中職數(shù)學(xué) y＝Asin(ωx＋φ)的圖像與性質(zhì)講練結(jié)合

中職數(shù)學(xué)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像與性質(zhì)[知識(shí)整合]基礎(chǔ)知識(shí)1．正弦型函數(shù)y＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ)))＋k的圖像用五點(diǎn)法作圖，即令ωx＋φ分別取0、eq\f(π,2)、π、eq\f(3π,2)、2π，求出對(duì)應(yīng)的x、y值，用描點(diǎn)法作出函數(shù)圖像．2．y＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(ωx＋φ)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0)))的主要性質(zhì)：(1)定義域：R；(2)值域：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－A，A)))；(3)周期：T＝eq\f(2π,ω).在物理學(xué)中，往復(fù)振動(dòng)一次所需要的時(shí)間T＝eq\f(2π,ω)叫作一個(gè)振動(dòng)的周期．單位時(shí)間內(nèi)往返振動(dòng)的次數(shù)f＝eq\f(1,T)叫作振動(dòng)的頻率．ωx＋φ叫作相位．當(dāng)x＝0時(shí)的相位φ叫作初相位．3．函數(shù)圖像變換y＝f(x)的圖像y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋a)))的圖像．y＝f(x)的圖像y＝f(x)＋k的圖像．y＝f(x)的圖像y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(ωx)))的圖像．y＝f(x)的圖像y＝Af(x)的圖像．4．函數(shù)y＝asinα＋bcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a>0，b>0)))轉(zhuǎn)化為y＝eq\r(a2＋b2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(α＋θ)))(其中tanθ＝eq\f(b,a)).．基礎(chǔ)訓(xùn)練1．函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))))的最小正周期是()A.eq\f(π,2)B．πC．2πD．4π2．函數(shù)y＝sin(x＋eq\f(π,3))的圖像的對(duì)稱性為()A．關(guān)于y軸對(duì)稱B．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0)))對(duì)稱D．關(guān)于直線x＝eq\f(π,6)對(duì)稱3．函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))))的圖像可由函數(shù)y＝2sinx的圖像向________平移________個(gè)單位而得到．4．利用五點(diǎn)法作函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))))在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖．[重難點(diǎn)突破]考點(diǎn)1正弦型函數(shù)的圖像例1已知函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4))))，作函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖．【解】(1)列表eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(π,2)eq\f(3π,2)eq\f(5π,2)eq\f(7π,2)eq\f(9π,2)y010－10(2)描點(diǎn)，連線，如圖所示．【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))))，作函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖．例2函數(shù)y＝sin(2x－eq\f(π,4))的圖像是由函數(shù)y＝sin2x經(jīng)過(guò)______得來(lái)的()A．向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位B．向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位C．向右平移eq\f(π,8)個(gè)單位D．向左平移eq\f(π,8)個(gè)單位【解析】函數(shù)y＝sin2x向右平移eq\f(π,8)個(gè)單位得到函數(shù)y＝sin(2x－eq\f(π,4))的圖像，故選C.【變式訓(xùn)練】函數(shù)y＝2sin(eq\f(1,2)x＋eq\f(π,3))的圖像可由函數(shù)y＝2sineq\f(1,2)x的圖像()A．向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位B．向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位C．向右平移eq\f(2π,3)個(gè)單位D．向左平移eq\f(2π,3)個(gè)單位例3已知函數(shù)f(x)的圖像如圖，則f(x)的解析式是()A．y＝eq\f(1,2)sin(3x＋eq\f(π,2))B．y＝sin(3x＋eq\f(π,2))C．y＝eq\f(1,2)sin(3x＋eq\f(π,6))D．y＝eq\f(1,2)sin(3x－eq\f(π,2))【解析】由圖像可知函數(shù)f(x)的周期為T＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(2π,3)，∴ω＝eq\f(2π,T)＝3，又函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)(－eq\f(π,6)，0)，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))上單調(diào)遞增，只有A選項(xiàng)符合，故選A.【變式訓(xùn)練】函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖像如圖所示，則()A．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))))B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))))C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))))D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))))考點(diǎn)2正弦型函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用例4函數(shù)y＝3sin(2x－eq\f(π,3))的最小正周期是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C．πD．4π【解析】周期T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π，故選C.【變式訓(xùn)練】函數(shù)y＝5sin(eq\f(x,2)＋eq\f(π,6))的最小正周期是____________．例5已知函數(shù)f(x)＝1＋sinxcosx.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若tanx＝1，求f(x)的值．【解】(1)f(x)＝1＋sinxcos＝1＋eq\f(1,2)sin2x，T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π.所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.(2)2kπ－eq\f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，kπ－eq\f(π,4)≤x≤kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-eq\f(π,4),kπ＋eq\f(π,4)](k∈Z)．(3)tanx＝1，sinx＝cosx，又因?yàn)閟in2x＋cos2x＝1，所以sinx＝cosx＝±eq\f(\r(2),2)，所以f(x)＝1＋sinxcos＝1＋(±eq\f(\r(2),2))2＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若f(α)＝eq\f(1,4)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3))))，求sinα的值．