北師大版九年級上期數(shù)學教案

第一章特殊平行四邊形

1.菱形的性質(zhì)與判定（一）

師生結論:①菱形是周對稱圖形,有兩條對稱軸，是菱形對角線所在的直線，

兩條對角線互相垂直。②菱形的四條邊相等。

3、證明菱形性質(zhì)

教師：通過折紙活動，同學們已經(jīng)對菱形的性質(zhì)有了初步的理解，下面我們

要對菱形的性質(zhì)進行嚴格的邏輯證明。

教師活動：展示題目

圖1-1

已知：如圖1T,在菱形ABCD中，AB=AD,對角線AC與BD相交于點0.

求證：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC±BD.

師生共析：①菱形不僅對邊相等，而且鄰邊相等，這樣就可以證明菱形的四

條邊都相等了。

②因為菱形是平行四邊形，所以點0是對角線AC與BD中點；又

因為在菱形中可以得到等腰三角形，這樣就可以利用“三線合一”

來證明結論了。

學生活動：寫出證明過程，進行組內(nèi)交流對比，優(yōu)化證明方法，掌握相關定

理。

證明:(1)???四邊形ABCD是菱形，

AAB=CD,AD=BC(菱形的對邊相等).

XVAB=AD

.\AB=BC=CD=AD

(2)VAB=AD

...△ABD是等腰三角形

又???四邊形ABCD是菱形

/.OB=OD(菱形的對角線互相平分)

在等腰三角形ABD中，

VOB=OD

.\AO±BD

即AC1BD

教師活動：展示學生的證明過程，進行恰當?shù)狞c評和鼓勵，優(yōu)化學生的證明

方法，提高學生的邏輯證明能力，最后強調(diào)“菱形的四條邊都相等”“菱形的對

角線互相垂直”，讓學生形成牢固記憶，留下深刻印象。

【教學目的】

學生通過折紙可以猜想到菱形的相關性質(zhì)，教師在參與學生的活動過程中,

應該關注學生的口述論證過程，并根據(jù)學生的認知水平加以引導，盡量減少學生

推理論證過程中的困難。

學生經(jīng)過了折紙這一操作活動后，再經(jīng)過邏輯證明，把操作層面的感知上升

到了理性認識，充分了解了菱形的本質(zhì)特征。本環(huán)節(jié)讓學生進行猜想探究和證明，

符合學生的認知規(guī)律。同時，操作活動得到的結論與邏輯推理相結合，是對數(shù)學

知識進行探索活動的自然延續(xù)，實現(xiàn)了從感性認識到理性認識的升華。

【注意事項】

在折紙過程中，教師要與學生探討折紙的方法，明確折疊過程中的對應點及

相應的對稱軸，對稱軸是菱形對角線所在的直線，而不是菱形的對角線，以便于

學生正確迅速找出菱形中的對稱關系。掌握數(shù)學知識，離不開“實踐f認識f再

實踐f認識”這個重要的數(shù)學學習方法，通過說理論證可以使學生充分理解菱形

的本質(zhì)，對這樣的過程學生也可以很好的掌握，在這個過程中，教師要充分關注

學生使用幾何語言的規(guī)范性和嚴謹性。

第四環(huán)節(jié)性質(zhì)應用與鞏固

【教學內(nèi)容】

教師：通過剛才的嚴格論證，我們已經(jīng)認識

了菱形的特殊性質(zhì)，下面我們利用這些性質(zhì)來解

決一些問題。

教師活動：展示題目

1、例1如圖1-2,在菱形ABCD中，對角線

AC與BD相交于點0,ZBAD=60°,BD=6,求菱形的邊長AB和對角線AC的長。

圖1-2

師生共析：①因為菱形的鄰邊相等，一個內(nèi)角是60°,這樣就可以得到等

邊AABD,BD=6,菱形的邊長也是6。

②菱形的對角線互相垂直，可以得到直角^AOB；菱形的對角線

互相平分，可以得到0B=3,根據(jù)勾股定理就可以求出0A的長

度；再一次根據(jù)菱形的對角線互相平分，即AC=20A,求出ACo

解：???四邊形ABCD是菱形

.?.AB=AD（菱形的四條邊都相等）

11

22AC1BD（菱形的對角線互相垂直）

0B=0D=BD=X6=3（菱形的對角線互相平分）

在等腰三角形ABC中，

VZBAD=60°

.'.△ABD是等邊三角形

.?.AB=BD=6

在Rt^AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2

OA==超―-=域

dC=2CM=66

2、隨堂練習

如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0.

已知AB=5cm,A0=4cm求BD的長.

師生共析：從圖中可以知道AC與BD互相垂直，可以構成直角AA0B,因為

AB=5cm,A0=4cm,這樣就可以運用勾股定理求出0B；又因為菱

形的對角線互相平分，BD為0B的兩倍，這樣就可以很方便的求

出BD的數(shù)值了。

解：???四邊形ABCD是菱形

/.AC±BD（菱形的對角線互相垂直）

在Rt△在B中,由勾股定理，A02+B02=AB2

BO=ylAB2-AO2=j5J-42=3?

???四邊形ABCD是菱形

.,.BD=2B0=2X3=6（菱形的對角線互相平分）

所以，BD的長是6cm.

