高考數學重難點專項復習：復數、平面向量（知識清單+易錯分析+專項訓練）（原卷版+解析）

考前回顧02復數、平面向量(知識清單+易錯分析+23年高

考真題+24年最新模擬)

1.復數的相關概念及運算法則

⑴復數z=〃+Z?i(mb￡R)的分類

①z是實數0Z?=0；

②z是虛數0AWO；

③z是純虛數＜4〃=0且Z?W0.

(2)共舸復數

復數z=〃+歷(a,/?￡R)的共粗復數z=a-bi.

(3)復數的模

復數z=〃+Z?i(〃，Z?￡R)的模|z|=,層+廿.

(4)復數相等的充要條件

ci+bi.—'C+4=c且b=d(a，b,c,dGR).

特別地，〃+歷=00〃=0且。=om，Z?eR).

⑸復數的運算法則

加減法：(〃+Z?i)±(c+di)—土c)+(b±J)i；

乘法：(〃+Z?i)(c+di)=(ac-M)+(“d+Ac)i；

.ac+bd,bc-ad,

除法：(〃+/?i)：(c+di)=+淤+。2+

(c+diWO).(其中a,b,c,d￡R)

2.復數的幾個常見結論

(l)(l±i)2=±2i.

1+i.1-i

(2)不=1,幣=—L

(3)i4n=l,i4n+1=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4"+i4n+1+i4nrt+i4n*3=0(nGN).

3.平面向量基本定理

如果ei，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a,有且只有一對實數九,

卜2、使。=2通1+/12。2.若也，不共線，我們把｛右，4｝叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.

4.向量〃與方的夾角

已知兩個非零向量a,b,。是平面上的任意一點，作而=a,OB=b,則/4。8=仇0?0?無)叫做向量。

jr

與》的夾角.當6=0時，a與》回包；當。=n時，a與b反向.如果a與寸的夾角是］,我們說a與?垂

直，記作a_LZ>.

5.平面向量的數量積

⑴若a,8為非零向量，夾角為0,則a協(xié)=|a|NcosO.

(2)設a=(尤1，yi),6=(x2，>2)，貝Ua仍=xi±2+yi22.

6.兩個非零向量平行、垂直的充要條件

若。=(無1，>1),》=(尤2，>2)，貝U

(l)a//b妗a=2b(bW0)<=>xiy2—x2Vi—0.

(2)。_1_60”協(xié)=00方》2+丫1丫2=0.

7.利用數量積求長度

(1)若a=(無，y),則

(2)若A(尤i，yi),8(x2，V2)，則

\AB\=^/(X2—XI)2+CV2—yi)2.

8.利用數量積求夾角

設a,6為非零向量，若。=(xi，yi),b=(X2,J2)，6為。與6的夾角，

rnn』a?bxin+yiy?

'C°S⑷向y/xi+yjy/xz+yz

9.三角形“四心”向量形式的充要條件

設。為△ABC所在平面上一點，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,貝h

>>>Z7

(1)0為AABC的外心0|。4|=|。8|=|。。=云亞(

(2)0為△ABC的重心0位+為+沆=0.

(3)。為△ABC的垂心.女

(4)0為△ABC的內心Oa應+b近+c5^=0.

4.找向量的夾角時，需把向量平移到同一個起點，共起點容易忽視.

A易錯提醒

1.復數z為純虛數的充要條件是。=0且6W0(z=a+bi,a,6GR).還要注意巧妙運用參數問題和合理消

參的技巧.

2.復數的運算與多項式運算類似，要注意利用i2=—1化簡合并同類項.

,，A一BA一C、

3.若AP=2=十=Q￡(0,+8)),則點尸的軌跡過△A3C的內心.

W\\AC\)

易錯分析

易錯點1對平面向量基本定理理解有誤

1.［福建泉州九中2022月考］如圖所示，AB,。是圓。上的三點，線段的延長線與的延長線交

于圓O外的一點。，若0。=加。4+〃05,則m十八的取值范圍是.