[課堂訓(xùn)練]1．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(5x－\f(π,3))))的最小正周期是()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(2π,5)D.eq\f(3π,5)2．將函數(shù)y＝sin2x的圖像向右平移eq\f(π,2)個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)是()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)3．為了得到函數(shù)y＝sin3x＋cos3x的圖像，可以將函數(shù)y＝eq\r(2)sin3x的圖像()A．向右平移eq\f(π,4)個(gè)單位B．向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位C．向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位D．向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位第4題圖4．函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2))))的部分圖像如圖所示，則ω，φ的值分別是()A．2，－eq\f(π,3)B．2，－eq\f(π,6)C．4，－eq\f(π,6)D．4，－eq\f(π,3)5．將函數(shù)y＝sinx的圖像上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的eq\f(1,4)倍(縱坐標(biāo)不變)得____________的圖像．第6題圖6．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的圖像如圖所示，則ω＝____________．7．函數(shù)f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3))))(A＞0，ω＞0)在一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x＝eq\f(π,12)時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值2，當(dāng)x＝eq\f(7π,12)時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值－2，則函數(shù)解析式為_(kāi)___________．8．如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))))一個(gè)周期的圖像，求函數(shù)的解析式．第8題圖9．已知函數(shù)y＝eq\r(3)sinx＋cosx，x∈R.(1)當(dāng)y取得最大值時(shí)，求自變量x的取值集合；(2)該函數(shù)的圖像可由y＝sinx(x∈R)的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到中職數(shù)學(xué)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像與性質(zhì)答案知識(shí)整合基礎(chǔ)訓(xùn)練1．B【解析】∵f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,4))，∴T＝eq\f(2π,2)＝π，故選B.2．D【解析】因?yàn)閥＝sinx關(guān)于直線x＝eq\f(π,2)對(duì)稱，將y＝sinx向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位，得到的新函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))))關(guān)于直線x＝eq\f(π,6)對(duì)稱．3．左eq\f(π,6)【解析】y＝2sinxy＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))).4．【解】列表：2x－eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πxeq\f(π,6)eq\f(5π,12)eq\f(2,3)πeq\f(11,12)πeq\f(7,6)πy030－30所以函數(shù)y＝3sin(2x－eq\f(π,3))在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖如下所示：第4題圖重難點(diǎn)突破【例1】【變式訓(xùn)練】【解】列表：2x＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3,2)π2πx－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7,12)πeq\f(5,6)πy010－10描點(diǎn)連線，所以函數(shù)y＝sin(2x＋eq\f(π,3))一個(gè)周期的簡(jiǎn)圖如下所示：【例2】【變式訓(xùn)練】D【例3】【變式訓(xùn)練】A【解析】根據(jù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)及函數(shù)最值點(diǎn)，確定A，ω與φ的值．由圖像知eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))))＝eq\f(π,2)，故T＝π，因此ω＝eq\f(2π,π)＝2.又圖像的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2)))，所以A＝2，且2×eq\f(π,3)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，故φ＝2kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)，結(jié)合選項(xiàng)可知y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))).【例4】【變式訓(xùn)練】4π【例5】【變式訓(xùn)練】【解】(1)f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx＝cosx＋eq\r(3)tanx·cosx＝cosx＋eq\r(3)sinx＝2·(eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx)＝2sin(x＋eq\f(π,6))．函數(shù)f(x)＝2sin(x＋eq\f(π,6))的最小正周期為T＝eq\f(2π,1)＝2π；(2)∵α∈(－eq\f(π,6)，eq\f(π,3))，∴α＋eq\f(π,6)∈(0，eq\f(π,2))．∵f(α)＝eq\f(1,4)，即2sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(1,4)，∴cos(α＋eq\f(π,6))＝eq\r(1－sin2（α＋\f(π,6)）)＝eq\f(\r(15),4).∴sinα＝sin(α＋eq\f(π,6)－eq\f(π,6))＝sin(α＋eq\f(π,6))coseq\f(π,6)－cos(α＋eq\f(π,6))sineq\f(π,6)＝eq\f(1,4)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(15),4)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),8)－eq\f(\r(15),8)＝eq\f(\r(3)－\r(15),8).課堂訓(xùn)練1．C【解析】最小正周期為T＝eq\f(2π,5).2．A【解析】y＝sin2xeq\o(→,\s\up11(向右平移),\s\do4(\f(π,2)個(gè)單位))y＝sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2))))＝－sin2x，所得函數(shù)為y＝－sin2x，是奇函數(shù)．3．D【解析】函數(shù)y＝sin3x＋cos3x可化為y＝eq\r(2)sin(3x＋eq\f(π,4))，即y＝eq\r(2)sin[3(x+eq\f(π,12))]，所以將函數(shù)y＝eq\r(2)sin3x的圖像向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位可得到y(tǒng)＝eq\r(2)sin[3(x+eq\f(π,12))]，故選D.4．A【解析】由圖像可得T＝π，∴ω＝2，將x＝eq\f(11,12)π，y＝－2代入函數(shù)，解得φ＝－eq\f(π,3)，故選A.5．y＝sin4x6.eq\f(3,2)【解