應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)課件北工大Chapter6-數(shù)據(jù)特征的描述

1、第6章數(shù)據(jù)分布特征的測度,統(tǒng)計應(yīng)用一種測量的平均數(shù)比單個的測量更可靠,即使用一種很準(zhǔn)確、很可靠的儀器對同一物體進行重復(fù)測量，由于一些無法控制的因素的影響，每次得到的結(jié)果也不見得一樣(美國)國家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)協(xié)會(NISTNationalInstituteofStandardsandTechnology)的原子鐘非常準(zhǔn)確，它的準(zhǔn)確程度是每600萬年誤差1秒，但也并不是百分之百準(zhǔn)確世界標(biāo)準(zhǔn)時間是世界協(xié)調(diào)時間(UniversalCoordinatedTime)，它是由位于法國的塞夫爾的國際計量局(BIPM)所“編輯”的。BIPM并沒有比NIST更好的鐘，它給出的時間是根據(jù)世界各地200個原子鐘的平均時間

2、得來的,統(tǒng)計應(yīng)用一種測量的平均數(shù)比單個的測量更可靠,下面是NIST的時間與正確時間的10個誤差數(shù)據(jù)(秒)長期來講，對時間的度量并沒有偏差。NIST的秒有時比BIPM的短，有時比BIPM的長，并不是都較短或較長。盡管NIST的測量很準(zhǔn)確，但從上面的數(shù)字還是可以看出有些差異。世界上沒有百分之百可靠的度量，但用多次測量的平均數(shù)比只用一次測量的結(jié)果可靠程度會更高。這就是BIPM要結(jié)合很多原子鐘的時間的原因,本章內(nèi)容,6.1集中趨勢的測度6.2離散程度的測度6.3偏態(tài)與峰態(tài)的測度,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.集中趨勢各測度值的計算方法2.集中趨勢各測度值的特點及應(yīng)用場合3.離散程度各測度值的計算方法4.離散程度各測度

3、值的特點及應(yīng)用場合偏態(tài)與峰態(tài)的測度方法用Excel計算描述統(tǒng)計量并進行分析用SPSS計算描述統(tǒng)計量并進行分析,參考文獻,趙瑋、溫小霓.應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)教程（上冊），第一章，西安電子科技大學(xué)出版社李心愉.應(yīng)用經(jīng)濟統(tǒng)計學(xué)，第四章.北京大學(xué)出版社馬慶國.應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)：數(shù)理統(tǒng)計方法、數(shù)據(jù)獲取與SPSS應(yīng)用，第三章，科學(xué)出版社,數(shù)據(jù)分布的特征,數(shù)據(jù)分布特征的測度,SummaryMeasures,CentralTendency,Mean,Median,Mode,Quartile,SummaryMeasures,Variation,Variance,StandardDeviation,CoefficientofVa

4、riation,Range,6.1集中趨勢的測度,一.分類數(shù)據(jù)：眾數(shù)二.順序數(shù)據(jù)：中位數(shù)和分位數(shù)三.數(shù)值型數(shù)據(jù)：均值四.眾數(shù)、中位數(shù)和均值的比較,數(shù)據(jù)分布特征的和測度(本節(jié)位置),集中趨勢(Centraltendency),一組數(shù)據(jù)向其中心值靠攏的傾向和程度測度集中趨勢就是尋找數(shù)據(jù)水平的代表值或中心值不同類型的數(shù)據(jù)用不同的集中趨勢測度值低層次數(shù)據(jù)的測度值適用于高層次的測量數(shù)據(jù)，但高層次數(shù)據(jù)的測度值并不適用于低層次的測量數(shù)據(jù),分類數(shù)據(jù)：眾數(shù),眾數(shù)(mode),出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值不受極端值的影響一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)主要用于分類數(shù)據(jù)，也可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù),TheMode眾數(shù),0