D

易錯點2關于向量的夾角的易錯點

2.［浙江百校2022開學模擬］在A5C中，是“-ABC為鈍角三角形”的。

A充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D既不充分也不必要條件

易錯點3記錯兩個向量平行的坐標關系致錯

3.［陜西榆林2023二模］已知向量a=,Z?=（—2,5）.若a〃〃，貝/九=.

易錯點4認為a與人的夾角為銳角（鈍角）匕＞0（＜0）致錯

4.［遼寧名校2023聯考］已知向量a=（4,2）,b=（4l）.若a+2b與a—b的夾角是銳角，則實數X的取值

范圍為（）

A（1-而2）（2,1+而）

B.（-2,5）

C.（1-而,1+何

D.（-00,1-而）L0+而,+勾

易錯點5復數的相關概念理解不清致誤

5.［四川樂山2022第一次調研］若zr.=l+i,則Z的虛部為（）

AB.—iC.1D.-1

6.［湖南湘潭2023二模］在復平面內，復數＜,z,對應的點分別是（2,7）,（0,5）,則復數上的虛部為（）

zi

A.2B.-2C.-2iD.2z

易錯點6忽視復數相等的條件致誤

7、［河北2022第六次省級聯測］已知復數滿足條件z；+z=6+27，則目=（）

A.A/5B.2A/2C.迅或2血D.非或娓

8.［廣西桂林、崇左2023一調］已知，為虛數單位，若［;=a+4（abeR）,貝i］a+b=.

日高考真題

一.選擇題（共14小題）

1.（2023?新高考H）在復平面內，（l+3i）（3-z）對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第二象限D.第四象限

2.(2023?新IWJ考I)已知z=」——,貝|z—N=()

2+2z

A.—iB.iC.0D.1

3.(2023?北京)己知向量a,b滿足a+b=(2,3),a-6=(-2,l),則⑷2一出『=()

A.-2B.-1C.0D.1

4.(2023?甲卷)向量1a1=1。1=1,|c|=^2,且a+Z?+d=0,則cos〈a-c,b-c〉=()

22

A.--B.--C.-D.i

5555

5.(2023?甲卷)已知向量。=(3,1),b=(2,2),則cos3+6,a-b)=()

B.姮C.6D,正

A.—

171755

6.(2023?全國)設向量a=(2,x+l),b=(x-2,-l),若Q_L6，則X=()

A.5B.2C.1D.0

7.(2023?甲卷)若復數3+，)(1一5)=2,CLGR,則a=()

A.-1B.0C.1D.2

8.(2023?北京)在復平面內，復數Z對應的點的坐標是（-1,君），則Z的共輾復數2=（）

A.1+73/B.1-后C.-1+GD.-i-B

9.(2023?乙卷)正方形ABCD的邊長是2,E是筋的中點，則EC-ED=()

A.A/5B.3C.2A/5D.5

10.(2023?新高考I)已知向量d=(1,1),另=(1,-1).若3+沈〃)，3+〃6'),貝)

A.4+4=1B.X+"=—1C.4〃=1D.A.JU=—1

>n2+i

11.(2023?乙卷)設z二——^則2=()

1+z+i

A.l-2iB.1+2,C.2-iD.2+i

5(1+z3)

12.(2023?甲卷)；)

(2+0(2-0-

A.-1B.1C.1-ZD.1+z

13.(2023?全國)已知(2+i?=5+5i,貝i||z|=()

A.加B.MC.5點D.5q

14.(2023?乙卷)|2+產+2戶|=()

A.1B.2C.也D.5

二.填空題（共8小題）

15.（2023?上海）已知向量3=（3,4）,。=（1,2）,則a-2b=.

16.（2023?上海）已知復數z=l-i（z?為虛數單位），則|1+0=.

17.（2023?天津）已知i是虛數單位，化簡四生的結果為

2+3z------

18.（2023?新高考H）已知向量3,。滿足|。一6|=百，\a+b\=\2a-b\,則出|=.

19.（2023?上海）已知向量3=（—2,3）,b=（l,2）,則eb=.

20.（2023?天津）在AABC中，ZA=60°,IBC|=1,點。為他的中點，點E為CD的中點，若設=

AC=b,則AE可用a,b表示為；若BF=LBC,則尸的最大值為

3

21.（2023?上海）已知4,Z?eC且％=海0為虛數單位），滿足-1|=1,則|q-z?|的取值范圍為.

