2025年中考數(shù)學復習：圖形的相似中旋轉問題 考前沖刺訓練

2025年中考數(shù)學復習圖形的相似中旋轉問題考前沖刺專題訓

練

1.已知VABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,直線機是過點C的任一條直線，AELm

于點E,BDLm于點、D；

(2)當直線機繞點C旋轉到如圖(2)時，上述(1)中結論是否還成立？若不成立，請寫出

AE與。E和2。的正確數(shù)量關系，并加以證明.

⑶當直線機繞點C旋轉到如圖(3)時，請直接寫出AE與。E和的數(shù)量關系.

2.在RtZXABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,將VABC繞點B順時針旋轉得到△A'BC',

其中點A,C的對應點分別為點A',C'.

(1)如圖1,當點H落在AC的延長線上時，則AA'的長為；

(2)如圖2,當點。落在A8的延長線上時，連接CC',交43于點求的長；

(3)如圖3,連接A4',CC',直線CC'交AA'于點O,若=連接￡>￡.在旋轉過程中,

OE是否存在最小值？若存在，請直接寫出OE的最小值；若不存在，請說明理由.

3.已知：在正方形A3CD中，E為對角線8。上一點，過點￡作跖1.80,交BC于點、F,

連接。尸，G為。尸的中點，連接EG,CG.

圖1

【猜想論證】

(1)猜想線段EG與CG的數(shù)量關系，并加以證明.

【拓展探究】

(2)將圖1中ABEF繞B點逆時針旋轉45。得到圖2,取DF中點G,連接EG,CG.你在(1)中

得到的結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明.

4.通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的，下面是一個案例,

請補充完整.原題：如圖1，點、E、產分別在正方形的邊3C、CD上，ZEAF=45°,

(1)思路梳理：

把AABE繞點A逆時針旋轉90。至△APG,可使A3與重合，由NADG==90。，得，

NFDG=180。，即點RD、G共線，易證△AFG絲,故ERBE、DP之間的數(shù)

量關系為.

(2)類比引申:

如圖2,點￡、廠分別在正方形ABCD的邊CRDC的延長線上，ZE4F=45°.連接防，試

猜想班、BE、DP之間的數(shù)量關系為,并給出證明.

(3)聯(lián)想拓展：

如圖3,在VABC中，ZBAC=90°,A5=AC,點￡均在邊BC上，且

ZBAD+ZEAC=45°.若BD=2,EC=2y/3,直接寫出和AE的長.

試卷第2頁，共8頁

5.如圖1,正方形ABCD和正方形A￡FG,A,E,B三點共線，AB=8,AE=46，將正

方形AEFG繞點A逆時針旋轉成0。4。445。)，連接BE,DG.

圖1圖2圖3

(D如圖2,求證：BE=DG；

⑵如圖3,在旋轉的過程中，當反瓦G三點共線時，試求8E的長；

(3)在旋轉的過程中，是否存在某時刻，使得NB￡A=120。，若存在，請直接寫出BE的長;

若不存在，請說明理由.

6.通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的，下面是一個案例,

請補充完整.原題：如圖1,點E、尸分別在正方形A3CL(的邊BC、CD±,ZMF=45°,

(1)把AABE■繞點A逆時針旋轉90。至△ADG,可使A3與AD重合，由NADG==90。，

得，ZFDG=180°,即點F、D、G共線，易證AAFG也,故所、BE、DF之

間的數(shù)量關系為.

(2)如圖2,點E、尸分別在正方形ABCD的邊CB、C。的延長線上，ZEAF=45°.連接跖，

試猜想防、BE、。廠之間的數(shù)量關系為,并給出證明.

(3)如圖3,在VABC中，ZBAC=90°,鉆=AC,點。、E均在邊3c上，且

ZBAD+ZEAC=45°.若BD=2,EC=2^3,直接寫出AD?的值和AE的長.

7.通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的，下面是一個案例,

請補充完整.原題：如圖1,點、E、P分別在正方形A2CD的邊BC、CD上，ZE4F=45°,

連接防，試猜想ERBE、叱之間的數(shù)量關系

⑴思路梳理：把AME繞點A逆時針旋轉90。至△AOG,可使與AD重合，由

NADG=/B=90。，得，/FDG=180。，即點RD、G共線，易證△AFG/,故

EF、BE、。廠之間的數(shù)量關系為.

⑵類比引申：如圖2,點E、歹分別在正方形ABCD的邊CB、OC的延長線上，ZMF=45。.連

接斯，試猜想砂、BE、。產之間的數(shù)量關系為,并給出證明.

(3)聯(lián)想拓展：如圖3,在VA3C中，已知/胡。=45。,4。，8。垂足于點。，且

BD=6,CD=4.求AD的長.

8.如圖，將VA5C繞點A順時針旋轉得到點、B,C的對應點分別為N,M.

