初高中數(shù)學(xué)銜接教材12講配答案(某中學(xué)版)

初高中數(shù)學(xué)銜接教材

編者的話

高中數(shù)學(xué)難學(xué)，難就難在初中教材與高中教材之間剃度過大，因此我們要認(rèn)真搞好初高

中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接，使初高中的數(shù)學(xué)教學(xué)具有連續(xù)性和統(tǒng)一性。

現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)教材存在以下“脫節(jié)”：

1、絕對(duì)值型方程和不等式，初中沒有講，高中沒有專門的內(nèi)容卻在使用；

2、立方和與差的公式在初中已經(jīng)刪去不講，而高中還在使用；

3、因式分解中，初中主要是限于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式的分解，對(duì)系數(shù)不為1的

涉及不多，而且對(duì)三次或高次多項(xiàng)式的分解幾乎不作要求；高中教材中許多化簡(jiǎn)求值都要用

到它，如解方程、不等式等；

4、二次根式中對(duì)分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中數(shù)學(xué)中函

數(shù)、不等式常用的解題技巧；

5初中教材對(duì)二次函數(shù)的要求較低，學(xué)生處于了解水平。而高中則是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教材

的始終的重要內(nèi)容；配方、作簡(jiǎn)圖、求值域（取值范圍）、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求

最大最小值、研究閉區(qū)間上的函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)所必須掌握的基本題型和常用方法；

6、二次函數(shù)、二次不等式與二次方程之間的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）初中不

作要求，此類題目?jī)H限于簡(jiǎn)單的常規(guī)運(yùn)算，和難度不大的應(yīng)用題，而在高中數(shù)學(xué)中，它們的

相互轉(zhuǎn)化屢屢頻繁，且教材沒有專門講授，因此也脫節(jié)；

7、圖像的對(duì)稱、平移變換初中只作簡(jiǎn)單介紹，而在高中講授函數(shù)時(shí)，則作為必備的基本

知識(shí)要領(lǐng)；

8、含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式初中只是定量介紹了解，高中則作為重點(diǎn)，并無專題

內(nèi)容在教材中出現(xiàn)，是高考必須考的綜合題型之一；

9、幾何中很多概念（如三角形的四心：重心、內(nèi)心、外心、垂心）和定埋（平行線等分

線段定理、平行線分線段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已經(jīng)刪除，大都沒

有去學(xué)習(xí)；

10、圓中四點(diǎn)共圓的性質(zhì)和判定初中沒有學(xué)習(xí)。高中則在使用。

另外，象配方法、換元法、待定系數(shù)法、雙十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化,

甚至老師根本沒有去延伸發(fā)掘，不利于高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

高一數(shù)學(xué)相對(duì)于初中數(shù)學(xué)而言，邏輯推理強(qiáng)，抽象程度高，知識(shí)難度大。初中畢業(yè)生以

較高的數(shù)學(xué)成績(jī)升入高中后，不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，學(xué)習(xí)成績(jī)大幅度下降，出現(xiàn)了嚴(yán)重的兩

極分化，心理失落感很大，過去的尖子生可能變?yōu)閷W(xué)習(xí)后進(jìn)生，甚至，少數(shù)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)失去

了信心。初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容作了較大程度的壓縮、上調(diào)，中考難度的下調(diào)、新課程的實(shí)驗(yàn)和

新教材的教學(xué)，使高中數(shù)學(xué)在教材內(nèi)容以及高考中都對(duì)學(xué)生的能力提出了更高的要求，使得

原來的矛盾更加突出。高中教材從知識(shí)內(nèi)容上整體數(shù)量較初中劇增；在知識(shí)的呈現(xiàn)、過程和

聯(lián)系上注重邏輯性，且數(shù)學(xué)語言抽象程度發(fā)生了突變，教材敘述比較嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范而抽象。知

識(shí)難度加大，且習(xí)題類型多，解題技巧靈活多變，計(jì)算繁冗復(fù)雜，體現(xiàn)了“起點(diǎn)高、難度大、

容量多”的特點(diǎn)。其次，初中難度降低，有中考試卷的難度降低作保障；而高中由于受高考

的限制，教師都不敢降低難度，造成了高中數(shù)學(xué)實(shí)際難度并沒有降低。

因此，從一定意義上講，調(diào)整后的教材不僅沒有縮小初高中教材內(nèi)容的難度差距，反而

加大了。如現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材在內(nèi)容上進(jìn)行了較大幅度的調(diào)整，難度、深度和廣度大大降低