22.（2023?上海）已知04、08、OC為空間中三組單位向量，且。4_LOB、OA±OC,02與0c夾角為

60。，點尸為空間任意一點，且I。尸1=1,滿足10Poe|剝0P|。尸?。4|,貝IJIOPOCI最大值為

最新模擬

一.選擇題（共14小題）

1.(2024?昌樂縣校級模擬)已知向量04=(3,-4),02=(6,-3),OC=(2m,m+1).若ABIIOC,則實數加

的值為（）

131

A.-B.——C.-3D.——

557

2.（2024?海珠區(qū)校級模擬）已知單位向量q與e2的夾角為《，則e；+2弓與26-30；的夾角為（）

2冗TTTTTT

A.——B.—C.-D.—

3324

3.（2024?沙依巴克區(qū)校級模擬）已知向量a=（3,-1）,6=（-1,2）,則-3a-2》的坐標是（）

A.（7,1）B.（-7,-1）C.（-7,1）D.（7,-1）

4.（2024?平邑縣校級模擬）若平面向量4,b,c兩兩所成的角相等，且同=1,出|=1,|c|=3,則|a+6+c|

等于（）

A.2B.5C.2或5D.友或行

5.（2024?重慶模擬）在同一直角坐標平面內，已知點0（0,0）,A（2,0）,8（0,2）,點尸滿足尸4P8=0,OPOB

的最小值為（）

A.2-20B.20-2C.20+2D.-20-2

6.（2024?江西模擬）如圖，已知圓O的半徑為2,弦長AB=2,C為圓O上一動點，則AC4C的取值范

A.[0,4]B.[5-4^,5+473]

C.[6-4點6+4我D.[7-467+4我

7.（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖1,兒童玩具紙風車的做法體現了數學的對稱美，取一張正方形紙折出“十”

字折痕，然后把四個角向中心點翻折，再展開，把正方形紙兩條對邊分別向中線對折，把長方形短的一邊沿

折痕向外側翻折，然后把立起來的部分向下翻折壓平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的

角向下翻折，這樣,紙風車的主體部分就完成了，如圖2,是一個紙風車示意圖，貝?。ǎ?/p>

B.OAOB>0C.OA+OD=2OED.OA+OC+OD=Q

8.（2024?芝景區(qū)校級模擬）已知|。|=2,聞=3,\a+bhV19,則|。一6|等于（）

A.5B.715C.D.5

9.（2024?重慶模擬）過直線2尤-y+1=0上一點P作圓（無-2）?+丁=4的兩條切線孫，PB,若PAPB=。,

則點尸的橫坐標為（）

D.士孚

A.0B.-c

5-4

10.（2024?南寧模擬）AABC的外接圓圓心為O,S.2AO=AB+AC,|OA|=|AC\,則向量C4在向量CB

上的投影向量為（)

B--梟D.,CB

A.--CBC.-CB

44

11.（2024?佛山模擬）已知a與6為兩個不共線的單位向量，則（)

A.(a+b)l/aB.a±{a-b)

C.若〈a,b〉=三,則〈。一6,石〉=（D.若〈〃+匕,々〉=工則〈a、b〉=]

4

12.（2024?平羅縣校級一模）已知向量4=（1,〃）,萬=（-1,〃），若2a-。與》垂直，則|〃|=（）

A.1B.夜C.2D.4

13.(2024?山東一模)已知|a|=|b|=l,ab,c=,d=(n,T-n)(m,neR).存在a,b,對于

2

任意實數〃7,〃，不等式|a-c|+g-d|..T恒成立，則實數T的取值范圍為（）

A.(-oo,73+^]B.[百+夜,+8)C.(―oo,g—五]D.[73-72,+oo)

14.（2024?漢濱區(qū)校級模擬）已知AABC中，AB=6,C=-,若AABC所在平面內一點。滿足

3

DA+DB+~DC=O,則的最大值為（）

198

AR99r6633

25252525

二.多選題（共2小題）

15.（2024?泰安模擬）已知復數z,w,則下列說法正確的是（）

?

