第3章 不等式 章末小結(jié)（解析版）

第3章不等式章末小結(jié)

第3章《不等式》章末小結(jié).................................................................1

知識框架...............................................................................1

一、典型題型..........................................................................1

題型1一元二次不等式的解法....................................................3

題型2不等式恒成立問題.........................................................5

題型3利用基本不等式求最值....................................................7

二、活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練.................................................................19

典型題型

題型1一元二次不等式的解法

解題技巧：一元二次不等式的解法是本章重要內(nèi)容，是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和保障.常與集合實際

應(yīng)用、方程等交匯命題.主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理以及數(shù)學(xué)建模能力，對于不

含參的一元二次不等式的解法常轉(zhuǎn)化為ax2+fec+c>0(a>0)或af+6x+c<0(a>0)的形式結(jié)合二

次函數(shù)的圖象求解.對于含參的一元二次不等式應(yīng)先看二次項系數(shù)的正負(fù)，其次考慮判別式，

最后分析兩根的大小分類討論.

例1已知集合A={x|x2+X-2W0},B=1X|\!N0},則NnB=()

A.{x|-2<x<2}B.{x|-2<x<l}C.{x|-2<x<-l}D.{x|-2<x<-l}

【答案】D

【分析】求出集合AB后可求4口民

【詳解】A={x|-2<x<l},而2={x[x<-L或xN2},

故A「3={x|_24尤<-!},

故選：D.

例2(多選題)若不等式依?+6無+c>0的解集為(-1,2),則下列說法正確的是()

A.a<0B.a+b+c>0

C.關(guān)于％的不等式+c%+3a>0解集為(-3,1)D.關(guān)于九的不等式Zzx?+c%+3a>0解集為

(ro,-3)U(l,+oo)

【答案】ABD

【分析】先由題意及根與系數(shù)的關(guān)系得到。<0，，b=-a,c=-2a,即可判斷A、B；對于C、D：把不等式

6尤2+c龍+3a>0轉(zhuǎn)化為無2+2尤—3>0，即可求解.

【詳解】因為不等式妝?+法+c>0的解集為(-1,2),

hC

所以。<0,--=1,-=-2,i^b=-a,c=-2a,止匕時a+6+c=-2a>0,所以A正確，B正確；

aa

bx2+ex+>0<x>—ax2—2ax+3a>0<=>x2+2x-3>0,解得：無<—3或x>l.所以D正確；C錯誤.

故選:ABD

例3定義一種新的集合運算A：4初=匡上64,且萬e8}.

⑴求集合M;

⑵設(shè)不等式(x-2a)(x+a-2)<0的解集為P,若xe尸是xeM的必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴計卜…:

19

(2){fl|a<--^,a>-)

【分析】(1)解不等式求得集合43,根據(jù)集合新定義即可求得答案；

(2)由xeP是xe"的必要條件可得Ma尸，分類討論，列出不等式組，求得實數(shù)a的取值范圍.

(1)

由題意解不等式(4x+l)(x+2)<0得：-2〈一;,

解工>1,即二一1=^^>0,得一1(尤<2,

x+1x+lX+1

故A=j.X-2<尤<—B={x1-1<x<2},

^M=B\A={x\x&B,且無eA}=2caA

(2)

若xeP是xeM的必要條件，則河=尸.

2-a<--

4

29

①當(dāng)2a>2—儀即〃>§■時,P=^x\2-a<x<2a}則<2a>2即a>一；

4

2

a>一

I3

2]]

②當(dāng)2a<2—〃即時，P=^x\la<x<2-a^,貝卜2〃〈一,即〃<一區(qū)；

2—〃22

2

③當(dāng)2a=2-。即。=§時，尸=0,此時不滿足條件，

19

綜上，所求實數(shù)。的取值范圍為｛。1。<-京或.

題型2不等式恒成立問題

解題技巧：不等式恒成立問題是不等式的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容.常與二次函數(shù)及

函數(shù)圖象相結(jié)合命題.對于不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題常見類型及解題策略有以下幾類.

(1)變更主元法

根據(jù)實際情況的需要確定合適的主元，一般知道取值范圍的變量要看作主元.

(2)分離參數(shù)法

先將參數(shù)與變量分離到等式兩邊，轉(zhuǎn)化為相關(guān)函數(shù)得最值問題.