(1)如圖1,當點N落在BC的延長線上時，＞ZACB=90°,AC=6,AB=W,求3N的長;

(2)如圖2,7ABC繞點A順時針旋轉60°得到AANM,延長BC交AN于點Q,使得FN=AD,

連接叱，猜想線段珈，9/,之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；

(3)如圖3,連接3N,CN,點R為BC的中點，連接RG.若NACB=90。,AC=6,AB^IO,

在旋轉過程中，求出GR的最小值；若不存在，請說明理由

9.如圖1,在RtZXABC中，ZC=90°,AC=BC=2,D,E分別為AC,BC的中點，將ACDE

繞點C逆時針方向旋轉得到ACD'E(如圖2),使直線DE恰好過點2,連接

試卷第4頁，共8頁

⑴判斷AD與3￡>'的位置關系，并說明理由；

⑵求3E的長；

⑶若將ACDE繞點C逆時針方向旋轉一周，當直線。E過Rt^ABC的一個頂點時，請直接

寫出3笈長的其它所有值.

10.探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究.

如圖，在矩形ABCD中，AD=nAB,將矩形ABCD繞點C旋轉，得到矩形CEFG.

（1）如圖1,將矩形ABCD繞點C順時針旋轉90。，當〃=2時，連接AC,CF.

①求證：△ABC四△CEF,

②求出AB,BC,AF的數(shù)量關系（直接寫出結論，不必證明）；

【深入探究】

（2）將矩形A3C。繞點C旋轉，當"=g且點E落在直線AC上時，試探究線段AB,BC,

2尸的數(shù)量關系，并寫出證明過程；

【拓展運用】

（3）如圖2,將矩形ABCD繞點C旋轉順時針旋轉，點G落在AD上，BE與CG,CD分別

FP

交于點。，P,當RD,。三點共線時，直接寫出言的值.

Dr

11.【特例感知】

（1）如圖1,已知VABC和VADE是等邊三角形，直接寫出線段EC與的數(shù)量關系是

【類比遷移】

(2)如圖2,VABC和VADE是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°,寫出線段EC與8。

的數(shù)量關系，并說明理由；

【拓展運用】

(3)如圖3,若AB=6,點C是線段A2外一動點，AC=2近,連接BC.若將CB繞點C

逆時針旋轉得到CD,連接AD,求出的最大值.

圖1圖2圖3

12.在AABC中，AC=BC,AC=6,ZACB=c,點。是BC邊上任意一點，點E是直線

AD上一動點，連接3E,將8E繞點B順時針旋轉，旋轉角為。，得到線段3/，連接EF.

(1)如圖1,c=90。，/區(qū)4。=15。，點B在射線AD上，求3尸的長；

(2)如圖2,3尸〃AD,CG，也于點G,2ZABF—3NEBF=4/BAE,猜想線段GE,BE,AC

之間存在的數(shù)量關系，并證明你的猜想：

⑶如圖3,2=60。，點尸在射線AD上，點尸是8E上一點且滿足AF=33P,連接釬，直

接寫出當AP最小時，點尸到48的距離.

13.在VA3C和ACDE中，ZACB=ZCDE=90°,BC=AC,DC=DE,若BC=4,CE=3&.

試卷第6頁，共8頁

圖1

⑴如圖1,當點。在線段AC上時，連接BE,求tanZBEC；

(2)如圖2.將圖1中ACDE繞著點C旋轉，使點。在VABC的內部，連接AD,BD.線段CE,

AD相交于點/，且AF=DF,此時/Cr>3=°；

(3汝口圖3,在ACDE繞著點C旋轉過程中，當點。落在線段AB上時，過點8作3G〃。石交

直線CE于點G,直接寫出ABCG的面積.

14.如圖1,在VABC中，ZACB=90°,CA=CB,^D,E分別在邊C4,CD=CE,連接

DF,AE,點尸是線段中點，連接C尸交AF于點H.

(1)觀察猜想：圖1中，線段AE與CP的數(shù)量關系是，位置關系是；

(2)探究證明：把ACDE處點C逆時針旋轉a(0°〈a<90。).如圖2,請問(1)中的結論是否

仍然成立？請說明理由

(3)拓展延伸：把ACDE繞點C旋轉，當點。旋轉到直線AE上時，連接BE,試探究BE與C。、

W之間有怎樣的數(shù)量關系？

15.在平面直角坐標系中，0為原點，點4(2,0),點3(0,2),把AABO繞點3逆時針旋轉,

得△A3O',點A。旋轉后的對應點為A,O',記旋轉角為a,連接AO.

⑴如圖①,若a=90。，求AO'的長;

(2)如圖②，若《=60。，求的長;

(3)若點尸為線段AO'的中點，求AP的取值范圍(直接寫出結果即可).

