《高考備考指南 文科數(shù)學》課件-第3章 第3講

導數(shù)及其應用第三章第3講導數(shù)的綜合應用【考綱導學】1．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值，并會解決與之有關的方程(不等式)問題．2．會利用導數(shù)解決某些簡單的實際問題．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷11．生活中的優(yōu)化問題通常求利潤最大、用料最省、效率最高等問題稱為________問題．一般地，對于實際問題，若函數(shù)在給定的定義域內(nèi)只有一個極值點，那么該點也是最值點．優(yōu)化2．利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的基本思路3．導數(shù)在研究方程(不等式)中的應用研究函數(shù)的單調(diào)性和極(最)值等離不開方程與不等式；反過來方程根的個數(shù)、不等式的證明、不等式恒成立求參數(shù)等，又可轉化為函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值的問題，利用導數(shù)進行研究．4．導數(shù)在綜合應用中轉化與化歸思想的常見類型(1)把不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)的最值問題；(2)把證明不等式問題轉化為函數(shù)的單調(diào)性問題；(3)把方程解的問題轉化為函數(shù)的零點問題．2．已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設函數(shù)f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，則(

)A．當k＝1時，f(x)在x＝1處取到極小值B．當k＝1時，f(x)在x＝1處取到極大值C．當k＝2時，f(x)在x＝1處取到極小值D．當k＝2時，f(x)在x＝1處取到極大值【答案】C【解析】當k＝1時，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，∴x＝1不是f(x)的極值點．當k＝2時，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，顯然f′(1)＝0，且在x＝1附近的左側，f′(x)<0，在x＝1附近的右側，f′(x)>0，∴f(x)在x＝1處取到極小值．故選C．3．已知定義在實數(shù)集R內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足f(1)＝3，且f(x)的導數(shù)f′(x)在R內(nèi)恒有f′(x)<2(x∈R)，則不等式f(x)<2x＋1的解集為(

)A．(1，＋∞)

B．(－∞，－1)C．(－1,1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】A【解析】令g(x)＝f(x)－2x－1，∴g′(x)＝f′(x)－2<0.∴g(x)在R內(nèi)為減函數(shù)，且g(1)＝f(1)－2－1＝0.由g(x)<0＝g(1)，得x>1.故選A．4．若函數(shù)f(x)＝x3－3x＋a有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】(－2,2)【解析】由于函數(shù)f(x)是連續(xù)的，故只需要兩個極值異號即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，得x＝±1，只需f(－1)·f(1)＜0，即(a＋2)(a－2)＜0，故a∈(－2,2)．1．利用導數(shù)解決恒成立問題時，若分離參數(shù)后得到“a<f(x)恒成立”，要根據(jù)f(x)的值確定a的范圍中端點能否取到．2.實際問題中的函數(shù)定義域一般受實際問題的制約，不可盲目地確定函數(shù)的定義域；在解題時要注意單位的一致性；把實際問題轉化成數(shù)學問題后，要根據(jù)數(shù)學問題中求得的結果對實際問題作出解釋.

課堂考點突破2利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題

某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設該蓄水池的底面半徑為rm，高為hm，體積為Vm3.假設建造成本僅與表面積有關，側面的建造成本為100元/m2，底面的建造成本為160元/m2，該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率)．(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．【規(guī)律方法】在求實際問題中的最大值或最小值時：(1)既要注意將問題中涉及的變量關系用函數(shù)關系表示，還要注意確定函數(shù)關系式中自變量的取值范圍．(2)要注意求得結果的實際意義，不符合實際的值應舍去．(3)如果目標函數(shù)在定義域內(nèi)只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義該極值點就是最值點．利用導數(shù)研究函數(shù)的零點或方程的根【規(guī)律方法】研究函數(shù)零點或方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，并借助函數(shù)的大致圖象判斷函數(shù)零點或方程根的情況，這是導數(shù)這一工具在研究函數(shù)零點或方程根中的重要應用．利用導數(shù)研究不等式問題【考向分析】導數(shù)在不等式中的應用問題是每年高考的必考內(nèi)容，且以解答題的形式考查，難度較大，屬中、高檔題．常見的考向有：(1)證明不等式；(2)不等式恒成立問題；(3)存在型不等式成立問題．而φ(x0)＝0，∴當x＜x0時，φ(x)＞0，當x＞x0時，φ(x)＜0.∴當x＜x0時，h′(x)＞0，當x＞x0時，h′(x)＜0.∴h(x)在區(qū)間(－∞，x0)內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間(x0，＋∞)內(nèi)為減函數(shù)．∴x∈R時，h(x)≤h(x0)＝0.∴f(x)≤g(x)．【解析】(1)當m＝－1時，f(x)＝(1－x)ex＋x2，則f′(x)＝x(2－ex)，由f′(x)＞0，得0＜x＜ln2，由f′(x)＜0，得x＜0或x＞ln2，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，ln2)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，(ln2，＋∞)．【規(guī)律方法】導數(shù)在不等式問題中的應用問題兩大解題策略：(1)利用導數(shù)證明不等式：若證明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以構造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＜0，則F(x)在(a，b)內(nèi)是減函數(shù)，同時若F(a)≤0，由減函數(shù)的定義可知，x∈(a，b)時，有F(x)＜0，即證明了f(x)＜g(x)．(2)利用導數(shù)解決不等式的恒成立問題：利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，首先要構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構造函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．課后感悟提升31個構造——構造函數(shù)解決問題把所求問題通過構造函數(shù)，轉化為可用導數(shù)解決的問題，這是用導數(shù)解決問題時常用的方法．2個轉化——不等式問題中的兩個轉化(1)利用導數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題，可將問題轉化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結合思想的應用．(2)將不等式的證明、方程根的個數(shù)的判定轉化為函數(shù)的單調(diào)性、極值問題處理．3個注意點——利用導數(shù)解決實際問題應注意的三點(1)既要注意將問題中涉及的變量關系用函數(shù)關系式表示，還要注意確定函數(shù)關系式中自變量的取值范圍．(2)一定要注意求得函數(shù)結果的實際意義，不符合實際的值應舍去．(3)如果目標函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義該極值點就是最值點．1．(2016年新課標Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．【解析】(1)由f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2，可得f′(x)＝(x－2)ex＋ex＋a(2x－2)＝(x－1)(ex＋2a)．①當a≥0時，由f′(x)＞0，可得x＞1；由f′(x)＜0，可得x＜1，所以f(x)在(－∞，1