(3)數(shù)形結(jié)合法

利用不等式與函數(shù)的關(guān)系將恒成立問題通過函數(shù)圖象直觀化.

例1已知〃x)=d+|x-1|,不等式〃x)N(m+2)x-1恒成立，實數(shù)加取值范圍是()

A.[-3-2應(yīng),0]B.[-3-272,-3+272]

C.[-3+2\/^,o]D.卜8,—3-[j[-3+2A/^,+8)

【答案】A

【分析】將不等式〃另2(m+2卜—1恒成立轉(zhuǎn)化為(廠以+卜一心如，4gW=x2-2x+l+|x-l|,若

g(x)=x2-X,X>1,等價于znw(x-l)而n；若g(x)=j?-3x+2,x<l,等價于/一(〃z+3)x+220,運用一元

二次不等式對應(yīng)的一元二次方程根的分布分類討論，求出加的取值范圍即可.

【詳解】?--/(%)=x2+|x-l|,/(X)>(；77+2)X-1,

/.x2+|x-l|>(m+2)x-l,BP(x-1)2+\x-]\>mx,

^g(x)=x2-2x+l+|x-l|,

^^(x)=x2-x,x>l,x2-x>mx,等價于根Wx—l,

令=,.\/z(x)>0,.*.m<0,

若g(x)=f—3x+2,xvl,x2-3x+2>mx,BPx2—(m+3)x+2>0,

①當(dāng)A=(m+3)2—8WO,即一3—204根<一3+2夜時，

不等式f—(m+3)x+2Z0在無vl上恒成立；

②當(dāng)A=(機+3)2—8>0,即加>一3+20或膽<一3—2夜時，

要使不等式爐-(帆+3)龍+2"在％vl上恒成立，

l2-(m+3)xl+2>0,

'二________m<0

則有,m+3-J(m+3『-8，解得,加+3>2夜，一3+20<加工0，

N1I

I2

綜上所述，實數(shù)機取值范圍是[-3-2垃,0].

故選：A.

例2(多選題)已知3xeR,不等式x2_4x-a-l<0不成立，則下列。的取值不正確的是()

A.(-oo,-5]B.(-00,-2]C.(F,-3]D.(-℃,-1]

【答案】BCD

【分析】特稱命題的否定為全稱命題，BxeR,不等式d一以-“-1<0不成立，等價于VxeR,不等式

x2-4x-a-l>0恒成立，再利用A<0即可得到答案.

【詳解】已知HxeR,不等式元2—4x—a-l<0不成立，等價于VxeR,不等式無？-4尤一“-120恒成立，

△=16+4(。+1)W0n。W-5.只要。的取值是｛a\a<-5｝的子集就正確.則選項BCD都不正確.

故選：BCD.

例3已知/5)=1元-l|+|x-3|.

⑴解關(guān)于x的不等式/(x)46；

(2)若對任意實數(shù)x,及任意正實數(shù)a,b,且。+6=1,都有±+孚》/1恒成立，求實數(shù)2的取值范圍.

ab

【答案】⑴曰,5]

⑵(-00,6+4在

【分析】（1）對絕對值進(jìn)行分類討論，即可求解

（2）根據(jù)基本不等式，可得±+￥.(a+&)>4+/(x)+477w,進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為

ab

14+/（無）+4右而]>A,進(jìn)而求出所求的2范圍

L」nun

(1)

2x-4,x>3

/(x)=|x-l|+|x-3|=J2,l<x<3可得,

4-2x,x<l

當(dāng)xN3時，不等式/（x）46等價于2元—446,解得x?5,,.,x>3,.\3<x<5,

當(dāng)lvx<3時，不等式/（%）?6等價于246,此時不等式恒成立，

當(dāng)％VI時，不等式/（%）V6等價于4一2%<6,解得]之一1,,

綜上所述，不等式6的解集是[-1,5]

