解析：北京市朝陽(yáng)區(qū)2024屆高三年級(jí)上冊(cè)期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

北京市朝陽(yáng)區(qū)2023?2024學(xué)年度第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)高三數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）

本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目

要求的一項(xiàng).

1.已知全集蚱工，集合A-{xwZ|—2jy2},"-{—l,0,l,2},則（小A）c"二（）

A{-1,2}B.{1}C.{0,1}D.{2}

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知4={-1,0/},再由補(bǔ)集以及交集定義可得結(jié)果.

【詳解】由題可知人={X￡2|-2＜工＜2}={-1,（）,1},

易知質(zhì)A={XEZ|X任A},所以（gA）cB={2}.

故選：D

2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（0,內(nèi)）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=lgxB.y=x3C.y=x」D.y=2x+2~x

x

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)閥=lgx的定義域?yàn)椋?,+8）,所以不是奇函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)干B：令則/（7）=（一打=一/=一“耳，所以是奇函數(shù)，

又在（0,+8）上單調(diào)遞增，B正確；

對(duì)干C：y=x+1在（0,1）上遞減，在（L+o。）上遞增，所以C錯(cuò)誤；

X

對(duì)干D：因?yàn)椤ㄔ?2'+2：f（-x）=2~x+2x=f（x）,所以是偶函數(shù)，所以D錯(cuò)誤，

故選：B

3.若sine=＞/5cose，則tan26=（）

A.一或B.叵C.一正D.B

3322

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)sin9=J^cose得到tan〃=J^，再利用二倍角公式得到答案.

【詳解】sin=>/5cos0tan=>/5?32。=2tan。=也=一旦

l-tan26>-42

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

4.已知。=logs（）.5/=5嗎。=0.5°$,則（）

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析1利用指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷大小關(guān)系即可.

【詳解】由。=logs0.5<logs1=0<c=OS"<0.5"=1=5。<。=5"',即〃<（?</）.

故選:A

5.函數(shù)），=2sin12x+^J的圖象的一條對(duì)稱軸是（）

71人-兀

A.x=——B.x=0C.x=—D.x=—

662

【答案】C

【解析】

【分析】將各項(xiàng)對(duì)應(yīng)自變量代入解析式求函數(shù)值，判斷y=±2是否成立即可.

【詳解】戶」時(shí)y=2sin十三w_L2,不是對(duì)稱軸;

6136J

1=0時(shí)），=2sin［（）+^）w±2,不是對(duì)稱軸；

不二當(dāng)時(shí)y=2sin（=+V=2,是對(duì)稱軸；

6\36>

X=￥時(shí)），=2sin九+女x±2,不是對(duì)稱軸;

2k

故選：C

6.設(shè)尢ER,則“x（l+x）>°”是“Ovxvl”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意解出不等式比較兩范圍大小即可得出結(jié)果.

【詳解】解不等式x（l+x）>0可得x>o或XC-1；

顯然｛幻0<%<1｝是｛H?o或XV—1｝的真子集,

所以可得"X。+式）>0”是“0V”v1”的必要不充分條件.

故選：B

AC

7.已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)A氏C,。滿足8A=203-2。。，則一r=（）

BC

,23

A.—B.—C.2D.3

32

【答案】D

【解析】

\AC\

【分析】將條件B4=2OB-2DC變形，得到8c,4。的關(guān)系，進(jìn)而可得卜號(hào)的值.

【詳解】?.BA=2DB-2DC，

^C+C4=2（DC+CB）-2DC,

即38C二4。，，3|80卜卜乙

AC

---=3.

BC

故選：D.

8.已知一個(gè)圓錐的高與其底面圓的半徑相等，且體積為目.在該圓錐內(nèi)有一個(gè)正方體，其下底面的四個(gè)

頂點(diǎn)在圓錐的底面內(nèi)，上底面的四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上，則該正方體的棱長(zhǎng)為（）

B.Ic.2-V2D.4-25/2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得圓錐的高與底面圓的半徑為2,作出組合體的軸截面，結(jié)合SO"SOA,列出

方程，即可求解.

