專題65數(shù)列的綜合應(yīng)用

專題6.5數(shù)列的綜合應(yīng)用課標(biāo)要求考情分析核心素養(yǎng)1.能運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題,感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用；2.了解等差數(shù)列與一元一次、二次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系,感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異,體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性.新高考近3年考題題號(hào)考點(diǎn)數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2023(Ⅰ)卷//2024(Ⅱ)卷19數(shù)列的新定義問(wèn)題2023(Ⅰ)卷21數(shù)列與概率統(tǒng)計(jì)的綜合2023(Ⅱ)卷18數(shù)列不等式的證明2022(Ⅰ)卷17數(shù)列不等式的證明2022(Ⅱ)卷//1.數(shù)列與函數(shù)的綜合數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它的圖象是一些孤立的點(diǎn)，此類問(wèn)題大部分要?dú)w于對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想求解.2.數(shù)列與不等式判斷數(shù)列中的不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小，或者借助數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性比較大??；數(shù)列中的恒成立問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問(wèn)題解決；數(shù)列中的不等式證明問(wèn)題，可構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明，或者采用放縮法進(jìn)行證明.3.數(shù)列在實(shí)際應(yīng)用中的常見(jiàn)模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公差.(2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的非零常數(shù)，則該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比.(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，則應(yīng)考慮考查的是第n項(xiàng)an與第n+1項(xiàng)an+1的遞推關(guān)系還是前n項(xiàng)和Sn與前n+11.【人教A版選擇性必修二4.2.2練習(xí)5P24】記不超過(guò)x的最大整數(shù)為[x]，如[?0.5]=?1，[π]=3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=[log28n]，設(shè)數(shù)列{anA.5 B.6 C.15 D.162.【人教A版選擇性必修二4.3.1例4P31】習(xí)近平總書(shū)記指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山．”新能源汽車環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國(guó)的國(guó)情，也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向．工業(yè)部表示，到2025年中國(guó)的汽車總銷量將達(dá)到3500萬(wàn)輛，并希望新能源汽車至少占總銷量的五分之一．江蘇某新能源公司年初購(gòu)入一批新能源汽車充電樁，每臺(tái)16200元，第一年每臺(tái)設(shè)備的維修保養(yǎng)費(fèi)用為1100元，以后每年增加400元，每臺(tái)充電樁每年可給公司收益8100元．(1)每臺(tái)充電樁第幾年開(kāi)始獲利？(2)每臺(tái)充電樁在第幾年時(shí)，年平均利潤(rùn)最大．考點(diǎn)考點(diǎn)一數(shù)列與函數(shù)、不等式的交匯【典例精講】例1.(2023·重慶市期末)已知數(shù)列an滿足an+1=12an?12，aA.116,+∞ B.18,+∞ C.例2.(2024·山東省淄博市月考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，aA.{an+1an}是遞增數(shù)列 B.{an+1例3.(2023·江蘇省南京市期末)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn=32an?3n+1，則a【方法儲(chǔ)備】數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題關(guān)鍵在于通過(guò)函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和，再利用數(shù)列或數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)解決最值、范圍問(wèn)題，通過(guò)放縮進(jìn)行不等式的證明．1.數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題：①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問(wèn)題，此類問(wèn)題一般是利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題；②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解決此類問(wèn)題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形.2.數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題：1.函數(shù)法：即構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式，通過(guò)對(duì)關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式賦特殊值得出數(shù)列中的不等式.2.比較法：作差或者作商進(jìn)行比較.3.放縮法：一是在求和中將通項(xiàng)“放縮”為“可求和數(shù)列”；二是求和后再“放縮”.4.數(shù)列中不等式恒成立問(wèn)題：數(shù)列中有關(guān)項(xiàng)或前n項(xiàng)和的恒成立問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問(wèn)題；求項(xiàng)或前n項(xiàng)和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解.【拓展提升】練11(2024·四川省德陽(yáng)市月考)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1+3a2+…+3nA.[?3,4] B.[?22,22]練12(2024·安徽省合肥市月考)已知數(shù)列{an}(1)求證數(shù)列{1an(2)設(shè)Tn=a1a考點(diǎn)二數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)二數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【典例精講】

