全國各地中考數(shù)學(xué)解析版試卷分類匯編總匯二次函數(shù)

二次函數(shù)

一、選擇題

1.（2014?廣東，第10題3分）二次函數(shù)j^a^+bx+c（存0）的大致圖象如圖，關(guān)于該二

次函數(shù)，下列說法錯誤的是（）

4.函數(shù)有最小值

C當(dāng)x<Ly隨x的增大而減小D.當(dāng)-l<x<2時，y>0

2

考點：二次函數(shù)的性質(zhì).

分析：根據(jù)拋物線的開口方向，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷4

根據(jù)圖形直接判斷B；

根據(jù)對稱軸結(jié)合開口方向得出函數(shù)的增減性，進而判斷C；

根據(jù)圖象，當(dāng)-l<x<2時，拋物線落在x軸的下方，則yVO,從而判斷。.

解答：解：A、由拋物線的開口向下，可知a<0,函數(shù)有最小值，正確，故本選項不符合題

定、；

B、由圖象可知，對稱軸為廣工，正確，故本選項不符合題意；

2

C、因為“>0,所以，當(dāng)XV1時，y隨x的增大而減小，正確，故本選項不符合題意;

2

。、由圖象可知，當(dāng)-l<x<2時，y<0,錯誤，故本選項符合題意.

故選D.

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想解題.

2.（2014?廣西賀州，第10題3分）已知二次函數(shù)產(chǎn)^^bx+c（a,h,c是常數(shù)，且存0）

的圖象如圖所示，則一次函數(shù)）=%+上與反比例函數(shù)產(chǎn)生在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是

考點：二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象；反比例函數(shù)的圖象.

分析：先根據(jù)二次函數(shù)的圖象得到a>0,b<0,c<0,再根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系和

反比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系判斷它們的位置.

解答：解：；拋物線開口向上，

，a>0,

?.?拋物線的對稱軸為直線廣-電>0,

2a

：.b<0,

?.?拋物線與y軸的交點在x軸下方，

.".c<0,

...一次函數(shù)y=cx+上的圖象過第二、三、四象限，反比例函數(shù)產(chǎn)生分布在第二、四

2ax

象限.

故選B.

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象：二次函數(shù)產(chǎn)"2+bx+c（a、氏c,為常數(shù)，存0）的圖象

為拋物線，當(dāng)a>0,拋物線開口向上；當(dāng)a<0,拋物線開口向下.對稱軸為直線廣

-殳：與y軸的交點坐標(biāo)為（0,c）.也考查了一次函數(shù)圖象和反比例函數(shù)的圖象.

2a

3.（20XX年四川資陽，第10題3分）二次函數(shù)產(chǎn)加+/zr+c（際0）的圖象如圖，給出下列四

個結(jié)論：

①4ac-廬〈0；②4a+c<2/?；③36+2c<0；@mCam+b）+b<a（m/-1）,

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（)

4.4個B.3個C.2個1個

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

分析：利用二次函數(shù)圖象的相關(guān)知識與函數(shù)系數(shù)的聯(lián)系，需要根據(jù)圖形，逐一判斷.

解答：解：：拋物線和x軸有兩個交點，

b2-4ac>0,

.'.4ac-b2<0,，①正確；

?對稱軸是直線x-1,和x軸的一個交點在點（0,0）和點（1,0）之間，

...拋物線和x軸的另一個交點在（-3,0）和（-2,0）之間，

...把（-2,0）代入拋物線得：）=4a-26+c>0,

：.4a+c>2b,二②錯誤；

:把（1,0）代入拋物線得：y=a+b+c<0,

：.2a+2b+2c<0,

b=2a,

：.3b,2c<0,???③正確；

??,拋物線的對稱軸是直線x=-1,

?\y=a-b+c的值最大，

即把（m,0）（?0）代入得：y=arn2+bm+c<a-b+c.

anr+bm+b<a,

即mCam+h)+b<a,，④正確;

即正確的有3個，

故選用

點評：此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，在解題時要注意二次函數(shù)的系數(shù)與其

圖象的形狀，對稱軸，特殊點的關(guān)系，也要掌握在圖象上表示一元二次方程以的

解的方法.同時注意特殊點的運用.

4.（20XX年天津市，第12題3分）已知二次函數(shù)y=o『+/?x+c（。*0）的圖象如圖，且關(guān)于x

的一元二次方程ax^+bx+c-m=0沒有實數(shù)根，有下列結(jié)論：

①從-44c>0；②。尻<0；③相>2.

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

分析：由圖象可知二次函數(shù)yuaK+bx+c與x軸有兩個交點，進而判斷①;

先根據(jù)拋物線的開口向下可知“VO,由拋物線與y軸的交點判斷c,與0的關(guān)系，根據(jù)對稱

軸在y軸右側(cè)得出b與0的關(guān)系，然后根據(jù)有理數(shù)乘法法則判斷②；

一元二次方程渥+反+，-相=0沒有實數(shù)根，則可轉(zhuǎn)化為湛+/?+片用，即可以理解為

y=a）c+hx+c和產(chǎn)機沒有交點，即可求出，"的取值范圍，判斷③即可.

