化工設(shè)備機(jī)械基礎(chǔ)-彎曲扭矩

第四章直梁的彎曲

第一節(jié)梁的彎曲實(shí)例與概念

5/27/202515/27/202525/27/20253受力特點(diǎn)：力偶或垂直于軸線的外力作用在一個(gè)通過(guò)軸線平面內(nèi)。變形特點(diǎn)：桿件的軸線（力偶或橫向力）由直線變?yōu)榍€。彎曲變形梁平面彎曲

把以彎曲為主要變形的桿稱為梁。載荷作用在同一平面，并使梁的軸線在該平面內(nèi)彎曲時(shí)稱為平面彎曲。5/27/20254工程中的梁橫截面一般都是對(duì)稱的。平面彎曲

外載荷作用在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，梁的軸線在縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)彎曲成一條平面曲線——撓曲線。PPP縱向?qū)ΨQ面撓曲線5/27/20255懸臂梁外伸梁簡(jiǎn)支梁一、梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖:二、載荷的形式:qlPRARBABC2aaqP=qaABDRARB集中力AB集中力偶分布力CqPM梁的支座和載荷的簡(jiǎn)化5/27/20256第二節(jié)梁橫截面上的兩種內(nèi)力—剪力和彎矩1、剪力和彎矩梁在外力作用下，內(nèi)部將產(chǎn)生內(nèi)力。為求出梁橫截面1-1上的內(nèi)力，假想沿1-1截面將梁截為兩段，取其中一段（此處取左段）作為研究對(duì)象。在這段上作用的外力有支座約束反力。截面上的內(nèi)力應(yīng)與這些外力相平衡。由靜力平衡方程判斷截面上作用有沿截面的力Q，截面上還應(yīng)有一個(gè)力偶M，以滿足平衡方程，該力偶與外力對(duì)截面1-1形心O的力矩相平衡。

5/27/202575/27/20258一、截面法求內(nèi)力—剪力Q和彎矩M內(nèi)力Q稱為橫截面上的剪力。內(nèi)力偶M稱為橫截面上的彎矩。因此，梁彎曲時(shí)的內(nèi)力包括剪力Q與彎矩M。運(yùn)用靜力平衡方程求圖中1-1和2-2截面上的剪力和彎矩。5/27/202595/27/202510二、內(nèi)力符號(hào)規(guī)定：剪力符號(hào):-Q+Q－Q剪力—截面一側(cè)所有豎向分力的代數(shù)和;

彎矩—截面一側(cè)所有外力對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和。以某一截面為界，左右兩段梁發(fā)生左上右下的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)，該截面上剪力為正，反之為負(fù)。+Q∑F∑F左右∑F∑F左右5/27/202511彎矩符號(hào):+M-M+M-M左側(cè)外力對(duì)截面之矩為順時(shí)針時(shí)為正彎矩，逆時(shí)針時(shí)為負(fù)；∑M∑M∑M∑M右側(cè)外力對(duì)截面之矩為逆時(shí)針時(shí)為正彎矩，順時(shí)針時(shí)為負(fù)；5/27/202512三、梁內(nèi)力的簡(jiǎn)便求法——“外力簡(jiǎn)化法”剪力——截面一側(cè)所有豎向分力的代數(shù)和；

“左上右下為正”彎矩——截面一側(cè)所有外力對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和；“左順右逆為正”oo+Q+M5/27/202513例題：簡(jiǎn)支梁，求1-1，2-2截面上的內(nèi)力B（1）求支反力RA、RBRA–8–22+RB=0RA=7kN（2）求內(nèi)力

Q1=RA–8；Q1=–1kNM1=RA1.5–80.5；M1=6.5kN.m5/27/202514B亦可取2-2截面的右側(cè)研究5/27/202515練習(xí)題練習(xí)題：試求1-1，2-2截面的彎曲內(nèi)力。q=10kN/m

200mm1122答案:1-1截面Q1=1.33kNM1=266N.m2-2截面Q2=0.67kNM2=322N.m200mm200mm5/27/202516步驟：(1)求支反力(2)列剪力、彎矩方程描述剪力和彎矩沿梁的軸線變化規(guī)律的方程．一、剪力方程Q(x)和彎矩方程M(x)：yxmmAB例如在m-m截面，畫出正號(hào)內(nèi)力，列出平衡方程第三節(jié)彎矩方程與彎矩圖二、內(nèi)力圖—剪力圖和彎矩圖5/27/202517寫剪力方程和彎矩方程的要點(diǎn)：（1）分段表示，規(guī)則為：（2）區(qū)間表示，規(guī)則為：剪力方程：在集中力(包括約束反力)作用點(diǎn)、分布載荷的起點(diǎn)和終點(diǎn)處，要分段表示。彎矩方程：在集中力(包括約束反力)作用點(diǎn)、集中力偶(包括約束反力偶)作用點(diǎn)、分布載荷的起點(diǎn)和終點(diǎn)處，要分段表示。剪力：在集中力作用點(diǎn)要用開(kāi)區(qū)間表示，在分布載荷的起點(diǎn)和終點(diǎn)處要用閉區(qū)間表示。彎矩：在集中力偶作用點(diǎn)要用開(kāi)區(qū)間表示，其它點(diǎn)處要用閉區(qū)間表示。5/27/202518