5、1234567891011121314,Mode=9,AMeasureofCentralTendency集中趨勢的測量ValuethatOccursMostOften出現(xiàn)次數(shù)最多NotAffectedbyExtremeValues不受極端值的影響ThereMayNotbeaMode一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)ThereMaybeSeveralModes也可能有多個眾數(shù)UsedforEitherNumericalorCategoricalData,0123456,NoMode,眾數(shù)(不唯一性),無眾數(shù)原始數(shù)據(jù):10591268,一個眾數(shù)原始數(shù)據(jù):659855,多于一個眾數(shù)原始數(shù)據(jù):25282836424

6、2,分類數(shù)據(jù)的眾數(shù)(例題分析),解：這里的變量為“飲料品牌”，這是個分類變量，不同類型的飲料就是變量值在所調(diào)查的50人中，購買可口可樂的人數(shù)最多，為15人，占總被調(diào)查人數(shù)的30%，因此眾數(shù)為“可口可樂”這一品牌，即Mo可口可樂,順序數(shù)據(jù)的眾數(shù)(例題分析),解：這里的數(shù)據(jù)為順序數(shù)據(jù)。變量為“回答類別”甲城市中對住房表示不滿意的戶數(shù)最多，為108戶，因此眾數(shù)為“不滿意”這一類別，即Mo不滿意,組距分組數(shù)據(jù)的眾數(shù),對于組距分組的數(shù)據(jù)，確定眾數(shù)組比較容易，眾數(shù)的計算則不容易，需要利用公式近似計算。,例題,某城市公寓房屋租金資料如下：,試計算房屋租金的眾數(shù),組距數(shù)據(jù)眾數(shù)計算,該市平均每周公寓租金的眾數(shù)為

7、224.4元,順序數(shù)據(jù)：中位數(shù)和分位數(shù),中位數(shù)(median),排序后處于中間位置上的值,不受極端值的影響主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù)各變量值與中位數(shù)的離差絕對值之和最小，即,TheMedian中位數(shù),012345678910,0123456789101214,Median=5,Median=5,ImportantMeasureofCentralTendencyInanorderedarray,themedianisthemiddlenumber.Ifnisodd,themedianisthemiddlenumber.Ifniseven,themedianisthea

8、verageofthe2middlenumbers.NotAffectedbyExtremeValues,中位數(shù)(位置的確定),原始數(shù)據(jù)：,順序數(shù)據(jù)：,順序數(shù)據(jù)的中位數(shù)(例題分析),解：中位數(shù)的位置為300/2150從累計頻數(shù)看，中位數(shù)在“一般”這一組別中。因此Me=一般,數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù)(9個數(shù)據(jù)的算例),【例】：9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:123456789,中位數(shù)1080,數(shù)值型數(shù)據(jù)的中位數(shù)(10個數(shù)據(jù)的算例),【例】：10個家庭的人均月收入

9、數(shù)據(jù)排序:66075078085096010801250150016302000位置:12345678910,組距分組數(shù)據(jù)的中位數(shù),組距分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)無法通過對原始數(shù)據(jù)排序求出，和眾數(shù)一樣只能利用公式近似計算。,中位數(shù)計算例題,某城市公寓房屋租金資料如下：,試計算房屋租金的中位數(shù),中位數(shù)計算例題,該市平均每周公寓租金的中位數(shù)為223.9元,四分位數(shù)(quartile),排序后處于25%和75%位置上的值,不受極端值的影響主要用于順序數(shù)據(jù)，也可用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于分類數(shù)據(jù),Quartiles,NotaMeasureofCentralTendencySplitOrderedDatainto

10、4QuartersPositionofi-thQuartile:positionofpoint,25%,25%,25%,25%,Q1,Q2,Q3,Q,i(n+1),i,4,DatainOrderedArray:111213161617182122,PositionofQ1,=2.50,Q1,=12.5,=,1(9+1),4,四分位數(shù)(位置的確定),原始數(shù)據(jù)：,順序數(shù)據(jù)：,順序數(shù)據(jù)的四分位數(shù)(例題分析),解：QL位置=(300)/4=75QU位置=(3300)/4=225從累計頻數(shù)看，QL在“不滿意”這一組別中；QU在“一般”這一組別中。因此QL=不滿意QU=一般,數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù)(9個數(shù)據(jù)