【教學目的】

學生通過本環(huán)節(jié)的學習，進一步理解和掌握了菱形的性質(zhì)，對前面所學知

識進行了更加深入的認識，同時提高了學生的邏輯推理能力，培養(yǎng)了學生的主動

探索能力，激發(fā)了學生學習的興趣。

【注意事項】

在此活動中，教師應重點關注以下方面：（1）學生是否提出了不同的解題方

法，這種方法的優(yōu)點和缺點分別是什么；（2）學生的幾何語言是否準確、規(guī)范、

嚴謹；（3）給學生充分的獨立思考時間和交流時間，讓學生在合作交流的過程中

完成題目，理解所學的知識。

第五環(huán)節(jié)課堂小結

【教學內(nèi)容】

本節(jié)課我們探討了菱形的定義、性質(zhì)，我們來共同總結一下:

1、菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

2、菱形的性質(zhì)：①菱形是軸對稱圖形，對稱軸是兩條對角線所在的直線；

②菱形的四條邊都相等；③菱形的對角線互相垂直平分。

3、菱形具有平行四邊形的所有，應用菱形的性質(zhì)可以進行計算和推理。

第四環(huán)節(jié)：教師引導，獨立證明

活動內(nèi)容：組織學生以小組合作的方式獨立完成“對角線垂直的平行四邊形

是菱形”和

“四條邊相等的四邊形是菱形”兩個判定定理的證明，并進行全班交流。

（一）對角線垂直的平行四邊形是菱形

已知:如圖1-3,在。ABCD中,對角線AC與BD交

,--------------c于點0,AC±BD.

求證：0ABCD是菱形

圖1-3

證明：???四邊形ABCD是平行四邊形

/.OA=OC

XVAC±BD

ABD是線段AC的垂直平分線

.\BA=BC

...四邊形ABCD是菱形（菱形定義）

（二）四條邊相等的四邊形是菱形

已知：如圖1-5,四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA.

求證：四邊形ABCD是菱形

證明：?.?AB=CD,AD=BC

...四邊形ABCD是平行四邊形

又；AB=BC

...四邊形ABCD是菱形（菱形定義）

活動目的：菱形判定定理的證明首先可以讓學生對菱形的性質(zhì)和判定的關系

有一定的認識，再對比性質(zhì)定理的證明進行，同時，通過教師引導和獨立思考,

培養(yǎng)學生遇到題目時冷靜思考，找到解題思路的良好習慣。在分析思路時，逐步

鍛煉學生的推理論證能力，最后通過互查的形式讓每個學生都能嚴格的證明，培

養(yǎng)嚴謹?shù)淖黠L。通過小組合作，在合作中讓學生相互幫助共同進步。

第一環(huán)節(jié)：知識回顧

圖

1內(nèi)容：同學們通過前兩節(jié)課的學習我們已經(jīng)知道

了菱形的性質(zhì)及判定，你能完成下面幾個題目嗎？

1.如圖1所示：在菱形ABCD中，AB=6,請回答下列問題:

（1）其余三條邊AD、DC,BC的長度分別是多少？

⑵對角線AC與BD有什么位置關系？

(3)若NADC=120°，求AC的長。

A

如圖2所示：在口ABCD中添加一個條件使其成為菱形:

添加方式1：.

添加方式2：.

目的：通過一些簡單題目的設計，幫助學生回顧菱形的相關性質(zhì)及判定方法,

學生從題目入手，不會顯得那么古板枯燥，不僅能回顧相關知識而且能激發(fā)學生

學習興趣。

效果：學生通過題目很好地回顧了相關知識，為后續(xù)的學習打下了基礎。

第二環(huán)節(jié)：知識應用

1.典型例題:

因,例3如圖3,四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形，其中對角

線BD長為10cm.求：（1）對角線AC的長度；

⑵菱形ABCD的面積.

解：（1）..?四邊形ABCD是菱形,

；.AC_LBD,即NAED=90°，

DE=2BDX10=5(cm)

...在RtaADE中，由勾股定理可得：

AE7心一口史=7132-52=12(cm).

，AC=2AE=2X12=24(cm).

(2)S菱形SAM；D+S△CBD

1

=2XSAADD=2X2XBDXAE

=BDXAE=10X12=120(cm2).

目的：通過例3讓學生對菱形的相關性質(zhì)進行靈活應用，同時學生對于具體

的問題通過自主思考、小組交流、學生展講、教師點撥后基本能形成比較好的解

題思路。

效果：學生對于第一個問題的解決比較容易，但是學生的書寫過程不規(guī)范；

對于第二個問題，學生很容易求一邊上的高，經(jīng)過討論交流點撥后學生能接受這

種方法。在實際過程中教師應追問學生菱形的面積和對角線有什么關系，引起學

生的思考，進而突破這一教學難點。

2.變式訓練：如上圖3,四邊形ABCD是菱形，其中對角線BD長為12cm,AC

長為16cm.求：

(1)菱形的邊長；

(2)求菱形一條邊上的高。

目的：變式訓練的設計，是想讓學生更加深入地掌握菱形的相關性質(zhì)，同時

對于第二問，學生必須靈活運用菱形的面積等于對角線乘積的一半，這一結論求

出面積進而求出一邊上的高。

效果：學生對于第一個問題解決比較順暢，書寫較例3規(guī)范多了，但對于第

二問仍然有疑問，教學時注意引導。

3.方法啟迪：

同學們在我們剛才完成的例題及變式訓練中你有什么方法感悟或者經(jīng)驗？

目的：學生完成典型例題后及時總結經(jīng)驗是幫助學生形成解題思路的好辦法,

教師借助這一環(huán)節(jié)既幫助學生梳理了思路，同時對于學習還有困難的學生是一個

好的學習機會。

效果：學生對解決菱形性質(zhì)類題目有了自己的思路，同時在例題和變式訓練

中有問題的同學通過思路的梳理與解析，也基本能掌握解題的方法。

4.知者加速與補讀幫困：

知者加速1：已知菱形的周長為40cm,一條對角線長為16cm,則這個菱形的

面積是cm2.

