2025年九年級中考數(shù)學二輪復習：二次函數(shù)與角度問題綜合壓軸題 考前沖刺訓練

2025年春九年級數(shù)學中考二輪復習《二次函數(shù)與角度問題綜合壓軸題》

考前沖刺訓練(附答案)

1.拋物線y=a/+6久+3與x軸交于力(-2,0),B兩點，與y軸交于點C,拋物線的對稱軸

(1)求拋物線的解析式；

⑵如圖，點。在BC上方的拋物線上，當△BCD的面積最大時，求點。的坐標；

⑶是否存在點D,使得4BCD=乙ABC?若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

2.已知拋物線的：y=a/+。久+3與x軸交于點4(一1,0),B(3,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線G的解析式；

(2)點M,N是在拋物線Q的對稱軸上兩個動點，且MN=2,點M在點N的上方，則四邊形

4CMN的周長的最小值為.

⑶如圖，拋物線Q上是否存在點P,使NCBP+N4C。=NABC?若存在，請說明理由；

⑷將拋物線C1向右平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度得到拋物線。2,若點E為

拋物線上的動點，已知點F(3,7),試證明：以線段EF為直徑的圓截直線y=:所得弦的長為

4

定值，并求出它的值.

3.拋物線y=a/+2x+c與x軸交于4(—1,0)、B兩點,與y軸交于點C(0,3),點D(zn,3)在

拋物線上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,連接BC、BD,點P在對稱軸左側的拋物線上，若NPBC=90。，求點P的坐標;

⑶如圖2,點Q為第四象限拋物線上一點，經(jīng)過C、D、Q三點作OM,OM的弦QF||y軸,

證明：F點在直線y=2上.

4.如圖，拋物線y=a久2-2ax-3a(a為常數(shù)，a<0)與x軸分別交于A,B兩點(點A在點

8的左側)，與y軸交于點C,且。B=OC.

備用圖

(1)求a的值；

(2)點。是該拋物線的頂點，點P(m,n)是第三象限內(nèi)拋物線上的一個點，分別連接BZKBC、

CD、BP,當NP82=NC8D時，求m的值；

⑶點K為坐標平面內(nèi)一點，DK=2,點M為線段BK的中點，連接ZM,當AM最大時，求點K

的坐標.

5.如圖，二次函數(shù)丁=聯(lián)久+3)0-4)的圖像交坐標軸于點4,B(0,—2),點尸為x軸上一

動點.

備用圖

(1)求該二次函數(shù)表達式；

(2)將線段PB繞點P逆時針旋轉90。得到線段PD.

①當點。在拋物線上時，求點。的坐標；

②點￡卜,一|)在拋物線上，連接PE,當PE平分NBPD時，求點尸的坐標.

6.已知拋物線y=/+小比一2與％軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,點A坐標為(一2,0).

(1)求拋物線的解析式及2、C兩點的坐標.

⑵若點M是線段AC上一個動點(不與A、C重合)，點N是線段上一個動點，設AN=t(t>

0)

①如圖1,當點N運動到4B的中點時，作MN||y軸交AC于點求證：乙BMN=LBAC.

②當點N在運動過程中，在x軸上方的拋物線上是否存在點G,使得NGNB=ABAC且GN恰

好平分乙4GB?若存在，求出此時點G的橫坐標和/的值；若不存在，請說明理由.

7.如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于48兩點，與y軸交于C點，其中B(1,O),

C(0,3).

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)點P是二次函數(shù)上一動點，過點P作PQ||y軸交直線2C于點Q,連接CP,將△PCQ沿PC折

疊，當Q的對應點。恰好落在y軸上時，請求出點Q的坐標；

⑶在二次函數(shù)的圖象上，是否存在點M,使得/MCA=NOCB?若存在，請求出M點坐標；

若不存在，請說明理由.

8.如圖，已知拋物線y=；(%+h)2+k.點力(―1,2)在拋物線的對稱軸上，B(O,J是拋物線

與y軸的交點，。為拋物線上一動點，過點。作x軸的垂線，垂足為點C.

(1)直接寫出％,k的值；

⑵如圖，若點。的坐標為(3,機)，點Q為y軸上一動點，直線QK與拋物線對稱軸垂直，垂足

為點K.探求。K+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出這個最小值及點Q的坐標;

若不存在，請說明理由；

(3)如圖，連接AD,AC,若N￡MC=60。，求點。的坐標.

9.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=/—2x-3交x軸于4、B兩點(點4在點B的左邊),

交y軸于點C.

⑴直接寫出從B、C三點的坐標；

(2)若拋物線上有一點。，乙4CD=45。，求點。的坐標.