11、的算例),【例】：9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:123456789,數(shù)值型數(shù)據(jù)的四分位數(shù)(10個數(shù)據(jù)的算例),【例】：10個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排序:66075078085096010801250150016302000位置:12345678910,組距分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù),組距分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)無法通過對原始數(shù)據(jù)排序求出，只能利用公式近似計算。,中位數(shù)計算例題,某城市公寓房屋租金資料如下：,試計算房屋租金的四分位數(shù),中位數(shù)計算例題,該市平均每周公寓租金

12、的第一個四分位數(shù)為218.8元，第三個四分位數(shù)為228.4元,數(shù)值型數(shù)據(jù)：均值,均值(mean),集中趨勢的最常用測度值一組數(shù)據(jù)的均衡點所在體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的必然性特征易受極端值的影響用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，不能用于分類數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù),TheMean(ArithmeticAverage),ItistheArithmeticAverageofdatavalues:TheMostCommonMeasureofCentralTendencyAffectedbyExtremeValues(Outliers),012345678910,0123456789101214,Mean=5,Mean=6,SampleMean

13、,簡單均值與加權(quán)均值(simplemean/weightedmean),設(shè)一組數(shù)據(jù)為：x1，x2，xn各組的組中值為：M1，M2，Mk相應(yīng)的頻數(shù)為：f1，f2，fk,簡單均值,加權(quán)均值,已改至此！,加權(quán)均值(例題分析),加權(quán)均值(權(quán)數(shù)對均值的影響),甲乙兩組各有10名學(xué)生，他們的考試成績及其分布數(shù)據(jù)如下甲組：考試成績（x）:020100人數(shù)分布（f）：118乙組：考試成績（x）:020100人數(shù)分布（f）：811,均值(數(shù)學(xué)性質(zhì)),1.各變量值與均值的離差之和等于零,2.各變量值與均值的離差平方和最小,調(diào)和平均數(shù)(harmonicmean),均值的另一種表現(xiàn)形式易受極端值的影響計算公式為,原來

14、只是計算時使用了不同的數(shù)據(jù)！,調(diào)和平均數(shù)(例題分析),【例】某蔬菜批發(fā)市場三種蔬菜的日成交數(shù)據(jù)如表，計算三種蔬菜該日的平均批發(fā)價格,幾何平均數(shù)(geometricmean),n個變量值乘積的n次方根適用于對比率數(shù)據(jù)的平均主要用于計算平均增長率計算公式為,5.可看作是均值的一種變形,GeometricMean,Thegeometricmean(GM)ofasetofnnumbersisdefinedasthenthrootoftheproductofthennumbers.Theformulais:Thegeometricmeanisusedtoaveragepercents,indexes,a

15、ndrelatives.,幾何平均數(shù)(例題分析),【例】某水泥生產(chǎn)企業(yè)1999年的水泥產(chǎn)量為100萬噸，2000年與1999年相比增長率為9%，2001年與2000年相比增長率為16%，2002年與2001年相比增長率為20%。求各年的年平均增長率。,年平均增長率114.91%-1=14.91%,幾何平均數(shù)(例題分析),【例】一位投資者購持有一種股票，在2000、2001、2002和2003年收益率分別為4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。計算該投資者在這四年內(nèi)的平均收益率,算術(shù)平均：,幾何平均：,眾數(shù)、中位數(shù)和均值的比較,眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系,眾數(shù)、中位數(shù)和均值的特點和應(yīng)用,眾數(shù)不

16、受極端值影響具有不唯一性數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時應(yīng)用中位數(shù)不受極端值影響數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時應(yīng)用均值易受極端值影響數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良數(shù)據(jù)對稱分布或接近對稱分布時應(yīng)用,數(shù)據(jù)類型與集中趨勢測度值,其他集中趨勢指標(biāo),截尾平均數(shù)TrimmedMean,將數(shù)據(jù)從小到大排列，排名第14的值稱為Q1，排名34的值稱為Q3。將Q1以下和Q3以上的數(shù)據(jù)排除，計算剩下數(shù)值的平均數(shù)就是截尾平均數(shù)。截尾平均數(shù)將兩端的數(shù)值去除，就是為了避免受到極端值的影響。,溫塞平均數(shù)WinsorizedMean,溫塞平均數(shù)與截為平均數(shù)大同小異。差別在于Q1以下的數(shù)值和Q3以上的數(shù)值不是被剔除，而是分別用Q1和Q3取代，然后計算平均數(shù)。溫塞