目的：對于數(shù)學學科的學習，大多數(shù)數(shù)學老師我想都有這樣的感受，無論是

新授課還是復習課，學生掌握知識的差異太大了，為了不讓掌握較快的同學（我

們稱為“知者”）在陪讀中浪費大量的時間，自然分材教學主張這部分同學能夠

先行一步，課堂上能盡可能多的掌握知識（我們稱為“加速

正是因為數(shù)學每一節(jié)課的知識點都比較集中，數(shù)學課堂上對于學困生的幫助

才比較容易操作。教師在面向全體學生實施教學后，對掌握較慢接受能力較差的

同學（我們稱為“補讀生”）應及時幫困。

效果：知者加速的操作主要是從熟練掌握知識點和拓寬學生知識面兩個方面

來進行的?！爸摺睂W完新授知識以后，最主要的任務還是熟練掌握知識點，此

時教師應可以通過典型例題的反復練習提高學生對于知識點熟練程度為后面的

靈活運用打好基礎。當“知者”已經(jīng)掌握知識點以后，教師就應該及時通過變式

訓練或增加難度,拓寬學生的知識面，提高學習興趣。

通過補讀幫困讓學習有困難的這部分同學能夠在數(shù)學課上盡可能地掌握知

識，以樹立學習數(shù)學的信心。

第三環(huán)節(jié)：拓展提高

1.如圖4,兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重

疊部分ABCD是菱形嗎？為什么？

2.如圖5,你能用一張銳角三角形紙片

ABC折出一個菱形，使NA成為菱形一個內(nèi)角嗎？

目的：很多學生在玩耍的時候經(jīng)常玩紙條，學生非常熟悉這一背景，但是他

們很少發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學知識，這樣也能引起學生的興趣，同時通過這一題目對于

菱形的相關判定方法也進行了鞏固。

效果：學生學習的興致非常高，討論積極，通過學生討論、教師點撥后對

問題基本理解。

第四環(huán)節(jié)：效果檢測

1.如圖6所示，菱形ABCD的周長為40cm,它的一條對角線BD長10cm,則

ZABC=°，AC=cm.

圖6

2.如圖7,四邊形ABCD是菱形，對角線AC和BD相交于點0,

AC=4cm,BD=8cm,則這個菱形的面積是cm".

圖8圖7

3.已知,如圖8,在四邊形ABCD中，AD=BC,點E、F、G、H分別是AB、CD、

AC、BD的中點，四邊形EGFH是（）

A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.正方形

已知：如圖9,在菱形ABCD中，E、F分

別是AB和BC上的點，且BE=BF,

求證：(l)AADE^CDF；(2)ZDEF=ZDFE.

知者加速2：已知：如圖10,在Rt^ABC=90°,ZBAC=60°,BC的垂直平

分線分別交BC和AB于點D、E,點F在DE延長線上，且AF=CE,求證：四邊形

ACEF是菱形.

第五環(huán)節(jié)：課堂小結

內(nèi)容：通過本節(jié)課的學習你有哪些收獲，你還存在什么疑問？請從以下三個

方面進行總結：知識收獲、方法收獲、關注問題?？偨Y完成后請小組內(nèi)進行交流。

最后教師應對本節(jié)課方法上，解題思路上進行升華點撥。

目的：學生能從以上三個方面對本節(jié)課進行總結、反思，能起到鞏固所學知

識，歸納學習方法，提高學生的歸納概括能力的作用。

效果：學生從以上三個方面進行了系統(tǒng)的總結與反思，同時通過小組交流暢

所欲言，既回顧了知識又幫助了同學。

第六環(huán)節(jié)：因人作業(yè)

必做題：課本p27知識技能第3題，第4題，第8題;

選做題:如圖11,在四邊形ABCD中，AD〃BC,E

為BC的中點，BC=2AD,EA=ED=2,AC與ED相交于點F.當AB與AC具有什么

位置關系時，四邊形AECD是菱形？請說明理由，并求出此時菱形AECD的面積.

矩形的性質(zhì)定理1：矩形的四個角都是直角.

矩形的性質(zhì)定理2：矩形的對角線相等.

歸納概括矩形的性質(zhì)：

從邊來說，矩形的對邊平行且相等；

從角來說，矩形的四個角都是直角；

從對角線來說，矩形的對角線相等且互相平分；

從對稱性來說，矩形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。

問題3：矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）

A.對角相等B.對邊相等C.對角線相等D.對角線互相平分

活動目的：在前面學習了菱形的基礎上學生已經(jīng)知道怎么研究圖形的對稱性，在

知道方法的條件下，學生完全可以通過自己的操作、觀察、猜想，最終得到矩形

的對稱特征，這對學生來說是富有意義的活動，學生對此也很感興趣。

活動的注意事項：在學習了矩形的性質(zhì)后，一定要引導學生歸納總結，把新

學到的知識和自己的已有知識經(jīng)驗穿成串，從而讓自己的認識升華，形成自己的

知識系統(tǒng)。

第五環(huán)節(jié)：建構新知，發(fā)展問題

活動內(nèi)容：（1）提出問題：由矩形的四個角都是直角可得幾個直角三角形？在直

角三角形ABC中，你能找到它的一條特殊線段嗎？你

能發(fā)現(xiàn)它有什么特殊的性質(zhì)嗎？你能借助于矩形加

以證明嗎？

（2）教師板書推論及推理語言:

定理：直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半.

(3)練一練

已知4ABC是RtA,ZABC=90°,BD是斜邊AC上的中

線.

⑴若BD=3cm,貝［JAC=____cm;

⑵若NC=30°,AB=5cm,貝UAC=cm,BD=cm.

活動目的：先從矩形的對角線相關性質(zhì)推出直角三角形的性質(zhì)，達到“學數(shù)學,

用數(shù)學”的目的。再通過習題，讓學生掌握“在直角三角形中斜邊上的中線等

于斜邊的一半”這一性質(zhì)，達到學以致用的目的，培養(yǎng)了學生的應用意識。

活動的注意事項：“在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”，是直角

三角形中的一個重要性質(zhì)。在活動過程，一定要讓學生理解該定理的應用需滿足

兩個條件：（1）直角三角形（2）斜邊的中點。

第六環(huán)節(jié)：合作交流，解決問題

活動內(nèi)容：例1：如圖，在矩形ABCD中，兩條對角線相交于點0,ZA0D=120°,

AB=2.5cm,求矩形對角線的長。

證明：???四邊形ABCD是矩形,

...AC=BD(矩形的對角線相等)

0A=0C=2AC,0B=0D=2BD,

.\0A=0Do

VZA0D=120o,

1

AZ0DA=Z0AD=2(180°-120°)=30°。

又???NDAB=90°(矩形的四個角都是直角)

/.BD=2AB=2X2.5=5.