A.若2=可，貝！l2=w

B.若z=3+i,w=-2i,貝Iz+w在復平面內對應的點在第二象限

C.若z?=l,則z=N

D.若|z-2|=l,復數z在復平面內對應的點為Z,則直線OZ（O為原點）斜率的取值范圍為

16.（2024?如皋市模擬）已知復數Z],z?是關于x的方程無2+&c+l=0（-2<6<2,beR）的兩根，則（)

B.三eR

A.Z]=z2

Z2

C.匕|=匕|=1D.若。=1,則z；=z；=l

三.填空題（共4小題）

17.（2024?陜西模擬）已知單位向量滿足|a+26|=|a-2b|,貝”3a+4b|=

18.（2024?芝聚區(qū)校級模擬）過拋物線V=4x的焦點的直線交拋物線于A、3兩點，O為坐標原點，則

OA.OB=.

19.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）平面直角坐標系中，P、。兩點到直線4:y=x和小>=-尤+6的距離

之和均為20.當|。尸|最大時，Q。?。尸的最小值為.

20.（2024?芝聚區(qū)校級模擬）。是面a上一定點，A,B,C是面a上AA5c的三個頂點，ZB,NC分別

是邊AC,AB的對角.以下命題正確的是—.（把你認為正確的序號全部寫上）

①動點尸滿足OP=OA+PB+PC,則AABC的外心一定在滿足條件的P點集合中；

AC

②動點P滿足OP=OA+2（——+——）（2>0）,則AABC的內心一定在滿足條件的P點集合中；

\AB\\AC\

ADAC

③動點尸滿足OP=+〃-------------+--------------）（2>0）,則AABC的重心一定在滿足條件的尸點集合中;

|AB|sinB|AC|sinC

40AT

④動點P滿足。尸=。4+2(--------------+---------------)(2〉0),則\ABC的垂心一定在滿足條件的。點集合中.

|AB\cosB|AC|cosC

⑤動點尸滿足OP=0B+0C.+2(———+———)(2>0),則AABC的外心一定在滿足條件的尸點集

2|AB|cosB|AC|cosC

合中.

考前回顧02復數、平面向量(知識清單+易錯分析+23年高

考真題+24年最新模擬)

知識清單

1.復數的相關概念及運算法則

(1)復數z=〃+/?i(〃，的分類

①z是實數0/?=0；

②z是虛數

③z是純虛數且＞#0.

(2)共物復數

復數z=〃+bi(〃，beR)的共舸復數z=a~bi.

(3)復數的模

復數z=〃+歷(〃，/?￡R)的模|z|=N層+"2

(4)復數相等的充要條件

ci+b\~~c+d代^a:=c且Z?=d(〃,b,c,dGR).

特別地，“+歷=00〃=0且b=0(〃,b￡R).

(5)復數的運算法則

加減法：(a+Z?i)土(c+di)=土c)+(。土J)i；

乘法：(a+bi)(c+di)=Z?J)+(〃d+bc)i；

,ac+bd,be-ad

除法：(a+bi)：(c+di)=+屋+。2+屋i

(c+diWO).(其中a,b,c,d￡R)

2.復數的幾個常見結論

(1)(1土i)2=±2i.

1+i.1-i

⑵有=1,幣=—1.

4,!4n+l4+24+344n+

(3)i=l,i=i,i?=-l,i?=-i,i?+i1+j4?+24-j4n+3=0(neN).

3.平面向量基本定理

如果ei，02是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a,有且只有一對實數九,

A2，使〃=41?1+22。2.若ei，02不共線，我們把｛幻，％｝叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.

4.向量。與方的夾角

已知兩個非零向量a,b,。是平面上的任意一點，作宓=a,OB=b,則NAOB=6?(OW6?W7r)叫做向量a

7T

與》的夾角.當(9=0時，a與1同向;當8=71時，a與」反向.如果“與方的夾角是］,我們說a與6垂

直，記作a_Lb.

5.平面向量的數量積

⑴若a,，為非零向量,夾角為仇則a協(xié)=|a|時cos6.