17、平均數(shù)的計算也是為了避免受到極端值的影響。,截尾平均數(shù)TrimmedMean,截尾平均數(shù)是將小于第一個四分位數(shù)和大于第三個四分位數(shù)的數(shù)據(jù)剔除掉，只計算居于第一個四分位數(shù)和第三個四分位數(shù)之間的哪些數(shù)據(jù)的平均值。截尾平均數(shù)可以避免算術(shù)平均數(shù)受極端值（Outlier）的影響。,6.2離散程度的測度,分類數(shù)據(jù)：異眾比率順序數(shù)據(jù)：四分位差數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差及標(biāo)準(zhǔn)差相對位置的測量：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)相對離散程度：離散系數(shù),數(shù)據(jù)的特征和測度(本節(jié)位置),MeasuresofVariation,Variation,Variance,StandardDeviation,CoefficientofVariation,Popu

18、lationVariance,SampleVariance,PopulationStandardDeviation,SampleStandardDeviation,Range,InterquartileRange,離中趨勢,數(shù)據(jù)分布的另一個重要特征反映各變量值遠離其中心值的程度（離散程度）從另一個側(cè)面說明了集中趨勢測度值的代表程度不同類型的數(shù)據(jù)有不同的離散程度測度值,分類數(shù)據(jù)：異眾比率,異眾比率(variationratio),1.對分類數(shù)據(jù)離散程度的測度2.非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率3.計算公式為,4.用于衡量眾數(shù)的代表性,異眾比率(例題分析),解：在所調(diào)查的50人當(dāng)中，購買其他品牌飲料的

19、人數(shù)占70%，異眾比率比較大。因此，用“可口可樂”代表消費者購買飲料品牌的狀況，其代表性不是很好,順序數(shù)據(jù)：四分位差,四分位差(quartiledeviation),對順序數(shù)據(jù)離散程度的測度也稱為內(nèi)距或四分間距上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差QD=QUQL反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度不受極端值的影響用于衡量中位數(shù)的代表性,MeasureofVariationAlsoKnownasMidspread:SpreadintheMiddle50%DifferenceBetweenThird&FirstQuartiles:InterquartileRange=NotAffectedbyExtremeValu

20、es,InterquartileRange,DatainOrderedArray:111213161617171821,=17.5-12.5=5,四分位差(例題分析),解：設(shè)非常不滿意為1,不滿意為2,一般為3,滿意為4,非常滿意為5已知QL=不滿意=2QU=一般=3四分位差：QD=QU=QL=32=1,數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差和標(biāo)準(zhǔn)差,極差(range),一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差離散程度的最簡單測度值易受極端值影響未考慮數(shù)據(jù)的分布,R=max(xi)-min(xi),計算公式為,MeasureofVariationDifferenceBetweenLargest&SmallestObservat

21、ions:Range=IgnoresHowDataAreDistributed:,TheRange,789101112,Range=12-7=5,789101112,Range=12-7=5,平均差(meandeviation),各變量值與其均值離差絕對值的平均數(shù)能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度數(shù)學(xué)性質(zhì)較差，實際中應(yīng)用較少,計算公式為,未分組數(shù)據(jù),組距分組數(shù)據(jù),平均差(例題分析),平均差(例題分析),含義：每一天的銷售量平均數(shù)相比，平均相差17臺,方差和標(biāo)準(zhǔn)差(varianceandstandarddeviation),數(shù)據(jù)離散程度的最常用測度值反映了各變量值與均值的平均差異根據(jù)總體數(shù)據(jù)計算的，稱

22、為總體方差或標(biāo)準(zhǔn)差；根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算的，稱為樣本方差或標(biāo)準(zhǔn)差,ImportantMeasureofVariationShowsVariationAbouttheMean:ForthePopulation:FortheSample:,Variance,ForthePopulation:useNinthedenominator.,FortheSample:usen-1inthedenominator.,樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差(simplevarianceandstandarddeviation),未分組數(shù)據(jù)：,組距分組數(shù)據(jù)：,未分組數(shù)據(jù)：,組距分組數(shù)據(jù)：,方差的計算公式,標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式,樣本方差自由度