⑵

-+^^=[-+^^-]-(a+b'>=4+--+-^^-+fM，a>0,b>0,f(x)>0,

ab\abJab

.??4+竺+牛+/(x)Z4+/(x)+4師J,當(dāng)且僅當(dāng)竺=且魯時成立，

abab

所以，對任意實數(shù)X,及任意正實數(shù)。，b,且a+b=l,都有芻+坐恒成立，

ab

2x-4,x>3

等價于[4+/(X)+4"^[,"N2,設(shè)/=灰5,由(1)得，/(x)=|x-l|+|x-3|=2,l<x<3,明顯可見,

4-2x,x<1

/（元）22,所以，g⑺=4+產(chǎn)+4f,當(dāng)f=0時，g0）有最小值，gaU=5（^）=4+2+472=6+472,

所以，此時實數(shù)2的取值范圍為6+4段,綜上所述，實數(shù)2的取值范圍（-8,6+4a]

題型3利用基本不等式求最值

解題技巧：基本不等式是不等式部分的重要內(nèi)容，其主要應(yīng)用是求函數(shù)的最值或范圍.既適用

于一個變量情況，也適用于兩個變量情況.基本思路為創(chuàng)設(shè)應(yīng)用不等式的條件，合理拆分項或

湊配因式是常用的解題技巧.而拆與湊的目的在于使等號能夠成立.

例1若x<0,則x+j-2有（）

4x

A.最小值-1B.最小值-3C.最大值-1D.最大值-3

【答案】D

【分析】根據(jù)基本不等式，首先取相反數(shù)，再嘗試取等號，可得答案.

【詳解】因為x<0,所以x+[-2=-1一n+']-2<-2,-六二一一2=-3,當(dāng)且僅當(dāng)一尤=即x=一

4xI4J丫Tx-4x2

時等號成立，故x+；-2有最大值-3.

4x

故選：D.

例2（多選題）若正實數(shù)。，b滿足。+6=1,則下列說法正確的是（）

A.而有最大值;B.〃+揚有最大值后

C.1+：有最小值4D.有最小值比

ab2

【答案】ABC

【分析】由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論分別分析各選項即可判斷.

【詳解】解：因為正實數(shù)。，6滿足。+6=1，所以1=。+622瘋，當(dāng)且僅當(dāng)。=6=1時取等號，所以仍4：,

故而有最大值;，故A正確；（夜+揚）=a+b+2y[ab=1+2y[ab<1+2^=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=6=g時取等

號，

故6+北〈行，即^/^+^/F有最大值正,故B正確；

l+l=￡±^=j_>4,當(dāng)且僅當(dāng)=（時取等號，故1+：有最小值4,故C正確；

ababab2ab

iii

a2+b2=（a+b）92-2ab=l-2ab>-^,當(dāng)且僅當(dāng)。=6=：時取等號，所以片+〃有最小值g,故D錯誤.

故選：ABC.

例3已知二次函數(shù)/（%）=加+樂+。（a,b,c為實數(shù)）

⑴若〃x）<0的解集為（1,2）,求不等式c尤2+如+°<0的解集；

⑵若對任意尤wR,6>0時，〃x）±0恒成立，求牛的最小值；

b

⑶若對任意xeR,2x+2wy（x）W2x2-2x+4恒成立，求ab的最大值.

【答案】（1）卜

(2)1

【分析】(1)根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程的根之間的關(guān)系即可求解.

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得。>0力>0,〃一44(0,進(jìn)而根據(jù)基本不等式即可求解.

(3)取x=l得a+6+c=4,根據(jù)判別式小于?？傻胏=a+2,進(jìn)而可得a,c,b的關(guān)系，根據(jù)基本不等式即

可求解

bc

(1)依題意知，。>0,且方程o?+"+c=o的兩根為1,2由根與系數(shù)間的關(guān)系得一2=3,—=2,則

aa

b=-3a,c=2a.+bx+a=2a1-3ax+a=a(2x2-3x+l)=tz(2x-l)(x-l)<0^^：^<x<l,即

原不等式的解集為

(2)因為XER力>0時，/(%)之。恒成立，故得。>08>0/2—4〃。<0,那4acN〃，即0>(),所以

￡±￡>Z^￡>^=i(當(dāng)且僅當(dāng)。=。=2時等號成立)

bbb2

(3)令％=1,則4?a+〃+c<4,所以Q+0+C=4.對任意x￡R,2x+2"以？+"+°,恒成立，所以

依2+0—2)x+c—220恒成立.所以〃>o且八二9一2)2—4。(。-2)=(1+。一2)2—4〃(。-2)=(〃一。+2)2<。

71c7,l(2a+b廣；當(dāng)且僅當(dāng)

a^=~x2ab<-..........a=-,b=l

所以c=a+2,此;時2a+Z?=2,因此2222時等號成立，此時

511

c=—ab=a(^2-2a)=2a(^l—a)=—2+-<-

2(或22)驗證

—x2+x+—

22成立故乃的最大值為萬.