解答：解：①；二次函數(shù)產(chǎn)加+bx+c與x軸有兩個交點，

.'.b2-4ac>0,故①正確；

②?.?拋物線的開口向下，

."VO,

?.?拋物線與y軸交于正半軸,

：.c>0,

,：對稱軸x=-*_>0,

2a

.\ab<0,

???〃vo,

abc<0,故②正確；

③'.,一■元二次方程ax2+bx+c-m=0沒有實數(shù)根，

.".y-a^+bx+c和y-tn沒有交點，

由圖可得，相>2,故③正確.

故選。.

點評：本題主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會利用對稱軸的范圍求2“與匕的

關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運用.

5.（2014?新疆，第6題5分）對于二次函數(shù)）=（x-1/+2的圖象，下列說法正確的是（）

A.開口向下B.對稱軸是4-IC.頂點坐標(biāo)是（1,2）0.與x軸有兩個交點

考點：二次函數(shù)的性質(zhì).

專題：常規(guī)題型.

分析：根據(jù)拋物線的性質(zhì)由“=1得到圖象開口向上，根據(jù)頂點式得到頂點坐標(biāo)為（1,2）,

對稱軸為直線41,從而可判斷拋物線與x軸沒有公共點.

解答；解：二次函數(shù)產(chǎn)（x-1）2+2的圖象開口向上，頂點坐標(biāo)為（1,2）,對稱軸為直線

X=\,拋物線與X軸沒有公共點.

故選C.

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)），=渥+法+c（存0）的頂點式為產(chǎn)a（x-A）

2a

22

2+4aC~b,的頂點坐標(biāo)是（-至，4ac~b）,對稱軸直線62”，當(dāng)〃>0時,

4a2a4a

拋物線產(chǎn)加+bx+c（a#0）的開口向上，當(dāng)“<0時，拋物線尸o^+bx+c?（存0）的開

口向下.

6.（2014?舟山，第10題3分）當(dāng)-2SE1時，二次函數(shù)尸-（x-W2+*+1有最大值4,

則實數(shù)m的值為（）

A.-B.73^C2或一相O.2或-7^或-上

考點：二次函數(shù)的最值

專題：分類討論.

分析：根據(jù)對稱軸的位置，分三種情況討論求解即可.

解答：解：二次函數(shù)的對稱軸為直線廣〃?，

①相＜-2時，k-2時二次函數(shù)有最大值，

此時-（-2-m）2+m2+l=4,

解得m--,與m＜-2矛盾，故m值不存在；

②當(dāng)-29/W1時，k加時，二次函數(shù)有最大值，

此時，,層+]=4,

解得m---\[s，W=A/3（舍去）；

③當(dāng)機＞1時，x=l時，二次函數(shù)有最大值，

此時，-（1-機）2+/n2+l=4,

解得tn=2,

綜上所述，m的值為2或一a.

故選C.

點評：本題考查了二次函數(shù)的最值問題，難點在于分情況討論.

12

7.（2014?畢節(jié)地區(qū)，第11題3分）拋物線產(chǎn)及，產(chǎn)-左，"訝,共有的性質(zhì)是（）

A.開口向下B.對稱軸是y軸

C.都有最低點D.y隨x的增大而

減小

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

分析：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解題.

解答：解：（1）產(chǎn)加開口向上，對稱軸為y軸，有最低點，頂點為原點；

（2））=-2?開口向下，對稱軸為），軸，有最高點，頂點為原點；

（3）廣/2開口向上，對稱軸為y軸，有最低點，頂點為原點.

故選B.

點評：考查二次函數(shù)頂點式產(chǎn)a（x-h）2+k的性質(zhì).二次函數(shù)廣加+bx+c

（存0）的圖象具有如下性質(zhì)：

①當(dāng)G>0時，拋物線y^cvc+bx+c（"0）的開口向上，x<-上時,

2a

y隨x的增大而減??；尤〉-生時，y隨x的增大而增大;x=-上時,

2a2a

y取得最小值,ac-上；即頂點是拋物線的最低點.

4a

②當(dāng)4Vo時,拋物線y=axljrbx+c（4,0）的開口向下，x<-也時，

2a

y隨x的增大而增大;x>-至?xí)r,y隨x的增大而減小;4-電時,

2a2a

2

y取得最大值缶。一上，即頂點是拋物線的最高點.

8.（2014?孝感，第12題3分）拋物線）:=加+版+。的頂點為￡）（-1,2）,與x軸的一個交

點4在點（-3,0）和（-2,0）之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論：

①/-4ac<0；?a+b+c<0-,③c-4=2；④方程加+fer+c-2=0有兩個相等的實數(shù)根.

