新課改瘦專用2025版高考數(shù)學一輪復習第七章立體幾何第一節(jié)空間幾何體及表面積與體積講義含解析

PAGEPAGE11第一節(jié)空間幾何體及表面積與體積突破點一空間幾何體eq\a\vs4\al([基本學問])1．簡潔旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征(1)圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到；(2)圓錐可以由直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)得到；(3)圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到；(4)球可以由半圓或圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得到．[提示](1)球是以半圓面為旋轉(zhuǎn)對象的，而不是半圓．(2)要留意球面上兩點的直線距離、球面距離以及在相應的小圓上的弧長三者之間的區(qū)分與聯(lián)系．2．簡潔多面體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形；(2)棱錐的底面是隨意多邊形，側(cè)面是有一個公共點的三角形；(3)棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相像多邊形．[提示](1)棱柱的全部側(cè)面都是平行四邊形，但側(cè)面都是平行四邊形的幾何體卻不肯定是棱柱．(2)棱臺的全部側(cè)面都是梯形，但側(cè)面都是梯形的幾何體卻不肯定是棱臺．(3)留意棱臺的全部側(cè)棱相交于一點．3．直觀圖(1)畫法：常用斜二測畫法．(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄甧q\a\vs4\al([基本實力])一、推斷題(對的打“√”，錯的打“×”)(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．()(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)夾在兩個平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體肯定是棱臺．()答案：(1)×(2)×(3)×二、填空題1．在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為________．(填寫全部正確的序號)答案：③⑤2．下列命題中正確的是________．①由五個平面圍成的多面體只能是四棱錐；②棱錐的高線可能在幾何體之外；③僅有一組相對的面平行的六面體肯定是棱臺；④有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐．答案：②3．一個棱柱至少有________個面；面數(shù)最少的一個棱錐有________個頂點；頂點最少的一個棱臺有________條側(cè)棱．答案：5434.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為2eq\r(2)cm2，則原平面圖形的面積為________cm2.解析：依題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面圖形的面積為8cm2.答案：8eq\a\vs4\al([典例感悟])1．給出下列幾個命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②底面為正多邊形，且有相鄰兩個側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺的上、下底面可以不相像，但側(cè)棱長肯定相等．其中正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選B①錯誤，只有這兩點的連線平行于軸時才是母線；②正確；③錯誤，棱臺的上、下底面是相像且對應邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不肯定相等．故正確命題的個數(shù)是1.2．給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個側(cè)面也兩兩垂直；③在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；④存在每個面都是直角三角形的四面體．其中正確命題的序號是________．解析：①不正確，依據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不肯定全等；②正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個側(cè)面構(gòu)成的三個平面的二面角都是直二面角；③正確，因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個面都是直角三角形．答案：②③④[方法技巧]辨別空間幾何體的2種方法定義法緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的狀況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本要素，依據(jù)定義進行判定反例法通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，要說明一個結(jié)論是錯誤的，只需舉出一個反例即可[針對訓練]1．用隨意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體肯定是()A．圓柱 B．圓錐C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體解析：選C截面是隨意的且都是圓面，則該幾何體為球體．2．下列命題正確的是()A．兩個面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺B．兩個面平行且相像，其余各面都是梯形的多面體是棱臺C．直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺D．用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形解析：選C如圖所示，可解除A、B選項．對于D選項，只有截面與圓柱的母線平行或垂直時，截得的截面為矩形或圓，否則截面為橢圓或橢圓的一部分．故選C.突破點二空間幾何體的表面積與體積eq\a\vs4\al([基本學問])空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3[提示]解決與幾何體的面積有關(guān)問題時，務必要留意是求全面積還是求側(cè)面積．eq\a\vs4\al([基本實力])一、推斷題(對的打“√”，錯的打“×”)(1)多面體的表面積等于各個面的面積之和．()(2)錐體的體積等于底面積與高之積．()(3)球的體積之比等于半徑比的平方．()(4)簡潔組合體的體積等于組成它的簡潔幾何體體積的和或差．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√二、填空題1.如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________．答案：1∶472．以長為a，寬為b的矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積為________．答案：2πab3．已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面綻開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為________cm.答案：2eq\a\vs4\al([全析考法])考法一空間幾何體的表面積[例1]在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()A．4π B．(4＋eq\r(2))πC．6π D．(5＋eq\r(2))π(2)(2024·合肥質(zhì)檢)已知圓錐的高為3，底面半徑為4，若一球的表面積與此圓錐側(cè)面積相等，則該球的半徑為()A．5 B.eq\r(5)C．9 D．3[解析](1)∵在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴將梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為AB＝1，高為BC＝2的圓柱減去一個底面半徑為AB＝1，高為BC－AD＝2－1＝1的圓錐的組合體，∴幾何體的表面積S＝π×12＋2π×1×2＋eq\f(1,2)×2π×1×eq\r(12＋12)＝(5＋eq\r(2))π.(2)∵圓錐的底面半徑r＝4，高h＝3，∴圓錐的母線l＝5，∴圓錐的側(cè)面積S＝πrl＝20π，設球的半徑為R，則4πR2＝20π，∴R＝eq\r(5)，故選B.[答案](1)D(2)B[方法技巧]求空間幾何體表面積的常見類型及思路求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其綻開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側(cè)面綻開圖中的邊長關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積考法二空間幾何體的體積[例2](1)如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1的體積為()A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)(2)如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為________．