活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練

一、單選題

1.下列命題中，是真命題的是()

A.如果那么ac>bcB.如果那么Qi?〉/?/

nh

c.如果那么D.如果a>〃，c<d,那么Q-c>b-d

cc

【答案】D

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和特殊值法，逐項驗證可得出答案.

【詳解】對于A,如果c=0,那么=故錯誤；

對于B,如果。=。，那么〃/=歷2,故錯誤；

對于C,如果c<0,那么故錯誤；

CC

對于D,如果cvd,那么一c>-d,由々>6,則。一。>/?一d,故正確.

故選：D.

2.若關(guān)于x的不等式“e'+fov+cvO的解集是(-M),貝I()

A.b>0B.a+c>0

C.a+b+oQD.8Q+2〃+C>0

【答案】D

np]I「—

【分析】由題意得到7一，求得上c的表達(dá)式，結(jié)合ae°+6x0+c<0,得到a>0,進(jìn)而判定A、

ae+b+c=O

B錯誤，再根據(jù)九=1和九=2,根據(jù)不等式的性質(zhì)，可判斷C錯誤，D正確.

【詳解】由不等式ae"+bx+c<0的解集是(一LD，即方程ae"+Zzx+c=O的兩個根為-1和1,

4ze-1-b+c=O(e+二)z,=-(^2

所以，解得c=?a，

ae+b+c=O22

又由OG(-M),則由〃e°+力xO+c=〃+c=〃-(e+e與."。，即2-(e+e]).，<0,

22

所以必有a>0,

對于A中，b=_(eeI〃且q>0,所以bvO,所以A錯誤；

2

對于B中，當(dāng)％=0時，得至！J〃e°+bxO+c=〃+c=Q-9t^~^.Q<O,所以B錯誤；

2

對于C中，當(dāng)x=l時，ae+b+c=O,又由a+b+c<ae+6+c=0,所以C錯誤；

對于D中，當(dāng)尤=2時，可得肉+26+00,

又由8a+2b+c>ae2+2〃+c>0,所以D正確.

故選：D.

3.已知尤>0，y>0,條件p:尤+2y=2*y,條件g:x+y應(yīng)，貝！是4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】利用"1"的妙用探討命題"若p則/'的真假，取特殊值計算說明"若q則"'的真假即可判斷作答.

【詳解】因為Q。，^>0,由x+2y=2孫得：(+[=1,

則(尤+y)+^>-+2=齊亞,

x2

當(dāng)且僅當(dāng)x=JIy,即〉=上會/=1+4時取等號，因此，

3

因x>0,y>0,由％+》之萬+后，取x=2,y=2,貝(J%+2y=6,2孫=8,即x+2yw2孫，q(,p,

所以。是4的充分不必要條件.

故選：A

41

4.已知正實數(shù)。,b滿足——-+-~~-=1,則。+2〃的最小值為()

a+bb+1

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

41

【分析】令。+2/?=々+〃+6+1—1,用a+/?+/?+1分另ij乘----+-=1兩邊再用均值不等式求解即可.

a+bb+1

4]

【詳解】因為一-+-=1,且〃力為正實數(shù)

a+bb+1

771/77八/4I..a+b4(Z?+l)1

所以Q+Z?+8+1=(Q+Z?+8+1)(----1----)=4H-----1--------+1

a+bb+\Z?+la+b

>5+2l—x^^=9,當(dāng)且僅當(dāng)譽=險乎即a=6+2時等號成立.

VZ?+la+bb+la+b

所以a+2Z?+l29,a+2Z?28.

故選:B.

5.關(guān)于X的不等式痛2_如+根+l>0恒成立，則加的取值范圍為()

A.(0,+oo)B.[0,+8)

C.(-8,-1)U(0,+8)D.E-gU。，+0

【答案】B

【分析】通過討論m的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出加的范圍即可.

【詳解】解：機=0時，1>0成立，

fm>0

機。0時，].24/1、C，

=m-4m(m+1)<0

故機>0,

綜上：m..0,

故選:B.