(2)設a=(尤1，ji),b=(X2,>2)，貝Ua仍=xi±2+yi\2.

6.兩個非零向量平行、垂直的充要條件

若a=(無1，yD，》=(無2，>2)，貝!1

(1)0/7b0a—Xb(bW0)<=>xiy2—x2Vi—0.

(2)a_LZ>Oa協(xié)=0<4xix2+yiy2=0.

7.利用數量積求長度

(1)若a=(無，y),則|a|=<^=,/+;/.

(2)若A(無i，%),8(x2，y2)>則

\AB\=N(X2—尤I)2+)2一州產

8.利用數量積求夾角

設a,Z>為非零向量，若a=(xi,yi),b=(x2,竺)，8為。與6的夾角，

皿I』a-b九功+丫出

'C°S㈤向y/xj+yjy/xz+yz

9.三角形“四心”向量形式的充要條件

設。為△ABC所在平面上一點，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,貝U：

⑴。為AABC的外心0|力|=|而|=|次?|=端彳

(2)0為△ABC的重心O近+協(xié)+沆=0.

(3)0為△ABC的垂心㈡宓?協(xié)=初?沆1ndbdl

(4)0為△ABC的內心Oa應+b近+c女=0.

4.找向量的夾角時，需把向量平移到同一個起點，共起點容易忽視.

A易錯提醒

1.復數Z為純虛數的充要條件是。=0且6W0(z=a+bi,a,6GR).還要注意巧妙運用參數問題和合理消

參的技巧.

2.復數的運算與多項式運算類似，要注意利用i2=—1化簡合并同類項.

一、

,A3AC

3.若A尸=4=+=Q￡(0,+8)),則點尸的軌跡過△ABC的內心.

l|AB|\AC\)

易錯分析

易錯點1對平面向量基本定理理解有誤

1.［福建泉州九中2022月考］如圖所示，A5,C是圓。上的三點，線段。。的延長線與84的延長線交

于圓O外的一點。，若OC=加。4+〃05,則m+〃的取值范圍是.

對平面內任意一點O,點。與點共線的充要條件為O￡>=〃M+(1—即。4,

OB的系數和等于1.求型如OC=mOA+nOB中參數的值，可通過輔助線構造與向量OC共線且滿足

A,昆。共線的向量。。，求解00=左0￡>,可得參數的值.

【解析】A,5,。三點共線，存在實數4滿足OD=2QA+(1—4)03

設OD=tOC,t<-l,=—即+03

夕1—/?

由OC=mOA+nOB,可得m=—,n=-----

tt

則e(-l,0)

772+〃的取值范圍是(—1,0).

易錯點2關于向量的夾角的易錯點

2.［浙江百校2022開學模擬］在A5C中，“A3-8C<0”是為鈍角三角形”的0

A充分不必要條件8必要不充分條件

C.充要條件D既不充分也不必要條件

特別提醒：(1)向量的夾角要將兩個向量平移到同起點去觀察，首尾相連的向量所呈現的角是夾角的補角；

(2)兩個向量的夾角為鈍角是兩個向量的數量積小于0的充分不必要條件，求參數時需要排除兩

個向量反向共線的情況，同理，兩個向量的夾角為銳角時，也要注意排除兩個向量同向共線時的參數值.

【解析】AB-BC=-BA-BC-BA-BCcosB<Q,即cos6>0,又0<B(兀，

所以0<B<—,不能推出，ABC為鈍角三角形，充分性不成立.

2

ji~-

ABC為鈍角三角形時，若一<3<"，則AB-BC—氏4-臺。=—BA-BCcosB〉。，不能推出

2

ABBC<0,必要性不成立.

所以“AB-BC<0”是".?.ABC為鈍角三角形”的既不充分也不必要條件.故選D.

易錯點3記錯兩個向量平行的坐標關系致錯

3.［陜西榆林2023二模］已知向量a=（7%l）,匕=（一2,5）.若。//匕，貝1］加=.

a=（X，X）,/?=（&,%）是非零向量，=X］%-%%=0在使用公式的時候，切記不要

把公式記混.

