2025高考數(shù)學(xué)核心知識 學(xué)考試技巧篇（核心知識背記手冊）

高考數(shù)學(xué)考試技巧篇

（36類核心考試技巧背記手冊）

目錄

考試技巧01權(quán)方和不等式的應(yīng)用及解題技巧.........................................2

考試技巧02普通型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧.....................................3

考試技巧03對數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧.....................................3

考試技巧04基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧.........................................4

考試技巧05“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值解題技巧...............................5

考試技巧06“奇函數(shù)+常函數(shù)”的大必域”）解題技巧...................................5

考試技巧07已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象解題技巧...................................6

考試技巧08已知函數(shù)圖象判斷函數(shù)解析式解題技巧...................................7

考試技巧09兩類經(jīng)典超越不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧........................8

考試技巧10泰勒不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧.................................9

考試技巧11不等式放縮合集比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧............................10

考試技巧12函數(shù)對稱性的應(yīng)用及解題技巧...........................................13

考試技巧13解不等式（含分段函數(shù)）的應(yīng)用及解題技巧..............................13

考試技巧14萃泰?解的應(yīng)用及解題技巧13

考試技巧15零點(diǎn)的應(yīng)用及解題技巧..................................................14

考試技巧16切線與公切線的應(yīng)用及解題技巧.........................................14

考試技巧17端點(diǎn)效應(yīng)（必要性探索）解題技巧.......................................15

考試技巧18函數(shù)凹凸性解題技巧....................................................17

考試技巧19洛必達(dá)法則解題技巧....................................................19

考試技巧20導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題的解題技巧....................................21

考技巧21十角公的應(yīng)用及解題技巧23

考試技巧22萬能公式的應(yīng)用及解題技巧.............................................23

考試技巧23正余弦平方差公式的應(yīng)用及解題技巧....................................24

考試技巧24三角函數(shù)異名伸縮平移的解題技巧.......................................24

考試技巧25"爪子定理”的應(yīng)用及解題技巧...........................................25

考試技巧26系數(shù)和（等和線）的應(yīng)用及解題技巧....................................26

考試技巧27極化恒等式的應(yīng)用及解題技巧..........................................27

考試技巧28奔馳定理與三角形四心的應(yīng)用及解題技巧................................27

考試技巧29角平分線定理的應(yīng)用及解題技巧........................................28

考試技巧30張角定理的應(yīng)用及解題技巧.............................................29

考技巧31點(diǎn)對稱問題解題技巧30

考試技巧32圓中的切線問題解題技巧...............................................31

考試技巧33圓錐曲線中焦點(diǎn)弦的應(yīng)用及解題技巧....................................31

考試技巧34圓錐曲線中中點(diǎn)弦的應(yīng)用及解題技巧....................................32

考試技巧35復(fù)數(shù)的模長及最值的應(yīng)用及解題技巧....................................33

考試技巧36柯西不等式的應(yīng)用及解題技巧..........................................34

考試技巧01權(quán)方和不等式的應(yīng)用及解題技巧

權(quán)方和不等式的初級應(yīng)用：若a,b,x,y>Q則—+—>（f/+Z?）-當(dāng)且僅當(dāng)-=-時取等.

xyx+yxy

（注：熟練掌握權(quán)方和不等式的初級應(yīng)用，足以解決高考中的這類型最值問題的秒殺）

例.已知。且2a+〃=3,則」7+7T二的最小值為（）

2a-\2b-l

9

A.1B.-c.9D.1

2

因?yàn)?a+Z?=3,所以4a+2/?=6

,/b1(〃+b)2

由權(quán)方和不等式一+12----------可得

xyx+y

114122心(2+r

a-12b-l4?-42b—14a-42b-l~4a-4+2b-l

9177

當(dāng)且僅當(dāng)#7=—,即〃時，等號成立.【答案】C

4Q-42。一163

X222

例.已知正數(shù)X,九z滿足％+y+z=l,則一+^v+^的z最小值為___________

y+2zz+2xx+2y

【分析】根據(jù)權(quán)方和不等式可得解.