試卷第8頁，共8頁

《2025年中考數(shù)學復習圖形的相似中旋轉問題考前沖刺專題訓練》參考答案

L(1)見解析

(2)見解析

⑶AE=BD+DE

【分析】(1)先利用同角的余角相等判斷出ZCAE=ZBCD,進而得出AACE^ACBD(AAS),

最后用線段的和差即可得出結論；

(2)先利用同角的余角相等判斷出=進而得出AACEZACBZXAAS),最后

用線段的和差即可得出結論；

(3)先利用同角的余角相等判斷出=進而得出AACE/AC3￡>(AAS),最后

用線段的和差即可得出結論.

【詳解】(1)證明：?.?NACB=90。，

:.ZACE+ZBCD=90°,

AE±m(xù),BD±m(xù),

:.ZAEC=ZBDC=90°,

ZACE+ZCAE=90°,

:.ZCAE=ZBCD,

???△MC是等腰直角三角形，ZACB=90°,

/.AC=BC,

△ACE%CBD(AAS),

AE=CD,CE=BD,

?;CD=DE—CE=DE—BD,

:.AE=DE-BD；

(2)(1)中結論不成立，新結論為：AE=BD—DE

證明：?.?NACB=90°,

:.ZACE+ZBCD=9O°,

?/AE_Lm,BD_Lm,

,\ZAEC=ZBDC=90°,

ZACE+ZCAE=90%

:.ZCAE=ZBCDf

?.?△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,

答案第1頁，共42頁

AC=BC,

??.AACE%CBD(AAS),

AE=CD,CE=BD,

?：CD=CE-DE=BD—DE,

:.AE=BD-DE;

(3)證明：vZACB=90°,

..ZACE+/BCD=90。,

AE_Lm,BD±m(xù),

:.ZAEC=NBDC=90°,

.\ZACE^ZCAE=90°,

,\ZCAE=ZBCDf

?「△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90。，

/.AC=BC,

z.△ACE/△CBD(AAS),

/.AE=CD,CE=BD,

?：CD=CE+DE=BD+DE,

:.AE=BD+DE.

【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，同角的余角相等，掌

握“三垂線模型”是解題的關鍵.

2.(1)8

⑵"

11

(3)DE存在最小值，最小值為§一所

2

【分析】(1)根據旋轉的性質可知A3=AB=5,然后由等腰三角形的性質，可得A'C=AC,

再根據題意利用勾股定理可求出AC長為4.即可求出的長.

(2)過C作CDLAB于點。，作CE〃AB交A8于點E,由旋轉可得，

NA'BC'=NA3C,BC=BC'=3,.再由平行線的性質可知，即可推出/ABC'=/CEB,從而

間接求出，CE=BC=BC'=3,DE=DB.由三角形面積公式可求出CO=1.再利用勾股定

1QOO

理即可求出=進而求出C'EMBE+BC'M.最后利用平行線分線段成比例即可求

答案第2頁，共42頁

出.

(3)作AP〃AC'且交CD的延長線于點P,連接AC.由題意易證明△APD/A4'C'D(AAS),

可得AD=Ab.然后根據三角形中位線定理可得￡>G=1A'B,

根據銳角三角函數(shù)求出EG的值，由三角形三邊關系可得DENDG-EG,即當點E在線段

EG上時最小，由此即可求出￡)￡1的最小值.

【詳解】(1)解:由旋轉的性質得：AB=AB=5,

:ZACB=9Q°,

...點4落在AC的延長線上，

ZACB=90°,

A'C=AC=y/AB2-BC2=4，

AAr=2AC=8；

故答案為：8

由旋轉的性質得：ZA'BC'=ZABC,BC=BC'=3,

?：CE//AB,

ZABC=Z.CEB,

ZABC=NCEB,

：.CE=BC=BC=3,DE=DB,

S.C=^ABCD=^ACBC,即gx5C￡>=gx4x3,

12

解得：CD=—,

在RtABCD中，DB=yjBC2-CD2=|,

.18

??DRtFL=,

33

/.C'E=BE+BC'=—,

答案第3頁，共42頁

,?CE//AB,

AC'BMs&j'EC,

BM_3

.BMBC即亍w，

"CE~C'ET

BM=—

11

(3)解：如圖，作AP〃AC'且交C'D的延長線于點P,連接AC,作跖，/18,交45于

點尸，作45中點P，連接EG、DG,

?/BC=BC',

：.NBCC'=NBCC,

?/ZACP=180°-ZACB-ZBCC,即ZACP=90°-Z.BCC,

ZAC'D=90°-ZBC'C,

ZA'C'D=ZACP,

AP//AC,

：.ZACD^ZAPC,

：.ZACP=ZAPC,

：.AP=AC,

：.AP=AC,

在和AA'C'。中，

ZADP=ZADC,ZAPD=ZA'C'D,AP=A'C,

：.△AP￡^AA,C,D（AAS）,

AD=AD'，

即點。為AA'的中點，

:點G為AB的中點，

答案第4頁，共42頁

???DG=-AfB=-x5=-,

222

EF

BCEF_3ACAF-

VsinZG4B=—=——，即：55，解得：EF=—,cosZ.CAB-..=，即：55，

ABAE2ABAE—

2

解得：AF=2，

在RtAEFG中，EG=JEF'+FG。=Jg]=當，

根據題意得：DE>DG-EG=--—=5~^,

222

即當點E在線段EG上時OE最小，且最小值為止迎，

2

故答案為：DE存在最小值，最小值為匕叵.