【詳解】因?yàn)閳A錐的高與其底面圓的半徑相等，設(shè)圓錐的高為肌底面圓的半徑為小則廠="，

o?I8加

又因?yàn)閳A錐的體積為胃，可得一兀/〃=一兀，=一,解得廠=2,則力=2,

3333

設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為S,底面圓心為。，則高為SO=2,SO與正方體的上底面交點(diǎn)為0,

在該圓錐內(nèi)有一個(gè)正方體，其下底面的四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐的底面內(nèi)，上底面的四個(gè)頂點(diǎn)在I員I錐的側(cè)面上，取

其軸截面，如圖所示，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為可得C￡>=0〃.

由ASQ]QSAS04,可得包乙二口,即2-。2"，解得。=—~i==4—2^2,

SO0A—=2+V2

所以該正方體的棱長(zhǎng)為4-2啦.

故選：D.

“|x+11-1,XG(-<%?,()),、、

9.己知函數(shù)/(幻=11\，g(x)=x--4x—4,設(shè)〃cR,若存在awR,使得

ln(x+l),XG[0,+00)

/m)+gg)=o,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.[-1,5]B.(-oo,-l]u[5,+oo)

C.t-h+oo)D.(-co,5]

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)/(X)的值域?yàn)椋?1,48)，結(jié)合題意轉(zhuǎn)化為-gS)2-l,列出不等式，即可

求解.

【詳解】由題意，作出函數(shù)y=/(x)的圖象，如圖所示，

所以，當(dāng)工€(-8,0)時(shí)，/(X)>/(-l)=-l；

當(dāng)J￡［0,+8)時(shí),/(X)>/(O)=O,可函數(shù)“X)的值域?yàn)椋?L+8。

設(shè)。ER,若存在4￡R,使得/(a)十gS)=O成立，即/(a)=-g3),

只需一g(Z?)之一1,即對(duì)于。"R,滿足一/+4〃+4之一1成立，即從一4人一5?0，

解得一1W〃工5,所以實(shí)數(shù)匕的取值范圍為［-1,5］.

故選:A.

如

^\7.ox

-1

10.已知點(diǎn)集八={(%)，)|工￡乙》￡2},5={(。/)￡八|1<々45/<〃05}.設(shè)非空點(diǎn)集7口八，若對(duì)S

中任意一點(diǎn)?，在7中存在一點(diǎn)。(。與尸不重合)，使得線段PQ上除了點(diǎn)尸，。外沒有A中的點(diǎn)，則丁

中的元素個(gè)數(shù)最小值是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)整點(diǎn)(4b),(c,d)的連線內(nèi)部沒有其它整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)〃-c與b-d互為素?cái)?shù)，討論丁只有一

個(gè)點(diǎn)“，歷得到矛盾，進(jìn)而有了中元素不止一個(gè)，取7={(2,6),(3,6)}分析是否滿足要求即可.

【詳解】對(duì)于整點(diǎn)(a,〃),(c,d)的連線內(nèi)部沒有其它整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)a-c與匕—d互為素?cái)?shù)，

若「只有一個(gè)點(diǎn)(乂刃，取S的點(diǎn)(外勿使。/和久》分別同奇偶，。一工力一)，有公因子2(或重合)，不

合題意，

故「中元素不止一個(gè)，令丁={(2,6),(3,6)},對(duì)于S的點(diǎn)P(〃,b),

當(dāng)。=1或3時(shí)，取。(2,6)；當(dāng)。=2或4時(shí)，取。(3,6)；

由于P、。橫坐標(biāo)之差為±1,故PQ內(nèi)部無(wú)整點(diǎn)；

當(dāng)。=5,〃e{l,3,5}時(shí)，取0(3,6),此時(shí)橫坐標(biāo)之差為2,縱坐標(biāo)之差為奇數(shù)，二者互素；

當(dāng)。=5,8￡{2,4}時(shí)，取Q(2,6),此時(shí)橫坐標(biāo)之差為3,縱坐標(biāo)之差為-4,-2,二者互素：

綜上，丁中的元素個(gè)數(shù)最小值是2.