【詳解】因?yàn)檎龜?shù)X,y滿足x+y+z=l,

所以上+上+上2—(x+3_

y+2zz+2xx+2yy+2z+z+2x+x+2y3

x二y二z11

當(dāng)且僅當(dāng)即X=y=Z=：時取等號，故答案為：

y+2zz+2xx+2y

例.已知x+2y+3z+4〃+5v=30,^<x2+2j2+3z2+4w2+5v2的最小值為

【分析】應(yīng)用權(quán)方和不等式即可求解.

222

222f(2y)(3z)(4〃『(5v)

x2+2y2+3z2+4w2+5v2=上+土上!-+--

【詳解】人12/。3今4D5

(x+2y+3z+4〃+5y73O2

>-------------------=---=60

1+2+3+4+515

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=〃=v時取等號，故答案為：60

考試技巧02普通型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧

hvnh

1.糖水不等式定理，若a>b>0,m>0,則一定有-->-

a+ma

通俗的理解：就是a克的不飽和糖水里含有b克糖，往糖水里面加入m克糖,則糖水更甜;

2.糖水不等式的倒數(shù)形式，設(shè)a>b>0,m>0,則有：巴>土上

bb+m

45

例.(2020?全國?統(tǒng)考高考真題)己知55<8313<8.設(shè)a=log53,&=log85,c=logi38,則()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【詳解】

8241339

1°ln3+ln-In—1<10ln3+ln—In—,。

m3551n5,pm355In8

a=——<--------=——<——=b，又a=——<----------=——<-------=c,

山5in5+ln§ln8ln8ln5ln5+ln"lnl3lnl3

55

用排除法，選A。

考試技巧03對數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用及解題技巧

(1)設(shè)“cN+，且〃>1,則有l(wèi)og?+1n<logn+2(H+l)

(2)設(shè)a>b>l,m>0,則有l(wèi)ogflZ?<logfl+,?(/?+m)

（3）上式的倒數(shù)形式：設(shè)a>b>l,m>0,則有\(zhòng)ogba>\ogb+m（a+m）

例.（2022.全國.統(tǒng)考高考真題）已知9"=10M=10'"-11力=8'"-9,則（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

對數(shù)型糖水不等式

因?yàn)?'”=10,所以m=log910.在上述推論中取a=9力=10,可得zn=log910>log1011=Igll,

且m=log910<log89.

所以11=0,6=8'"—9<8"曲9—9=o,即a>0>b,A.

考試技巧04基本不等式鏈的應(yīng)用及解題技巧

基本不等式鏈：產(chǎn)產(chǎn)2號2弧2工~9>0力>0）,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

ab

例.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）若x,y滿足V+y2—孫=i,則（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.X2+/<2D.x2+y2>l

由基本不等式鏈：J"7/>。）,可得油｛手上當(dāng)2（a,blR）,

ab

對于AB

由x?+y-孫=1可變形為，（元+.）2_］=3D13（尤；丫）,

解得_2Vx+y42,當(dāng)且僅當(dāng)元=y=T時，x+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)尤=y=l時，x+y=2,所以A錯誤，B

正確；

對于C

22

【法一】由尤?+丁-孫=1可變形為（/+?。┮?=肛W上乎，解得/+丁<2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±l時取等

號，所以C正確

【法二】由人形2［晉J,孫《上［，得人一個+h2［受］一］受J,

又因?yàn)楸匾粵_+/=1,所以—([2]<1，即^(x+y)2<l,x+y<2.

【法三-f+/=(x+y)2-3位(i)2-3[審]=&+?,

又因?yàn)椋?一盯+y2=],所以；(x+y)2<l,x+y42.

【答案】：BC.

考試技巧05“奇函數(shù)+常函數(shù)”的最大值+最小值解題技巧

在定義域內(nèi)，若網(wǎng)x)=/(x)+A,其中/(X)為奇函數(shù)，A為常數(shù)，則最大值〃，最小值加有V+m=2A

即加+加=2倍常數(shù)

例.(2023上?江蘇?高三模擬)已知跖根分別是函數(shù)般同1=海匹版:+sin工+1的最大值、最小值，則Af+，w=

A/+加=2倍常數(shù)=2

例.已矢口函數(shù)/(%)=依3—in(Jf+l+x)+3sin/+7,XE[—2023,2023]的最大值為最小值為機(jī)，貝!J

M-\-m—.