【點睛】本題為旋轉綜合題.考查旋轉的性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，平行

線的性質，平行線分線段成比例，全等三角形的判定和性質，銳角三角函數(shù)，中位線的判定

和性質以及三角形三邊關系，綜合性強，為困難題.正確的作出輔助線為難點也是解題關鍵.

3.⑴EG=CG,理由見解析

(2)(1)中結論仍然成立，即EG=CG,理由見解析

【分析】(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出CG=EG.

(2)連接AG,過G點作MN」AD于M,與ER的延長線交于N點；再證明MG0ADCG,

得出AG=CG；再證出AOWG合△WVG(ASA),得到MG=NG；再證明△硒G,

得出AG=EG；最后證出CG=EG.

【詳解】(1)EG=CG；

證明：?.,四邊形ABC。是正方形，

：.ZDCF=90°,

在RtaFCD中，

?.,G為DF的中點,

CG=-DF,

2

?/EF1BD,

同理，在RtADEF中,

答案第5頁，共42頁

GE=-DF,

2

:.CG=EG.

(2)解：(1)中結論仍然成立，即EG=CG.

連接AG,過G點作朋N人AD于與所的延長線交于N點,

在ADAG與ADCG中，

■.■AD=CD,ZADG^ZCDG,DG=DG,

:.^DAGgADCG(SAS),

AG=CG；

在AOWG與△RVG中，

,?ZDGM=ZFGN,ZMDG=ZNFG,

：G為O尸的中點，

FG=DG,

.?.△DAfG四△RVG(ASA),

GM=GN-

?；NEAM=ZAEN=ZAMN=90。,

四邊形是矩形，

：.AM=EN,

在AAMG與中，

"：AM=EN,ZAMG=ZENG,MG=NG,

AAMG絲△HVG(SAS)

:.AG=EG,

:.EG=CG.

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的判定，全等三角形

答案第6頁，共42頁

的判定與性質，添加恰當?shù)妮o助線本題的關鍵.

4.(l)AAfE,EF=DF+BE

Q)EF=DF-BE,證明見解析

(3)AD=2+2A/3,AE=2網

【分析】(1)先根據旋轉得：NADG=NA=90。，計算/FDG=180。，即點產、。、G共線，

再根據SAS證明"FE/ZXAFG,得EF=FG,可得結論EF=DF+DG=DF+BE；

(2)作輔助線：把“ISE繞點A逆時針旋轉90。至△ADG,證明△E4F9△G4F,得

EF=FG,所以EF=DF-DG=DF—BE；

(3)同理作輔助線：把△板)繞點A逆時針旋轉90。至AACG,證明△ZME四△&!￡1,得

DE=EG,先由勾股定理求EG的長，證明△AED2△AEG(SAS),求出CO,DG,繼而得到

AD,過A作AblBC,垂足為尸，根據等腰直角三角形的性質求出AF=B尸=5=3+6，

可得研=3-6，利用勾股定理可得AE.

【詳解】(1)解：如圖1,把AABE■繞點A逆時針旋轉90。至△ADG,可使A5與重合，

即AB=AD,

由旋轉得：ZADG=ZA=9Q°,BE=DG,NDAG=/BAE,AE=AG,

ZFDG=ZADF+ZADG=900+90°=180°,

即點尸、D、G共線，

?.?四邊形MCD為矩形，

:.ZBAD=90°,

■.■ZEAF=45°,

ZBAE+ZFAD=90°-45°=45°,

NFAD+ZDAG=ZFAG=45°,

:.ZEAF=ZFAG=45°,

在AAFE和AAFG中，

AE=AG

,.?<ZEAF=ZFAG,

AF=AF

.-.AAFE^AAFG(SAS),

:.EF=FG,

答案第7頁，共42頁

:.EF=DF+DG=DF+BE；

故答案為：^AFE,EF=DF+BE;