2

【解析】已知。=（加,1）,Z?=（-2,5）,a//b,所以5加+2=0,解得m=—

易錯點4認為。與〃的夾角為銳角（鈍角）oa?“0（<0）致錯

4.［遼寧名校2023聯考］已知向量a=（4,2）,3=（41）.若a+2。與a—Z?的夾角是銳角，則實數X的取值

范圍為（）

A（I-A/11,2）（2,1+而）

B.（-2,5）

c.（i-VTT,i+VTT）

D.卜00,1_^/111++00）

當。2>0（<0）時，。與b的夾角為銳角（鈍角）或0（180）度角，所以。與〃的夾角為銳角

（鈍角）等價。為>0（<0）且。與〃不共線.

【解析】由題意得a+2b=（4+九4）,a—b=（4—41）.

若a+2b與。一。的夾角是銳角，則。+26與a-Z?不共線，且它們的數量積為正值，4+22^4（4-2）,

且（a+2Z?）?（a—6）=（4+2辦4）-（4一九1）=20+4；1—2丸2>0,

解得1—而<4<1+而，且

所以實數；I的取值范圍為（1—而,2）,倒,1+而）.故選A.

易錯點5復數的相關概念理解不清致誤

5.［四川樂山2022第一次調研］若Z-7=1+，，則Z的虛部為()

A.iB.-iC.1D.-1

復數的虛部指的是虛數單位i的實數系，故而不能帶上虛數單位，如本題虛部很容易被誤認為是

-i

【解析】因為z4=i+，，則=］_，,所以的虛部為—i,故選。

izx(-z)

7

6.［湖南湘潭2023二模］在復平面內，復數對應的點分別是(2,-1),(0,5),則復數二的虛部為()

zi

A.2B.-2C.-2iD.2z

復數的虛部指的是虛數單位z?的實系數，故而不能帶上虛數單位，如本題，虛部容易被誤認為是

21.

【解析】由題可知4=2—z2=5/,則三=3-二=_］+2,所以復數二的虛部為

"42-i(2-z-)(2+z)Z］

2.故選A.

易錯點6忽視復數相等的條件致誤

7、［河北2022第六次省級聯測］已知復數滿足條件zi+z=6+27，貝1］忖=()

A.A/5B.20C.6或20D.小或娓

兩個復數z^a+bi,z,=c+由相等的充要條件是"=(a,瓦c,deR),即需要滿足實部與

［b=a

虛部同時相等.

【解析】設Z=x+*?(孫￡尺)，則2=%-加，所以Z,Z=%2+y2

"22「

—/oO\犬+'+%=O,

所以Z?Z+Z=(JT+y+%)+y，=6+2i,則＜

［丁=2,

解得｛——，或｛—，故z=—2+2i或z=l+2z,因此目=2后或回=百.

、y,、y?

故選u

8.［廣西桂林、崇左2023一調］已知i為虛數單位，^-^—=a+bi^abe7?),貝Ija+Z?=.

a=c

;兩個復數4=。+萬，z?=c+力相等的充要條件是｛'（a,瓦c,deR）,即需要滿足實部與

虛部同時相等.

【解析】因為,=a+bi,所以〃+4=----=二-I—i

所以〃=一,b=—,則a+b=—+—=1

對高考真題

選擇題（共14小題）

1.（2023?新高考H）在復平面內，（1+3力）（3-，）對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】直接利用復數代數形式的乘除運算化簡得答案.

【解答】解：（l+30（3-i）=3-i+9z+3=6+8z,

則在復平面內，（l+3i）（3-i）對應的點的坐標為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題.

2.（2023?新圖考I）已知z=」~A，貝Uz—5=（）

A.—i

【分析】根據已知條件，結合復數的四則運算，以及共軌復數的定義，即可求解.

Z-Z=一Z.

故選：A.

【點評】本題主要考查復數的四則運算，以及共輾復數的定義，屬于基礎題.

3.（2023?北京）已知向量4,6滿足&+方=（2,3）,”6=（-2』）,則|小|必=（）

A.-2B.-1C.0D.1

【分析】根據向量的坐標運算，向量的模公式，即可求解.