了，那些在高中學(xué)習(xí)中經(jīng)常應(yīng)用到的知識(shí)，如十字相乘法、分組分解法等內(nèi)容，都轉(zhuǎn)移到高

一階段補(bǔ)充學(xué)習(xí)。這樣初中教材就體現(xiàn)了“淺、少、易”的特點(diǎn)，但卻加重了高一數(shù)學(xué)的份

量。在初中，教師講得細(xì)，類型歸納得全，練得熟，考試時(shí)，學(xué)生只要記準(zhǔn)概念、公式及教

師所講例題類型，一般均可對(duì)號(hào)入座取得中考好成績(jī)。而高考要求則不同，有的高中教師往

往用高三復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)達(dá)到的類型和難度來對(duì)待高一教學(xué)，造成了輕過程、輕概念理解、重題量

的情形，造成初、高中教師教學(xué)方法上的巨大差異，中間又缺乏過渡過程，至使新生普遍適

應(yīng)不了高中教師的教學(xué)方法。

高中許多知識(shí)僅憑課堂上聽懂是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還需要認(rèn)真消化。這就要求學(xué)生具有較強(qiáng)

的閱讀分析能力和自學(xué)理解能力C因此，在初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接中，教師要有意識(shí)地指導(dǎo)

學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)課本，通過編擬閱讀提綱，幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念，對(duì)某些簡(jiǎn)單章節(jié)內(nèi)

容的教學(xué)，可組織閱讀討論，以培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)理解能力以及獨(dú)立鉆研問題的良好習(xí)慣，引

導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生形成有效的學(xué)習(xí)

策略。

新的課程改革，難免會(huì)導(dǎo)致很多知識(shí)的脫節(jié)和漏洞。本書當(dāng)然也沒有詳盡列舉出來。我

。:會(huì)不斷的研究新課程及其體系，將不遺余力地找到新的初高中數(shù)學(xué)教材體系中存在的不足,

加以補(bǔ)充和完善。

我們的目標(biāo)是使所有的學(xué)生在努力之后，都能摘到相應(yīng)的果實(shí)，所以我們要不惜時(shí)間與

精力，進(jìn)行初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接，讓“銜接教學(xué)”更好地為高一新生鋪設(shè)一條成功的路。

南僑中學(xué)高一數(shù)學(xué)備課組

目錄

第一章數(shù)與式

1.1數(shù)與式的運(yùn)算

1.1.1乘法公式..........................................................3

1.1.2分式..............................................................4

1.2分解因式.......................................................5

第二章二次方程、二次函數(shù)與二次不等式

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式.......................................................11

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系...................................................13

2.2二次函數(shù)

2.2.1二次函數(shù)y=ax2+hx+c的圖像和性質(zhì)..................................19

2.2.2二次函數(shù)的三種表達(dá)方式..........................................25

2.3一元二次不等式的解法..............................................28

第三章相似形、三角形

3.1相似形

3.1.1平行線分線段成比例定理...........................................33

3.1.2相似三角形形的性質(zhì)與判定.........................................36

3.2三角形

3.2.1三角形的四心、...................................................40

3.2.2兒種特殊的三角形...............................................43

課后練習(xí)與習(xí)題答案...................................................46

1.1數(shù)與式的運(yùn)算

1.1.1乘法公式

我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(4+加(。一份一從；

(2)完全平方公式(a±b)2=/±2Qb+

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式:

(1)立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3；

(2)立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3；

(3)三數(shù)和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+be+ac)；

(4)兩數(shù)和立方公式(a+曠=a3+301b+3ab2+b3；

(5)兩數(shù)差立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-戶。

對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明。

例1計(jì)算：(X+1)(%-l)(x2-X+l)(x2+X+1)o

解法一：原式=(x2-l)[(x2+l)2-x2]=(x2-l)(x4+x2+l)=x6-lo

解法二：原式二(x+l)(%2-x+l)(x-l)(x2+x+l)=(x3+1X%3-1)=x6-1。

例2已知a+/?+c=4,"+歷+oc=4,求a?+〃+/的值。

解：a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=8。

練習(xí)：

1.填空：(1)-a2--b2=(-b+-a)()；

9423

(2)(4m+>=16m2+4，〃+()；

(3)(6t+2/?-c)2=?2+4/?2+C2+()o

2.選擇題：(1)若g+A是一個(gè)完全平方式，則左等于()