(2)如圖2,EF=DF—BE,理由是：

把AAB石繞點A逆時針旋轉90。至△AZ)G,可使A3與AD重合，則G在OC上,

由旋轉得：BE=DG,ZDAG=ZBAE,AE=AGf

QNB4D=90。，

:.ZBAE+ZBAG=90°,

???NE4尸=45。，

/.ZFAG=90°-45°=45°,

.\ZEAF=ZFAG=45°,

在△叢尸和尸中，

AE=AG

?.?<NEAF=ZGAF,

AF=AF

:.^EAF^AG4F(SAS),

:.EF=FG,

:.EF=DF-DG=DF-BE；

(3)如圖3,把AABD繞點A逆時針旋轉90°至△ACG，可使A8與AC重合，連接EG,DG,

由旋轉得：AD=AG,ZBAD=ZCAG,BD=CG,

答案第8頁，共42頁

?.?NB4C=90。，AB=AC,

:.ZB=ZACB=45°f

:.ZACG=ZB=^5°,

."CG=ZACB+ZACG=45。+45。=90。，

,EC=CG=BD=2,

由勾股定理得：EG=7（2A^）2+22=4,

\'ZBAD=Z.CAG,ABAC=90°,

「.Nn4G=90。，

?.?Z￡Hr>+ZE4C=45°,

ZCAG+ZEAC=45°=ZEAG,

:.ZDAE=45°,

:.ZDAE=ZEAG=45°f

NE4G=45。，

:AE=AE,

AAED^AAEG（SAS）,

.\DE=EG=4.

?.?ZBAD=ZCAGf

?;CD=DE+CE=4+26，

/.DG=y/cE^+CG2=7（4+2A/3）2+22=272+276,

AD=—DG=2+2y/3,

2

過A作A尸IBC,垂足為尸，

VBC=BD+DE+CE=6+2y/3,AB=ACf

：.AF=BF=CF=-BC=3+y/3,

2

EF=CF-CE=3+6-24=3-6

AE=VAF2+EF2=2A/6.

【點睛】本題考查了正方形的性質、等腰直角三角形的性質、旋轉的性質，通過類比聯(lián)想,

引申拓展，可達到解一題知一類的目的，本題通過旋轉一三角形的輔助線作法，構建另一三

角形全等，得出結論，從而解決問題.

答案第9頁，共42頁

5.(1)見解析

(2)4A/3-4

(3)2A/TO-2^

【分析】(1)根據正方形的性質可得=AE=AG,ZBAD=ZEAG=90°,再求出

ZBAE=ZDAG,然后利用“邊角邊”證明AABE和AADG全等，根據全等三角形對應邊相等

證明即可；

(2)過點A作AH_LEG于H,根據正方形的性質與勾股定理得EG=&AE=8,從而求得

AH=EH=4,再在在Rt/XASH中，由勾股定理，求得BH=46,即可由鹿=3〃-團求

解.

(3)過點A作交BE的延長線于耳，根據鄰補角的定義求出/A￡H=60。，解直角

三角形求出AH、EH,再利用勾股定理列式求出3”,然后根據班=皿-石耳代入數(shù)據

計算即可得解；

【詳解】(1)證明：在正方形ABCD和正方形A￡FG中，

AB=AD,AE=AG,/BAD=N￡AG=90。，

ZBAE+ZEAD=ZBAD=90°,

ZDAG+ZEAD=ZBAD=9CP,

:.ZBAE=ZDAG,

AB=AD

在AABE和△ADG中，＜NBAE=ZDAG,

AE=AG

.?.△ABE^AADG(SAS),

:.BE=DG；

(2)解：過點A作4/，即于修,

G

圖3

,正方形A￡FG,AE=4A歷,

答案第10頁，共42頁

/.AE=AG,EG=42AE=S,

,：AHLEG,

：.EH=-EG=4,

2

?//E4G=90°

/.AH=EH=4

在RtAABH中，由勾股定理，得

BH=y/AB2-AH2=A/82-42=4^3

BE=BH-EH=443-4■

(3)解：如圖2,過點A作AH_L助交BE的延長線于H,

G

圖2

-.-ZBEA=nO0,

ZAEH=180°-120°=60°,

AE=472，

AH=AE-sin6Q°=4y/2x—=2-j6,

2

EH=AE-cos60°=4^2x-=242,

2

在RtAABH中，BH=JAB?-AH。=^82-(2"『=屈=2M,

BE=BH-EH=2>/10-272;

【點睛】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，解

直角三角形.屬四邊形綜合題目，熟練掌握相關性質是解題的關鍵.

6.(l)AAfE,EF=DF+BE

(2)EF=DF—BE,理由見解析

(3)A￡>2=8A/3+16,AE=2加

【分析】(1)根據旋轉的性質可得△?二△4X7,利用S4S判定定理可直接證明

AAFG^AFE,再依據對應線段相等可求.

答案第11頁，共42頁

(2)把△A6E繞點A逆時針旋轉90。，使AB與AD重合，證全等即可到結論.

(3)把繞點A逆時針旋轉90。，使A5與AC重合，點5對應點為點尸，連接。尸和

￡尸即可求解.

【詳解】(1)解：AAFE,EF=DF+BE,理由如下：

??,四邊形ABC。是正方形，

AABAD=900,AB=AD,

由旋轉的性質可知，△ABEgZkADG,

:.ZBAE=ZDAGfAE=AG,BE=DG,ZEAG=ZBAD=90°f

?.?NE4尸=45。

/.ZFAG=90°-ZEAF=45°,

,\ZEAF=ZFAG

,/AF=AF,

:.^AFE^?AFG(SAS),

:.EF=FG,

:.EF=DF+DG=DF+BE.