活動內(nèi)容：1.本節(jié)課你學到了什么？

(1)矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

(2)矩形的性質(zhì)

(3)直角三角形的性質(zhì)

(4)矩形的一條對角線把矩形分成兩個全等的直角三角形；矩形的兩條對角線

把矩形分成兩對全等的等腰三角形。因此，有關矩形的問題往往可化為直角三角

或等腰三角形的問題來解決。

2.自我檢測。

(1)下列說法錯誤的是().

A.矩形的對角線互相平分B.矩形的對角線相等。

C.有一個角是直角的四邊形是矩形D.有一個角是直角的平行四邊形叫

做矩形

(2)已知矩形的一條對角線長為10cm,兩條對角線的一個交角為120°,則矩

形的邊長分別為o

1.已知：如圖，M為平行四邊形ABCD邊AD的中點，且MB=MC.

求證：四邊形ABCD是矩形.

2.已知：如圖，菱形力中，對角線然和劭相較于點0,CM//BD,DM//AC.

求證：四邊形0。"是矩形.

活動目的：通過2道練習題進一步鞏固矩形的判定定理，提高學生的邏輯推理能

力。

活動注意事項：通過學生的板書，查看存在問題，查漏補缺。鼓勵學生一題多解，

注重發(fā)散思維培養(yǎng)。

第一環(huán)節(jié)復習導入

1.如圖1,矩形ABCD的兩條對角線相交于點0,已知NA0D=120°,AB=2.5cm,

貝0ZDA0=_____,AC=_______cm,Sy?=_______o

2.如圖2,四邊形ABCD是平行四邊形，添加一個條件,可使它

成為矩形。

目的：

1、通過兩道題目復習矩形的性質(zhì)和判定，復習舊知識為本節(jié)課的進行熱身。

2、學生回答解題時使用的方法，進一步為本節(jié)課的開展做鋪墊。

第二環(huán)講授新課

D例3如圖1T4,在矩形ABCD中,

AD=6,對角線AC與BD交于點0,AE±

BD,垂足為E,ED=3BE.求AE的長.

解；四邊形ABCD是矩形，

CI

.\A0=B0=D0=2BD（矩形的對角線相

等且互相平分）.

ZBAD=90°（矩形的四個都是直角）.

VED=3BE,

.\BE=0E.

又；AE_LBD,

.*.AB=A0.

.*.AB=A0=B0.

即AABO是等邊三角形.

ZAB0=60°.

AZADB=90°-ZAB0=30°.

在RtAAED中，

VZADB=30°,

11

/.AE=2AD=2X6=3.

方法和目的：這里的證明首先可以讓學生對矩形的性質(zhì)和判定有更深刻的認

知，同時，通過教師引導和獨立思考，培養(yǎng)遇到題目時冷靜思考，找到解題思路

的良好習慣。在分析思路時，逐步鍛煉學生的推理論證能力，最后通過互查的形

式讓每個學生都能嚴格的證明，培養(yǎng)嚴謹?shù)淖黠L。通過小組合作，在合作中讓學

生相互幫助共同進步。

例4如圖1T5,在aABC中，AB=AC,AD為NBAC的平分線，AN為aABC

在AABC中，

VAB=AC,AD為NBAC的平分線，

/.AD±BC.

.,.ZADC=90°.

XVCE1AN,

/.ZCEA=90°.

四邊形ADCE為矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形）.

注意事項：本題在解決上一題的基礎上，運用已有知識解決問題，進一步

發(fā)展學生的推理能力，通過證明，讓學生體會轉化的數(shù)學思想。在例題4的證明

中，通過讓學生找尋不同的解題方法，培養(yǎng)學生的分析能力，深刻體會數(shù)學思想

的多樣性和靈活性。在一題多解的過程中，貫徹分層教學的理念，讓學生在思維

最活躍的時候，最大化地提高學生能力。

第三環(huán)節(jié)鞏固提高

在例題4中，若連接DE,交AC于點F(如圖1-16)

(1)試判斷四邊形ABDE的形狀，并證明你的結

論.

(2)線段DF與AB有怎樣的關系？請證明你的結

論.

注意事項：本題的綜合性比較強，對于不同層次的學生，本題的考慮方法也會

有區(qū)別，教師都應該鼓勵學生大膽嘗試，用自己的方法去試著解決。

練習：已知：如圖，四邊形ABCD是由

兩個全等的等邊三角形ABD和CBD組成,

M、N分別是BC和AD的中點.

求證：四邊形BMDN是矩形.

(二)如圖，四邊形ABCD中，對角線相交于點0,E、F、G、H分別

是AD,BD,BC,AC的中點。

(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)當四邊形ABCD滿足一個什么條件時，四邊

形EFGH是菱形？并證明你的結論。

BC

G

第五環(huán)節(jié)：練習提高

活動內(nèi)容：

1：如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,圖中有多少個等腰三

角形？

2：如圖，在正方形ABCD中，點F為對角線AC上一點，連接BF,DF。你能找出

圖中的全等三角形嗎？選擇其中一對進行證明。

本環(huán)節(jié)中教師可以鼓勵操作快的學生幫助有困難的學生，請同學到講臺前講

解自己的做法和判斷依據(jù)，順勢引導學生總結出正方形的判定定理：

1.對角線相等的菱形是正方形。

2.對角線垂直的矩形是正方形。

3.有一個角是直角的菱形是正方形。

教師可以課件展示下面的框架圖，復習鞏固平行四邊形、矩形、菱形、正方

形之間的關系。

第二環(huán)節(jié)：運用鞏固

活動內(nèi)容：

例2如圖1-21.在矩形.4BCO中，BE平分/ABC,CE平分/。。夙

BF//CE,。尸〃BE.求證：四邊形笈右。尸是正方形.