2

A、m2B、-rrrC、-trrD、—m2

4316

(2)不論a,b為何實(shí)數(shù)，/+/_2。_46+8的值()

A、總是正數(shù)B、總是負(fù)數(shù)C、可以是零D、可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)

1.1.2分式

i.分式的意義：形如a的式子，若4中含有字母，且8工0,則稱a為分式。

BB

當(dāng)?shù)囊?時(shí)，分式4具有下列基本性質(zhì)：A=^L.4=上也。

BBBxMB8+M

a

2.繁分式：像)一，絲萼土K這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。

c+d2m

，+〃

例」若照/十3’求常數(shù)外的值。

..ABA(x+2)+Bx(A+8)x+2A5x+4.JA+B=5,解得窘

xx+2x(x+2)x(x+2)x(x+2)2A=4,

1_J__1111

例2(1)試證:(其中〃是正整數(shù))；(2)計(jì)算:---+I+???+I

+n〃+l1x22x39x10

(1)證明：???'--L=("+i)-"=_J_,^=1一_L(其中〃是正整數(shù))成立。

n〃+1n(n+1)n(n+\]n(n+1)n/?+l

(2)解：由(1)可矢口一!一十—!—+???+—!—=(1----)=1--=—

1x22x39x102239101010

練習(xí)：

1?對(duì)任意的正整數(shù)〃,E(--一

n71+2

1

2.計(jì)算:---++一+…4----------

1x32x43x59x11

1.2分解因式

因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法，另外還應(yīng)

了解求根法及待定系數(shù)法。

1、提取公因式法

例1分解因式：(1)a2(b-5)+a(5-b)(2)d+9+3f+3x

解：(1)a2(/?-5)4-17(5-b)=tz2(/?-5)-a(b-5)=a(b-5)(a-1)

(2)x3+9+3x2+3X=(X3+3J2)+(3X+9)=X2(X+3)+3(X+3)=(x+3)(x2+3)o

或9+9+3工2+3/=(X3+3X2+3X+1)+8=(x+l)3+8=(x+l)3+23

—[(x+1)+2][(x+1)'—(x+1)x2+2，—(x+3)(%2—3)

練習(xí)：

一、填空題：1、多項(xiàng)式61y-2孫？+4孫z中各項(xiàng)的公因式是0

2、m(x-y)+n(y-x)=(x—y)?o

3、m[x-y)1+心-x)2=(x-y)1?。

4、m(x-y_z)+n\y+z-x)=(x-y-z)*°

5、m(x-y-z)-x+y+z=(x-y-z)?°

6、-134/工6一39。3從爐分解因式得o

7.計(jì)算99?+99=

二、判斷題：(正確的打上“J”，錯(cuò)誤的打上“X”)

1、2a2b-4ab2=2ab(a-b)()2、am+bm+m=rr^a+b)()

3、-3x3+6x2-15x=-3x(x2+2x-5)()4、x"+尸=1(尢+1)()

2、公式法

例2分解因式：（1）-A4+16⑵(3x+2y)2-(x-y)2

解：(1)-+16=42-(a2)2=(4+a2)(4-a2)=(4+a2)(2+a)(2-a)

(2)(3x+2yy—(x—)了二(31_2y+x_y)(3x+2y—x+y)=(4x+y)(2x+3y)

練習(xí)

一、a2-lab+b2,a2-b2,/一/的公因式是。

二、判斷題：(正確的打上錯(cuò)誤的打上“X”)

2、9a2-8/?2=(3tz)2-(4b)-=(3a+4b)(3a-4b)()

3、25a2-16b=(5a+4b)(5a-4b)()

4、-x2-y2=-(x2-J2)=-(x+y)(x-y)()

5、a2-{b+cf=(a+b+c)(a-b+c)()