[解析](1)三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積，三棱錐A-B1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).(2)如圖，分別過點A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，BF，易求得EG＝HF＝eq\f(1,2)，AG＝GD＝BH＝HC＝eq\f(\r(3),2)，則△BHC中BC邊的高h＝eq\f(\r(2),2).∴S△AGD＝S△BHC＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\f(\r(2),4)，∴V多面體＝VE-ADG＋VF-BHC＋VAGD-BHC＝2VE-ADG＋VAGD-BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).[答案](1)A(2)eq\f(\r(2),3)[方法技巧]求空間幾何體的體積的常用方法公式法對于規(guī)則幾何體的體積問題，可以干脆利用公式進行求解割補法把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟識的幾何體補成熟識的幾何體，便于計算其體積等體積法一個幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的．假如一個幾何體的底面面積和高較難求解時，我們可以采納等體積法進行求解．等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特殊是三棱錐的體積eq\a\vs4\al([集訓沖關(guān)])1.eq\a\vs4\al([考法一])圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為()A．7 B．6C．5 D．3解析：選A設上底面半徑為r，則下底面半徑為3r，截得圓臺的大圓錐母線為l，則eq\f(l－3,l)＝eq\f(1,3)，l＝eq\f(9,2)，由π×3r×eq\f(9,2)－π×r×eq\f(3,2)＝84π，解得r＝7.2.eq\a\vs4\al([考法二])如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1-BB1D1D的體積為________．解析：∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，∴矩形BB1D1D的長和寬分別為1,eq\r(2).∵四棱錐A1-BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1對角線長的一半，即為eq\f(\r(2),2)，∴V四棱錐A1-BB1D1D＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×(1×eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)3.eq\a\vs4\al([考法一、二])如圖，正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2eq\r(3)cm，側(cè)面積為8eq\r(3)cm2，則它的體積為________cm3.解析：記正四棱錐P-ABCD的底面中心為點O，棱AB的中點為H，連接PO，HO，PH，則PO⊥平面ABCD，因為正四棱錐的側(cè)面積為8eq\r(3)cm2，所以8eq\r(3)＝4×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×PH，解得PH＝2，在Rt△PHO中，HO＝eq\r(3)，所以PO＝1，所以VP-ABCD＝eq\f(1,3)·S正方形ABCD·PO＝4cm3.答案：4突破點三與球有關(guān)的切、接問題與球有關(guān)的組合體問題常涉及內(nèi)切和外接.解題時要仔細分析圖形，明準確點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.如球內(nèi)切于正方體時，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體時，正方體的各個頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.球與其他旋轉(zhuǎn)體組合時，通常作它們的軸截面解題；球與多面體組合時，通常過多面體的一條側(cè)棱和球心及“切點”或“接點”作截面圖進行解題.eq\a\vs4\al([全析考法])考法一與球有關(guān)的外接問題[例1](1)(2024·福州模擬)已知圓錐的高為3，底面半徑為eq\r(3)，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積等于()A.eq\f(8,3)π B.eq\f(32,3)πC．16π D．32π(2)(2024·成都模擬)在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝eq\r(3)，若該三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為()A.eq\f(4π,3) B.eq\f(8\r(2)π,3)C．8π D．12π[解析](1)設該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋(eq\r(3))2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32,3)π.(2)易知△ABC是等邊三角形．如圖，作OM⊥平面ABC，其中M為△ABC的中心，且點O滿意OM＝eq\f(1,2)PA＝1，則點O為三棱錐P-ABC外接球的球心．于是，該外接球的半徑R＝OA＝eq\r(AM2＋OM2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)×\r(3)×\f(2,3)))2＋12)＝eq\r(2).故該球的表面積S＝4πR2＝8π.[答案](1)B(2)C[方法技巧]處理球的外接問題的策略(1)把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的外接問題．解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑．(2)三條側(cè)棱相互垂直的三棱錐的外接球：①假如三棱錐的三條側(cè)棱相互垂直并且相等，那么可以補形為一個正方體，正方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心；②假如三棱錐的三條側(cè)棱相互垂直但不相等，那么可以補形為一個長方體，長方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心．考法二與球有關(guān)的內(nèi)切問題[例2](1)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．(2)已知正三棱錐的高為1，底面邊長為2eq\r(3)，內(nèi)有一個球與四個面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為________．[解析](1)設圓柱內(nèi)切球的半徑為R，則由題設可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R，高為2R，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).(2)如圖，過點P作PD⊥平面ABC于點D，連接AD并延長交BC于點E，連接PE，∵△ABC是正三角形，∴AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．∵AB＝2eq\r(3)，∴S△ABC＝3eq\r(3)，DE＝1，PE＝eq\r(2).∴S表＝3×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(2)＋3eq\r(3)＝3eq\r(6)＋3eq\r(3).∵PD＝1，∴三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×1＝eq\r(3).設球的半徑為r，以球心O為頂點，三棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐，則r＝eq\f(3\r(3),3\r(6)＋3\r(3))＝eq\r(2)－1.[答案](1)eq\f(3,2)(2)eq\r(2)－1[方法技巧]處理與球有關(guān)內(nèi)切問題的策略解答此類問題時首先要找準切點，通過作截面來解決．假如內(nèi)切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作．eq\a\vs4\al([集訓沖關(guān)])1.eq\a\vs4\al([考法一])已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)解析：選C如圖，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)eq