證明：BF//CE,CF//BE,

/.四邊形BECF是平行四邊形.

四邊形.458是矩形.

//8c=90°.ZDCB=90°.

乂?/BE平分/ABC,CE平分/DCB,

圖1-21

Z_EBC=ZABC=45°./ECB=*/DCB=時.

乙J

/EBC=/ECB.

/.EB=EC.

□BECF是菱形（菱形的定義）.

在△￡?（7中.

^EBC=45°,Z_ECB=45°,

/8EC=90°.

/.菱形跳CF是正方形（有一個角是直角的菱形是正方形）.

活動目的：

通過例2,復習鞏固平行四邊形、菱形、矩形、正方形的性質(zhì)與判定定理,

讓學生嘗試綜合運用特殊四邊形的性質(zhì)和判定解決問題。

活動的注意事項：

此環(huán)節(jié)采用合作學習的策略，鼓勵學生多層面、多角度地思考正方形判定的

運用，目的在于加深學生對判定本身的理解和掌握，同時也豐富了交流的內(nèi)容，

激發(fā)了交流的氣氛，使新舊知識融會貫通，達到同學間的溝通、互補、共同提高

的目的，教師應對學生的合理講解給予肯定和鼓勵。而且整個過程也使學生重新

回顧了證明的步驟，為進一步發(fā)展學生的演繹推理能力奠定了基礎。

第三環(huán)節(jié)：猜想結論，分組驗證

活動內(nèi)容1:

圖1-8-1圖1-8-2圖1-8-3

問題：1.如圖，在AABC中，EF為AABC的中位線，

①若NBEF=30,則NA=.

②若EF=8cm,則AC=.

2.在AC的下方找一點D,做CD和AD的中點G、H,問EF和GH有怎樣的關系？EH

和FG呢?

3.四邊形EFGH的形狀有什么特征？

生的自主性，也激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣。

得出結論：

平行四邊形的中點四邊形是平行四邊形；

矩形的中點四邊形是菱形；

菱形的中點四邊形是矩形；

正方形的中點四邊形是正方形；

等腰梯形的中點四邊形是菱形；

直角梯形的中點四邊形是平行四邊形；

梯形的中點四邊形是平行四邊形。

活動內(nèi)容4：

問題：1.矩形和等腰梯形是形狀不同的四邊形，為什么中點四邊形都由平行四邊

形變化為菱形？

2.平行四邊形變化為菱形需要增加什么條件？

3.你是從什么角度考慮的？

4.你從哪兒得到的啟發(fā)？

5.你能用你的發(fā)現(xiàn)解釋其它的圖形變化嗎？例如：原四邊形為菱形，其中

點四邊形為矩形？

概括出規(guī)律：

決定中點四邊形EFGH的形狀的主要因素是原四邊形ABCD的對角線的長度和

位置關系。

(1)若對角線相等，則中點四邊形EFGH為菱形；

(2)若對角線互相垂直，則中點四邊形EFGH為矩形；

(3)若對角線既相等，又垂直，則中點四邊形EFGH為正方形；

(4)若對角線既不相等，又不垂直，則中點四邊形EFGH為平行四邊形。

圖1-8-11圖1-8-12圖1-8-13圖1-8-14

這里讓學生通過歸納，學會把知識整理成一個系統(tǒng)，也就是我們常要求的：

教學過程貴在讓學生掌握學習的方法，讓學生真正地“會學”，既學法指導。這

里正是滲透了這種思想。老師再次利用幾何畫板進行演示，讓學生們觀察中點四

邊形的邊和角的變化情況，體會圖形運動變化的過程，驗證同學們歸納的結論的

正確性，給予學生們直觀的感受。

第四環(huán)節(jié)：學以致用

活動內(nèi)容：（圖形發(fā)散練習）

利用幾何畫板，拖動A點使四邊形ABCD的圖形變化進行研究。

圖1-8-15圖1-8-16圖1-8-17圖

1-8-18

活動目的：

用動畫的形式讓同學們觀察四邊形的不斷變化過程中，中點四邊形的變化情

況，體會變化中存在的不變的幾何關系：圖中幾何圖形的位置關系處在相互依存

的狀態(tài)之中，靜態(tài)圖形只是動態(tài)圖形在變化過程中的某一瞬間，意在培養(yǎng)學生的

發(fā)散思維能力，提高學生研究數(shù)學的興趣和創(chuàng)新意識。

在題目的設置上，采用逐步遞進的策略,其中圖『8-15是ABCD為凸四邊形，

圖1-8T6是AB、AD在同一線段上，圖1-8T7是ABCD為凹四邊形，圖L8T8

是ABCD為扭曲四邊形。

活動內(nèi)容：

小如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的

垂直距離為8m.如果梯子的頂端下滑1m.那么梯子的底端滑動多少

木?

活動目的：

通過前兩個環(huán)節(jié)的學習，直接讓學生設未知數(shù)，列出適合條件的方程。

活動的實際效果：

先讓學生理解題意，然后讓一生結合圖示分析題意，這樣等量關系就會浮出

水面。由于有了前兩個環(huán)節(jié)作鋪墊，學生自然地設梯子底端滑動Xm,從而列出方

程，問題解決得很順暢。

第五環(huán)節(jié)：學以致用

活動內(nèi)容：

1、把方程（3x+2"=4（x—3”化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的

二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

2.從前有一天，一個醉漢拿著竹竿進屋，橫拿豎拿都進不去，橫著比門框

寬4尺，豎著比門框高2尺，另一個醉漢教他沿著門的兩個對角斜著拿竿，這個

醉漢一試，不多不少剛好進去了.你知道竹竿有多長嗎？請根據(jù)這一問題列出方

程.