例3-1簡(jiǎn)支梁受集度為q的均布荷載作用，畫出此梁的剪力圖和彎矩圖。5/27/202519 例3-2簡(jiǎn)支梁在C點(diǎn)處受集中荷載P作用，畫出此梁的剪力圖和彎矩圖。5/27/202520 例3-3簡(jiǎn)支梁在C處受一集中力偶mC的作用，畫出剪力圖和彎矩圖。5/27/202521 若梁上某段有均布載荷，則剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。5/27/202522 若梁上某段有集中力，則集中力作用處，剪力圖有突變，突變值即為該處集中力的大小，彎矩圖此處有折角。5/27/202523 若梁上無(wú)均布荷載，剪力圖為一平行于x軸水平線。集中力偶作用處剪力圖無(wú)變化，彎矩圖出現(xiàn)突變，突變的絕對(duì)值等于集中力偶的數(shù)值。5/27/202524歸納①Q(mào)圖曲線的切線斜率為q(x)②M圖曲線的切線斜率為Q(x)③M圖曲線的凹凸向與q(x)符號(hào)有關(guān)5/27/2025251、q(x)=0：一段梁上無(wú)均布荷載，剪力圖為一平行于x軸水平線，彎矩圖為一斜直線；2、q(x)=常數(shù)：一段梁上有均布荷載，剪力圖為一斜直線，彎矩圖為一條二次曲線，當(dāng)均布荷載q(x)向下時(shí)，彎矩圖凸向上，當(dāng)均布荷載向上時(shí)，曲線凸向下；3、彎矩的極值：若梁的某一截面上的剪力Q(x)=0，則該截面的彎矩為一極值；4、集中力作用處：此處剪力圖有突變，突變方向與集中力方向一致，突變絕對(duì)值等于集中力數(shù)值，彎矩圖上形成尖角；5、集中力偶作用處：此處剪力圖無(wú)變化，彎矩圖出現(xiàn)突變，突變的絕對(duì)值等于集中力偶的數(shù)值。內(nèi)力圖的一些規(guī)律:5/27/202526 例3-4．外伸梁上均布荷載的集度為q=3kN/m,集中力偶矩m=3kN.m,畫出剪力圖和彎矩圖。5/27/202527第四節(jié)彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力及其分布規(guī)律一、純彎曲的變形特征5/27/202528中性層現(xiàn)象：①mm,nn變形后仍為直線。②bb伸長(zhǎng)，aa縮短；推斷：①同層纖維變形相等(平面假設(shè))；②中性層沒(méi)有變形。變形后(小變形)m’m’MMn’a’b’n’a’b’o’o’nmxamnabb變形前ooyz中性軸z二、中性層的概念及性質(zhì):中性層中性軸5/27/202529三、橫截面上的正應(yīng)力

變形幾何條件物理?xiàng)l件：彈性范圍內(nèi)

5/27/202530靜力平衡：

5/27/202531橫截面對(duì)中性軸z的慣性矩，單位為m4WZ稱為抗彎截面模量，單位為m3。

梁純彎曲時(shí)橫截面上的最大正應(yīng)力的公式為：5/27/202532四、橫力彎曲 以上有關(guān)純彎曲的正應(yīng)力的公式，對(duì)于橫力彎曲的情形，如果是細(xì)長(zhǎng)桿，也是近似適用。理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明，由于剪應(yīng)力的存在，梁的橫截面在變形之后將不再保持平面，而是要發(fā)生翹曲，此時(shí)平面假設(shè)和各縱向纖維不互相擠壓不成立。而對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，這種翹曲對(duì)正應(yīng)力的影響是很小的。通常都可以忽略不計(jì)。 均布載荷作用下的矩形截面簡(jiǎn)支梁，L/h>5時(shí)，按純彎曲正應(yīng)力計(jì)算，誤差<1%。5/27/2025335/27/202534第五節(jié)梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度條件 利用強(qiáng)度條件，可對(duì)梁進(jìn)行強(qiáng)度校核、選擇截面尺寸及確定許可荷載。

5/27/202535 例3-5容器四個(gè)耳座支架在四根各長(zhǎng)2.4m的工字鋼梁的中點(diǎn)上，工字鋼再由四根混凝土柱支持。容器包括物料重110kN，工字鋼為16號(hào)型鋼，鋼材彎曲許用應(yīng)力[s]=120MPa，試校核工字鋼的強(qiáng)度。5/27/202536最大彎矩在梁的中間，為：由型鋼表查得16號(hào)工字鋼的Wz=141cm35/27/202537例3-6：選擇工字鋼型號(hào)。已知：P2P1l/3l/3l/33834M圖(kN·m)（1）畫彎矩圖，確定（2）計(jì)算Wz解：19kN17kN（3）查表：>計(jì)算值如果:Wz小于計(jì)算值，驗(yàn)算

max，不超過(guò)[

]的5%，工程上允許。選20a,5/27/202538一、支撐和荷載的合理布置

1.支撐的合理布置

第六節(jié)提高梁彎曲強(qiáng)度的措施

5/27/2025392.載荷的合理布置

5/27/202540二、選擇合理的截面形狀

5/27/202541材料遠(yuǎn)離中性軸矩形0.167h；圓形0.125h；環(huán)形0.205h工字鋼和槽鋼(0.27～0.31)h5/27/202542等強(qiáng)度梁5/27/202543第七節(jié)梁的彎曲變形一、梁的撓度和轉(zhuǎn)角變形后梁的軸線稱為彈性曲線或撓曲線撓度f(wàn)梁的撓曲線方程f=f(x)轉(zhuǎn)角θ5/27/202544梁的抗彎剛度EJz二．梁的變形的求解直接積分法和疊加法5/27/202545直接積分法邊界條件和連續(xù)條件可求出C、D5/27/202546例3-6等截面懸臂梁的自由端作用一集中力，梁的抗彎剛度為EJz，求此梁的撓曲線方程以及自由端截面的轉(zhuǎn)角和撓度。5/27/202547疊加法表3-3基本值5/2