【解答】解：。+。=（2,3）,。一5=（-2,1）,

a=(0,2)?b=(2,1),

22

.-.|fl|-|Z7|=4-5=-l.

故選：B.

【點評】本題考查向量的坐標運算，向量的模公式，屬基礎題.

4.(2023?甲卷)向量|a|=|b|=l,|c|=&,且a+6+c=0,則cos〈a—c,。-c〉=()

1224

A.——B.——C.-D.-

5555

【分析】根據題意，用Q、b表示C,利用模長公式求出cos，b>,再計算2-乙與C的數量積和夾

角余弦值.

【解答】解：因為向量|。|=拒，且Q+b+c=0,所以Y=G+8，

所以=〃2+/+2〃?匕，

即2=l+l+2xlxlxcosva,b>,

解得cos<d,b>=0,

所以a_LZ?,

y^a—c=2a+b,b—c=a+2b,

所以(〃一0>(。-0)=(2々+切?伍+2/?)=2/+2/+5々/=2+2+0=4,

\a-c\^b-c\=+4a/+/?2=J4+0+1=逐，

(a-c)-(b-c)44

所以cos〈a-c，b-c)=--------=----=-

\a-c^b-c\正x行5

故選：D.

【點評】本題考查了平面向量的數量積與模長夾角的計算問題，是基礎題.

5.(2023?甲卷)已知向量，=(3,1),6=(2,2),貝i]cos〈a+6,。一力=()

1

A.D,還

17~vT5

【分析】根據題意，求出a+6和的坐標，進而求出|〃+切、和(〃+/?)?(〃-力)的值，進而由數

量積的計算公式計算可得答案.

【解答】解：根據題意，向量〃=(3,1),。=(2,2),

則a+6=(5,3),a-b=(l,-l),

則有|a+b|=125+9=后,\a-b\=y/l+l=y/2,(a+b)-(a-b)=2,

(d+b)-(a-b)2歷

故cos〈4+Z7,a-b)=

\a+b^a-b\A/3417

故選：B.

【點評】本題考查向量的夾角，涉及向量的數量積計算，屬于基礎題.

6.(2023?全國)設向量a=(2,x+l),6=(無一2,-1),若o_L6,則x=()

A.5B.2C.1D.0

【分析】利用向量垂直的性質直接求解.

【解答】解：向量。=(2,x+l),/?=(%-2,-1),alb,

ab=0,可得2(尤一2)+(尤+1)*(—1)=0,

..x—5?

故選：A.

【點評】本題考查向量垂直的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

7.(2023?甲卷)若復數(a+i)(l-ai)=2,awR,貝!U=()

A.-1B.0C.1D.2

【分析】根據復數的運算法則和復數相等的定義，列方程組求出。的值.

【解答】解：因為復數(a+i)(l—ai)=2,

所以2a+(l-/)i=2,

a=2

gpP2/解得a=L

[1-cr=0

故選：C.

【點評】本題考查了復數的運算法則和復數相等的應用問題，是基礎題.

8.(2023?北京)在復平面內，復數z對應的點的坐標是(-1,月)，貝ijz的共輾復數彳=()

A.1+后B.1-后C.-1+疝D.一1一而

【分析】根據復數的幾何意義、共軌復數的定義即可得出結論.

【解答】解：在復平面內，復數Z對應的點的坐標是

z=-1+s/3i1

則Z的共朝復數z=-1-A/3J,

故選：D.

【點評】本題考查了復數的幾何意義、共朝復數的定義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

9.(2023?乙卷)正方形ABCD的邊長是2,E是A5的中點，則EC?ED=()

A.行B.3C.2^5D.5

【分析】由已知結合向量的線性表示及向量數量積的性質即可求解.

【解答】解：正方形ABCD的邊長是2,E是的中點，

所以E3-￡4=-l,EBLAD,EA±BC,BCAD=2x2=4,

貝(JECED=(EB+BC)(EA+AD)=EBEA+EBAD+EABC+BCAD=-1+0+0+4=3.

故選：B.

【點評】本題主要考查了向量的線性表示及向量數量積的性質的應用，屬于基礎題.