第二章一元二次方程

1.認識一元二次方程（一）

一、學生知識狀況分析

學生的知識技能基礎：學生在七年級已學過一元一次方程的概念，經(jīng)歷過由

具體問題抽象出一元一次方程的過程；學生在八年級已學過二元一次方程組的概

念，經(jīng)歷過由具體問題抽象出二元一次方程組的過程;學生已理解了“元”和“次”

的含義，具備了學習一元二次方程的基本技能。

學生活動經(jīng)驗基礎：在相關知識的學習過程中，學生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學

習的過程，具有了一定的合作學習的經(jīng)驗和數(shù)學思考，具備了一定的合作與交流

的能力。

二、教學任務分析

教科書基于學生對方程認識的基礎之上，提出了本課的具體學習任務：1、

經(jīng)歷抽象一元二次方程概念的過程，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關系

的一個有效數(shù)學模型。2、會識別一元二次方程及各部分名稱。從數(shù)學課堂的遠

期目標來看，還應該培養(yǎng)學生提出問題、分析問題、解決問題的能力。

三、教學過程分析

本節(jié)課設計了七個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：自主探究問題一；第二環(huán)節(jié)：自主

探究問題二；第三環(huán)節(jié)：自主探究問題三；第四環(huán)節(jié)：總結歸納；第五環(huán)節(jié)：學

以致用；第六環(huán)節(jié)：反思；第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。

第一環(huán)節(jié)：自主探究問題一

活動內(nèi)容：

出示問題一：幼兒園活動教室矩形地面的長

為8米，寬為5米，現(xiàn)準備在地面的正中間鋪設一

塊面積為18m2的地毯，四周未鋪地毯的條形區(qū)域的寬度都相同，根據(jù)這一情境,

結合已知量你想求哪些量？你能根據(jù)條件列出關于這個量的什么關系式？

活動目的：

提出了半開放性的問題：根據(jù)這一情境，結合這些已知量，你想求哪些量？

旨在培養(yǎng)學生的問題意識；要求學生根據(jù)條件列出關系式，旨在提高學生分析問

題的能力、提高學生抽象思維能力，同時也為后續(xù)歸納一元二次方程提供材料。

教學要求與效果：

?|教學中，為了幫助學生理解題意，可以首先提出問題：你能

找到圖中的矩形地面、條形區(qū)域和地毯區(qū)域嗎？并讓一生指出對應的三部分；接

著要求學生從這一實物圖中抽象出幾何圖形，自己畫出所抽象出的幾何圖形，然

后教師呈現(xiàn)第二幅圖。

教學中教師可以一次完成下列任務：

（1）羅列學生提的問題；

（2）引導學生分析所提問題滿足的條件，提出解答的方式；

（3）引導學生列出相應的方程并整理。

從實際效果來看，學生提出的問題多樣有：（1）花邊的寬，（2）中央長方形

的長、寬等；學生列方程問題不大，所列方程也多樣，依據(jù)的等量關系不同，得

到的方程也不同；但是，整理方程時顯得困難，這與課前沒有復習整式的運算有

直接的關系。

第二環(huán)節(jié)：自主探究問題二

活動內(nèi)容：

在學生的疑問處提出問題：你能找到關于10二1F、I2?、132、14?這五個數(shù)

之間的等式嗎？

得到等式10立1「+122=134142之后你的猜想是什么？

根據(jù)猜想繼續(xù)找五個連續(xù)整數(shù)，使前三個數(shù)的平方和等于后兩個數(shù)的平方

和。

在難以找到的情況下，歸結為方程去解決。

活動目的：

上述問題直接給出方程沒有說服力，所以先讓學生猜想。學生得到的猜想

是：是否還存在五個連續(xù)整數(shù)，使前三個數(shù)的平方和等于后兩個數(shù)的平方和。然

后讓學生根據(jù)猜想繼續(xù)找這樣的五個連續(xù)整數(shù)，在難以找到的情況下，促使學生

想辦法歸結為方程去解決。

教學要求與效果：

找到等式102+112+122=132+14?之后的猜想不同。再找五個連續(xù)整數(shù)，使前三個

數(shù)的平方和等于后兩個數(shù)的平方和，部分學生有困難，尋找的方式也有不同。有

的同學采取代入特殊值一個一個去試一試，有的同學直接歸結為方程去解決。

首先，“我”巡視那些無從下手的學生，問：需要我的幫助嗎？然后給予必

要的指導。

然后巡視那些已經(jīng)解決問題的同學，給予適當?shù)墓膭?。關注學生在探索-發(fā)

現(xiàn)-歸納的過程中的主動參與程度與合作交流意識，及時給予鼓勵、指導。

從實際效果來看，學生的學習積極性很高，課上到這兒達到一個小高潮。

第三環(huán)節(jié)：自主探究問題三

活動內(nèi)容：

小如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的

垂直距離為8m.如果梯子的頂端下滑1m.那么梯子的底端滑動多少

木?

活動目的：

通過前兩個環(huán)節(jié)的學習，直接讓學生設未知數(shù)，列出適合條件的方程。

活動的實際效果：

先讓學生理解題意，然后讓一生結合圖示分析題意，這樣等量關系就會浮出

水面。由于有了前兩個環(huán)節(jié)作鋪墊，學生自然地設梯子底端滑動Xm,從而列出方

程，問題解決得很順暢。

第四環(huán)節(jié)：總結歸納

活動內(nèi)容：

歸納一元二次方程的概念：結合上面三個問題得到的三個方程，觀察它們的

共同點，得到一元二次方程的概念及其各部分的名稱。

活動目的：

關注學生對概念的理解，通過具體的例子來歸納一元二次方程的概念，加深

對概念的理解。

活動的實際效果：學生基本能識別一元二次方程及各個部分。

第五環(huán)節(jié)：學以致用

活動內(nèi)容：

1、把方程(3x+2)2=4(x—3)2化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的

二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

2.從前有一天，一個醉漢拿著竹竿進屋，橫拿豎拿都進不去，橫著比門框

寬4尺，豎著比門框高2尺，另一個醉漢教他沿著門的兩個對角斜著拿竿，這個

醉漢一試，不多不少剛好進去了.你知道竹竿有多長嗎？請根據(jù)這一問題列出方

程.

