分別是和，求的長．【答案】(1)理由見解析；(2)．【分析】（）作于點，連接，由四邊形和四邊形是完全相同的長方形，可知，，則點在的平分線上；（）連接，則平分，所以，而，則，所以；本題考查了等角對等邊，角平分線的判定，平行線的性質(zhì)等知識，掌握知識點的應(yīng)用及正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，作于點，連接，∵四邊形和四邊形是完全相同的長方形，∴，，∴，，∴，∵，，∴點在的平分線上，（2）解：連接，則平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴的長為．12．（23-24七年級下·山東菏澤·期末）已知：在圖圖中，，點，點，點與，在同一平面內(nèi)．(1)探究與表達請直接寫出：圖中，，的數(shù)量關(guān)系；圖中，，的數(shù)量關(guān)系；圖中，，的數(shù)量關(guān)系：圖中，，的數(shù)量關(guān)系；圖中，，的數(shù)量關(guān)系；圖中，，，，的數(shù)量關(guān)系；(2)推導(dǎo)與應(yīng)用如圖，將長方形紙片沿折疊，已知，求的度數(shù)．【答案】(1)；；；；；；(2)．【分析】（）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可求解；（）利用（）中的結(jié)論即可求解；本題考查了平行線的性質(zhì)和平行定理推論，熟練掌握知識點的應(yīng)用及正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）如圖，過作，∵，∴，∴，，∴，∴；如圖，過作，∵，∴，∴，，∴，∴；如圖，過作，∵，∴，∴，，∴；如圖，過作，∵，∴，∴，，∴，∴；如圖，過作，∵，∴，∴，，∴，∴；如圖，同理，同理：；（2）由上可知：，∵，，∴．13．（24-25七年級上·山東淄博·期中）【閱讀材料】：為了說明“三角形的內(nèi)角和是”，小明給出了如圖所示的四種作輔助線的方法．方法①：過的頂點C作；方法②：點P在的邊上，過點P作交于點E，交于點F；方法③：點P在的內(nèi)部，過點P作交于點E，F(xiàn)，交于點D，G，交于點M，N；方法④：點P在的外部，過點P作交于點E，F(xiàn)，交于點D，．【解答問題】：(1)小明的四種作輔助線的方法中，能說明“三角形的內(nèi)角和是”的是______；（只填寫序號）(2)請從你在（1）中填寫的方法里選擇一種方法，說明“三角形的內(nèi)角和是”．【答案】(1)①②③④(2)見解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的證明方法．（1）根據(jù)輔助線的作法，結(jié)合平行線的性質(zhì)逐個圖分析即可；（2）選擇方法①，由平行線的性質(zhì)得，，結(jié)合可證．【詳解】（1）解：根據(jù)輔助線的作法，結(jié)合平行線的性質(zhì)可知①②③④均能說明“三角形的內(nèi)角和是”．故答案為：①②③④；（2）解：選擇方法①，因為所以，，所以，因為，所以，所以三角形內(nèi)角和為．14．（24-25七年級上·山東青島·期中）【提出問題】睿睿在學(xué)習(xí)完平行線的基本模型——豬蹄模型后，想繼續(xù)研究相關(guān)模型的特點，于是他組織數(shù)學(xué)興趣小組進行了以下探究：

【分析問題】如圖，已知直線，直線c分別與直線a，b相交于點E，F(xiàn)，點A，B分別在直線a，b上，且在直線c的左側(cè)，點P是直線c上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），設(shè)，，．【解決問題】（1）問題一：如圖1，當(dāng)點P在線段EF上運動時，試探索，，之間數(shù)量的關(guān)系，并給出證明．睿睿回憶豬蹄模型的證明方法：“過點P作……”請你用直尺和鉛筆在圖1中作出這一輔助線，并幫助睿睿完成證明；【類比探究】（2）問題二：當(dāng)點P在線段外運動時，（1）中的結(jié)論是否還成立呢？興趣小組的同學(xué)們認(rèn)為要分兩種情況進行討論，請你結(jié)合圖形幫助他們探究這三個角的數(shù)量關(guān)系．①如圖2，當(dāng)動點P在線段之外且在直線a的上方運動（不與E點重合）時，，，