五、把下列各式分解

1、-9(/n-z?)2+(/w+z?)22、3x2-；

3、4--4x+2?4、X4-2X2+1

3、分組分解法

22

例3分解因式：(1)x-Ay+3y-3x(2)2x+.^-/-4x+5y-6o

解:(1)x1-xy+3y-3x=(x2-xy)+(3y-3x)=x(x-y)-3(x-y)=(x-y)*(x-3)

x2-xy+3y-3x=Cx2-3x)+(-^+3y)=x(x-3)-y(x-3)=(x-3)?(x-y)

(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6=2x2+(y-4)x-y2+5y-6

=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3)。

或2f+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+Ay-y2)-(4x-5y)-6=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6

—(2x-y+2)(x+y—3)。

練習(xí)：

用分組分解法分解多項(xiàng)式

(1)x2-y2+a2-b2+2ax+2by(2)a1~^ab+4b2-6a+\2b-^9

4、十字相乘法

例4分解因式：

2221

(1)x—3x+2；(2)x+4x—12；(3)x-(a+b)xy+aby；(4)xy-\+x-yo

解：(1)如圖1.1—1,將二次項(xiàng)下分解成圖中的兩個(gè)十的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成一1

與一2的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為一3M就是/一3刀+2中的一次項(xiàng)，所

以，有——3x+2=(3一1)(x—2)o

說明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖1.1-1中的兩個(gè)x用1

來表示(如圖1.1—2所示)。x_]

(2)由圖1.1—3,得/+4x—12=(%—2)(x+6)。y1

圖1.1-5

(3)由圖1.1—4,x2-[a+b)xy+aby2-(x-ay)(x-by)

(4)xy-\+x-y=xy+(x—y)—1=(x—1)(y+l)(如圖1.1—5所示)。

練習(xí)

一、填空題：1、把下列各式分解因式：

22

(1)x+5x-6=o(2)x-5x+6=0

(3)x2+5x+6=o(4)x2-5x-6=。

(5)x2-(a+l)x+a=<>(6)x2—11x4-18=。

(7)6X2+7X+2=o(8)W-12/w+9=。

(9)5+7X-6X2=-(10)12x2+xy-6y2=。

2、x2-4x+=(x+3)(x+)

3、若J+4x+b=(x+2)(x-4)貝U〃=,b=o

二、選擇題：(每小題四個(gè)答案中只有一個(gè)是正確的)

1、在多項(xiàng)式(1)X2+7X+6(2)x2+4x4-3(3)x2+6x+8(4)x2+7x+10,(5)x2+15x+44

中，有相同因式的是（）

A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)

C、只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)

2、分解因式/+8彷-33/得()

A、(a+!!)(?-3)B、(a+11b)(a-3b)C、(a-l\b)(a-3b)D、(a—HZ>)(a+3Z>)

3、(a+Z?y+8(a+/?)—20分解因式得()

A、(a+b+\6)(a-\-b—2)B、(a+b+5)(a+Z?-4)

C、(a+〃+2)(a+Z?—10)D、(a+/?+4)(a+Z?—5)

4、若多項(xiàng)式x2—3x+a可分解為（x—5Xx—〃），則。、h的值是（）

A、a=10,b=2B、a=10,b=-2C、a=~\0>b=-2D、a=—10,b=2

5、若V+儂-10=(x+a)(x+b)其中〃、Z?為整數(shù)，則團(tuán)的值為()

A、3或9B、±3C、±9D、±3或±9

三、把下列各式分解因式

1、6(2〃-4-11(4-2〃)+32、a3-5a2b+6ab2

3>2y2-4y-64、b4-2b2-S

5、關(guān)于x的二次三項(xiàng)式aF+bx+cSWO）的因式分解。

若關(guān)于x的方程0￥2+云+。=0（。。0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是否、x2,

則二次三項(xiàng)式ar?+Z?x+c（。。0）就可分解為々（工-$）（工-42）o

例5把下列關(guān)于萬的二次多項(xiàng)式分解因式：（1）X2+2X-1；（2）x2+4x）-4/o

解：（1）令x?+2x—1=0,則解得玉=—1+,x>=—1—\/2.>

2

%+2x—1——（―1+>/2）J^x—（―1—>/2）J—（x+1—>/2）（x+14-y/2）0

（2）令f+4盯-4y2=0,則解得玉=（—2+20）y,%=（一2—20）y,

2

???x+4xy-4y2=[x+2(1-揚(yáng)刈x+2(1+揚(yáng))，]。

練習(xí)1.選擇題：多項(xiàng)式2爐一封—ISV的一個(gè)因式為()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)N+3)，(D)x-5y