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)犍點(diǎn)睛：根據(jù)題設(shè)分析出整點(diǎn)①力),(c,“)的連線內(nèi)部沒有其它整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)與〃一"

互為素?cái)?shù)為關(guān)鍵.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知函數(shù)/(x)=sin7Lr+cosnx,則/(x)的最小正周期是.

【答案】2

【解析】

【分析1化簡(jiǎn)函數(shù)為/(x)=&sin(兀Y+工)，結(jié)合最小正周期的計(jì)算公式，即可求解.

4

【詳解】由函數(shù)/(工)=5出兀丫+。050=加5詛心+；),所以/(X)的最小正周期為7=至=2.

故答案為：2.

12.已知單位向量。，8滿足a?(ci+2Z?)=2,則向量。與向量方的夾角的大小為.

【答案】￡

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合單位向量模長(zhǎng)為1,代值計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)椤福ň菃挝幌蛄?，故可得時(shí)=1,忖=1,

故可得々?(4+2/?)=|a『+2同bcos,

即22/,解得(:心(氏/“&3，

又因?yàn)橄蛄繆A角的范圍為［0,引，

故的夾角為g.

故答案為：—,

3

【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量枳的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

13.設(shè)公差為d等差數(shù)列｛《J的前〃項(xiàng)和為S.（〃￡N）,能說(shuō)明“若d<0,則數(shù)列｛$｝是遞減數(shù)列”

為假命題的一組4”的值依次為.

【答案】0=2,d=-\（答案不唯一）

【解析】

【分析】由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式有S〃=+回一多〃且<0,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)找到一個(gè)滿足⑸｝

不是遞減數(shù)列的q,d即可.

［詳解］由S”=+〃一1）4二""+（，）n,其對(duì)稱軸為〃=2_一"，且d〈o,

2222d

Iq

結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，只需萬(wàn)一22；=>?工一1,即〃舊一"，此時(shí)⑸｝不是遞減數(shù)列，

I525

如4=2,J=-l,則3=-一（〃一一）I2+—,顯然Sas2.

228

故答案為：4=2,d=-\（答案不唯一）

14.古希臘數(shù)學(xué)家托勒密對(duì)三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，他的《天文學(xué)大成》包含一張弦表（即不同圓

心角的弦長(zhǎng)表），這張表本質(zhì)上相當(dāng)于正弦三角函數(shù)表.托勒密把圓的半徑60等分，用圓的半徑長(zhǎng)的，

60

作為單位來(lái)度量弦長(zhǎng).將圓心角a所對(duì)的弦長(zhǎng)記為crda.如圖，在圓。中，60的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)恰

好等于圓。的半徑，因此60的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為60個(gè)單位，即crd60=60.若。為圓心角,

cose=；（0<夕<180）,則CR!〃=

【答案】30c

【解析】

【分析】根據(jù)度量弦長(zhǎng)的定義，利用余弦定理求出cos8=1時(shí)圓心角。所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)/=如廠，結(jié)合60

42

的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為6()個(gè)單位即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓的半徑為乙cos0="!■時(shí)圓心角。所而應(yīng)的弦長(zhǎng)為/,

利用余弦定理可知『二產(chǎn)+r-2rcos<9=-r2,即可得/=及一

22

又60的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)恰好等于圓。的半徑，60的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為60個(gè)單位,

即與半徑等長(zhǎng)的弦所對(duì)的圓弧長(zhǎng)為60個(gè)單位，

所以/=—x60=30\/6.

故答案為：30\/6

15.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-A4GA中，點(diǎn)M為AO的中點(diǎn)，點(diǎn)N是側(cè)面。CQA上(包

括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，且BQLMN,給出下列四個(gè)結(jié)論：

①動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是?段圓弧；

②動(dòng)點(diǎn)N的軌跡與CR沒有公共點(diǎn)；

③三棱錐N-B、BC的體積的最小值為:；

1乙

9

④平面8WN截該正方體所得截面的面積的最大值為京.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.

%____________C

/I、/I}

［答案］???

【解析】

【分析】作出與4。垂直的平面MPQ,即可得動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是兩平面的交線在側(cè)面內(nèi)的線段PQ,可知

①錯(cuò)誤；顯然PQ〃C。，即②正確；當(dāng)N點(diǎn)與尸點(diǎn)重合時(shí)到平面的距離最小時(shí)，此時(shí)最小值為

19

—,所以③正確；易知當(dāng)N點(diǎn)與Q點(diǎn)重合時(shí)，截面為等腰梯形8MQG，此時(shí)面積最大為三.