⑶如圖2,點P是第一象限拋物線上一點，過點尸的直線37=m％+"幾＜0)與拋物線交于

另一點。，連接ZP、AQ,分別交y軸于M、N兩點，若0M?ON=2,探究科n之間的數(shù)量

關系，并說明理由.

10.如圖，二次函數(shù)丫=a/+版+4的圖象經(jīng)過點4(—4,0),B(—1,0),與y軸交于點C.

(2)如圖1,在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使ABCP面積為5,若存在，求出點尸的

坐標；若不存在，請說明理由；

⑶如圖2,小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：位于無軸下方的拋物線上，存在一點使4DAB與4ACB互

為余角；你認為他探究出的結論是否正確？若正確，求出點。的坐標；若不正確，請說明

理由.

11.如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，拋物線y=ax2+x+8交x軸于點力(-4,0)、

B,交y軸于點C.

(1)求點B的坐標;

⑵點。是第一象限拋物線上的一點，連接2D交y軸于點E,設點。的橫坐標為3線段CE的長

為d,求d與t之間的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量t的取值范圍)；

⑶在(2)的條件下，當4<t<8時，點尸在拋物線上，且橫坐標為-如連接BF交y軸于點G,

連接CF交線段4。于點M,點H為線段BG的中點，連接4G,EH,若4G=求tan/CMD的

值.

12.在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，拋物線y=ax2-6ax+c與無軸交于點4、B(點

2在點8的左側)，與y軸交于點C,直線y=-Q+18經(jīng)過點C,過點B作x軸的垂線交此直

圖1圖2圖3

(1)如圖1,求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點P為拋物線第二象限上一動點，連接DP、BP、AP,設點P的橫坐標為3四邊

形P4BD的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關系式(不寫自變量t的取值范圍)；

⑶如圖3,在(2)的條件下，設BP交y軸于點N,點M為線段CD上點，連接且BM=15,

點E為y軸負半軸上一點，BE=BD,當NCMB=2/ENB時，求點P的坐標.

13.若直線y=-2x+4與y軸交于點與無軸交于點8,二次函數(shù)y=ax2+3%+C(QH0)

的圖象經(jīng)過點a,交x軸于c,且拋物線的對稱軸為直線x=|.

備用圖

⑴求二次函數(shù)的表達式；

⑵過點C作直線CEII4B交y軸于點E,點P是直線CE上一動點，點Q是第一象限拋物線上一動

點，出四邊形4PBQ面積的最大值及此時點Q的坐標；

⑶在拋物線的對稱軸上是否存在一點M,使得NM4D+4OAB=45°?若存在，請直接寫出

點M的坐標，請說明理由.

14.如圖，若一次函數(shù)y=-x+3的圖象與無軸，y軸分別交于力，C兩點，二次函數(shù)y=ax2+

2%+c的圖象過4C兩點，交x軸另一點B的坐標，頂點為點D,對稱軸交BC于E,

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式；

⑵如圖1,點P是4D上方拋物線上一點.過點P作PElx軸于E,分別交2D、AC于M、F,

作PQ14C于Q,”可14。于可，若PQ=2MN,求點P的坐標；

⑶如圖2,點P是4C上方拋物線上一點.過點P作PElx軸于E,交4C于F,連接PC、AC,

若APCF中的一個內(nèi)角是NBC。的2倍，求點P的橫坐標

15.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸分別交于4(—1,0)、B(3,0)兩點，與y軸交于點

C,且。B=OC.

圖1圖2

⑴求拋物線的函數(shù)表達式：

⑵如圖1,點D是拋物線頂點，點PQn,n)是在第二象限拋物線上的一點，分別連接BD、BC、

BP,若乙CBD=AABP,求的值；

⑶如圖2,若NB力C的角平分線交y軸于點G,過點G的直線分別交射線4B、AC于點E、F(不

與點A重合)，則白的值是否變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出它的值.

AEAF

16.如圖(1),在平面直角坐標系中，拋物線y=—/+6%+c與y軸交于點C(0,3)、與x軸

交于點4(-1,0),以及點B,點P是線段BC上方拋物線上的一動點，PEIIy軸，交線段BC于

點E,連接2P,交線段BC于點D.

圖(1)圖(2)圖(3)

(1)求拋物線的表達式，并求8C直線表達式；

⑵當AD=2PD時，求點P的坐標；

⑶如圖(2),點/(2,n)是此拋物線上的一點，在拋物線上是否存在一點W使得Z/4B=

若存在，請求出點勿的坐標，若不存在，請說明理由；

⑷如圖(3),點尸(0,2),點N是此拋物線上第一象限的一點，過N作x軸的垂線，垂足為G,

與BF直線交于點Q,過N作BF的垂線，垂足為H,求ANHQ面積的最大值.