2.分解因式：

(1)1+6x+8(2)83一63

(3)^—2x—(4)4(x-y+\)+y(y-2x)

習(xí)題1.2

1.分解因式：

(1)a3+\=

(2)4X4-13X2+9；

(3)b1+c2+2ab+2ac+2bc；

22

(4)3x+5xy-2y+x+9y-40

2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：

(1)x2-5x+3；(2)X2-2>/2X-3；

(3)3x2+4xy-y2；(4)(X2-2X)2-7(X2-2X)+12O

2

3.分解因式：xx—{a-a)o

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過具體實(shí)例探索二次方程的根的求法，如求方程的根：

(l)f+2x—3=0；(2)X2+2X+1=0；(3)X2+2X+3=0O}

用配方法可把一元二次方程a2+6x+c=0(a#0)變?yōu)?2)2,2T①

2a4a~

2

,.?/0,/.4a>0o于是

(1)當(dāng)Jac>0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

根為2="±"_4”「；(2)當(dāng)爐一4數(shù)=0時(shí)，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等

2a

的實(shí)數(shù)根/=%=-2；(3)當(dāng)力2—4acV0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程①的左

2a

邊(X+_L)2一定大于或等于零，因此，原方程沒有實(shí)數(shù)根。

2a

由此可知，一元二次方程〃/+/+。=0?#0)的根的情況可以由斤一4初來判定，

我們把毋一4既叫做一元二次方程辦2+1+0=0?/0)的根的判別式，通常用符號(hào)“

來表示。

綜上所述，對(duì)于一元二次方程+。=0(dWO),有

(1)當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩個(gè)不相+°=0等的實(shí)數(shù)根％=.土與-4次；

(2)當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，x,=x2=-^；

(3)當(dāng)△V0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。

例1判定下列關(guān)于x的方程的根的情況(其中a為常數(shù))，如果方程有實(shí)數(shù)根，寫出方

程的實(shí)數(shù)根。

(1)x2—3x+3=0；(2)x2—ax—l=Q；

(3)——〃x+(〃-1)=0；(4)x2—2x+a=0o

解：(1)???A=32—4X1X3=-3VO,???方程沒有實(shí)數(shù)根。

(2)該方程的根的判別式A=a2-4XlX(-l)=a2+4>0,所以方程一定有兩個(gè)不等

%+4ci—+4

的實(shí)數(shù)根％=---------,/=---------o

(3)由于該方程的根的判別式為A=，-4XlX(a-l)=5-4d+4=(a—2)2,

所以，①當(dāng)a=2時(shí)，△=0,所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根汨=尼=1；

②當(dāng)zW2時(shí)，A>0,所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根*=1,尼=5一1。

(4)由于該方程的根的判別式為△=2,-4XlXa=4—4a=4(l—a),所以

①當(dāng)△>(),即4(1—a)>0,即aVl時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根％=1+VT工，

電=\-y/l-a；

②當(dāng)A=0,即a=1時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根為=%=1;

③當(dāng)AV。，即a>l時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。

說明：

在第3,4小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著a的取值的變化而變化，于是，在解題

過程中，需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論。

分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)

用這一方法來解決問題。

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

若一元二次方程江+1+c=o（/0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根X=一＞土:一＞c

2a

-b+\lb2-4ac-b-ylb2-4ac-2bb

貝！J有X+羽=------------+--------------=----=—;

-b+ylb2-4ac-b-\/b2-4acb2-(b2-4QC)4acc

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：

hZ.