例4.(2023·湖北省孝感市模擬)為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，某地出臺(tái)了相關(guān)的優(yōu)惠政策鼓勵(lì)“個(gè)體經(jīng)濟(jì)”.個(gè)體戶小王2022年6月初向銀行借了1年期的免息貸款8000元，用于進(jìn)貨，因質(zhì)優(yōu)價(jià)廉，供不應(yīng)求.據(jù)測(cè)算：他每月月底獲得的利潤(rùn)是該月初投入資金的20%，并且每月月底需扣除生活費(fèi)800元，余款作為資金全部用于下月再進(jìn)貨，如此繼續(xù)，預(yù)計(jì)到2023年5月底他的年所得收入(扣除當(dāng)月生活費(fèi)且還完貸款)為

元(參考數(shù)據(jù):1.211≈7.5，1.A.35200 B.43200 C.30000 D.32000例5.(2023·湖南省株洲市月考)已知數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=3n+1，bn=2n，設(shè)數(shù)列{an}和{bn}中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A，B，定義集合A?B={x|x∈A且A.1630 B.1632 C.1908 D.1910【方法儲(chǔ)備】解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟:1.確定模型類型：理解題意，判斷符合哪類數(shù)列模型，一般有等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型、簡(jiǎn)單遞推數(shù)列模型．基本特征如下：=1\*GB2⑴等差數(shù)列模型：均勻增加或者減少；=2\*GB2⑵等比數(shù)列模型：指數(shù)增長(zhǎng)或減少，常見(jiàn)的是增產(chǎn)率問(wèn)題、存款復(fù)利問(wèn)題；=3\*GB2⑶簡(jiǎn)單遞推數(shù)列模型：指數(shù)增長(zhǎng)的同時(shí)又均勻減少．如年收入增長(zhǎng)率為20%，每年年底要拿出a(常數(shù))作為下年度的開(kāi)銷，即數(shù)列an滿足an+1=1.2a2.準(zhǔn)確解決模型：解模就是根據(jù)數(shù)列的知識(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列的和、解方程(組)或者不等式(組)等，在解模時(shí)要注意運(yùn)算準(zhǔn)確．3.給出問(wèn)題的回答：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題最后要把求解的數(shù)學(xué)結(jié)果化為對(duì)實(shí)際問(wèn)題的答案，在解題中不要忽視了這點(diǎn)．【拓展提升】練21(2024·浙江省杭州市月考)某工廠去年12月試產(chǎn)1050個(gè)高新電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為90%.從今年1月開(kāi)始，工廠在接下來(lái)的兩年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品.1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上提高5%，產(chǎn)品合格率比前一個(gè)月增加0.4%.設(shè)從今年1月起(作為第一個(gè)月)，第