【法一】V+根=2倍常數(shù)=14

【法二】Af+771=2/(0)=14

3e》+e-x

例.函數(shù)/(x)=————,XG[-5,5],記/⑺的最大值為A/,最小值為加，則加+根=_______.

eA+e尤

【法一】A1+m=2倍常數(shù)=4

【法二】M+根=2/(0)=4

考試技巧06“奇函數(shù)+常函數(shù)”的大解題技巧

在定義域內(nèi)，若網(wǎng)x)=/(x)+A,其中/(x)為奇函數(shù)，A為常數(shù)，有/(a)+/(—a)=2A

即/■(a)+/(—4)=2倍常數(shù)

例.(全國?高考真題)已知函數(shù)"x)=ln(V^-x)+l,f(?)=4,則/(一。)=

In卜”7，-@在定義域內(nèi)為奇函數(shù)

所以/(a)+/(-a)=2倍常數(shù)=2,解得/(F)=-2

【答案】-2

例.己知函數(shù)〃x)=lnF+?,貝+

1y11y1

〃無)=ln，+±-l,犯三和上在定義域內(nèi)為奇函數(shù)

1—Xx1-xX

所以2倍常數(shù)=2

【答案】-2

考試技巧07已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象解題技巧

特值與極限____

①收=1.414,V3=1.732,V5=2.236,76=2.45,V?=2.646

j.

②e=2.71828,e2=7.39,=Ve=1.65

③lnl=0,In2=0.69,ln3=1.1,Ine=1,InVe=—

2

④sinl=0.84,cosl=0.54,sin2=0.91,cos2=-0.42

特別地：當(dāng)x-0時sinx=x

例如：sin0.1=0,099?0.1,sin0.2=0.199?0.2,sin0.3=0.296?0.3

當(dāng)x—0時cosx=l

cosO.l=0.995?1,cos卬.2）=0.980?1

例.函數(shù)y=（3yr）cosx在區(qū)間-封的圖象大致為（）

令/（x）=（3=3T）cosx,xe,由奇偶性定義知〃x）為奇函數(shù)，排除BD；

【法一】特值

/(0.1)=(301-3-01)cos0.1?(3°1-3^))x0.995>0,故選：A.

【法二】極限法

當(dāng)x90+時cosx=l,3H+，3-x1

所以當(dāng)x―0+時y=(3=3r)cosx>0,故選：A.

【法三】

當(dāng)時，3*-3-*>0,cosx>0,所以〃x)>0

【答案】A

考試技巧08已知函數(shù)圖象判斷函數(shù)解析式解題技巧

例.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)是（

2sinx

D.y=

x2+l

【法一】特值

由圖知：/（2）<0,

對于A,/⑵=—g,對于B,/⑵=g,對于C,/（2）=2義2x（—0.42）<0,對于D,八2）=2X；91>0

5

排除BD

結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)位置可選A

【法二】猜測近似函數(shù)值

由圖知/（1）土1

分別計算四個函數(shù)值即可得到答案

【法三】

設(shè)〃x）=/，則/⑴=0,故排除B;

、幾7\2xcosx

設(shè)〃⑺=FF'當(dāng)xe（時，0<cosx<l,

/\2%cosx2%.?,1..

所以〃T（尤）=-2——<-—"-<1,故排除C；

?X十I人十I

設(shè)g（x）=5T，貝必⑶=1F>0,故排除D.

【答案】A

考試技巧09兩類經(jīng)典超越不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題

技巧

[X

ex>x+1,>ex,1----<lnx<x—1,lnx<—

xe

1-雪101

例.已知a=——,b=e100,c=ln——，貝|a,b,c的大小關(guān)系為（）

100100

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

--991

e100>--+1=—

100100

I101101,1

c=In-----<--------1=-----

100100100

【答案】c

考試技巧10泰勒不等式比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧

常見函數(shù)的泰勒展開式：

、.XX2X3XnXn+i八八

（1）ex=]+而+與+寸…+丁7工八0X;，其中（0<6<1）；

1!2!3!n\+'/

xn+1(1Y+1

(2)ln(l+^)=X-|y+jy-.3+扁，其中凡=（-1）"

r3r5212k+l

(3)sinx=x----1-------+(-l)-------+7?,其中R=(—1)-------cos^x；

3!5!IJ(21)!…n丹十〃I)(2左+1)!，

2

T/』丫2b22k

(4)cosx=l----1-------+(-l)------—+R其中E=(—1)-———cos^x；

2!4!IJ(2"2)!n…f丹十〃()(2k)!9

1”