圖1圖2

⑴求該拋物線的解析式；

⑵如圖1,P為第二象限的拋物線上一點，且滿足“CP=NBCO,求點P的坐標；

⑶將拋物線平移，新拋物線的頂點為原點，如圖2,直線y=-2%與新拋物線交于。，M兩

點，過。M的中點K作直線RQ(異于直線。M)交新拋物線于R,Q兩點，直線Q0與直線MR交

于點“.問點”是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，請說明理由.

18.在平面直角坐標系中，。為坐標原點，二次函數(shù)y=a(x+3)(久-6)(a<0)的圖象交x軸

負半軸于點力，交x軸正半軸于點B,與y軸交于點C,OC=2。4

圖3普州網(wǎng)

(1)如圖1,求a的值；

(2)如圖2,點P在第二象限的拋物線上，連接BP交y軸于點D,連接CP、CB,設點P的橫坐

標為tAPBC的面積為S,求S與t的函數(shù)關系式；(不要求寫出自變量t的取值范圍)

⑶如圖3,在(2)的條件下，點G是第一象限內(nèi)，直線BD上方任意一點，點E在線段OC上，

連接GE、GD、GO,線段G。與線段PB交于點H,過點P作QP1PC交拋物線于點Q,若GE=

OE,NBDG==2NOGD,DE=3時，求點Q的坐標.

19.如圖，在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，拋物線y=a/+力％+4(。。0)分別與

x軸正半軸、負半軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,點2的坐標為(一2,0),案=2.

(1)如圖1,連接AC、BC,求拋物線的解析式；

(2)如圖2,在(1)的條件下，拋物線對稱軸分別交拋物線、無軸于點。、E,點P是拋物線

上任意一點，連接PB交對稱軸于點°,設點尸的橫坐標為t(3<t<8),DQ長為d,求d與

t之間的函數(shù)關系式；

⑶如圖3,在(2)的條件下，延長DP交x軸于點F,連接BD,在BD上取點G,使BG=4F,

連接FG,取PG的中點連接ME、PM,當NPME=+求d值.

圖3

20.如圖，拋物線y=-12+6久+io分別交刀軸于點a和B（力在B左側），交y軸于點C,直

線y=-3%+9交x軸于點E,交y軸于點D,連接AD,AADE的面積是等.

（1）如圖1,求6的值；

⑵如圖2,點P為第一象限拋物線上一點，點P的橫坐標為3連接力P和BP,AABP的面積為

S,求S與t之間的函數(shù)關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）如圖3,在（2）的條件下，S=65,直線4P和直線DE相交于點F，G為4P延長線上一點，

連接GE,N4FD=乙DEG,點M為GE上一點，連接FM、FN,MN1FM交x軸于點N,BN<NE,

且GM=NE,在y軸負半軸上一點H,使4MFN+^FEH=90°,若求點H的坐標.

參考答案

1.(1)解：0X(-2,0),拋物線的對稱軸為直線x=2,

(4a—26+3=0

(--=2'

I2a

解得：卜=—

1/)=1

所以，拋物線的解析式為：y=—+久+3；

4

(2)解：如圖：連接OD,過點D作。E108于點E,

y=—^x2+%+3,令y=0,

解得第i=—2,%2=6,

姐(6,0),

設Z)(%,一1%2+%+3),

???OE=x,

回點D是BC上方拋物線上的一個動點，

0<%<6,

1

???DE=——o%2+%+3,

4

令％=0,則y=3,

???C(0,3),

???OC—3.

???8(6,0),

OB=6.

???S^BCD=S^OCD+S^ODB-S^OBC，

設S/iBCQ=S

111

S=-OC-OE+-OB-DE--OB-OC.

222

IUS=—x3xx4—x6x(—%2+%+3)—x6x3=—(x—3)24—,

22k4J24v74

團當x=3時，面積取得最大值,

此時y=

D的坐標為(3,甘；

(3)解：存在點D,使得ABCD=N4BC,理由如下:

當。在BC上方時，如圖：

^\Z-BCD=乙ABC,

^\CD\\AB,

令y=一工％2+%+3中，y=3,

4

BP--%2+%+3=3,

4

解得：x=0或x=4,

回。(4,3)；

當。在BC下方時，設CD交工軸于K,如圖:

回BK=CK,

設K(m,0),

0B(6,O),C(0,3),

0(m-6)2=m2+9,

解得7n=g

4

回K《90)

設直線CK的解析式為y=k%+6,將點C(0,3),K(J,O)代入得:

4

(3=b(b=3

］0=\+b,解得［k=一￥

4

回y=—~x+3,

(4

y=——1+3

聯(lián)立］13,

y=--%2+x+3

'_28

解得：二;或二IT

、y—9

回點D的坐標為(4,3)或(g,—學).