個(gè)月，月不合格品數(shù)量首次控制在100個(gè)以內(nèi).(參考數(shù)據(jù)：1．0510≈1.6，1．0511≈1.7，1．0512≈1.8練22(2024·湖北省咸寧市月考)三月“與輝同行”攜手湖北文旅，云游湖北省博物館、賞東湖櫻花園、夜上黃鶴樓??一路走來(lái)，講述關(guān)于湖北的歷史人文、詩(shī)詞歌賦，為廣大網(wǎng)友帶來(lái)一場(chǎng)荊楚文化的饕餮盛宴，湖北文旅因此火爆出圈，湖北各地相繼迎來(lái)了旅游熱潮，咸寧的大幕東源花谷，向陽(yáng)湖花海的美景、美食、文化和人情也吸引了大批游客紛至沓來(lái)，現(xiàn)對(duì)3月中下旬至4月上旬的大幕東源花谷賞花節(jié)會(huì)部分游客做問(wèn)卷調(diào)查，其中75%的游客計(jì)劃只游覽大幕東源花谷，另外25%的游客計(jì)劃既游覽大幕東源花谷又參加“向陽(yáng)花田”音樂(lè)會(huì)，每位游客若只游覽大幕東源花谷，則得到1份文旅紀(jì)念品;若既游覽大幕東源花谷又參加“向陽(yáng)花田”音樂(lè)會(huì)，則獲得2份文旅紀(jì)念品，假設(shè)每位來(lái)大幕東源花谷游覽的游客與是否參加“向陽(yáng)花田”音樂(lè)會(huì)是相互獨(dú)立的，用頻率估計(jì)概率．(1)從大幕東源花谷的游客中隨機(jī)抽取3人，記這3人獲得文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)記n個(gè)游客得到文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)恰為n+1個(gè)的概率為an，求{an}的前考點(diǎn)三數(shù)列的新定義問(wèn)題考點(diǎn)三數(shù)列的新定義問(wèn)題【典例精講】例6.(2023·浙江省溫州市聯(lián)考)（多選）定義Hn=a1+2a2+???+2n?1ann為數(shù)列an的“優(yōu)值”.已知某數(shù)列A.數(shù)列an為等差數(shù)列 B.數(shù)列an為遞減數(shù)列

C.S20202020=20232 例7.(2023·湖北省十堰市模擬)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，bn=Snn，則稱數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}的“均值數(shù)列”.已知數(shù)列{b(1)求數(shù)列{a(2)求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【方法儲(chǔ)備】解數(shù)列中的新定義問(wèn)題的解題步驟：=1\*GB3①讀懂定義,理解新定義數(shù)列的含義；=2\*GB3②利用新定義，求解數(shù)列模型：通過(guò)特例列舉(一般是前面一些項(xiàng))尋找新定義數(shù)列的規(guī)律及性質(zhì),以及新定義數(shù)列與已知數(shù)列(如等差與等比數(shù)列)的關(guān)系,求解數(shù)列的通項(xiàng)，求和.【拓展提升】練31(2024·廣東省清遠(yuǎn)市月考)（多選）歐拉函數(shù)φnn∈N?的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)n，且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)(公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù))，例如：φ3=2，φA.φ4?φ6=φ8 B.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，φn=n?1

C.數(shù)列φ2n練32(2024·湖南省長(zhǎng)沙市月考)已知數(shù)列an滿足2an+1?a(1)求an(2)設(shè)an的前n項(xiàng)和為Sn，x表示不大于①求Sn②證明：當(dāng)n≥2時(shí)，Sn1.(2024·四川省成都市月考)德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)屆的王子．在其年幼時(shí)，對(duì)1+2+3+……+100的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成；因此，此方法也稱之為高斯算法．現(xiàn)有函數(shù)f(x)=4x4x+2，則A.1008 B.1009 C.2018 D.20192.(2024·江西省南昌市月考)《聊齋志異》中有這樣一首詩(shī)：“挑水砍柴不堪苦，請(qǐng)歸但求穿墻術(shù)．得訣自詡無(wú)所阻，額上墳起終不悟．”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：223=223，338=338，4415=3.(2024·福建省龍巖市月考)（多選）已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1，且an+1+an=(?1)n，Sn是aA.S2n=?n

B.數(shù)列an+(?1)n為等比數(shù)列

C.

【答案解析】教材改編1【人教A版選擇性必修二4.2.2練習(xí)5P24】解：∵an=[log28n]，

∴n=1時(shí)，a1=3；n=2時(shí)，a2=2；n=3，4時(shí)，an=1；n=5，6，7，8時(shí)，an=0；∴S8=7．

n=9，10，11，12，13，14，15時(shí)，an=?1．n=16時(shí)，an=?1．n≥17時(shí)，教材改編2【人教A版選擇性必修二4.3.1例4P31】解：(1)每年的維修保養(yǎng)費(fèi)用是以1100為首項(xiàng)，400為公差的等差數(shù)列，