(5)=1+X+9X2H----F%"+O(X〃)；

1-x

(6)(1+x)n=1+〃】+〃(；!1)?+o(x2)；

X2/2n

(7)tanx=x-\---1---x'5T----\-o\x

315v

A/1-HX=1+—X——x2+—X3H---\-o(xn}

2816v7

由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式:

ex>1+x,e%>1+x+—x2(x>0),sinx>x-—x3(x>0),

26

i12

COSX>1——X,lnx<x-l,ex-1>x,

2

tanx>x+(x>0),\/l+XW1H--X9ln(l+x)<x.

2

常見函數(shù)的泰勒展開式：

結(jié)論1ln(l+x)<x(%>—l).

結(jié)論2lnx<x-l(x>0).

結(jié)論31--<lnx(x>0).

x

....<ln=^>^^<ln(l+x)

結(jié)論41+x1％1+xV

1-----------

1+x

1丫

結(jié)論5l+x<ex;eX---(%vl);<ln(l+x)<>—1).

1—X1+X

結(jié)論6ex>l+x(XGR)；

結(jié)論7e~x>l-x(xR)

結(jié)論8>^x(x<l).

1-x

結(jié)論9<ex(x>l).

1-x

例.(2022年新I卷高考真題第7題)設(shè)。=0.1e°」，6c=-ln0.9則()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

泰勒公式法：

ni2i

因?yàn)閑°/合1+0.1+^=1.105,所以h0.1105<—=0.11111=/?,所以a<Z?

29

因?yàn)?/p>

(1)2zj_\3

1011%)%)1111

c=-ln0.9=ta—=ta(-+l)?----+-^—=----------+-----工—―0.006=0.105<a所以c<a

99923916221879

綜上所述：c<a<b

故選：C

3111

例.(2022?全國?統(tǒng)考iWi考真題)已知Q=—,b=cos—,c=4sin—,則()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

泰勒展開

31o?520.2520.254

設(shè)％=0.25,貝1］。=衛(wèi)=1一匕二,Z?=cos—?1-H----------

322424!

.1

.1sm710.2520.254、1定后,皿但

c=4Asin-=^-^?l一一—+-yj—,計算得C>Z?〉Q,故選A.

4

考試技巧11不等式放縮合集比較函數(shù)值大小關(guān)系解題技巧

sinx<x<tanGI0,-^-

Inx<y[x——M(x>1)lnx>Vx——卜(0<x<1)

Inx<—(x—)(x>1)Inx>—(x—)(0<x<1)

2x,2x,

1313

Inx>—x9+2%—(x>1)In%v—x9+2x—(0v%<l)

22,22

2(x—1)2(x—1)

lnx>----------(x>l)Inx<----------(0<x<1)

x+1,x+1

放縮程度綜合

1--<-(%-—)<Vx——\=<lnx<^^~—<--x2+2x--<x-1(0<x<1)

x2x-Jxx+122

[112G32(%—1)1廠1I,1、1Z1小

x22x+162x

12G3112(1)1廠11/1、“G、

22xx+1五2x

例.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)設(shè)。=0.1e°」,6=",c=-ln0.9,貝ij()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

放縮法

因?yàn)閤+l<e"<(x<1)，

1-x

所以<^^nO.ll<a=O.le°i<O.lx^^=-=Z?,即a<b

1-0.11-0.19

因?yàn)閘n%<L(%——)(%>1),

2x

所以c=—lnO.9=lnW<!(3一2)="<0.11<a,即c<a

92910180

綜上所述：c<a<b,故選：C

衛(wèi)“c°sL=4sinL

例.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知〃=則（)

