陜西省西安市長慶二中2024-2025學(xué)年高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年陜西省西安市長慶二中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則|z|=(

)A.12 B.22 C.2.已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，則AE?BD=A.?2 B.6 C.2 D.?63.已知點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，且AO=2OD，mOA+OB+A.1 B.2 C.?1 D.?24.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AB=(1,?2)，AD=(2,1)，則AB?A.5 B.4 C.3 D.25.已知|a|=10，a?b=?530A.2m3 B.3π4 C.5π66.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)Z如圖所示，則使得z2?z1是純虛數(shù)的一個z1A.4+3i

B.3+4i

C.4?3i

D.3?4i7.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為a2+b2?c24A.1 B.2 C.3 D.48.已知a=(sinα,1?4cos2α)，b=(1,3sinα?2)，α∈(0,π2)，若aA.17 B.?17 C.29.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱CC1A.存在點(diǎn)E，使得A1C1//平面BED1F

B.對于任意的點(diǎn)E，平面A1C1D⊥平面BED1F

C.10.已知AB⊥AC，|AB|=1t，|AC|=t，若點(diǎn)P是△ABCA.13 B.15 C.19 D.2111.已知向量OB=(1,0)，OC=(0,1)，CA=(cosθ,sinθ)，則|ABA.[1,2] B.[22,4] C.[12.如圖所示，梯形A′B′C′D′是平面圖形ABCD用斜二測畫法畫出的圖形，A′D′=2B′C′=2，A′B′=1，則平面圖形ABCD的面積為(

)A.2 B.22 C.3 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知向量a=(?x,2x)，b=(3x,2)，若a與b的夾角是鈍角，則x的取值范圍是______．14.已知A(1,1)，B(5,3)，向量AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π2到AC位置，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______．15.若復(fù)數(shù)z滿足3z+z=1+i，其中i是虛數(shù)單位，則z=______．16.已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為______．三、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

(Ⅰ)已知i為虛數(shù)單位，計(jì)算(1+i1?i)2013；

(Ⅱ)已知z是復(fù)數(shù)，z+3i?與z3?i均為實(shí)數(shù)18.(本小題14分)

△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，sin(A+π6)=2cosA．

(1)求A的值；

(2)若a=3，19.(本小題14分)

如圖，已知矩形ABCD，AB=2，AD=3，點(diǎn)P為矩形內(nèi)一點(diǎn)且|AP|=1，設(shè)∠BAP=α．

(1)當(dāng)α=π3時(shí)，求證，PC20.(本小題14分)

已知正三棱錐的高為1，底面邊長為26，其內(nèi)有一個內(nèi)切球，球心到該三棱錐的四個面的距離都相等.求：

(Ⅰ)棱錐的表面積；

(Ⅱ)球的半徑R21.(本小題12分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a、b、c，已知a=(cosA,cosB)，b=(a,2c?b)，且a//b．

(Ⅰ)求角A的大??；

(Ⅱ)若b=3，△ABC的面積S△ABC=3參考答案1.C

2.C

3.A

4.A

5.C

6.C

7.A

8.B

9.C

10.A

11.C

12.C

13.(?∞,?114.(3,?3)

15.1416.3π417.解：(Ⅰ)(1+i1?i)2013=i2013=(i4)503?i=i；

(Ⅱ)設(shè)z=x+yi(x,y∈R)，

z+3i?=x?(y+3)i為實(shí)數(shù)，

18.解：(1)∵sin(A+π6)=2cosA，

∴sinA=3cosA，∴tanA=3，

∵0<A<π，∴A=π3．

(2)由已知，12×319.解：(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A(0,0)，B(2,0)，C(2,3)，D(0,3)，

當(dāng)α=π3時(shí)，P(12,32)，

則PC=(32,32)，PD=(?12,32)，

則PC?PD=32×(?12)+(320.解：(Ⅰ)因?yàn)檎忮F的高為1，底面邊長為26，

所以底面正三角形的中心到正三角形邊的距離為13×32×26=2，

所以側(cè)面三角形的斜高為12+(21.解：(Ⅰ)∵a//b，

∴(2c?b)?cosA?a?cosB=0，

∴cosA?(2sinC?sinB)?sinA?cosB=0，

即2cosAsinC?cosAsinB?sinA?cosB=0，

∴2c