設(shè)第n年時(shí)累計(jì)利潤(rùn)為f(n)，則fn=8100n?1100n+400nn?12?16200=?200n2+7200n?16200=?200n2?36n+81，

開(kāi)始獲利即f(n)>0，∴?200(n2?36n+81)>0，

即n2?36n+81<0，解得18?93<n<18+9例1解：由an+1=12an?12，an+1+1=12(an+1)，

∴{an+1}是以12為首項(xiàng)，12為公比的等比數(shù)列，即an+1=12n,??an=12n?1，

若對(duì)任意的正整數(shù)n，(n?3)(an例2解：由題意易得an>0，由anan+2=an+12+n得an+2an+1=an+1an+nanan+1>an+1an≥a2a1=2，所以A正確;

因?yàn)閍n=anan?1?an?1an?2?a2a例3解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=32a1?32，得a1=18．

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1=32an?1?3n，Sn=32an?3n+1，

兩式相減得an=32an?32an?1?2×3n，得an=3an?1+4×3n，所以a練11解：根據(jù)題干，a1+3a2+…+3n?1an=n·3n，①

當(dāng)n≥2時(shí)，a1+3a2+…+3n?2an?1=(n?1)·3n?1，②

①?②得：當(dāng)n≥2時(shí)，3n?1·an=n?3n?(n?1)·3n?1=(2n+1)·3n?1，

∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=2n+1，當(dāng)練12解：(1)∵a1a2???an=1?an(1)，

∴a1a2???anan+1=1?an+1(2)，

由(2)(1)得：an+1=1?an+11?an，即an+1=12?an，an+1?1=an?12?an，

例4解：設(shè)2022年6月底小王手中有現(xiàn)款為a1=(1+20%)×8000?800=8800元，

設(shè)2022年6月底為第一個(gè)月，以此類推，

設(shè)第n個(gè)月底小王手中有現(xiàn)款為an，第n+1個(gè)月月底小王手中有現(xiàn)款為an+1，

則an+1=1．2an?800，即an+1?4000=1.2(an?4000)，

所以數(shù)列{an+1?4000}是首項(xiàng)為例5解：∵a30=91，

b6=64<91<b7=128，

所以S30中要去掉數(shù)列bn的項(xiàng)最多6項(xiàng)，

數(shù)列bn的前6項(xiàng)分別為2,4,8,16,32,64，

其中4,16,64三項(xiàng)是數(shù)列an和數(shù)列bn的公共項(xiàng)，

所以cn前30項(xiàng)由an練21解：設(shè)從今年1月起，各月的產(chǎn)量及不合格率分別構(gòu)成數(shù)列an,bn，

由題意，知an=1050×則從今年1月起，各月不合格產(chǎn)品數(shù)量是an又an+1所以當(dāng)n<6時(shí)，anbna1計(jì)算可知a12a13所以，當(dāng)13≤n≤24時(shí),a所以，從今年1月起(作為第一個(gè)月)，第13個(gè)月，月不合格品數(shù)量首次控制在100個(gè)以內(nèi)．練22解：(1)由題可得每位游客只游覽大幕東源花谷的概率為34，得到1份文旅紀(jì)念品;

既游覽大幕東源花谷又參加“向陽(yáng)花田”音樂(lè)會(huì)的概率為14，獲得2份文旅紀(jì)念品，

則X的可能取值為3，4，5，6，

其中P(X=3)=(34)3=2764，P(X=4)=CX3456P272791E(X)=3×2764+4×2764+5×964+6×164=154；

(2)因?yàn)閚個(gè)游客得到文旅紀(jì)念品的總個(gè)數(shù)恰為n+1個(gè)，

則只有1人既游覽大幕東源花谷又參加“向陽(yáng)花田”音樂(lè)會(huì)，

于是an=Cn1?例6解：依題意可得Hn=a1+2a2+…+2n?1ann=2n，

∴a1+2a2+…+2n?1an=n?2n．

a1+2a2+…+2n?1an+2nan+1=(n+1)?2n+1，

∴2n例