2.(1)解:把4(一1,0),B(3,0)代入y=a/+版+3得：

r解得：

10=9a+3b+3Ib=2

國拋物線Ci的解析式為y=-/+2%+3；

(2)解：西(-1,0),C(0,3),

團/C=V12+32=VTo,

回該拋物線表達式為y=—%2+2%+3,

團對稱軸為直線％二—==1,

把x=。代入y=-x2+2x+3得：y=3,

M(0,3),

將點4(-1,0)向上平移兩個單位長度得到4(-1,2),

作點C關于直線x=1對稱的對應點CI連接

回點C和點C'關于直線x=1對稱，

0CM=CM,C,(2,3),

回點力(-1,0)向上平移兩個單位長度得到4(-1,2),

SAA'=2,44'||y軸，

回點M,N是在拋物線G的對稱軸上兩個動點，且MN=2,

ElMNIIy軸，

回44'=MN=2,AA'\\MN,

團四邊形A4'MN是平行四邊形，

EL4N=A'M,

回四邊形4CMN的周長=AC+CM+MN+AN=V10+2+CM+A'M,

團當+AM值最小時，四邊形4CMN的周長最小，

當點L,點點A在同一條直線上時，C，M+4M=4L取最小值，

回4(-1,2),52,3),

EL4,C,=J(2+1)2+(3—2+=V10,

回四邊形4CMN的周長最小值=V10+2+V10=2V10+2.

故答案為：2VIU+2；

(3)解：0B(3,0),C(0,3),

WB=OC=3,

①當點尸在BC下方時：

令。(0,1),連接BD并延長，交拋物線于點P,

0D(O,1),71(-1,0),

0OX=OD=1,

回乙4OC=eDOB=90°,

0AXOCSADOB(SAS),

SAACO=Z.DBO,

回MB。+Z.CBP=/.ACO+Z.CBP=/.ABC,

設直線BD的函數(shù)解析式為y=kx+t,

將B(3,0),D(0,l)代入得:

0:3k+t,解得:k=--

3,

1=t,t=1

回直線BD的函數(shù)解析式為y=+

2

y=~lx+1，解得:

xr=3久2=一§

聯(lián)立得:11

y=—x2+2%+3Ji=o'y2=—

②當點尸在BC上方時:

作點。關于BC的對稱點），則。D'lBC,4CBD=4CBD',

過點E作EHly軸于點H,

團。B=OC=3,

^BCO=45°,

團O。'1BC,

^CDE=45°,則CE=DE,

回C(0,3)￡)(0,1),

團CD=2,

0CW=|co=1,則”E=CH=1,

蛇(1,2),

設。(%,y),

回點。和點。關于BC對稱,

回〒=1,^-=2,解得：x=2,y=3,

00X2,3),

把％=2代入y=—%2+2%+3得：y=3,

回點。在拋物線上，

團D'與點尸重合，即尸(2,3),

綜上：P(―|,募)或P(2,3)；

(4)解：回Q：y=—x2+2%+3=—(x—I)2+4,

團。2：y=—(%—3y+9=—X2+6%,

設點E(m,ri),

團點E在。2上，

回71=—m2+6m,

回F(3,7),

團EF=J(jn—3)2+(n—7)2,

設以EF為直徑的圓圓心為O,半徑為r,

則。(等,等)，r=|EF=|7(m-3)2+(n-7)2,

過點。作直線y=?的垂線，垂足為P,令。。與直線y=鄉(xiāng)相交于點。，連接。Q,

44

回點P縱坐標為1，

團0P=岸—與=|一|,

在RtAOPQ中，根據(jù)勾股定理可得：

PQ2=0Q2-0P2

=3)2+7)2-(1642")

47n2-24m+7+4n

=16

0n=—m2+6m,

4m2-24m+7+4(-m2+6m)_7

國

PQ216—16’

回以線段EF為直徑的圓截直線y=1所得弦的長=2PQ=

42

3.解：（1）將（一1,0）,（0,3）代入y=a/+2%+c,

得『飛二廣，,

解得『=-1，

Ic=3

???y=—x2+2%+3；

(2)把y=3代入y=—%2+2%+3得%=2,

，點力坐標為(2,3),

設B尸與y軸交點為G,

???拋物線與y軸交點C坐標為(0,3),

CD||無軸，

???8(3,0),

OB=OC,

???乙BCO=乙CBO=乙DCB=45°.