6.若命題〃正式―1,3],打2_（2，—l）x+3—a<0〃為假命題，則實數(shù)x的取值范圍為（）

A.[-1,4]B.0,|C.[-l,0]U|,4D,[-l,0）U^|,4

【答案】C

【分析】等價于"V。e[―1,3],依~—（2a—l）x+3—。2?！睘檎婷}.令g（a）=（尤2—2x—1）。+w+32。，解不

g(-D>0

等式即得解.

g(3)>0

【詳解】解：命題“三”€[—1,3],依2—（2。-1）尤+3—。<0"為假命題，其否定為真命題,

即“Voe[—l,3],a?—(2a—1)尤+3—a20”為真命題.

令g(a)=ax2-lax+x+3-fl=(x2-2.x-l)a+x+3>0,

則卜㈠后。，即一+4一

[g⑶20[3x2-5x>0

-l<x<4「

解得5Tn，所以實數(shù)X的取值范圍為[-l，0]UI，4

x>-^x<03

13

故選：C

二、多選題

7.已知a,b,c￡R,下列命題為真命題的是（）

A.若av方<0,貝!J/vahv/B.若〃>力，貝！

C.若ac?>be1,則D.若b<a<0,則

ab

【答案】BCD

【分析】利用作差法可知A、D正誤；由不等式性質(zhì)知B、C正確.

【詳解】對于A,當(dāng)avbv。時，a2-ab=a^a-b）>Q,：.a2>ab,A錯誤；

對于B,若當(dāng)c=0時，則若。。。，則，>。，則有。，〉歷2,B正確;

對于C,ac2>be2,則/wo,二?！怠?，C正確；

對于D,當(dāng)0>a>〃時，--y=<0,D正確.

ababab

故選：BCD.

8.2022年1月，在世界田聯(lián)公布的2022賽季首期各項世界排名中，我國一運動員以1325分排名男子100

米世界第八名，極大地激勵了學(xué)生對百米賽跑的熱愛.甲、乙、丙三名學(xué)生同時參加了一次百米賽跑，所

用時間（單位：秒）分別為（，T2,T3.甲有一半的時間以速度（單位：米/秒）匕奔跑，另一半的時間以

速度匕奔跑；乙全程以速度后%奔跑；丙有一半的路程以速度匕奔跑，另一半的路程以速度匕奔跑.其中

匕>0,K>0.則下列結(jié)論中一定成立的是（）

A.T1<T2<T3B.TX>T2>T3

,111

c.T?3=T；D.—+—=y

【答案】AC

【分析】首先利用時間和速度的關(guān)系表示三人的時間，再利用不等式的關(guān)系，結(jié)合選項，比較大小，即可

判斷選項.

11r=_122_丁wo心=型+3a

【詳解】由題意彳工乂+:?7；%=10。，所以1匕+匕，（=方丁，h%2匕匕,

22h+K

根據(jù)基本不等式可知乂芋2師上言乎>0,故當(dāng)且僅當(dāng)乂=%時等號全部成立，故A選

項正確，B選項錯誤；

100100_100\2K+K

12匕匕一MX一2，故c選項正確;1?1=F~1乂+匕，,此=1，故D選項錯誤.

2Vt+V2Z￡-100100100-T?

故選：AC.

9.下列說法正確的有（）

A."a>曠是"同>網(wǎng)"的充分不必要條件

B.命題“*eR,V—尤-2=0"的否定是"VxeR,%2—x—2^0"

C.若命題"VxeR,Y+l〉”?."是真命題，則實數(shù)加的取值范圍是（Y°,1）

D.設(shè)a,6eR,貝〃而+l/a+6”的充要條件是"a,6都不為1”

【答案】BCD

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷AD、命題的否定的定義B,由不等式恒成立判斷C.

【詳解】a>b,可取a=0,b=T,此時時<同，

吃°>曠不是"|。|>網(wǎng)”的充分條件,A錯.

命題“HxeR,X2-X-2=0",否定"VxeR,x2—x-2w0”,B對.

命題“V無￡尺，/+1>m〃是真命題，回1>機，C對.

若ab+lwa+Z?,KPab+l—a—b^Q,即(a—l)(b—1)wO,

貝Ijawl,bwl,充分.