其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A.1個8.2個C.3個￡>.4個

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；拋物線與x軸的交點

專題：數(shù)形結(jié)合.

分析：由拋物線與x軸有兩個交點得到從-4ac>0；有拋物線頂點坐標(biāo)得到拋物線的對稱軸

為直線4-1,則根據(jù)拋物線的對稱性得拋物線與x軸的另一個交點在點（0,0）和

（1,0）之間，所以當(dāng)x=l時，y<0,則a+/?+c<0；由拋物線的頂點為。（-1,2）

得a-b+c=2,由拋物線的對稱軸為直線x=-上=1得6=2a,所以c-a=2；根據(jù)二次

函數(shù)的最大值問題，當(dāng)4-1時，二次函數(shù)有最大值為2,即只有時，加+fce+c=2,

所以說方程a^+bx+c-2=0有兩個相等的實數(shù)根.

解答：解：???拋物線與x軸有兩個交點，

：.b2-4ac>0,所以①錯誤；

:頂點為。（-1,2）,

...拋物線的對稱軸為直線x=-\,

?.?拋物線與x軸的一個交點A在點（-3,0）和（-2,0）之間，

二拋物線與x軸的另一個交點在點（0,0）和（1,0）之間，

當(dāng)x-｝時，y<0,

.,.a+h+c<0,所以②正確；

?.?拋物線的頂點為。（-1,2）,

-b+c=2,

?.?拋物線的對稱軸為直線x=-耳1,

2a

/.b=2a,

-2a+c=2,即c-〃=2,所以③正確；

??,當(dāng)4-1時，二次函數(shù)有最大值為2,

即只有x=l時，ax1+bx+c=2,

???方程加+飯+c-2=0有兩個相等的實數(shù)根，所以④正確.

故選C

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)產(chǎn)辦2+法+0（〃9）的圖象為拋

物線，當(dāng)。>0,拋物線開口向上；對稱軸為直線電；拋物線與y軸的交點坐標(biāo)

2a

為（0,c）；當(dāng)〃-4℃>0,拋物線與x軸有兩個交點；當(dāng)從-4ac=o,拋物線與x軸

有一個交點；當(dāng)。2-4改<0,拋物線與x軸沒有交點.

9.（2014.臺灣，第26題3分）已知a、h、k為三數(shù)，且二次函數(shù)y=a（x-%產(chǎn)+%在坐標(biāo)平

面上的圖形通過（0,5）、（10,8）兩點.若。<0,0CY10,則〃之值可能為下列何者？（）

4.1B.3C.5D.7

分析：先畫出拋物線的大致圖象，根據(jù)頂點式得到拋物線的對稱軸為直線X=/7,由于拋物

線過(0,5)、(10,8)兩點.若aVO,0</z<10,則點(0,5)到對稱軸的距離大于點(10,8)

到對稱軸的距離，所以然后解不等式后進行判斷.

解：?.?拋物線的對稱軸為直線x=力，

而(0,5)、(10,8)兩點在拋物線上,

：.h-0>10-h,解得〃>5.

故選D.

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)〉=加+云+以存0),二次項系數(shù)

a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)時，拋物線向上開口；當(dāng)“VO時，拋物線向下開

口；一次項系數(shù)方和二次項系數(shù)。共同決定對稱軸的位置，當(dāng)a與b同號時(即帥>0),對

稱軸在y軸左；當(dāng)。與匕異號時(即必<0),對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸

交點.拋物線與y軸交于(0，c)；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定，△=〃-4ac>0時，拋

物線與x軸有2個交點；△="-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=/-4ac<0

時，拋物線與x軸沒有交點.

10.(2014?浙江金華，第9題4分)如圖是二次函數(shù)y=-x?+2x+4的圖象，使y?l成立

的x的取值范圍是【】

A.-l<x<3B.x<-lC.x>lD.x4—1或

x>3

【答案】D.

【解析】

試題分析：由圖象可知，當(dāng)yVl時，xW-l或xN3.故選￡).

考點：1.曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；2.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

11.(2014?浙江寧波，第12題4分)已知點ACa-2h,2-4")在拋物線產(chǎn)f+4x+10上,

則點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點坐標(biāo)為()

A.(-3,7)B.(-1,7)C.(-4,10)D.(0,10)

考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；坐標(biāo)與圖形變化一對稱.

分析：把點A坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式并利用完全平方公式整理，然后

根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出6,再求出點A的坐標(biāo)，然后求

出拋物線的對稱軸，再根據(jù)對稱性求解即可.