(2)EF=DF-BE,證明如下：

如下圖，把△ABE*繞點A逆時針旋轉90。，A5與AD重合，

:△ABE*ADG,ZE4G=90。，

:.BE=DG,AE=AGf

???NE4尸=45。，

ZFAG=ZEAG-ZEAF=45°；

:.ZEAF=ZGAF；

在A/E4和ZiG/%中，

'AF=AF

<NEAF=NFAG,

AE=AG

：.△石E4烏△GE^8IS)；

答案第12頁，共42頁

：.EF=FG；

DF=FG+GD；

:.DF=EF+BE

即EF=DF—BE.

(3)如圖1.解：VZBAC=90°,AB=AC,

：.ZB=ZC=45°,

把△AB。繞點A逆時針旋轉90。，A5與AC重合，點5的對應點為點尸;

AAABD^AACF,ZZMF=90°,

：.ZB=ZACF=45°,CF=BD=2,

；?/ECF=90°,

;EC=26,

???在RtZXEFC中，

EF=《*+Q6)2=4,

\-ZBAD+ZEAC=45°；

/.ZDAE=90°-45°=45°；

:.ZEAF=ZDAF-ZDAE=45°；

在^DAE和^FAE中,

答案第13頁，共42頁

AD=AF

ZDAE=ZFAE,

AE=AE

:.^DAE^^FAE(SAS)

：.DE=EF=4,

￡>C=4+2A/3,

在直角三角形。PC中，由勾股定理得：

DF2=(2^+4)2+22,

；?。尸=32+165

V獷是等腰直角三角形；

2AD2=DF-，

AD2=16+85

同理把△AEC繞點A順時針旋轉90。，點E的對應點為點尸，連接印，EF；

BF=CE=2百；

,:DE=4,08=2；

/.BE=6；

在直角△FB石中，NFBE=90。；

EF2=(2A/3)2+62

EF=4A/3,

由旋轉的性質可知/EAF=90。，AF=AE；

△E4E是等腰直角三角形；

答案第14頁，共42頁

/.AE=-EF，

2

/.AE=2屈.

【點睛】本題主要考查正方形中的45。半角模型，旋轉的性質，全等三角形的判定，掌握類

比遷移，旋轉后三角形全等的證明是解決本題的關鍵.

7.(l)AAFE,EF=DF+BE

Q)EF=DF—BE,證明見解析

⑶">=12

【分析】(1)先根據旋轉得：Z4DG=ZBAD=90°,計算NFDG=180。，即點/、。、G共

線，再根據SAS證明△曲￡/"FG,得EF=FG,可得結論砂=。尸+￡心=止+郎；

(2)如圖2,同理作輔助線：把AABE繞點A逆時針旋轉90。至△ADG,證明AEAF名△G4F,

得EF=FG,所以EF=DF-DG=DF-BE；

(3)如圖3,將△ABD沿翻折得AABE,AACE?ACSl!^fWAACF,延長￡B、FC相

交于G,先證明四邊形AEG/是正方形，再由勾股定理求AD的長即可.

【詳解】(1)解：如圖1,把AABE繞點A逆時針旋轉90。至△ADG,可使A8與重合，

即

由旋轉得：ZADG=ZBAD=90°,BE=DG,NDAG=NBAE,AE=AG,

ZFDG=ZADF+ZADG=90°+90°=180°,

即點產、。、G共線，

???四邊形"cr>為正方形，

:.ZBAD=90°,

■：ZEAF=45°,

ZBAE+ZFAD=90°-45°=45°,

Z.FAD+ZDAG=ZFAG=45°,

ZEAF=ZFAG=45°,

在AAFE和AAFG中，

AE=AG

?.?，NEAF=ZFAG,

AF=AF

.?.△AFE^AAFG(SAS),

答案第15頁，共42頁

:.EF=FGi

EF=DF+DG=DF+BE；

故答案為：AAFE,EF=DF+BE;

(2)解：如圖2,EF=DF-BE,

FCGD

圖2

理由是：

把△45石繞點A逆時針旋轉90。至△ADG,可使AB與AO重合，則G在。。上，

由旋轉得：BE=DG,/DAG=/BAE,AE=AG,

QNB4D=90。，

:.ZBAE-^ZBAG=90°,

?.?NE4尸=45。，

/.ZFAG=90°-45°=45°,

:.ZEAF=ZFAG=45°,

AE=AG

在△EAF和AGAF中<NEAF=ZGAF,

AF=AF

/.△E4F^AG4F(SAS),

:.EF=FG,

.\EF=DF-DG=DF-BE；

(3)解：如圖3,將△ABD沿A5翻折得△ABE,△AC。沿AC翻折得△ACF,延長￡8、

尸C相交于G,

答案第16頁，共42頁

A

圖3

ADJ.BC,

：.ZADB=ZADC=90°,

由翻折可得：AE=AD=AF,BE=BD,CF=CD,ZEAB=ZDAB,ZFAC=ZDAC,

ZE=ZADB=90°,ZF=ZADC=90°,

：.ZEAF=2NBAD+2ZCAD=2ZBAC=2x45°=90。，

ZG=90°

.,?四邊形AEG/是矩形，

■/AE=AF

...四邊形AEGr是正方形，

EG=GF=AE=AD,

設AD=x,!OG=x—6,CG=x-4

在Rtz^CG中，BC=BD+CD=6+4=10,

由勾股定理，得

0-6)2+Q_4)2=102

解得x=12,

即AD=12.