10.(2023?新高考I)已知向量a=(l,l),b=(l,-l).若(d+")_L(4+筋),則()

A.A+//=1B.幾+4=—1C.=lD.A//=—1

【分析】由已知求得。+/1人與。+〃。的坐標，再由兩向量垂直與數量積的關系列式求解.

【解答】解：a=(1,1),b=(l,-l),

/.Q+Ab—(A+1,1—A)fQ+/jb—(〃+1,1-〃)9

由(a+勸)_L(a+,得(％+1)(4+1)+(1-2)(1一〃)=0,

整理得：2幾4+2=0,即〃/=—1.

故選：D.

【點評】本題考查平面向量加法與數乘的坐標運算，考查兩向量垂直與數量積的關系，是基礎題.

11.(2023?乙卷)設2=貝”=()

1+f+i

A.l-2zB.l+2zC.2-iD.2+i

【分析】先對Z進行化簡，再根據共朝復數概念寫出即可.

【解答】解：?『=_],『=心

2+i

z=-----------

1+z2+/

2+i

=l-2z,

/.z=l+2z.

故選：B.

【點評】本題考查了復數的運算及共軌復數的概念，屬簡單題.

5(1+廣)

12.(2023?甲卷))

(2+0(2-/)-

A.-1B.1C.1-/D.1+z

【分析】直接利用復數的運算法則化簡求解即可.

【解答】解：5(1+/3)=^^=1-/.

(2+z)(2-z)5

故選：C.

【點評】本題考查復數的運算法則的應用，是基礎題.

13.（2023?全國）已知（2+，），=5+5七則|z|=（）

A.A/5B.VioC.50D.5A/5

【分析】把已知等式變形，利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由共輾復數即復數的模的概念得答案.

【解答】解：由(2+i?=5+5i,

得

2+i

_(5+50(2-z)

"(2+z)(2-D

15+5z

5

=3+z,

貝Uz=3—i,|Z|=732+(-1)2=A/W.

故選：B.

【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，是基礎題.

14.(2023?乙卷)|2+/+2『|=()

A.1B.2C.^5D.5

【分析】直接利用復數的模的運算求出結果.

【解答】解：由于12+『+2FR1-2i|=JF+(-2)2=3.

故選：C.

【點評】本題考查的知識要點：復數的運算，復數的模，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于基礎題.

填空題(共8小題)

15.(2023?上海)已知向量a=(3,4),b=(l,2),貝!J4一25=_(l,0)_.

【分析】根據平面向量的坐標運算法則，計算即可.

【解答】解：因為向量。=(3,4),5=(1,2),

所以°一2b=(3-2x1,4-2x2)=(l,0).

故答案為：(1,0).

【點評】本題考查了平面向量的坐標運算問題，是基礎題.

16.(2023?上海)已知復數z=l-i(z?為虛數單位)，則+

【分析】根據復數的基本運算，即可求解.

【解答】解：，z=1-》，

1+iz|=|1+z(l-z)|=|2+i|=6.

故答案為：45.

【點評】本題考查復數的基本運算，屬基礎題.

17.(2023?天津)已知i是虛數單位，化簡史1電的結果為4+i.

2+3z——

【分析】直接利用復數代數形式的乘除運算化簡求解即可.

【解答】解：3J5+14…生空E+i.

2+3;(2+3z)(2-3z)13

故答案為：4+i.

【點評】本題主要考查了復數代數形式的乘除運算，屬于基礎題.

18.(2023?新高考H)已知向量a,6滿足|。一％|=6，\a+b\=\2a-b\,貝力。|=_6_.

【分析】根據向量數量積的性質及方程思想，即可求解.

【解答】解：\a-b\=y/3,\a+b\=\2a-b\,

Q?+b?—2Q,5=3,Q?+b?+2〃.b—+b?—4a,b,

12

/.a=2a,b,/.b=3f

，Ib1=石.

故答案為：逝.

【點評】本題考查向量數量積的性質及方程思想，屬基礎題.

19.(2023?上海)已知向量a=(-2,3),b=(l,2),則.(=4.

【分析】直接利用平面向量的坐標運算法則求解.