如果"2+6x+c=0（aWO）的兩根分別是再，％2，那么再+々=-一，=這

aa

一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理。

特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程/+0工+。=0,若修，七是其兩根，由韋

=

達(dá)定理可知，/+工2=—Dxl-xz=q,即0=—（匹+%2），Q

所以，方程/+夕尢+g=0可化為12—（2+]2）入.彳2=0,由于1”大2是元二次方

程/+夕彳+（?=0的兩根，所以，尤，尼也是一元二次方程/一（而+工2）x+陽=°。因此有

以兩個(gè)數(shù)再，與為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是/一＜工+%）工+西?！┒?。

所以，方程的另一個(gè)根為一3,4的值為一7。

5

例2已知方程5/+辰—6=0的一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及4的值。

分析：由于已知了方程的一個(gè)根，可以直接將這一根代入，求出衣的值，再由方程解出

另一個(gè)根。但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來解題，即由于已知了方程的

一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩

根之和求出A的值。

解法一：:2是方程的一個(gè)根，???5X2,十上＜2—6=0,：.k=~70

所以，方程就為5y—7x—6=0,解得匕=2,x,=-3。

-5

解法二：設(shè)方程的另一個(gè)根為馬，則2X2=-1,AX2=-|O

3k3

由（―g）+2=-彳，得.=—7。所以，方程的另一個(gè)根為一m，〃的值為一7。

例3已知關(guān)于“的方程/+2（勿一2）x+/+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平

方和比兩個(gè)根的積大21,求加的值。

分析：本題可以利用韋達(dá)定理，由實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21得到關(guān)于"的方

程，從而解得勿的值。但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此,

其根的判別式應(yīng)大十零。

解：設(shè)X],是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得當(dāng)+工2=-2(卬-2),Xj-x2=zw+4o

222

VA-1+x2—?x2=21,/.(x,+x2)—3X1-x2=21,

即[-2(加一2)了一3(/+4)=21,化簡(jiǎn)，得病一16加-17=0,解得力=-1,或R=17。

當(dāng)加=—1時(shí)，方程為/+6x+5=0,△>0,滿足題意；

當(dāng)加=17時(shí)，方程為/+30x+293=0,A=302-4XlX293<0,不合題意，舍去。

綜上，加=17。

說明：(1)在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的切的范

隹，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21”求出〃的值，取滿足條件的力的值

即可。

(2)在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式△是

否大于或大于零。因?yàn)?，韋達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根。

例4已知兩個(gè)數(shù)的和為4,積為一12,求這兩個(gè)數(shù)。

分析：我們可以設(shè)出這兩個(gè)數(shù)分別為x,y，利用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù)。也可以利

用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來求解。

(1)

解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是x,y,則f+y=4解得：玉二-2,

xy=-12(2)y=6,

「”二6，因此，這兩個(gè)數(shù)是一2和6。

解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程/一以一12=0的兩個(gè)根。

解這個(gè)方程，得匹=-2,X2=6O所以，這兩個(gè)數(shù)是一2和6。

說明：從上面兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二(直接利用韋達(dá)定理來解題)要比解法一簡(jiǎn)捷。

例5若陽和馬分別是一元二次方程2/+54—3=0的兩根。

(1)求I/—方21的值；(2)求十」T的值；(3)X13I4。

用.

解：X]和分別是一元二次方程2冗2+5x—3=0的兩根，.，?玉+工2=-耳，=--O

=2

(1),**IX|_412=x/+x，_2A|'x2(X)x2)"―4%1,x2=(——)—4x(——)—+6=,

52o325

.|r_r|_7(2)1a1一大2+4一區(qū)+電)2-2中2一(一5)(一5)一彳+3一37

一―一■一丁一豆。

4

3222

(3)x/4-x2=(X|+x22)(x(—-x2+x2)=(+x2)[(x,+x2)—3^x2]

=(-3)*[(-2)2-3乂(一當(dāng)]=一半。

2228

說明：一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一

個(gè)量的問題，為了解題簡(jiǎn)便，我們可以探討出其一般規(guī)律：

設(shè)為和應(yīng)分別是一元二次方程。/+加；+。=0(a#0),

-b+>Jb2-4ac-b-yjb1-4ac

則玉=>42=I

2a

-b+\!b2-4ac-b-\]b2-4ac2物-4ac_\/b2-4ac_>/△

??|X]—=

2a2a2a1。1\a\°

于是有下面的結(jié)論：

若用和馬分別是一元二次方程af+#x+c=O(aWO),貝ij|xi-x2|=?A(其中△=匕-4ac)。

\a\

今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論。

例6若關(guān)于x的一元二次方程，一1+3—4=0的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)

a的取值范圍。

解：設(shè)為，馬是方程的兩根，則為?工2=@—4V0,且△=(-I)?—4(a—4)>0。

17

由①得aV4,由②得aV彳。，己的取值范圍是aV4。

練習(xí)