【點睛】本題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，翻折、旋轉的性質，通過類比

聯(lián)想，引申拓展，可達到解一題知一類的目的，本題通過翻折、旋轉一三角形的輔助線作法，

構建另一三角形全等，得出結論，從而解決問題.

8.(1)16

Q)HN—MH=CD,證明見解答過程

(3)在旋轉過程中，GR存在最小值2

【分析】⑴根據旋轉的性質得到AB=3=10,利用勾股定理求得3C=8,CN=8,故BN

答案第17頁，共42頁

的長為16；

(2)在M0上取點。，使NQ=CO,連接FQ,由旋轉的性質得到：ANAB,ZBAN=60°,

得AABN是等邊三角形，證明之AADC(SAS),ZFQN=ZACD,FQ=AC,即可

得ZFQH=ZACB，由=ZACB,可得ZFQH=ZM,從而可證AAAH(AAS),

得QH=MH,故HN—MH=CD；

(3)過8作族〃MN交MC延長線于P,連接NC,由旋轉的性質得到

AC=AM,ZAC3=ZAACV=90。,8C=MTV,證得/P=/3CP,得3P=BC,從而3P=MTV,

即可證ABPG絲AMWG(AAS),可知G是3N中點，GR=；NC,要使GR最小，只需NC最

小，止匕時N、C、A共線，NC的最小值為4V-AC=4,故GR最小為(NC=2.

【詳解】(1)解：：將VABC繞點A順時針旋轉得到△⑷VM,

.-.AB^AN^IO,

-.■ZACB=90°,

NACN=90°,

vAC=6,

BC=qAB。_AC。=7102-62=8,CN=^AN2-AC2=V102-62=8，

:.BN=BC+CN=16；

(2)解:HN-MH=CD,證明如下：

在MW上取點。，使NQ=CD,連接尸0,如圖：

由7ABe繞點A順時針旋轉60°得到iANM得：AN=AB,ZBAN=60°,

.1△ABN是等邊三角形，

:.ZANB=6O°,

答案第18頁，共42頁

/.ZFNQ=180O-ZANB-ZANM=180°-60°-ZANM=120°-ZANM,

在△ABD中，ZADB=1800-ZBAN-ZABC=180°-600-ZABC=1200-ZABC,

由旋轉性質知ZANM=ZABC,

/.ZADB=ZFNQ,

?：FN=AD,

..△FNQaADC(SAS),

/.ZFQN=ZACD,FQ=AC,

/.180°-ZFQN=180°-ZACD,gpZFQH=ZACB,

由旋轉性質知/M=NACB,

/.ZFQH=ZM,

\-AM=AC,

FQ=AM,

???ZFHQ=ZAHM,

△尸?！?ATVWH(AAS),

:.QH=MH,

?;HN—QH=NQ,

:.HN—MH=CD：

(3)解：在旋轉過程中，GR存在最小值2,理由如下：

過8作5P〃又N交MC延長線于P,連接NC,如圖：

/.AC=AM,ZACB=ZAMN=90°,BC=MN,

,\ZACM=ZAMCf

而NBCP=18()o—NACB—NACM=90。—NACM,ZNMP=ZAMN-ZAMC=900-ZAMC9

:.ZBCP=/NMP,

?：BP〃MN,

答案第19頁，共42頁

:.NP=NNMP,

：.ZP=ZBCP,

:.BP=BC,

:.BP=MN,

在ABPG和zJWWG中，

ZBGP=NNGM

■ZP=ZNMG,

BP=MN

.△BPG絲AMWG(AAS),

:.BG=NG,即G是BN中點，

:點R為BC的中點，

GR是讖區(qū)的中位線，

:.GR=-NC,

2

要使GR最小，只需NC最小，

而A/V=AB=10,AC=6,

:.N、C、A共線，NC的最小值為AN—AC=4,

二GR最小為』NC=2.

2

【點睛】本題考查幾何變換綜合應用，涉及全等三角形判定與性質，勾股定理及應用，三角

形中位線定理及應用等知識，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形解決問題.

9.^AD'IBD',見詳解

,\/14—V2

2

⑶V2+V14或>/14--\/2

2~2

【分析】(1)根據旋轉的不變性證明△CDA四△CE3,再由對應角相等及鄰補角即可得證；

(2)設=在RtAAD'B中，由勾股定理得：尤?+(忘+尤『=(2也『，解方程即

可；

(3)分類討論，分第一次經過點8,經過點A,再次經過點8討論，根據變化中的不變性，

不變的是基本圖形關系即△CD'A9△CE6,以及位置關系，始終有垂直，繼而設

Aiy=BE'=x,運用勾股定理列方程求解即可.