?；BC=BC,A.PBC=Z.DBC,

CGB=△CDB(ASA),

???CG=CD=2,

??.OG=OC-GC=1,

二點G坐標為(0,1).

設直線BP解析式為y=kx+b,

把(3,0),(0,1)代入解析式得'卜；］'1

解得卜=號,

Ib=1

1,y

???y=——x+1,

J3

令—/+2%+3=—|x+l,

解得久=一|或％=3(舍).

把％=_|代入y=-：％+1得y=苔.

???點P坐標為(一|,甘)，

(3)如圖，證明：

連接MD,MF設Q(7n,-租2+2m+3),F(m,t),

?：CD、QF為OM的弦，

???圓心M是CD、QF的垂直平分線的交點，

???C(0,3),D(2,3),QFIIy軸

?R??”M(AI-1m'2+2m2+3+t\J'

MD—MF,

/--TJl2+2771+3+1c、2/-TTl2+2771+3+1

???(---------------3)+(2-I)2=(m-l)2+(----------------

整理得：t=2,

???點F在定直線y=2上.

4.(1)解：y=a(x2—2x—3)=a(%—3)(%+1),

令y=0,得久=3或乂=-1,

???4在B的左側，

1,0),B(3,0),

OB=OC=3,

C(0,3),

將C(0,3)代入y=ax2—2ax—3a,

cz=—1；

(2)解：Gt=-1,

，.拋物線為y=-x2+2x+3=-(x—l)2+4,

D(l,4),

回B(3,0),C(0,3),

回DC=J(l—0)2+(4-3尸二近，BC=7(3-0)2+(0-3)2=3a,DB=

7(l-3)2+(4-0)2=2V5,

DC2+BC2=(V2)2+(3V2)2=(2V5)2=DB2,

：.乙BCD=90°,

??.△DC8為直角三角形，

rn1

tSLYiZ-CBD=—=一，

BC3

???P(m,n)是拋物線上的點，

.?.n=—m2+2m+3,

???P(m,—m2+2m+3),

如圖1,作PQ1%軸于Q點，

Z-PBA=Z-CBD,

???tanZ-PBA=tanzCBD=

3

y

.PQ_-(-?n2+2m+3)_1

"BQ-3-m-3，

解得m=3(舍去)或m=-￡

4

???m=——；

3

(3)解：如圖2,作點B關于A點對稱的E點,

y

???B(3,0),X(-1,O),

???E(-5,0),

DK=2,

??.K在以。為圓心，2為半徑的圓上，

回點M為線段BK的中點，點B關于A點對稱的E點，

SAE=AB,BM=KM,

固4M為△BEK中位線，

團當EK最大時，AM最大，

連接ED并延長與OD相交于K點，此時EK最大，

作DFlx軸，垂足為尸點，

???DF=4,FE=6,ED=2V13,

過K點作y軸的平行線與過D點作％軸的平行線相交于G點,

???KG1DG,

???乙KGD=乙DFE,

回DG||%軸,

???Z.KDG=乙DEF,

KDG0ADEF,

KG_DG訪DK，n即”「KG「DG而2

FD-EF

KG=—,DG=—

1313

，K(1+嚕4+嘲;

5.解:⑴???二次函數(shù)y=a(x+3)(x—4)的圖象經(jīng)過B(0,—2),

—12a=-2,

解得Q=p

6

1

y=a(x+3)(X—4)=-(%+3)(%—4),

1

???y=-ix2——x—2n；

J66

(2)①設PQO),

如圖，過點。作無軸垂線交于點N,

???乙OPB+乙NPD=90°,乙OPB+乙OBP=90°,

???乙NPD=乙OBP,

BP=PD,

0APND三△BOP(AAS),

???OP=ND,BO=PN,

D(t+2,—t),

—(t+2+3)(t+2—4)=—tj

6

解得t=1或t=-10,

D(3,—1)或。(—8,10)；

②如圖，

???PE平分NBPD,

???乙BPD=90°,

???乙BPE=45°,

當PEIIy軸時，4OBP=45°,

???P(2,0)；

如圖，過8點作BG1PB交PE于點G,過G點作FG_Ly軸，交于點F,

???4PBF+乙FBG=90°,4FBG+乙FGB=90°,

???Z-PBF=乙FGB,

???乙BPG=45°,

BP=BGf

BPO=A^F(AAS),

BF=OP,FG=OB,

???OB=2,

??.FG=2,

???E（2,-1）,

E點與G點重合，

51

OP=BF=OB-OF=2

33

1

綜上所述：P點的坐標為（2,0）或（一20）.