32444

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【法一】：不等式放縮一

因?yàn)楫?dāng)0,1),sinx<%,

2

取x=［得：cos-=l-2sin2->l-2|=—,故…

848I132

4sin；+cos；=sin［；1+o),其中n14

,且sin°=

42而‘…=加

當(dāng)」=時,1兀〒，兀\

4sin!+cos>/r7（P=,

44V2及甲=「

141.1

此時sin：=cose=r=,cos—=sin(p=—j=

4VI74V17

114.1.1,

^rcos-=-^=<-^==8111-<48111-,故人<c

4117V1744

所以b>a,所以故選A

【法二】不等式放縮二

因?yàn)椤?4tan」，因?yàn)楫?dāng)x￡（0,=],sinx<x<tanx,所以tan』〉』,即f>1,所以c>Z?；因?yàn)楫?dāng)

b4I2J4444Z?b

xe0,^71-,sinx<x,=-Wcos-=l-2sin2->l-2|=||,故"所以

I22J848I

故選：A.

考試技巧12函數(shù)對稱性的應(yīng)用及解題技巧

例.(全國?高考真題)設(shè)函數(shù)y=/(x)的圖像與y=2?的圖像關(guān)于直線y=-x對稱，且〃-2)+/(T)=l,

則。二

A.-1B.1C.2D.4

反解了(%)的解析式,可得-％=2一十，BPy=a-log2(-x),

因?yàn)?(-2)+/(T)=l,所以a-logzZ+a—W，解得解得〃=2,故選C

考試技巧13解不等式(含分段函數(shù))的應(yīng)用及解題技巧

例2.(全國?高考真題)設(shè)函數(shù)〃x)=ln(l+W)，則使成立的x的取值范圍是

【特值法】

當(dāng)X=1時，/'⑴〉『(1)不成立，排除D,當(dāng)x=0時，則判斷了(O)>/(-1)是否成立,

計算/(0)=-1,/(-l)=ta2-1?0.19,不成立，故排除B、C,

【答案】A

考試技巧14整數(shù)解的應(yīng)用及解題技巧

例.已知關(guān)于x的不等式In尤-區(qū)4+日3>0恰有一個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)左的取值范圍為()

In31In3￡

IT'W而’1

In3In2

次,g

【猜根法，尋找臨界條件】

由題知整數(shù)解不可能為1,

若整數(shù)解為2,則整數(shù)解3不可取，代入有M2-16左+8左=0=k=電2,

M3-81k+27左=0=左=也，根據(jù)整數(shù)解問題區(qū)間為一開一閉，則選D.

考試技巧15零點(diǎn)的應(yīng)用及解題技巧

例4.（全國?高考真題）已知函數(shù)/（幻=爐-2彳+雙—+，'+1）有唯一零點(diǎn),則"

通過觀察發(fā)現(xiàn)V-2元關(guān)于x=1對稱，/t+也關(guān)于x=1對稱,

則唯一零點(diǎn)為1,解得解得”;.故選：C.

考試技巧16切線與公切線的應(yīng)用及解題技巧

例.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）若過點(diǎn)（4,6）可以作曲線y=e'的兩條切線，則（）

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ebD.Q<b<ea

畫出函數(shù)曲線y=e，的圖象如圖所示,根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)(a力)在曲線下方和X軸上方時才可以作出兩條切

故選：D.

例.(全國?高考真題)若直線，=丘+》是曲線>=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(%+l)的切線，則0=

對函數(shù)y=lnx+2求導(dǎo)得)/=4，對y=ln(尤+1)求導(dǎo)得y，=—L,設(shè)直線y=履+。與曲線y=lnx+2相切于

Xx+1

點(diǎn)《(Xi，%),與曲線>=ln(尤+1)相切于點(diǎn)，則％=111再+2,%=ln(>2+l),由點(diǎn)《(占,%)在切線上得

y-(lnxl+2)=-(x-xl),由點(diǎn)￡5,％)在切線上得V-3%+D=一5一馬),這兩條直線表示同一條直

X］*21

11^1

XXy+111

線，所以<,一,，解得玉=7，，左=—=2,b=ln玉+2—1=1—ln2

,2工+12玉

山（毛+1）=In玉+—:——

考試技巧17端點(diǎn)效應(yīng)(必要性探索)解題技巧

端點(diǎn)效應(yīng)的類型

1.如果函數(shù)/(%)在區(qū)間［a,b］上,/⑴>0恒成立，則/(a)20或f(b)>0.