解答：解：?.?點4(a-2b,2-4ab)在拋物線y=f+4x+10上，

，(a-2b)2+4x(a-2b)+10=2-4ab,

a2-4ah+4h2+4a-8。力+10=2-Aab,

(a+2)2+4(6-1)2=0,

；?4+2=0,b-1=0,

解得a=-2,b=l,

??a-2b=-2-2x1=-4,

2-4ab=2-4x(-2)xl=10,

，點A的坐標(biāo)為(-4,10),

?.?對稱軸為直線4--A_=-2,

2X1

...點A關(guān)于對稱軸的對稱點的坐標(biāo)為(0,10).

故選D.

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的對稱性，

坐標(biāo)與圖形的變化-對稱，把點的坐標(biāo)代入拋物線解析式并整理

成非負數(shù)的形式是解題的關(guān)鍵.

12.(2014?荷澤第8題3分)如圖，RfZXABC中，AC=8C=2,正方形C0EF的頂點。、尸分

別在AC、BC邊上,C、￡>兩點不重合，設(shè)C。的長度為x,ZiABC與正方形C0E尸重

疊部分的面積為y,則下列圖象中能表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的是()

-1___________

0\12~o\12

考點：動點問題的函數(shù)圖象.

專題：數(shù)形結(jié)合.

分析：分類討論：當(dāng)0<爛1時,根據(jù)正方形的面積公式得到y(tǒng)=x2；當(dāng)1〈爛2

時，ED交AB于M,EF交AB于N,利用重疊的面積等于正方形的

面積減去等腰直角三角形MNE的面積得到尸x2-2(x-1)2,配方

得到)，=-(x-2)2+2,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各選項進行判斷.

解答：解：當(dāng)0<爛1時，y=x2,

當(dāng)1〈爛2時，ED交AB于M,EF交AB于N,如圖，

CD=x,則AD=2-x,

'：Rt/\ABC^p,AC=BC=2,

/.△ACM為等腰直角三角形，

/.DM=2-x,

/.EM=x-(2-x)=2x-2,

：.S/\ENM=(2x-2)2=2(x-1)2,

.\y=x2-2(x-1)2=-x2+4x-2=-(x-2)2+2,

,[x2(0<x<l)

-(x-2)2+2(l<x<2)

故選A.

B

13.(2014?濟寧，第8題3分)“如果二次函數(shù)廣加+A:+c的圖象與x軸有兩個公共點，那

么一元二次方程加+尿+c=0有兩個不相等的實數(shù)根.”請根據(jù)你對這句話的理解，解決下面

問題：若〃八n(m<n)是關(guān)于x的方程1-(x-a)(x-%)=0的兩根，且a<h,則a、b、

〃?、n的大小關(guān)系是()

A.m?b<nB.a<m<n<bC.a<m<b<nD,m<a<n<b

考點：拋物線與X軸的交點.

分析：依題意畫出函數(shù)產(chǎn)(x-a)(x-b)圖象草圖，根據(jù)二次函數(shù)的增減性求解.

解答：解：依題意，畫出函數(shù)產(chǎn)(x-a)(x-b)的圖象，如圖所示.

函數(shù)圖象為拋物線，開口向上，與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)分別為a,b(a<b).

方程1-(x-a)(x-b)=0轉(zhuǎn)化為Cx-a)(x-b)=1,方程的兩根是拋物線產(chǎn)(x

-a)(x-b)與直線的兩個交點.

由/?<〃，可知對稱軸左側(cè)交點橫坐標(biāo)為〃?，右側(cè)為

由拋物線開口向上，則在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而減少，則有機在對稱軸右側(cè),

y隨x增大而增大，則有匕<〃.

綜上所述，可知,

故選A.

點評：本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.解題時，

畫出函數(shù)草圖，由函數(shù)圖象直觀形象地得出結(jié)論，避免了繁瑣復(fù)雜的計算.

14.（20XX年山東泰安，第17題3分）己知函數(shù)y=（x-ffi）（其中力<〃）的圖象

如圖所示，則一次函數(shù)產(chǎn)，〃與反比例函數(shù)產(chǎn)血的圖象可能是（）

與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)判斷即可.

解：由圖可知，，”V-1,?=11所以，，"+"<0,

所以，一次函數(shù)產(chǎn)加葉〃經(jīng)過第二四象限，且與y軸相交于點（0,1）,

反比例函數(shù)產(chǎn)型工的圖象位于第二四象限，

x

縱觀各選項，只有C選項圖形符合.故選C

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象，觀察二次函數(shù)圖象

判斷出〃八〃的取值是解題的關(guān)鍵.

15.（20XX年山東泰安，第20題3分）二次函數(shù)）=加+法+。（a,b,c為常數(shù)，且存0）中

的x與y的部分對應(yīng)值如下表:

X-1013

y-1353

下列結(jié)論：

（1）ac<0；

（2）當(dāng)尤>1時，），的值隨x值的增大而減小.

（3）3是方程加+（/?-1）x+c=O的—"b根；

（4）當(dāng)時，ax2+（/?-1）x+c>0.

其中正確的個數(shù)為（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

分析：根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的對稱軸為直線尸1.5,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各

小題分析判斷即可得解.