第二章一元二次方程

2.用配方法求解一元二次方程(一)

一、學生知識狀況分析

學生的知識技能基礎：學生在初二上學期已經(jīng)學習過開平方，知道一個

正數(shù)有兩個平方根，會利用開方求一個正數(shù)的兩個平方根，并且也學習了完

全平方公式。在本章前面幾節(jié)課中，又學習了一元二次方程的概念，并經(jīng)歷

了用估算法求一元二次方程的根的過程，初步理解了一元二次方程解的意義;

學生活動經(jīng)驗基礎：在相關知識的學習過程中，學生已經(jīng)經(jīng)歷了用計算

器估算一元二次方程解的過程，解決了一些簡單的現(xiàn)實問題，感受到解一元

二次方程的必要性和作用，基于學生的學習心理規(guī)律，在學習了估算法求解

一元二次方程的基礎上，學生自然會產(chǎn)生用簡單方法求其解的欲望；同時在

以前的數(shù)學學習中學生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作

學習的經(jīng)驗，具備了一定的合作與交流的能力。

二、教學任務分析

教科書基于學生用估算的方法求解一元二次方程的基礎之上，提出了本

課的具體學習任務：用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程。但這僅僅

是這堂課具體的教學目標，或者說是一個近期目標。而數(shù)學教學的遠期目標，

應該與具體的課堂教學任務產(chǎn)生實質(zhì)性聯(lián)系。本課《用配方法求解一元二次

方程》內(nèi)容從屬于“方程與不等式”這一數(shù)學學習領域，因而務必服務于方

程教學的遠期目標：“讓學生經(jīng)歷由具體問題抽象出方程的過程，體會方程是

刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關系的一個有效模型，并在解一元二次方程的過程中體

會轉化的數(shù)學思想”，同時也應力圖在學習中逐步達成學生的有關情感態(tài)度目

標。為此，本節(jié)課的教學目標是：

1、會用開方法解形如（X*電，="缶之切的方程，理解配方法，會用配

方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程；

2、經(jīng)歷列方程解決實際問題的過程，體會一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世

界中數(shù)量關系的一個有效模型，增強學生的數(shù)學應用意識和能力；

3、體會轉化的數(shù)學思想方法；

4、能根據(jù)具體問題中的實際意義檢驗結果的合理性。

三、教學過程分析

本節(jié)課設計了五個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：復習回顧；第二環(huán)節(jié)：自主探

究；第三環(huán)節(jié)：講授新課；第四環(huán)節(jié)：練習提高；第五環(huán)節(jié)：課堂小結；第

六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。

第一環(huán)節(jié)：復習回顧

活動內(nèi)容：1、如果一個數(shù)的平方等于4,則這個數(shù)是,若一個數(shù)

的平方等于7,則這個數(shù)是。一個正數(shù)有幾個平方根，它們具有

怎樣的關系？

2、用字母表示因式分解的完全平方公式。

活動目的：通過前兩個問題，引導學生復習開平方和完全平方公式，為學生

后面配方法的學習作好鋪墊。

實際效果：第1和第2問選兩三個學生口答，由于問題較簡單，學生很快回

答出來。

第二環(huán)節(jié)：自主探究

（1）你能解哪些一元二次方程？

（2）你會解下列一元二次方程嗎？你是怎么做的？

22222

X=5.，2X+3=5.，/+2X+1=5.，（X+0+7=10。

（3）上節(jié)課，我們研究梯子底端滑動的距離口同滿足方程，+12x-15=0,

你能仿照上面幾個方程的解題過程，求出無的精確解嗎？你認為用這種方法

解這個方程的困難在哪里？（合作交流）

活動目的：利用實際問題，讓學生初步體會開方法在解一元二次方程中的應

用，為后面學習配方法作好鋪墊；培養(yǎng)學生善于觀察分析、樂于探索研究的

學習品質(zhì)及與他人合作交流的意識。

實際效果：在復習了開方的基礎上，學生很快口答出了第1問，為解決第二

問做好了準備。第2問讓學生合作解決，學生在交流如何求原來正方形的邊

長時，產(chǎn)生了不同的方法，有的學生直接開方先求出了新正方形的邊，再減

增加的邊長，求出原來的正方形的邊長；有的同學用了方程，設原正方形的

邊長為旬，根據(jù)題意列出了一元二次方程（日貨=的任+3）2=48然后兩

邊開方，根據(jù)實際情況求出了原來正方形的邊長，這樣，再一次經(jīng)歷了用一

元二次方程解決實際問題的過程，并初步了解了開方法在一元二次方程中的

簡單應用。在第2問的基礎上，學生很快解決了第3問。但學生在解決第4

問時遇到了困難，他們發(fā)現(xiàn)等號的左端不是完全平方式，不能直接化成

（x+m）2=nS'。）的形式，因此大部分同學認為這個方程不能用開方法解,

那么如何解決這樣的方程問題呢？這就是我們本節(jié)課要來研究的問題（自然

引出課題），為后面探索配方法埋好了伏筆。

第三環(huán)節(jié)：講授新課

活動內(nèi)容1：做一做：（填空配成完全平方式，體會如何配方）

填上適當?shù)臄?shù)，使下列等式成立。（選4個學生口答）

X2+12x+=（x+6）2X2-6X+=（x-3）2

x2+8r+=（x+__Vx2-4x+=（x-__）2

問題：上面等式的左邊常數(shù)項和一次項系數(shù)有什么關系？對于形如

/+皿的式子如何配成完全平方式？（小組合作交流）

活動目的：配方法的關鍵是正確配方，而要正確配方就必須熟悉完全平方式

的特征，在此通過幾個填空題，使學生能夠用語言敘述并充分理解左邊填的

是“一次項系數(shù)一半的平方”，右邊填的是“一次項系數(shù)的一半”，進一步復

習鞏固完全平方式中常數(shù)項與一次項系數(shù)的關系，為后面學習掌握配方法解

一元二次方程做好充分的準備。

實際效果：由于在復習回顧時已經(jīng)復習過完全平方式，所以大部分學生很快

解決四個小填空題。通過小組的合作交流，學生發(fā)現(xiàn)要把形如Y,皿的式子

(烏產(chǎn)