若awl,bwl,貝!J(a-l)。-l)wO,貝！J1+而wa+〃，必要，

團(tuán)〃必+lwa+人是“a,6都為1〃的充要條件，D對.

故選：BCD.

三、填空題

10.給出以下4個說法：①已知a,b是正實數(shù)，^a2-b2=l,則。一6<1;②若無>2,則X+122；③

X

若a>b,c<Q9貝!|—〉一；(J)若％2—XH—>0,貝(jX￡R.

ab4

其中正確的說法是(填序號).

【答案】①②

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷各個命題.

22

【詳角星】a-b=(a+b)(a-b)=lf因為a>O,b>。，所以a+Z?>0,從而a-b>0,即a>b>0,

a+b>a-b>0,所以a+Z?>l>a-b>0,①正確；

若x>2,貝I]九+'之=2,②正確；

xVx

若a>b,c<0,例如。=2*=-4,c=-8,<-=-4<-=2,不成立，③錯；

abab

x2—尤+；=,只有xwg時，才有Y-x+；=[x-g]>0,④錯.

故答案為：①②

【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，掌握不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.在基本不等式/+及22仍中，如果疝b,

此不等式仍然成立，只是等號取不到.

11.命題”HxwR,ax。+依+2<0"為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】[0,8]

【分析】寫出原命題的否定，再利用二次型不等式恒成立求解作答.

【詳解】因命題“玉wR,加+依+2<0〃為假命題，貝!J命題"Vx^R,辦2+依+220"為真命題,

當(dāng)〃=0時，2^0恒成立，則4=0,

4>0

當(dāng)awO時，必有，解得0<aK8,

△=/一8。<0

所以實數(shù)。的取值范圍是[。,8].

故答案為：[0,8]

12.設(shè)a,b>Q,且2G+b=l，則￡的最小值為___________1

b

【答案】0

【分析】由題可得.=代入￡,結(jié)合均值不等式即可得出答案.

4b

【詳解】因為2&+b=l,所以〃=[—\1：=色?，

所以f=

b4b44Z?2

當(dāng)且僅當(dāng)。=。力=1時取等.

所叫的最小值為0.

故答案為：0.

四、解答題

ab,2

13.若。力￡（0+8）,則----------1----------K——

2a+ba+2b3

⑴若存在常數(shù)也使得不等式』+八<”<—十上對任意正數(shù)匕恒成立,試求常數(shù)〃的

ab

值，并證明不等式:M<------------1------------

a+2b2a+b

ab,ab

⑵證明不等式:-----------1----------V-----------1----------

3a+2b2a+3b2a+3b3a+2b

2

【答案】證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】（1）令a=6即可求解“，利用不等式性質(zhì)即可證明不等式；（2）從原不等式入手，對原不等式變形,

通過分類討論。與b之間的大小關(guān)系即可證明.

222

【詳解】證明：⑴當(dāng)。=6時，<—,故M="

ab(a+26)-26(2。+6)-2aZ?aab2

由----------1----------=--------------------1--------------------=2-2(-----------1----------)且------------1------------<一,

a+2b2a+ba+2b2a+ba+2b2a+bf2a+ba+2b3

利用不等式性質(zhì)可得，

3a+2b2a+b

abjab

3a+2b2Q+3b2a+3b3a+2b

只需證明」-------<—--------,即士也4士也，

3a+2Z?3a+2b2a+3Z?2Q+3b3a+2b2a+3b

①當(dāng)“=匕時，顯然不等式盧2V產(chǎn)當(dāng)成立，

3a+2b2a+3b

②當(dāng)而％時，不妨令。>>，即。一8>0,a~b<a~b^3a+2b>2a+3b,

3a+2Z?2。+3b

由于,顯然3〃+2Z?22a+3Z?成立，

故原不等式上+上“表r上成立;

b/a、b小5一

同理，當(dāng)。〈匕時，原不等式#7r+------<------+------也成工

3a+2b2a+3b2a+3b3a+2b

a、b,a、b

綜上所述，對于任意。，be(0+8),----------1----------&-----------1----------均成_yL.