解：由圖表中數(shù)據(jù)可得出：戶1時，產(chǎn)5值最大，所以二次函數(shù)嚴加+法+c開口向下，a

<0；又廣0時，y=3,所以c=3>0,所以acVO,故（1）正確；

,二次函數(shù)）=加+公+。開口向下，且對稱軸為4°+3=1.5,...當(dāng)x>1.5時，y的值隨x

2

值的增大而減小，故（2）錯誤；

,；x=3時，了=3,9a+3b+c=3,c=3,9a+3b+3=3,9a+3b=0,...3是方程or。（b

-1）x+c=0的一個根，故（3）正確；

-1時,ax^+bx+c^-1，'.x--1時,ar2+（/>-1）x+c=0,時,加+（/>-1）

x+c=0,且函數(shù)有最大值，.,.當(dāng)-1<x<3時，a^=（/>-!）x+c>0,故（4）正確.

故選B.

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點，

二次函數(shù)與不等式，有一定難度.熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.（2014?濱州，第9題3分）下列函數(shù)中，圖象經(jīng)過原點的是（）

A.y=3xB.y=l-2xC.），=WD.y=x2-1

x

考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；

反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征

分析：將點（0,0）依次代入下列選項的函數(shù)解析式進行一一驗證即可.

解答：解：：函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，

點(0,0)滿足函數(shù)的關(guān)系式；

A、當(dāng)40時，＞=3x0=0,即)，=0,.?.點(0,0)滿足函數(shù)的關(guān)系

式y(tǒng)=3x；故本選項正確；

B、當(dāng)戶0時，)=1-2x0=1,即y=l,.,.點(0,0)不滿足函數(shù)

的關(guān)系式產(chǎn)1-2A-;故本選項錯誤；

C、的圖象是雙曲線，不經(jīng)過原點；故本選項錯誤；

X

D、當(dāng)x=0時，)=()2-1=-1,即尸-1,.點(0,0)不滿足函

數(shù)的關(guān)系式產(chǎn)f-1;故本選項錯誤；

故選A.

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例圖象上的點的坐標(biāo)

特征.經(jīng)過函數(shù)圖象上的某點，該點一定滿足該函數(shù)的解析式.

二.填空題

1.(2014?安徽省，第12題5分)某廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為a元，以后每月新產(chǎn)

品的研發(fā)資金與上月相比增長率都是x,則該廠今年三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金y(元)關(guān)于

x的函數(shù)關(guān)系式為y=a(1+x)2.

考點：根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式.

分析：由一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為。元，根據(jù)題意可以得到2月份研發(fā)資金為ax(l+x),

而三月份在2月份的基礎(chǔ)上又增長了x,那么三月份的研發(fā)資金也可以用x表示出來，由此

即可確定函數(shù)關(guān)系式.

解答：解：???一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為。元，

2月份起，每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長率都是x,

???2月份研發(fā)資金為ax(1+x),

...三月份的研發(fā)資金為廣ax(1+x)x(1+x)=a(1+x)2.

故填空答案：a(1+x)2.

點評：此題主要考查了根據(jù)實際問題二次函數(shù)列解析式，此題是平均增長率的問題，可以

用公式。(1+r)2?來解題.

2.（20XX年云南，第16題3分）拋物線-2r+3的頂點坐標(biāo)是.

考點：二次函數(shù)的性質(zhì).

專題：計算題.

分析：已知拋物線的解析式是一般式，用配方法轉(zhuǎn)化為頂點式，根據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點，

直接寫出頂點坐標(biāo).

解答：解：?.?尸c2-2x+3=f-2x+l-1+3=（x-1）2+2,

.?.拋物線尸的頂點坐標(biāo)是（1,2）.

點評：此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)廣。（x-h）2+火的頂點坐標(biāo)為（h,k）,對

稱軸為后兒此題還考查了配方法求頂點式.

3.（2014?浙江湖州，第16題4分）己知當(dāng)xi=a,X2=b,片=。時，二次函數(shù)尸Ld+izuc對應(yīng)

2

的函數(shù)值分別為yi，竺，然，若正整數(shù)。，6c恰好是一個三角形的三邊長，且當(dāng)aVbVc

時，都有則實數(shù)的取值范圍是.

分析：根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷出a最小為2,再根據(jù)二次函數(shù)的增減性

和對稱性判斷出對稱軸在2、3之間偏向2,即不大于2.5,然后列出不等式求解即可.

解：?.?正整數(shù)“，b,c恰好是一個三角形的三邊長，且a<6<c,

最小是2,；yi<y2<y3，二---——<2.5,解得機>-至.故答案為：，">-3

2X-122

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的三邊關(guān)系，判斷出。最小可以取

2以及對稱軸的位置是解題的關(guān)鍵.