12o

【詳解】取的中點(diǎn)分別為P,。，連接如下圖所示：

由正方體性質(zhì)可知又因?yàn)锳C_28。，MP//AC,所以MP上8D,

又BB】cBD=B,平面BBQ,所以平面6月。；

又BQu平面BBQ,所以

同理可得MQ1B.D.QP.LB.D,

因此與D_L平面MP。，

若BQLMN,所以N$平面MPQ,又點(diǎn)N是側(cè)面。CG"上（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)；

所以動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是兩平面的交線在側(cè)面內(nèi)的線段，即PQ,可知①錯(cuò)誤；

由于R。是CR的中點(diǎn)，所以PQ〃CQ,即動(dòng)點(diǎn)N的軌跡與CR沒有公共點(diǎn)；所以②正確;

易知三棱錐N-B、BC的底面?B.BC的面積為定值，即S附c=1xlxl=l,

當(dāng)N點(diǎn)到平面旦BC的距離最小時(shí)，即與P點(diǎn)重合時(shí)，距離最小為

此時(shí)體積值最小為v=!乂!乂!=上「所以③正確；

32212

顯然當(dāng)N點(diǎn)與。點(diǎn)重合時(shí)，截面面積最大，此時(shí)截面即為四邊形BMQG，如下圖所示:

易知MQ/8G，且BM=QG=*,MQ=咚,

即四邊形BMQG等腰梯形，易知其高為〃=

所以其面積為31日+加）￥^\

；即④正確.

故答案為：②?④

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.已知｛4｝是遞增的等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S”（〃￡N）,滿足%=6,03=26.

（1）求｛q｝的通項(xiàng)公式及S”；

（2）若S〃+a“>2024,求〃的最小值.

【答案】（1）%=2x3”，S”=3"-l.

（2）7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和的定義，建立方程，求得公比，可得答案;

（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

【小問1詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,由數(shù)列｛q｝是遞增數(shù)列，則9>1,

,ci-t6/c

由%=6,則q=y=_,aa=a、q=6q,由名=6+小+%=一+6+64=26,

qq~一q

整理可得3g2-10q+3=0,則（34一1）（9-3）=0,解得。=3,

易知/=。均"-2=6X3"-2=2x3"lS=40一夕）=2x0-3）=3,—

“\-q1-3

【小問2詳解】

由（1）可得：S“+q=3”-l+2x3〃T=5x3i-l>2024,

整理可得5x3'i>2025,3n>405,36-'=243（405,37-'=729）405,

故〃的最小值為7.

17.在AABC中,b2+c2—a2=be-

（1）求NA；

（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為T知，使存在且唯一確定，求

.713。的面積.

條件①：cosB=—；

14

條件②：a+b=12；

條件③：c=12.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得o分：如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第組

解答計(jì)分.

【答案】（1）!

（2）答案見解析

【解析】

【分析】（I）根據(jù)題意，利用余弦定理求得cosA=1,即可求解；

2

（2）根據(jù)題意，若選擇①?,求得sin3,由正弦定理求得〃=7,。=5,再由余弦定理求得。=8,結(jié)合

面積公式，即可求解：

若①③：先求得sinB二等，由sinC=sin（A+8）=E，利用正弦定理求得。二^，結(jié)合面積公式，

即可求解；

若選擇②③，利用余弦定理，列出方程求得〃=0,不符合題意.

【小問1詳解】

解：因?yàn)閺?02-4=慶，由余弦定理得cosA="一'廠=工，

2bc2

又因?yàn)锳e（0,2,所以A=?