1.選擇題：

(1)方程/-26履+3-=0的根的情況是()

(A)有一個(gè)實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(C)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(D)沒有實(shí)數(shù)根

(2)若關(guān)于x的方程〃儲(chǔ)+(2〃Z+1)X+M=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值

范圍是()

(A)m<—(B)m>——(C)m<—,且mWO(D)tn>——,且mWO

4444

2.填空:

(1)若方程—1=0的兩根分別是小和物則'+'=o

%4

(2)方程加+X—2加=0(后0)的根的情況是o

(3)以-3和1為根的一元二次方程是o

3.若“2+8々+16+1-1|=0,當(dāng)女取何值時(shí)，方程Ai+ax+QO有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根?

4.已知方程——3x—1=0的兩根為X］和乙，求(匹-3)(超―3)的值。

習(xí)題2.1

A組

1.選擇題：(1)己知關(guān)于x的方程/+々工-2=0的一個(gè)根是1,則它的另一個(gè)根是()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)下列四個(gè)說法：其中正確說法的個(gè)數(shù)是()個(gè)(A)1(B)2(C)3(D)4

①方程/+2x—7=0的兩根之和為一2,兩根之積為一7；

②方程/-2彳+7=0的兩根之和為一2,兩根之積為7；

③方程3/-7=0的兩根之和為0,兩根之積為

④方程3x2+2x=0的兩根之和為一2,兩根之積為0o

(3)關(guān)于x的一元二次方程a/—5入+才+&=o的一個(gè)根是0,則己的值是()

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一1

2.填空：(1)方程4/+4>—1=。的兩根之和為一2,貝1」％=。

(2)方程2。一入一4=0的兩根為a,B,貝I」aB2=。

(3)已知關(guān)于x的方程―一m一3a=0的一個(gè)根是一2,則它的另一個(gè)根是。

(4)方程2/+2x—1=0的兩根為汨和尼，貝UIx}—x2\=o

3.試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程〃/一一(2/1)x+i=0有兩個(gè)不相

等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒有實(shí)數(shù)根？

4.求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程丁一7工一1=0各根的相反數(shù)。

B組

1.選擇題:若關(guān)于x的方程x2+(乃一1)/+4+1=0的兩根互為相反數(shù),則k的值為()

(A)1,或一1(B)1(C)-1(D)0

2.填空：(1)若加,〃是方程F+2005刀一1=0的兩實(shí)數(shù)根，則/〃+加〃2—勿〃的值等于。

(2)若a,b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式46+皿2+^3的值

是O

3.已知關(guān)于x的方程/一版一2=0。(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)方

程的兩根為用和物如果2(用+的)＞用如求實(shí)數(shù)在的取值范圍。

4.一元二次方程a/+0x+c=oqwo)的兩根為由和而。求：(1)|小一及|和五土三;

2

(2)xj+l。

5.關(guān)于x的方程/+4刀+〃7=0的兩根為小，而滿足I小一名|=2,求實(shí)數(shù)m的值。

C組

1.選擇題：

(1)已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)恰好是方程2/—8x+7=0的兩根，則這個(gè)直

角三角形的斜邊長(zhǎng)等于()(A)G(B)3(C)6(D)9

(2)若乂，也是方程2——4*+1=0的兩個(gè)根，則土+強(qiáng)的值為()

3

(A)6(B)4(C)3(D)-

2

(3)如果關(guān)于x的方程2(1+%)彳+/2=0有兩實(shí)數(shù)根a,B,則a+B的取值范圍

為()(A)a+p^l(B)a+6^1(C)a+B(D)a+BWl

22

(4)己知是△48。的三邊長(zhǎng)，那么方程ex?+(a+b)x+￡=0的根的情況是()

4

(A)沒有實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

(O有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(D)有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根

2.填空：若方程——8x+%=0的兩根為乂，x?,且3%+2至=18,則/ZT=°

3.已知乂，正是關(guān)于x的一元二次方程4〃/一4衿+攵+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。(1)是否存

4

在實(shí)數(shù)%使3-)-2)=-5成立？若存在，求出去的值；若不存在，說明理由;