6.（1）解：把4（-2,0）代入y=/+a%一2得：0=4—2m-2,

解得：m=1,

回該拋物線的解析式為：y=/+x-2,

把x=0代入得：y=-2,

0C（O,-2）；

把y=0代入得：0=/+%-2,

=

解得：X]=-2,x2

回B（l,0）.

（2）①如圖：

設直線AC的函數(shù)解析式為：y=kx+bCk^0）,

把4（一2,0）,C（0,一2）代入得:

解得：｛：=：,

（—2=blb=-2

回直線AC的函數(shù)解析式為：y=-x—2,

西（一2,0）,B（l,0）,點N運動到4B的中點，

SN0）,

把x=-1代入y=-X—2得：y=：—2=—|，

則MN=|,

0X（-2,0）,C（0,-2）,

0X0=C0=2,貝UNBAC=45°,

0B（1,0）,W（-|,0）,M（-|,-j）,

3

團MN=BN="

2

回MN||y軸，

⑦乙MNB=90°,

國匕BMN=45°,

團/BMN=^BAC；

⑦乙GNB=Z.BAC=45°,

回匕NGH=45°,貝IjG”=NH,

設點G（a,ci2+a—2）,

團同（一2,0）,

2

團A”=a+2,GH=a+a-2f則N”=A"-AN=a+2一如

團a+2—t-a?+a—2,整理得：t=4—a?,

則1,0）,

回BH=a-1,

團乙GNB=Z.GAN+AGN,乙NGH=Z.NGB+BGH,

團4GZN+AGN=乙NGB+BGH,

團GN平分24GB,

團NAGN=乙NGB,

團4GZN=乙BGH,

又團4=^.AHG=90°,

0AAGH—△GBH,

^0..—AH=—GH,即pti-tfa-+-2--=-C-L^--l-ci-—-2，

GHBHa2+a-2a-1

整理得：(小+?！?)2=a2+a—2,

令Q2+Q—2=A,則/2=4

解得：a1=0,A2=If

當4=0時，不符合題意，舍去;

當力=1時，解得：的=節(jié)空，。2=菅星

此時t=4-a2=4-^=手,或t="a2=4-手1-V13(舍),

2

綜上：存在，t=手，點G的坐標為［等，1).

7.(1)解：團二次函數(shù)y=/+版+c的圖象經(jīng)過C(0,3),

回［1+6+廣0,解得『=:4,

團這個二次函數(shù)的表達式為y=x2-4x+3；

(2)解：令y=0,則％2-4刀+3=0,

解得=1,久2=3,

0X(3,0),

設直線4c的解析式為y=kx+3,

則0=3k+3,解得k=—l,

El直線AC的解析式為y=-久+3,

將APCQ沿PC折疊，當Q的對應點0恰好落在y軸上時，乙PCQ=LPCQ',

回PQ||y軸，

回“PC=/-PCQ',

回“PC=Z.PCQ,

回QC=PQ，

設點P的坐標為（n,n2-4n+3）,則點Q的坐標為（n,-n+3）,

回QC=V2n,PQ—jn2—4n+3—（—n+3）|=|n2—3n|,

0n2-3n=&n或n2—3n=—y/2n,

解n2-3n=/7i得ri=0（舍去）或n=3+/；

解/—3n=-yj2n^n=0（舍去）或n=3—V2；

當n=3+&時，一幾+3=—企；

當n=3—四時，一九+3=或；

回點Q的坐標為（3+VL-魚）或（3-&，V2）;