2.如果函數(shù)/(%)在區(qū)間［a,切上,/⑴>0恒成立，且/(a)=0(或/(Z?)=0),則/(a)>0(或f\b)<0).

3.如果函數(shù)/(x)在區(qū)問[a,切上，/(x)20恒成立，且八。)=0,/'⑷=0(或/S)=0,S)<0)則

/(a)>0(或/3)40).

例.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(*)=依-巴f,xJog]

cosxI2J

(1)當(dāng)a=8時，討論F(尤)的單調(diào)性；

(2)若/(%)<sin2x恒成立，求。的取值范圍.

【法一】端點(diǎn)效應(yīng)一

令g(x)=/(x)-sin2x,xe(0,([得g(0)=0；且g(x)<0在xefo,^j上恒成立

畫出草圖

]+2win2v

根據(jù)端點(diǎn)效應(yīng)，需要滿足g'(0),,0而g\x)=a------2cos2x

cosX

貝IJg'(0)=a—3,令g'(0),,0,得aW3

當(dāng)6,3時，由于g(0)=。，只需證g'(x)<0即可

而g’(x)含有參數(shù)a,故可對g'(x)進(jìn)行放縮

,/、l+2sin2x\八l+2sin2x、、<3-2cos2x.

即0ng(%)=4-----7-----2cos2x<3------------2cos2%=5-------------4cos2x

cosXCOSXCOSX

令/=cos?x,其中0</<1

3-2/

則4(/)=:-2-4t3-2t+6

1/

令。⑺=-4/—2/+6

則〃?)=—12/—2<0,故p⑴在(0,1)上遞減，得p(t)>p(l)=0

則h'(t)>0.得h(t)在(0,1)上單調(diào)遞增，則帕)(〃⑴=0

即g'(x)<0,滿足g(x)<g(0)=0成立

當(dāng)a>3時，由于g'(0)=a-3>0,

故存在與,使得在(0,%)上g(x)>0,

所以g(x)在(0,%)上單調(diào)遞增，則g(x)>g(0)=0,不成立

特上所述：a<3.

【法二】端點(diǎn)效應(yīng)二

小、./、.csinx.小/、.小sinx

(2)f(%)<sinax-------<sin2x^>g(x)=ax-sin2x-------<0

COSXCOSX

由于g(0)=0,且

，/、,cos2x+3sin2x

g(x)=tz-2cos2x---------------------,

cosx

注意到當(dāng)g'(0)〉0,QPa>3時一,3xoe^O,|^|使g'(x)〉0在XG(0,%0)成立，故此時g(x)單

調(diào)遞減

g(x)>g(0)=0,不成立.

cinx

另一方面，當(dāng)小3時，^(x)?3x-sin2x-------=/z(x),下證它小于等于0.

cosX

令/?(x)=3-2cos2x-3—2cgs-x

cosX

3cos4x+2cos2x-3-2cos2xcos4x_3(cos4x-l)+2cos2x(l-cos2xcos2x)

4―4

COSXCOSX

-(cos之%-1)2(dcos2X+3)

4<0.

COSX

：.g(x)單調(diào)遞減，，g(x),,g(0)=0.特上所述：a<3.

考試技巧18函數(shù)凹凸性解題技巧

y

凹函數(shù)1

7\

凸函數(shù)

-2

/（凡）+/（々）為+x

凹函數(shù)：對于某區(qū)間內(nèi)Vxx,都有2

15222

/(%)+/(々)

凸函數(shù)：對于某區(qū)間內(nèi)%,工2，都有

2

例.在AABC中，求sinA+sin5+sinC的最大值.

因?yàn)楹瘮?shù)y=sinx在區(qū)間（0,不）上是上凸函數(shù)，則

A+B+C,71

j(sinA+sinB+sinC)<sin=sin—=——

332

即sinA+sinB+sinC〈為3,當(dāng)且僅當(dāng)sinA=sinB=sinC時，即A=B=C=-時，取等號.

23

上述例題是三角形中一個重要的不等式：在AABC中,sinA+sinB+sinC〈怨.