4.（2014?株洲，第16題，3分）如果函數(shù)尸（a-1）『+3"二坦的圖象經(jīng)過平面直角坐

a~1

標(biāo)系的四個象限，那么甘的取值范圍是〃<-5.

考點：拋物線與x軸的交點

分析：函數(shù)圖象經(jīng)過四個象限，需滿足3個條件：

（/）函數(shù)是二次函數(shù)；

（//）二次函數(shù)與x軸有兩個交點；

（///）二次函數(shù)與y軸的正半軸相交.

解答：解：函數(shù)圖象經(jīng)過四個象限，需滿足3個條件:

（/）函數(shù)是二次函數(shù).因此。-"0,即存1①

（//）二次函數(shù)與X軸有兩個交點.因此4=9-4（a-1）a+5=_4a-交>0,解得

a-1

a<-H?

4

（/〃）二次函數(shù)與y軸的正半軸相交.因此二號〉。，解得“>1或。<-5③

綜合①②③式，可得：?<-5.

故答案為：a<~5.

點評：本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與x軸的交點、二次函數(shù)與y軸交點等知

識點，解題關(guān)鍵是確定“函數(shù)圖象經(jīng)過四個象限”所滿足的條件.

5.（20XX年江蘇南京，第16題，2分）已知二次函數(shù)y=ar2+Zw+c中，函數(shù)y與自變量x

的部分對應(yīng)值如表：

X..-10123

y-..105212

則當(dāng)y<5時，x的取值范圍是.

考點：二次函數(shù)與不等式

分析：根據(jù)表格數(shù)據(jù)，利用二次函數(shù)的對稱性判斷出戶4時，產(chǎn)5,然后寫出），<5時，

x的取值范圍即可.

解答：由表可知，二次函數(shù)的對稱軸為直線k2,所以，戶4時，尸5,

所以，y<5時，x的取值范圍為0<x<4.故答案為：0Vx<4.

點評：本題考查了二次函數(shù)與不等式，觀察圖表得到y(tǒng)=5的另一個x的值是解題的關(guān)鍵.

6.（2014?揚州，第16題,3分）如圖，拋物線尸z?+6x+c（<?>0）的對稱軸是過點（1,0）

且平行于），軸的直線，若點0）在該拋物線上，則4a-2b+c的值為0.

（第3題圖）

考點：拋物線與X軸的交點

分析：依據(jù)拋物線的對稱性求得與X軸的另一個交點，代入解析式即可.

解答：解：設(shè)拋物線與X軸的另一個交點是。，

?拋物線的對稱軸是過點（1,0）,與x軸的一個交點是P（4,0）,

...與x軸的另一個交點Q（-2,0）,

把（-2,0）代入解析式得：0=4a-2h+c,

.".4a-2b+c=0,

故答案為：0.

點評：本題考查了拋物線的對稱性，知道與x軸的一個交點和對稱軸，能夠表示出與x軸的

另一個交點，求得另一個交點坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵.

7.（2014?端澤，第12題3分）如圖，平行于x軸的直線AC分別交拋物線yl=x2（應(yīng)0）與

2

>2=2—（x>0）于B、C兩點，過點C作y軸的平行線交yl于點D,直線DE//AC,交y2

3

于點E,嘴

考點：二次函數(shù)綜合題.

專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題.

分析：設(shè)A點坐標(biāo)為（0,〃），利用兩個函數(shù)解析式求出點B、C的坐標(biāo)，然后求出

AB的長度，再根據(jù)CQ〃y軸，利用yl的解析式求出D點的坐標(biāo)，然后利

用）2求出點E的坐標(biāo)，從而得到。E的長度，然后求出比值即可得解.

解答：解：設(shè)設(shè)A點坐標(biāo)為（0,a）,（a>0）,

則x2=a,解得kJW，

:.點B（右〃）,

2

3

則3a）

??點C（y3a，a），

；CD〃y軸，

；?點。的橫坐標(biāo)與點C的橫坐標(biāo)相同，為后,

汆=3。，

...點。的坐標(biāo)為（怎，3a）,

VDE//AC,

.?.點E的縱坐標(biāo)為3a,

2

.".JL-=3a,

3

.?.》=34，

.?.點E的坐標(biāo)為（3丘，3a）,

*'*DE=3\!"^-yj3a,

DE丁箱一倔=3

ABVa

故答案為：3-遙.

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，根據(jù)

平行與x軸的點的縱坐標(biāo)相同，平行于y軸的點的橫坐標(biāo)相同，求出用點A

的縱坐標(biāo)表示出各點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

8.（2014?珠海，第9題4分）如圖，對稱軸平行于y軸的拋物線與x軸交于（1,0）,（3,

0）兩點，即它的對稱軸為直線x=2

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

分析：點（1,0）,（3,0）的縱坐標(biāo)相同，這兩點一定關(guān)于對稱軸對稱，那么利用兩點的橫

坐標(biāo)可求對稱軸.