3a+2b2a+3b2a+3b3Q+lb

14.(1)比較d與爐—、+i的大小;

（2）已知a>b>c,且〃+Z?+c=0,

c

①求證:>----.

a—cb-c

②求工的取值范圍.

a

【答案】(1)當(dāng)x=l時，x>=x2-x+l,當(dāng)x>l時，x)>x2-x+l,當(dāng)尤<1時，^<x2-x+l;①證明詳

見解析；②-2<—<0.

a

【分析】(1)對兩式作差，然后因式分解并分X=l,X>1,X<1三種情況討論，即可求解;

(2)①由a>"c且a+6+c=0,可得c<0,再結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，即可求解；

②由題意，有。>0,c<0,又2=-￡-1<1即可求解.

aa

【詳解】解：(1)~(-^2—+1)=(x3—X2)+(x—1)=(x2+l)(x—1),

當(dāng)％=1時，（/+1）（冗一1）=0,故%3=f—%+1,

當(dāng)了>1時，（%2+1）（x一1）>0,故%3>%2一次+],

當(dāng)XV1時，（%2+1）（工-1）<0,故％3<%2—%+］；

（2）①證明：?.,Q>b>c且a+/?+c=0,

c<0,

*：a>b>c,

.\a-c>b-c>0,兩邊取倒數(shù)得」一<「一，

a-cb-c

又c<0,

?*----->----，從而得證.

a-cb-c

②,.,々>人>。且〃+b+c=O,

.\a>Q,c<0,

ch

所以￡<o,-<i,

aa

hchc

因為a+/?+c=O,所以l+2+￡=0,即2=—上一1,

aaaa

所以-即￡>-2,

aa

綜上，—2<—<0.

a

15.已知集合A={x|—%2+3%+4之。},B=x2-3x-10>0^

⑴求釬，(”)C5

⑵若集合。={%|2根<%<加+1},>3xeC,尤wA為假命題.求加的取值范圍.

[答案]⑴④5={%卜2K%?5}；(aA)cB={4v<_2或x>5}；

⑵機4一2或機21.

【分析】(1)利用二次不等式的解法可化簡集合4B,進(jìn)而即得；

(2)由題可得也EC,xeA為真命題，即AcC=0,然后分C=0,Cw0討論即得.

(1)

團(tuán)集合A=^x\-x2+3x+4>0^={x|-l<x<4),

5=同%2_3%-10)。}={小v-2或尤>5},

團(tuán)條3={%]-2<%?5},=v-1或x>4},

團(tuán)A)c5={%]]<—2或1>5}；

(2)

03x€G無wA為倨(命題，

SV^GC,xeA為真命題，即AcC=0,

又C={X|2mvxvm+1},A={x|—lWxW4},

當(dāng)C=0時，2根2m+1,即加N/,AnC=0；

當(dāng)Cw0時，由AcC=0可得，

f2m<m+l、（2m<m+1

|m+l<—1，4'

解得m<-2,

綜上，冽的取值范圍為機（-2或機Nl.

16.（1）若不等式/+依+120對于一切X￡成立，求。的范圍；

（2）不等式%2_2依+々+24。的解集為若M=求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）（2）^-1,—?

【分析】（1）由題意可得-aWx+工對于一切xJo，M恒成立，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性得出。的范圍；

（2）有兩種情況：其一是M=0,此時/<0；其二是河蠱,此時△=（）或△>（）,分三種情況

計算a的取值范圍，再取并集，即得所求.

【詳解】（1）解：不等式/+辦+120對于一切恒成立，即有-a4x+工對于一切xe（0，!]恒成立.

12」xI2」

由于對勾函數(shù)y=x+!在（0，1]上遞減，所以當(dāng)尤=1時，y有最小值為!■,

x12」22

則有-。4|,解得故a的取值范圍為。上一生；

（2）設(shè)/（x）=/-2ax+a+2,有A=（-2。）?-4（。+2）=4（/一。一2）.

①當(dāng)/<0時，-lva<2,M=0c[l,4]

②當(dāng)A=0時，a=—l或2.

若a=T時，-le[l,4],故舍去.

若。=2時，M?={2}G[1,4].

③當(dāng)△>（）時，有。<-1或。>2.

設(shè)方程f（x）=。的兩根為4，巧，且不<電，那么”=[%,尤2]

由Ma[1,4]可得1WX]<%V4,

/(1)>0

/(4)>0

故應(yīng)有/(1)>0,/(4)N0,且/(%)的對稱軸x=ae[l,4],即《

1<?<4

A>0

3-(2>0

18