廣東省茂名市2025屆高三第二次綜合測試數學數學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1廣東省茂名市2025屆高三第二次綜合測試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】，，故選：A．2.設集合，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】∵集合，，∴是的真子集，是的充分不必要條件．故選：A．3.已知向量不共線，且，則實數（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】因為向量不共線，且，設，即，所以，解得．故選：D．4.若，則（）A.0 B. C.1 D.4【答案】C【解析】，即，則，.故選：C.5.二項式的展開式中的系數為（）A. B. C.40 D.80【答案】B【解析】由二項式定理的通項公式得：，令，解得：，所以的系數為：，故選：B．6.甲、乙、丙三人練習傳球，每次傳球時，持球者會等可能地傳給另外兩人中的任意一位，若第一次由甲開始傳球，則經過四次傳球后，球回到甲手中的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”，那么由題意可知：，又，所以，構造等比數列，因為第一次由甲傳球，可認為第次傳球在甲，即，所以是以為首項，公比為的等比數列，故，則.故選：C.7.已知函數為上的奇函數，，當時，，不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】構造，則，因為當時，，則此時，單調遞增，則正負符號由決定，又因為，則，因為在上單調遞增，則當時，，所以此時，當時，，所以此時，又因為為上的奇函數，則當時，，則，當時，，則，且，則若，則或即或，解得或，綜上，的解集為.故選：D.8.設為坐標原點，為雙曲線的左焦點，圓與的漸近線在第一象限的交點為，若，則的離心率為（）A B. C. D.【答案】B【解析】的漸近線為，聯立，因為在第一象限的交點為，得，即，所以，又，故，化簡得：，故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.等差數列中，．記數列前項和為，下列選項正確的是（）A.數列的公差為2 B.取最小值時，C. D.數列的前10項和為50【答案】AD【解析】對A，設等差數列的公差為，則由題意知，解得，故A正確；對B，，，則當時，取最小值，故B錯誤；對C，，，則，故C錯誤；對D，數列的前10項和為，故D正確.故選：AD.10.的內角的對邊分別為，已知，下列選項正確的是（）A. B.可能成立C.可能是等腰三角形 D.面積的最大值為20【答案】AC【解析】由正弦定理可得,即，即，即，且，所以，且，所以，故A正確；假設，則，又，則，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊，故不可能成立，故B錯誤；假設，由余弦定理可得，代入可得，又，即，則成立，所以成立，成立，所以成立，故C正確；由三角形的面積公式，由余弦定理可得，即，且，，所以，化簡可得，解得，所以時，三角形的面積最大，最大值為，故D錯誤；故選：AC11.設為坐標原點，對點（其中）進行一次變換，得到點，記為，則（）A.若，則B.若，則C.若，則D.為圖象上一動點，，若的軌跡仍為函數圖象，則【答案】ABD【解析】因為，，所以，所以，故A正確；因為，，所以，故B正確；因為，故，故，而，故，同理，故，故C錯誤；對于D，因為，故將順時針旋轉后仍為函數圖像，故圖象上的任意一點切線的斜率大于或等于，故即在上恒成立，故，故D成立.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，垂直軸于點，若，則______．【答案】8【解析】由題意可知焦點，準線方程為，又點在拋物線上，所以點到準線的距離為，由拋物線的定義可知.故答案為：.13.已知函數，若恒成立，則實數a的取值范圍是______．【答案】【解析】由于，兩者都是當且僅當x＝1等號成立則所以．故答案：．14.已知棱長為的正四面體，且，為側面內的一動點，若，則點的軌跡長為______．【答案】【解析】以為原點，以的方向為軸，建立空間直角坐標系，可得，因為，可得，設，因為，即，可得，整理得，所以點在空間中的軌跡是以為球心，半徑為的球，又因為在側面內，過點作平面于點，則為的中心，點在側面內的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓的一部分，（如圖所示的圓的虛線部分），因為，所以，所以，則，所以點的軌跡長度為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知為常數，且．（1）若，求函數的單調區(qū)間；（2）若方程有且僅有2個不等的實數解，求的值．解：（1）因為，所以，所以，當和時，單調遞增；當時，單調遞減，所以的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為.（2）因為方程有2個不同的實數解，所以有2個零點，又由（1）可知，，因為，則當，，當，，則在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，所以，解得或或或，又，所以.16.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為的中點，．（1）證明：；（2）若為線段上一點，且四點共面，求三棱錐的體積．（1）證明：由題意知，因為，所以，又平面，又平面，所以，又平面，且，所以平面，又平面，所以.（2）解：因為平面，又平面，所以，又，所以兩兩垂直，如圖以A為原點，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為則，不妨令，則所以設，則，因為四點共面，則，解得，即，所以.17.某運動員為了解自己的運動技能水平，記錄了自己1000次訓練情況并將成績（滿分100分）統(tǒng)計如下表所示.成績區(qū)間頻數100200300240160（1）求上表中成績的平均值及上四分位數（同一區(qū)間中的數據用該區(qū)間的中點值為代表）；（2）該運動員用分層抽樣的方式從的訓練成績中隨機抽取了6次成績，再從這6次成績中隨機選2次，設成績落在區(qū)間的次數為X，求X的分布列及數學期望；（3）對這1000次訓練記錄分析后，發(fā)現某項動作可以優(yōu)化.優(yōu)化成功后，原低于80分的成績可以提高10分，原高于80分的無影響，優(yōu)化失敗則原成績會降低10分，已知該運動員優(yōu)化動作成功的概率為．在一次資格賽中，入圍的成績標準是80分.用樣本估計總體的方法，求使得入圍的可能性變大時p的取值范圍.解：（1）依題意，平均值，，上四分位數落在區(qū)間，且等于.（2）由樣本數據可知，訓練成績在之內的頻數之比為2:1，由分層抽樣的方法得，從訓練成績在中隨機抽取了6次成績，在之內的4次，在之內的抽取了2次，所以可取的值有：0，1，2，，，，分布列為：012.（3）法一：設事件分別表示動作優(yōu)化前成績落在區(qū)間，，，則相互互斥，所以動作優(yōu)化前，在一次資格賽中，入圍的概率，設事件B為＂動作優(yōu)化成功＂，則，動作優(yōu)化后，在一次資格賽中，入圍事件為：，且事件相互互斥，所以在一次資格賽中入圍的概率，故，由解得，又的取值范圍是.法二：因為入圍的成績標準是80分，所以進行某項動作優(yōu)化前，該運動員在資格賽中入圍的概率為：，進行某項動作優(yōu)化后，影響該運動員入圍可能性變化的是落在區(qū)間或的成績，當且僅當動作優(yōu)化成功，落在這兩個區(qū)間的成績才能符合入圍標準，所以進行優(yōu)化后，該運動員在資格賽中入圍的概率，由，得，又的取值范圍是.18.已知橢圓的焦距為2，點在上，是的右焦點，設過點的直線與交于兩點．（1）求的方程；（2）直線不與軸重合，且平分．①求的值；②若點是直線與的交點，證明：．解：（1）橢圓的焦距為，∴橢圓的左右焦點分別是，又點在橢圓上，，，橢圓的方程為：．（2）①依題意設直線的方程為：，聯立方程組：，則，即，且，①由，的坐標可知軸，平分，等價于，即，把代入并化簡得：，把①代入上式得：，化簡得：（經檢驗，符合，則.②欲證，只需證：，由（2）可得，又，，即.19.已知為一個連續(xù)函數，若數列滿足：，則稱數列