解答：解：,??點(1，0),(3,0)的縱坐標(biāo)相同，

.?.這兩點一定關(guān)于對稱軸對稱，

.,.對稱軸是：x=1+邑2.

2

故答案為：直線k2.

點評：本題主要考查了拋物線的對稱性，圖象上兩點的縱坐標(biāo)相同，則這兩點一定關(guān)于對稱

軸對稱.

三.解答題

I.(2014?安徽省，第22題12分)若兩個二次函數(shù)圖象的頂點、開口方向都相同，則稱這

兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)

(1)請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)''的函數(shù)；

(2)已知關(guān)于x的二次函數(shù)力=2『-4twc+2m2+1和y^cuc+bx+S,其中)"的圖象經(jīng)過點A

(1,1),若與》為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)”的表達式，并求出當(dāng)區(qū)爛3時，>2的

最大值.

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)的最值.

專題：新定義.

分析：(1)只需任選一個點作為頂點，同號兩數(shù)作為二次項的系數(shù)，用頂點式表示兩個

為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)表達式即可.

(2)由％的圖象經(jīng)過點A(1,1)可以求出〃?的值，然后根據(jù)與%為“同簇二次函數(shù)”

就可以求出函數(shù)”的表達式，然后將函數(shù)”的表達式轉(zhuǎn)化為頂點式，在利用二次函數(shù)的性

質(zhì)就可以解決問題.

解答：解：(1)設(shè)頂點為(h,k)的二次函數(shù)的關(guān)系式為產(chǎn)a(x-〃)2+k,

當(dāng)a=2,g3,七4時，

二次函數(shù)的關(guān)系式為產(chǎn)2(%-3)2+4.

V2>0,

???該二次函數(shù)圖象的開口向上.

當(dāng)a=3,〃=3,k=4時，

二次函數(shù)的關(guān)系式為產(chǎn)3(%-3)2+4.

V3>0,

.?.該二次函數(shù)圖象的開口向上.

,兩個函數(shù)產(chǎn)2(%-3)2+4與產(chǎn)3(x-3)2+4頂點相同，開口都向上，

，兩個函數(shù)尸2(x-3)2+4與產(chǎn)3(x-3)2+4是“同簇二次函數(shù)”.

，符合要求的兩個“同簇二次函數(shù)”可以為：y=2(x-3)2+4與y=3(x-3)2+4.

(2)Vyi的圖象經(jīng)過點A(1,1),

2xl2-4xmx1+2"/+1=1.

整理得：nr-2m+l=0.

解得：〃h=，〃2=l.

.?.yi=2r-4x+3

=2(x-1)2+l.

，力+竺=2/-4x+3+ax2+bx+5

=(a+2)f+(fe-4)x+8

??』+”與》為"同簇二次函數(shù)”，

?』+”=(a+2)(x-1)2+1

=(a+2)x2-2(a+2)x+(a+2)+1.

其中a+2>0,即a>-2.

,Jb-4=-2(a+2)

…8=(a+2)+1

函數(shù)yi的表達式為：>2=5f-10x+5.

-'?yi-Sx2-IOx+5

=5(x-1)2.

；?函數(shù)”的圖象的對稱軸為x=l.

V5>0,

二函數(shù)”的圖象開口向上.

①當(dāng)0W爛1時，

?.?函數(shù)”的圖象開口向上，

隨X的增大而減小.

當(dāng)戶0時，/2取最大值，

最大值為5(0-1)2=5.

②當(dāng)1〈忘3時，

???函數(shù))2的圖象開口向上，

???”隨x的增大而增大.

...當(dāng)X=3時,>2取最大值,

最大值為5(3-1)2=20.

綜上所述：當(dāng)0SE3時，義的最大值為20.

點評：本題考查了求二次函數(shù)表達式以及二次函數(shù)一般式與頂點式之間相互轉(zhuǎn)化,考查了

二次函數(shù)的性質(zhì)(開口方向、增減性)，考查了分類討論的思想，考查了閱讀理解能力.而

對新定義的正確理解和分類討論是解決第二小題的關(guān)鍵.

2.(2014?福建泉州，第22題9分)如圖，已知二次函數(shù)嚴a(x-〃)？+?的圖象經(jīng)過原

點O(0,0),A(2,0).

(1)寫出該函數(shù)圖象的對稱軸；

(2)若將線段04繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60。到04,試判斷點4是否為該函數(shù)圖象的頂點？

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形變化一旋轉(zhuǎn).

分析：(1)由于拋物線過點O(0,0),A(2,0),根據(jù)拋物線的對稱性得到拋物線的對稱

軸為直線x=l:

(2)作軸與8,先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得O/T=Q4=2,ZA'OA=2,再根據(jù)含30

度的直角三角形三邊的關(guān)系得。8=赳'=1，A'B=4^DB=M，則4點的坐標(biāo)為(1,

我)，根據(jù)拋物線的頂點式可判斷點4為拋物線產(chǎn)(x-1)2+我的頂點.