【小問2詳解】

解：由（1）知A=],

若選①②：cosB=—,a+b=\2,

14

由cos8可得sin8=J1-cos?B,

1414

a_12一。

由正弦定理——二二一，可得耳二5與，解得。=7,則〃=12-。=5,

sinAsinB——

214

又由余弦定理/=b2+。2-2力ccosA,可得49=25+。2一5。，

即。2一50-24=0，解得c=8或c=—3（舍去）,

所以的面積為S=—Z?c*sinA=—x5x8x^-=10百■

222

若選①③：CON"=1^H.C=12,

14

由cosB=—,可得sinB=Jl-cos?B=，

1414

因?yàn)锳+4+C=7t,可得sinC=sin（A+8）=^^xU+』x^^=^^,

'72142147

a_12

山正弦定理可得7彳一而，解得々=3，

sinAsinC——2

27

所以金。的面積為S=，acsin%=Lx2、12、述=竺叵.

222142

若選：②③：a+匕=12且c=12,

因?yàn)閺?/一/=慶，可得從+12?-（12-〃了=12〃，整理得2助二1力，

解得〃=0,不符合題意，（舍去）.

18.如圖，在三棱錐尸一A8C中，/%J_平面A5C,PA=AC=BC=2,PB=2百.

（1）求證：3c工平面PAC；

（2）求二面角-C的大小；

（3）求點(diǎn)C到平面Q43的距離.

【答案】（1）證明見解析；

（2）60°；

⑶萬(wàn)

【解析】

【分析】（I）利用線面垂直的性質(zhì)判斷異面直線垂直，再由勾股定理證明線線垂直，根據(jù)線面垂直的判定證

明即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求法向量，求出二面角；

（3）應(yīng)用等體積法求點(diǎn)到面的距離即可.

【小問1詳解】

因?yàn)镻A_1_平面ABC?BCu平面ABCBAu平面ABC,

所以姑_L4cpA_LZM,又PA=2,PB=26,所以AB=歷二前=2名，

又因?yàn)锳C=BC=2,AC2+BC2=AB2?所以3c_LAC,

因?yàn)锳Cu平面以C,P4u平面B4C，且4CuB4=A,

所以5cl平面PAC：

【小問2詳解】

過(guò)。作CM〃小，則CM平面ABC,又由（1）知BC±AC,

所以以CAC仇CM為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，

則A（2,0,0）,尸（2,0,2）,3（0,2,0）,C（0,0,0）,

設(shè)平面AP8的法向量為〃?=（內(nèi)方,zj,乂AP=（0.0,2）,48=（-220）,

m?AP=02z.=0u

所以《=5+2廠。令3'則y"則吁（I［，。），

m-AB-0

設(shè)平面PBC的法向量為n=(巧,乃，z2)，乂CP=(2,0,2),CZ?=(0.2,0),

n-CP=02X2+2Z2=0

所以,令％=1，則Z]=-l則〃=(1,0,T),

nCB=02%=0

/\|_WW_1_1

令二面角4一PB-C的平面角為弘則|cos6|=cos

由圖知此二面角銳二面角,

所以。=60。，故二面角A—PB—C為60。；

【小問3詳解】

設(shè)點(diǎn)。到平面PAB的距離為。,

114

5、ABC=~x^CxBC=2,所以=-xPAxS^=-,

4JJARC

又s△甌=5xPAXA8=2V2,所以Vc-PAB=；x/?XS^PRC=VP-ARC，

解得〃=血，所以點(diǎn)。到平面尸AB的距離為a.

19.已知函數(shù)/(x)=e'-sin-ax2(aeR).

(1)若〃=0,求/(x)在區(qū)間上的最小值和最大值；

⑵若。求證：/(“在上=0處取得極小值.

【答案】(1)最小值為/(0)=1,最大值為嗎)二0一1；

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)研完/(x)=d-sin工在0,^上的單調(diào)性，即可求最值；

(2)由題設(shè)廠(工)=e'-cosx-2以，易得廣(。)=。，構(gòu)造g(x)=e'-cosx-2or利用導(dǎo)數(shù)可得g'(0)>0,

得到f(x)在x=0處有遞增趨勢(shì)，即可證結(jié)論.

【小問1詳解】

由題設(shè)f(x)=ev-sinx,則f\x)=ev-cosx,

在0卷上/(JV)=C，—COSJV>0,即/(x)遞增，

所以最小值為/(O)=e°-sinO=l,最大值為/(］)=。—sin二』—1.