（3）解：過點A作力D1AC與直線CM交于點D,過點。作DM1%軸于點M,

點。在x軸上方時，如圖，

EL4(3,0),C(0,3),

0。4=0C=3,OB=1,AC=V32+32=3&,^OAC=/.OCA=45°,

SADAE=45°,

回△￡)&《是等腰直角三角形，

BED=EA,

回"AD=乙COB=90°,^MCA=乙OCB,

0ADCA-ABCO,

ACAD口n3迎AD

OCOB31

^\AD=V2,

團ED=EA=1,

回D(41)，

同理求得直線CD的解析式為y=-j%+3,

聯(lián)立-1x+3=x2—4%+3,

解得％=0(舍去)或％=3.5,

一7,

247,

若點。在X軸下方時，如圖，

同理，ED=EA=1,

回。(2,-1),同理求得直線CO的解析式為y=-2%+3,聯(lián)立一2%+3=%2-4%+3,

解得％=0(舍去)或％=2,

團M點坐標為(2,-1)與點。重合；

綜上，M點坐標為(2,-1)或《，

8.(1)解：???點4(-1,2)在拋物線的對稱軸上，

二拋物線的對稱軸為直線%=-1,

???h=1,

???y=(%+l)2+k,

B(0,￡)是拋物線與y軸的交點，

+fc=-,

44

Afc=1；

(2)解：存在最小值，理由如下：

由(1)可知，y=i(x+I)2+1,

??,點。是拋物線上一點，坐標為(3,in),

TH=：X(3+I)2+1=5,

???D(3,5),

作C點關于直線*=的對稱點C，，連接LD交拋物線對稱軸于點K,連接CQ,

由對稱性可知，C'K=CQ,

DK+KQ+QC=DK+KQ+C'K>CD+KQ,

當C'、K、D三點共線時，C'D有最小值，即DK+KQ+QC的值最小,

???拋物線的對稱軸為直線x=-1,QK與拋物線對稱軸垂直，

???KQ=1,

D(3,5),CD1x軸,

???C(3,0),

C'(—4,0),

CD=J(3+4)2+(5—0)2=V74,

DK+KQ+QC的最小值為g+1,

設直線C'D的解析式為y=kx+b,

.(—4k+h=0

???t3k+b=5'

ffc=-

解得:

???直線C'D的解析式為y=+

令%=-1,則y=_'+—=異

，777

.??Q(釁).

(3)回y=1(%+1尸+1=1%?+[%+￡

如圖，過O作DEIAC于凡設0(血.血2+巳a+|),則cQn,0),

0CD2=(im2+jm+|)2,

^DAC=60°,

^DE2={AD.sin600)2=-AD2,CE2=(AC-AD?cos60°)2=AC2-AC-AD+-AD2,

44

0DE2+CE2=AD2+AC2-AC-AD

222

=Qn+1)2+4+Gm?+37n+：—2)+(m+I)—+l)+Qm+|m—■

+1)2+4,

而C"=DE2+CE2,

解得：m=±2V3-1,

回。在第一象限，則?。?,

0m=2V3-1,

0D(2V3-1,4).

9.(1)解：拋物線y=/一2久一3交無軸于4、B兩點(點4在點B的左邊)，交y軸于點C.

當x=。時，y=—3,

當y=0時，%2-2%—3=0,

解得：x=-1或久=3.

0X(-1,0),B(3,0),C(0,-3)

(2)如圖1,過4作2K12C交CD于點K,作KHJ.久軸于點H,

I4a

/'*1

???/,ACD=45°,

??.AC=AK,

???^AOC=乙KHA=90°,Z.ACO=90°-Z.OAC=乙KAH,

OAC三△”KZ(AAS),

AH=C。=3,KH=0A=1,

???K(2,l),

設直線CD的解析式為y=kx-3

???2fc-3=1,

k=2,

???直線CD的解析式為y=2x-3,

y=2%—3

=x2—2x—3

解得久=0（舍去），或％=4,

.??。(4,5),

（3）解：設P（%i，yDQ（%2，y2），

y=mx+n

依題意,

y=x2—2x—3

消去y得，%2—(m+2)、—(n+3)=0

以1+右=血+2,=—(九+3),

如圖所示，過點RQ分別作汽軸的垂線，垂足分別為G,F,

^\PG\\MOrQF\\NO

團△AOMAGP,△ANOfAQF

脛二絲絲=絲,

AGPG1AFQF'

即喜=MO1NO

yiF+i_丫2

團0M-ON=—y，2=2

(x1+l)(x2+l)

又團yi=Qi+1)(%1-3),%=3+1)3—3)

團0M-ON=-(汽1+1)-1-3)(%2+1)(支2-3)_2

(%1+1)(%2+1)

即(%i—3)(%2—3)=—2

0x1x2—3(勺+%2)+9+2=0

團一(ri+3)-3(m+2)+11=0

整理得九=2—3m.

10.(1)解：由題意得：C(0,4),

設拋物線的解析式為：y=a(x+4)(x+l),

團4=a?4x1,

團a=1,

0y=(%+4)(%+1)=/+5%+4；

(2)如圖1,

圖1；

過點尸作PTIIBC,交x軸于點T,作BQ1PT于Q,

^QTB=乙CB0,乙TQB=乙B0C=90°,

0ATBQ八BCO,

成￡=絲，

BCOC

?TB,OC=BC,BQ,

站(T0),C(0,4),A(—4,0),

團。C=4,OB=1,

設直線的解析式為：y=k%+4,把8(-1,0)代入，得：k=4,

回y=4%+4

回PTIIBC,

回kpT—k~BC=4,

由S^PRC=5得,]BC,BQ=5,

團BC?BQ=10,

團4TB=10,

0TB=

2

57

團。T=OB+TB=1+-=-,

22

國y,o),

設直線PT的解析式為y=4x+m,把T(—1,0),代入，得:m=14,

團直線PT的解析式為y=4x+14,

回拋物線的對稱軸為：%=-|,

回當x=—|時，y=4x(―|)+14=4,

明(-")，

同理可得：直線T'Q’的解析式為：y=4%-6,

團當％=—|時，y=-16,

嗎(一|，T6),

回P(-1,4)或(一|,-16)；

(3)如圖2,

存在-|,一§),使AD4B+N4cB=90。，理由如下:

作BF1AC于F,設力D與y軸交于點E,

^BFA=乙BFC=90°,

^ACB+乙CBF=90°,

^ACB+Z-DAB=90°,

團/DAB=乙CBF,

回乙4。。=90°,OA=OC=4,

^CAO=45。,/。=4VL

團48=3,

SAF=BF=AB-sin45°=—AB=—

22

=4F=4a-手=*

CF5

團tan/DAB=tanzCBD=—=-

BF3

「團—OE=-5

OA3

「

團-O-E=-5

43

回。E*

站（。,一孩），

設直線的解析式為：y=?!%-g,把/（一4,0）,代入，得：n=-|

520

回直線2D的解析式為：y=——X--------

33

8

y=%2+5%+4X=-4-%2=一

由得,3

520y=o或20

y=——X--------丫一

332=9

助（一（一1）?

11.（1）解：???拋物線y=a/+%+8交工軸于點4（一4,0）,

???0=(-4)2+(-4)+8,

解得a—

1

???y=--xz7+%+8,

當y=0時，0=—，％2+%+8,

解得第i=-4,%2=8,

(2)解：如圖1,過D作DPI久軸于P,

???點。的橫坐標為3點。是第一象限拋物線上的一點，

D(力,—-+%+8),

10

.?.PD———x2+%+8,AP=t+4,

4

,..DP—/+七+8—(t+4)(t—8)1

在內(nèi)△PAD中，tan/PAD=—=^--------=-------------=--(t-8),

APt+4t+44''

在RtZMCE中,tan/tME=詈=華=一亍(8-1)，

0E—8—t,

在y=—+%+8中，令％=0,則y=8,

???C(0,8),

OC=8,

???d=CE=OC—OE=8—(8—。=t；

(3)如圖2,連接BC,過點F作FR，無軸于R,FT_Ly軸于T,過。作CN1BF于N,

在Rt△ABC中，??,OB=OC=8,

Z.OBC=乙OCB,BC=yJOB2+OC2=V82+82=8VL

???乙OBC+Z.OCB=90°,

??.Z.OBC=Z-OCB=45°,

???點F的橫坐標為-七點F在拋物線上，

F(-￡,-/一1+8),

1一一

*'?FR=一ot+t—8,BR—8+t,

4

一.FR-t2+t—8—(t—4)(t+8)i

在RtZkBFR中，tan乙FBR=空=士--------=-------------=-(t-4),

BRt+8t+84')

在RtABOG中，tanNOBG=器=半=(。-4),

0G=2t—8,

EG=OE+OG=8—t+2t—8=t=CE.

???點H為線段BG的中點，

???EH||BC,EH=3BC=4a

???AG=EH=4A/2,

在RtAOAG中，OG=，4G2-CM2=J(4V2)2-42=4=04,

??.Z.OAG=Z.OGA,

???Z.OAG+/-OGA=90°,

??.Z.OAG=LOGA=45°=乙OBC,

???AE||GH,

??.Z.CMD=乙CFB,

OG=2t—8=4,

t—6,

—t—t+8——7,CE=2t=12,

4

F(—6,—7),

FT=6,GT=OT-OG=7-4=3,

在Rt△FGT中，F(xiàn)G=VFT2+GT2=V62+32=3瓜

在RtABOG中，

BG=y/OB2+OG2=V82+42=4后sinzBGO=案=磊=等

在RtACGN中，sin/CGN="=里=延，

CG125

CW=yV5,

??.GN=yJCG2-CN2=J122-(yV5)2=yV5,

j-,.o尼.12-y527A/5

FNAT=FG+GrKNJ=3V5H-——=—,

24^

在RtACFN中，tanz.CFN—==

FNyV59

O

??.tanzCMD=tanZ-CFN=

9

12.(1)解：El直線y=-觸+18經(jīng)過點C,

回當x=0,解得y=18

0C(O,18),

回過點B作x軸的垂線交直線y=-會+18于點D,且。點坐標為(m,13).

團當y=13時，13=-^m+18

解得：m=12

01)(12,13)

團8(12,0)

團拋物線y=。％2一6Q%+C與久軸交于點4、B(點/在點8的左側)，與y軸交于點C,

回(0=ax122—6x12a+c

Ic=18

解得：卜=一1