2

例.丹麥數(shù)學(xué)家琴生（Je〃se〃）是19世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等

式方面留下了很多寶貴的成果.設(shè)函數(shù)Ax）在（。力）上的導(dǎo)函數(shù)為了'（X）,/'（x）在3b）上的導(dǎo)函數(shù)為尸（X）,

若在（。,刀上f\x）<0恒成立，則稱函數(shù)/（X）在（。,刀上為“凸函數(shù)”.已知/（尤）=e、一xInx-萬f在（1,4）上為

“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)"的取值范圍是（）

A.（e-l,-H?）B.[e-1,+8）C./-；,+<?[D.

因?yàn)?（冗）=e“-xlnx-—x2,

所以八x）=e"-（1+lnx）-儂:=/-znx—lnx-l,

f,r（x）=ex—m——,

x

因?yàn)?（%）=e"-xlnx-三九2在（1,4）上為“凸函數(shù)”，

所以廣'(x)="-機(jī)-工<0對于xe(1,4)恒成立，

X

可得m>ex--對于尤e(1,4)恒成立,

X

令g(x)=e=J則加AgQLx，

因?yàn)椋?x)="+：>0,所以g(尤)=?x-:在(1,4)單調(diào)遞增，

所以8(%*<8(4)=人；，

所以〃地/一工，

4

【答案】C

考試技巧19洛必達(dá)法則解題技巧

法則1若函數(shù)ZU)和g(x)滿足下列條件：

(1)lim/(x)=0及l(fā)img(x)=0；

X—>tz\7G\7

(2)在點(diǎn)〃的去心鄰域內(nèi)，f^x)與g(x)可導(dǎo)且g1。)#)；

.尸(X)

(3)lim———-=I，

Ig(%)

f(x\fr(x\0

那么lim憐==lim―4二/。一型

%—"g’(%)0

法則2若函數(shù)40和g(x)滿足下列條件：

(1)=Q0及l(fā)img(x)=oo；

x-^a、/x-^a、7

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，的與g(x)可導(dǎo)且g，(x)力0；

f'(x\

g(x)

f(x]/,(X)00…

那么lim仝V=lim=4=/—型

x—>ag(x)x—>ag'G)00

./人e一七、一.八Inx1Inxk

例.(全國IWJ考)已知----1—>-------+—恒成立，求k的取值范圍

x+1Xx-1x

解：皿1Inxk,2xlnx,記g(x)=1^￥+i,

+->----+—o左<....-+1

X+lxx-1x\-x"1-x

2(4+l)ln%+2(l-%2)…knx+H

則g'(x)=

1-x2

i己丸(x)=lnx+

x2+l

,14》(1-x2)

則A(x)=--——一J〉0

X(1+x?)x(l+x?)

所以，h(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，且無⑴=0

所以xG(0,1)時，h(x)<0,xe(1,+co)時，h(x)>0

即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(l,^o)上單調(diào)遞增

所以

2xlnx1

k<limg(x)=limk+l

X—^1X—^1

2xlnx1-2+2lnx111c

=lim+l=hm-----------bl=l-l=0

I1-x23-2x

所以k<0

分析

2YInx

上式中求lim-―t+1用了洛必達(dá)法則當(dāng)xf1吐分子2xlnx-0,分母1-Vfo,符合-

-1—公0

不定形式，所以lim^^=lim2+21nX=-1

%-i1—x%-i—2x

例.(全國高考)VxG(0,+oo),ex-l-x-ax2..O恒成立，求a的取值范圍

左力X12c/_%_]

斛：€—I-X—CIX..0CI<----------

X

ex—x—1

記g(x)=-L，

X

i，xcx—2e*+x+2

則g(%)=----------3--------

X

記h(x)=xex-2ex+x+2

則"(x)=xex-ex+1

A(x)=xex>0

所以，Ji(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，所以A(x)>/z'(O)=O

所以，h(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，所以/i(x)>/i(O)=O

即在(0,+oo)上g'(x)〉O,所以g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增

所以

x-Y-1x-1ex1

a<limg(x)=lim-e---；---=lim-e----二lim—二—

%.。x—>o^%.o2%%->o22

所以a<