【小問2詳解】

由題意f\x)=er-cosx-lax,則/z(0)=e°-cosO-O=0,

4-g(x)=e'-cosx-lax,則？'(工)=?*+5；也_￥-2。，且

所以g'(0)=e°+sin0—24=I—24>0,即f(x)在x=0處有遞增趨勢(shì)，

綜上，若Ar>0且Ax無(wú)限趨向于0,

在xw(-故,0)上/(力遞減，

在上E(0,At)上/*)>()./(尤)遞增，

所以/(x)在工=0處取得極小值.

20.已知函數(shù)/數(shù))=znxlnx-x2+l(meR).

(1)當(dāng)，〃=1時(shí)，求曲線)，=/*)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

(2)若/(九)工0在區(qū)間［1,+8)上恒成立，求〃?的取值范圍；

(3)試比較］n4與血的大小，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)x+y-l=0

⑵(F2］

(3)ln4<>/2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；

(2)將〃x)?0在區(qū)間［1,+s)上恒成立，轉(zhuǎn)化為-龍+4<0,令g(x)=/〃ln_r-x+L問題轉(zhuǎn)

XX

化為g(x)a4°，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)且⑴皿即可得解；

(3)由(2)知，〃?=2時(shí)，/(8)工0在區(qū)間［L+00)上恒成立，取工=&,可得解.

【小問1詳解】

當(dāng)巾=1時(shí)，/(x)=xlnx-x2+l,

/.//(%)=Inx+l-2x,

所以曲線/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處切線的斜率攵=/'(1)=一1,又/(1)=0,

所以曲線〃工)在點(diǎn)處切線的方程為y=—(x—l)即戈+)，-1=0.

【小問2詳解】

/(十)$。在區(qū)間口,也)上恒成立，即〃優(yōu)Inx-Y+lWO，XJVxfc[l,+oo),

即〃71nx-x+工WO,X'jVxe[l,+co),

令g(x)=〃Hnx-x+,，只需g(x)1mx<0,

xm1-x2+mx-1「i,\

#(x)=---1t---r=-----;----,xw[l,+8),

xxx

當(dāng)/WO時(shí),有mxWO,則g'(x)〈o,

二8(司在[1,+0。)上單調(diào)遞減，

.?.g(x)Wg(l)=0符合題意，

當(dāng)加>0時(shí)，令〃(x)=-f+〃氏一1,

其對(duì)應(yīng)方程一犬+nix-}=0的判別式△=nr-4,

若ASO即0v/〃W2時(shí)，有/7(到<0,即g'(x)WO,

???屋力在[1,+功上單調(diào)遞減，

.?.g(x)Wg(l)=O符合題意，

若A>0即〃?>2時(shí)，〃(力=一/+"比-1,對(duì)稱軸x=￡>1,又刈1)=〃1-2>0,

方程一9+/7U-1=0的大于1的根為/=-...———,

.,.XG(1,^0),/?(x)>0,即g[x)>0,

XG(A^,+OO),〃(X)<O,即g'(R)<0,

所以函數(shù)g（x）在（1,天）上單調(diào)遞增，Y（x）＞g⑴=。，不合題意.

綜上，在區(qū)間[1,+8）上晅成立，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（—,2].

【小問3詳解】

由（2）知，當(dāng)〃?=2時(shí)，/（x）<0,在區(qū)間[1,內(nèi)）上恒成立，

即一],對(duì)Vxw[l,*o）,

取上=友代入上式得2血11】0<1，化簡(jiǎn)得In4v0.

21.已知A“=勺々2…”2"（機(jī)之2）是加個(gè)正整數(shù)組成的加行機(jī)列的數(shù)表，當(dāng)

?????

["〃八1,2"〃八切,

1Wi<sW〃?,lW時(shí)，記。（4/，4,）=|4/-4/+,,/一4」.設(shè)“EN”，若凡滿足如下兩個(gè)

性質(zhì)：

①￡{1,2,3;-,〃}（/=1,2「..,m;/=1,2,.,加）：

②對(duì)任意Zw{l,2,3,…，痔，存在/.￡{1,2,…,〃z},/e{l,2,,m},使得《廣欠,則稱4“為「”數(shù)表.

。2