（2）求使±+±-2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)4的整數(shù)值；（3）若衣=-2,4=工，試求見的

工2

值。

4.己知關(guān)于x的方程/一（陽一2）x-絲=0。（1）求證：無論勿取什么實(shí)數(shù)時(shí)，這個(gè)方

4

程總有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根；（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根心也滿足|也|=|小|+2,求加的值

及相應(yīng)的為，也。

5.若關(guān)于x的方程/+x+a=0的根一個(gè)大于1、另一根小于1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

2.2二次函數(shù)

2.2.1二次函數(shù)尸af+bx+c的圖象和性質(zhì)

情境設(shè)置：可先讓學(xué)生通過具體實(shí)例探索二次函數(shù)的圖象，如作圖(Dy-丁(2)y--x2

(3)y=/+2x_3教師可采用計(jì)算機(jī)繪圖軟件輔助教學(xué)｝

問題1函數(shù)y=a/與y=Y的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？

為了研究這一問題，我們可以先畫出y=2/,y=Lx\y=-2/的圖象，通過這些函

2

數(shù)圖象與函數(shù)尸一的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)尸a/與『=/的圖象之間所存在的關(guān)

系。

先畫出函數(shù)y=V,y=2/的圖象。

先列表：

X???-3-2-10123???

x2???9410149???

2x2???188202818

從表中不難看出，要得到2y的值，只要把相應(yīng)的產(chǎn)的值擴(kuò)大到兩倍就可以了。

再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)y=d,夕=2/的圖象(如圖2—1所示)，從圖2—1

我們可以得到這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y=2/的圖象可以由函數(shù)尸寸的圖象各點(diǎn)

的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫健?/p>

同學(xué)們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)尸,丁,尸一2一的圖象，并研究這兩個(gè)

2

函數(shù)圖象與函數(shù)尸x2的圖象之間的關(guān)系。

通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：

二次函數(shù)jua/QWO)的圖象可以由y=/的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍得到“

在二次函數(shù)尸a/Ewo)中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定了圖象的開口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的

開口的大小。

問題2函數(shù)y=a(x+力)2+4與/=a/的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？

同樣地，我們可以利用幾個(gè)特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來研究它們之間的關(guān)系。同學(xué)們

可以作出函數(shù)y=2(x+l)2+l與y=2/的圖象(如圖2—2所示)，從函數(shù)的圖象我們不難

發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y=2/的圖象向左平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，就可以得到函數(shù)

尸25+1)2+1的圖象。這兩個(gè)函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點(diǎn)。

類似地，還可以通過畫函數(shù)尸一3/,y=-35—1)2+1的圖象，研究它們圖象之間的

相互關(guān)系。

通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：

二次函數(shù)曠=雇>+而2+4仁關(guān)0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；力決定了

二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“力正左移，力負(fù)右移”；女決定了二次函數(shù)圖象的上下平移,

而且“A正上移，A負(fù)下移”。

由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y=a/+?+cSWO)的圖象的方法：

由于y=ax2bx+c=x1+—x)+c=a(/+—x+)+c——

aa4Q~4a

b.b2-4ac

=a(x+—)2+----------

2a4。

所以，y=a/+"+c(a#o)的圖象可以看作是將函數(shù)y=a/的圖象作左右平移、上下

平移得到的，于是，二次函數(shù)曠=日爐+"+。(420)具有下列性質(zhì)：

⑴當(dāng)a>°時(shí)，函數(shù)尸“+"+c圖象開口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為竺子)，對(duì)

稱軸為直線戶-梟當(dāng)，V,時(shí)，y隨著x的增大而咸??；當(dāng)時(shí)，y隨著，的增

A一/J2

大而增大；當(dāng)才=---時(shí)，函數(shù)取最小值尸-------O

2a4a

(2)當(dāng)aVO時(shí)，函數(shù)尸zd+bx+c圖象開口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為

2a4a

對(duì)稱軸為直線x=-2；當(dāng)xV?時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)上時(shí)，y隨著x

2a2a2a

的增大而減小；當(dāng)彳=-2時(shí)，函數(shù)取最大值/=竺—_。

2a4a

上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖2.2—3和圖2.2—4直觀地表示出來。因此，在

今后解決二次函數(shù)問題時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題。

例1求二次函數(shù)尸