答案第20頁，共42頁

【詳解】(1)解：AZ7與3￡>'的位置關系為

VAC=BC,D,E分別為AC,的中點，

；.CD=CE,即CD=CE',

?/ZC=90°,即ZBCA=ZD'CE'=90°,

：.ZACD'=NBCE',

，ACD'A^ACE'B,

ZCErB=ZCD'A,

VZC=90°,CD'=CE',AC=BC,

：.ZCD'E'=ZCE'iy=ZCAB=NCBA=45°,

ZCE'B=ZCD'A=135°,

：.ZAD'B=135°-45°=90°,

即：AiyiBD'.

(2)解：RtZ\AC3中，AC=BC=2,

BA=yjAC2+BC2=2>/2>同理可求?！?=收，

,/ACD'gACE'B,

:.AEf=BE',

設AD'=BE'=x,

在中，由勾股定理得：/+(0+尤『=(20『,

解得：彳=巫二巨(舍負)，

2

...BE，樂-6.

2

(3)解：①經過點B時，題(2)已求8解=色一二；

2

②經過點A時，如圖所示，

同理可證：△CD'A四△CE5,

/.ZD,AC=ZE,BC,BE'=AD

'/N1=N2,

ZAE'B=ZBCA=90°,

設3E'=AD'=x,

答案第21頁，共42頁

在RtZW'3中，由勾股定理得：=（20『,

解得：尤=1上巫（舍負）,

2

即：8￡=在±巫；

2

③再次經過點8時，如下圖:

AD'A.BE',

設3E'=A￡）'=x,

在RtZXADB中，由勾股定理得：尤2+1一@2=僅@2,

解得：尤=1土叵（舍負），

2

即：2￡=應+9；

2

綜上所述：BE=回5或BE，=爐-叵.

22

【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等的應用，正確熟練

掌握知識點是解題的關鍵.

10.（1）①見解析；②A產=2（44+8。2）；（2）點E落在直線AC上時，AB1+ABC2=BF2,

點E落在線段AC上時，曲（AB+BF）=BC,證明見解析；（3）或=二1±上叵

2BP2

【分析】（1）①由NAC3+ZBAC=9O。，ZACB+ZFCE=90°,得到NBAC=/FCE,結合

AC^CF,ZABC=ZFEC=90°,即可求解，②由4笈十臺。？=入尸2,AC=CF,

AF2^AC2+AF2,通過等量代換，即可求解，

答案第22頁，共42頁

(2)①點E落在直線AC上時，連接Ab,交CG于點H,在AFGH與△CDH中,由

ZDCH=ZGFH,ZDHC=ZGHF,得到NHDC=90。，點A,D,尸三點共線，設AS=a,AD=43a,

在RSAEF中，得出AF=2ga,在RtVE4B中，BF=^a,即可求解，②點￡落在線段AC

上時,連接AF,在AFBH與ACEH中，由ZECH=ZBFH,ZEHC=ZBHF,得到ZHBF=90°,

點A,B,尸三點共線，在△ACR中，AC=CF,/E4c=60。，設鉆=a,BC=43a,即

可求解，

(3)作9_LAG,延長CD交EF于點M,由ACBH^AGCD(ASA),得到BH=CD=CE,

CH=GD,由ABHQmAECQ(AAS),得到HQ=CQ,由△CDGgAGWW(ASA),得到

GM=GC,設GH=a,HQ=CQ=b,貝ljzw=a,FM=GD=2b,GQ=a+b,由

q

DMFM-I+A/17EPSDPEEP°ACPE

△FDMsgDG,=—,解得：〃=b,由

VJDCrQBPSDPRBPq

2°ACPB

SgBC=S?BCG，得到葛=今跡，由ADCES^BCG,得至層=3造=券，將

"MBCGHF、ABCGHC

BC2=(a+2b^,3c2=(4+26)2-(26)2,a二士普-b代入,即可求解,

本題考查了，矩形的性質，旋轉的性質，勾股定理，相似三角形的性質與判定，全等三角形

的性質與判定，解題的關鍵是：找到等量關系，列出等量關系式.

【詳解】解：（1）①證明：:/ABC=90。,

:.ZACB+ZBAC=90°,

ZACF=90°,

:.ZACB+ZFCE=90°,

:.ZBAC=/FCE,

AC=CF,

又ZABC=NFEC=90°,

AABC^ACEF(SAS),

@vAB2+BC2^AF2,AC=CF,AF2=AC2+AF2,

：.AF2^AB2+BC2+AB2+BC2=2(AB2+BC2),

：.AF2=2(AB2+BC2)(等價結果也正確)；

(2)結論①：AB2+4BC2=B