解答：解：(1)I?二次函數(shù)產(chǎn)a(x-人)2+y的圖象經(jīng)過原點o(0,0),4(2,0).

.?.拋物線的對稱軸為直線x=l：

（2）點H是該函數(shù)圖象的頂點.理由如下：

如圖，作軸于點B,

?.?線段0A繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)60。到04,

AOA'=OA^2,ZA'OA=2,

在放ZWOB中，ZOA'B=30°,

：.OB=^.OA'=\,

2

：.4B=MDB=M，

，A'點的坐標(biāo)為（1,遙），

???點4為拋物線產(chǎn)-（X-1）2+舊的頂點.

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)"加+bx+c（存0）的頂點坐標(biāo)為（-上，

2a

2

4aC-b）,對稱軸直線k--殳，二次函數(shù)產(chǎn)o^+bx+cYHO）的圖象具有如下性質(zhì):

4a2a

①當(dāng)a>0時，拋物線y=or2+〃x+c,（辱0）的開口向上，x<-電時，y隨x的增大而

2

減小；X>-也時，y隨X的增大而增大；4--殳0寸，y取得最小值4ac-1，即頂

2a2a4a

點是拋物線的最低點.②當(dāng)〃<0時，拋物線廣加+Zn+c（存0）的開口向下，XV-A

時，y隨X的增大而增大；x>-也時，y隨X的增大而減小;X=-也1寸，y取得最大

2a2a

值4a。一匕？,即頂點是拋物線的最高點.也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

4a

3.（2014?福建泉州，第25題12分）如圖，在銳角三角形紙片4BC中，AOBC,點Z）,

E,尸分別在邊48,BC,CA上.

（1）已知：DE//AC,DF//BC.

①判斷

四邊形QECF一定是什么形狀？

②裁剪

當(dāng)AC=24cm,BC=20cm,/ACB=45。時，請你探索：如何剪四邊形。EC凡能使它的面積最

大，并證明你的結(jié)論；

(2)折疊

請你只用兩次折疊，確定四邊形的頂點￡>,E,C,F,使它恰好為菱形，并說明你的折法和

理由.

考點：四邊形綜合題

分析：(1)①根據(jù)有兩組對邊互相平行的四邊形是平行四邊形即可求得，②根據(jù)

△A。尸s△ABC推出對應(yīng)邊的相似比，然后進行轉(zhuǎn)換，即可得出〃與x之間的函數(shù)關(guān)

系式，根據(jù)平行四邊形的面積公式，很容易得出面積S關(guān)于九的二次函數(shù)表達式，求

出頂點坐標(biāo)，就可得出面積s最大時人的值.

(2)第一步，沿/ABC的對角線對折，使C與C1重合，得到三角形ABB1,第二步,

沿81對折，使D41_L8B1.

解答：解：(1)@'：DE//AC,DF//BC,

四邊形OEC尸是平行四邊形.

②作AG_L8C,交BC于G,交,DF于H,

'：ZACB=45°,AC=24cm

???AG=J3XAC2=12&，

設(shè)。F=EC=x,平行四邊形的高為〃，

貝A〃=12&-/2,

?：DF〃BC,

.DF_12V2-h

**BC--1272

?.*BC=20cm9

即：x=12&-h

2012V2

.._12V2-h

?*Ji,--S<20,

12V2

■:S=xh=xJ2?二420=20〃--^^2.

12726

-A=-------206版,

2a_"5技"/

2X-r

,:AH=T2近,

...在AC中點處剪四邊形。ECF,能使它的面積最大.

(2)第一步，沿NA8C的對角線對折，使C與Ci重合，得到三角形ABB，第二步,

沿8對折，使

理由：對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.

點評：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、菱形的判定、二次函數(shù)的最值.關(guān)鍵在于根據(jù)

相似三角形及已知條件求出相關(guān)線段的表達式，求出二次函數(shù)表達式，即可求出結(jié)論.

4.(2014?廣東，第25題9分)如圖，在△ABC中，AB=AC,AZ)_LAB于點。，BC=\Ocm,

AD=Scm.點P從點B出發(fā)，在線段8c上以每秒3cm的速度向點C勻速運動，與此同時，

垂直于AQ的直線機從底邊3c出發(fā)，以每秒2cm的速度沿D4方向勻速平移，分別交A3、

AC、AD于瓜F、H,當(dāng)點P到達點C時，點P與直線m同時停止運動，設(shè)運動時間為f

秒(/>0).

A

（1）當(dāng)U2時，連接OE、DF,求證：四邊形4ED尸為菱形;

（2）在整個運動過程中，所形成的aPEF的面積存在最大值，當(dāng)△P￡下的面積最大時，求

線段BP的長;

（3）是否存在某一時刻f