如何配成完全平方式，只要加上一次項系數(shù)一半的平方即加上2即可。而

且講解中小組之間互相補充、互相競爭，氣氛熱烈，使如何配成完全平方式的

方法更加透徹。事實上，通過對配方的感知的過程，學生都能用自己的語言

歸納總結出配成完全平方式的方法，這就為下一環(huán)節(jié)“用配方法解一元二次

方程”打好基礎。由此也反映出學生善于觀察分析的良好品質(zhì)，而這種品質(zhì)是

在學生自覺行為中得到培養(yǎng)的，體現(xiàn)了學生良好的情感、態(tài)度、價值觀。

活動內(nèi)容2：解決例題

(1)解方程：X2+8X-9=0.(師生共同解決)

解:可以把常數(shù)項移到方程的右邊，得

x2+8x=9

兩邊都加上(一次項系數(shù)8的一半的平方)，得

X2+8X+42=9+42.

(x+4)J25

開平方，得x+4=±5,

即x+4=5,或x+4=-5.

所以xl=l,x2=-9.

(2)解決梯子底部滑動問題：/+12x75=0(仿照例1,學生獨立解決)

解：移項得X2+12X=15,

兩邊同時加上6?得，x2+12x+62=15+36,BP(x+6)2=51

兩邊開平方，得x+6=±［百

所以：。=屈-6,巧=一屈-6,但因為“表示梯子底部滑動的距離所以

巧=一屈一6不合題意舍去。

答：梯子底部滑動了Q元一與米。

活動內(nèi)容3：及時小結、整理思路

用這種方法解一元二次方程的思路是什么？其關鍵又是什么？(小組合作交

流)

活動目的：通過對例1和例2的講解，規(guī)范配方法解一元二次方程的過程，

讓學生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路及關鍵是將方程轉

化成(工+同2=域11*0)形式，同時通過例2提醒學生注意：有的方程雖然有

兩個不同的解，但在處理實際問題時要根據(jù)實際意義檢驗結果的合理性，對

結果進行取舍。由于此問題在情境引入時出現(xiàn)過，因此也達到前后呼應的目

的。最后由問題“用這種方法解一元二次方程的思路是什么？”引出配方法

的定義。

實際效果：學生經(jīng)過前一環(huán)節(jié)對配方法的特點有了初步的認識，通過兩個例

題的處理，進一步完善對配方法基本思路的把握，是對配方法的學習由探求

邁向?qū)嶋H應用的第一步。最后利用兩個問題，通過小組的合作交流得出配方

法的基本思路和解決問題的關鍵，結論的得出來源于學生在實例分析中的親

身感受，體現(xiàn)學生學習的主動性。

討論，學生發(fā)現(xiàn)這三種方法都正確，并且指出第一種方法可以利用平移水渠，

把分割成的四部分拼在一起，構成了一個較大的矩形(如下圖)，然后再利用

矩形的面積公式列出方程，此種方法在解決此類問題時最簡單。這樣通過學

生之間的爭論、辯論提高了課堂效率，激發(fā)了學生學習數(shù)學的熱情，達到了

資源共享。

第四環(huán)節(jié)：練習與提高

活動內(nèi)容：解下列方程

?x2-10x+25=^(2)x2-14x=^(3)x2+3r=t(4)x2+2x+2=&c

實際效果：教學中為了便于學生回顧，可以通過舉例的形式，幫助學生回顧

并整理步驟，例如，x2-6x-40=0

移項，得x2-6x=40

方程兩邊都加上32(一次項系數(shù)一半的平方)，得

x2-6x+32=40+32

即(x-3)2=49

開平方，得x-3=±7

即x-3=7或x-3=-7

所以XI=10,X2=-4

學生一般都能整理出配方法解方程的基本步驟：

通過對這個方程基本步驟地熟悉學生們順暢的理清思路，掌握了每一步

的理論依據(jù)，增強了解題的信心，達到預期的目的。

配方法的兩節(jié)課連貫性強，作為一種新的方法，學生在新授期間應多接觸，

熟練掌握基本的步驟，掌握每一步的原理，這樣會增強學生對這個知識點的

駕馭能力。一般的一元二次方程配方解法的步驟(移項，配方，開平方，求

解)及注意事項。移項的目的是將二次項和一次項調(diào)整到等號的左邊，常數(shù)

項調(diào)整到右邊；配方是將方程的兩邊添加一個常數(shù)項(一次項系數(shù)一半的平

方)原理是根據(jù)公式a?+2ab+b2=(a+b)?進行的;開平方的原理是平

方根的定義，需要注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們是互為相反數(shù)；求解的

過程是解兩個一元一次方程，要注意符號的變化。

第二環(huán)節(jié)：情境引入

活動內(nèi)容：1.將下列各式填上適當?shù)捻?，配成完全平方式口頭回答.

1.X2+2X+=(x+)2

2.x2-4x+=(x_)2

3.x"++36=(x+)2

4.x2+10x+=(x+)2

5.x2-x+=(x-)2

2.請同學們比較下列兩個一元二次方程的聯(lián)系與區(qū)別

1.x2+6x+8=0

2.3X2+18X+24=0

探討方程2的應如何去解呢？

活動目的：通過對第一部分的五個口答練習題的訓練，熟悉完全平方式的三

項與平方形式的聯(lián)系，第二部分的兩個習題之間的區(qū)別是方程2的二次項系

數(shù)為3,不符合上節(jié)課解題的基本形式,聯(lián)系是當方程兩邊同時除以3以后，

這兩個方程式同解方程。