23、(degreeoffreedom),一組數(shù)據(jù)中可以自由取值的數(shù)據(jù)的個數(shù)當(dāng)樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)為n時，若樣本均值x確定后，只有n-1個數(shù)據(jù)可以自由取值，其中必有一個數(shù)據(jù)則不能自由取值例如，樣本有3個數(shù)值，即x1=2，x2=4，x3=9，則x=5。當(dāng)x=5確定后，x1，x2和x3有兩個數(shù)據(jù)可以自由取值，另一個則不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3則必然取2，而不能取其他值樣本方差用自由度去除，其原因可從多方面來解釋，從實際應(yīng)用角度看，在抽樣估計中，當(dāng)用樣本方差s2去估計總體方差2時，s2是2的無偏估計量,MostImportantMeasureofVariationShowsVariation

24、AbouttheMean:ForthePopulation:FortheSample:,StandardDeviation,ForthePopulation:useNinthedenominator.,FortheSample:usen-1inthedenominator.,SampleStandardDeviation,FortheSample:usen-1inthedenominator.,Data:1012141517181824,s=,n=8Mean=16,=4.2426,s,樣本標(biāo)準(zhǔn)差(例題分析),樣本標(biāo)準(zhǔn)差(例題分析),含義：每一天的銷售量與平均數(shù)相比，平均相差21.58臺,相對位

25、置的測量：標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù),標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(standardscore),1.也稱標(biāo)準(zhǔn)化值2.對某一個值在一組數(shù)據(jù)中相對位置的度量3.可用于判斷一組數(shù)據(jù)是否有離群點4.用于對變量的標(biāo)準(zhǔn)化處理5.計算公式為,標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(性質(zhì)),均值等于02.方差等于1,標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)(性質(zhì)),z分?jǐn)?shù)只是將原始數(shù)據(jù)進行了線性變換，它并沒有改變一個數(shù)據(jù)在改組數(shù)據(jù)中的位置，也沒有改變該組數(shù)分布的形狀，而只是將該組數(shù)據(jù)變?yōu)榫禐?，標(biāo)準(zhǔn)差為1。,標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)性質(zhì)的驗證,一組數(shù)據(jù)如圖，其均值為34，標(biāo)準(zhǔn)差為6，數(shù)據(jù)變換后，沒有改變每個數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中的位置，也沒有改變這組數(shù)據(jù)分布的形狀。,標(biāo)準(zhǔn)化值(例題分析),經(jīng)驗法則,經(jīng)驗法則表明：當(dāng)一組數(shù)據(jù)對

26、稱分布時約有68%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減1個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)約有95%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減2個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)約有99%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減3個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi),切比雪夫不等式(Chebyshevsinequality),如果一組數(shù)據(jù)不是對稱分布，經(jīng)驗法則就不再使用，這時可使用切比雪夫不等式，它對任何分布形狀的數(shù)據(jù)都適用切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少是多少”對于任意分布形態(tài)的數(shù)據(jù)，根據(jù)切比雪夫不等式，至少有的數(shù)據(jù)落在k個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。其中k是大于1的任意值，但不一定是整數(shù),切比雪夫不等式(Chebyshevsinequality),對于k=2，3，4，該不等式的含義是至少有75%的

27、數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減2個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)至少有89%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減3個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)至少有94%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減4個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi),相對離散程度：離散系數(shù),離散系數(shù)(coefficientofvariation),1.標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的均值之比對數(shù)據(jù)相對離散程度的測度消除了數(shù)據(jù)水平高低和計量單位的影響4.用于對不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較5.計算公式為,ComparingStandardDeviations,Mean=15.5s=3.338,1112131415161718192021,1112131415161718192021,DataB,DataA,Mean=15.5s=.9258,1112131415161718192021,Mean=15.5s=4.57,DataC,CoefficientofVariation,MeasureofRelativeVariationAlwaysa%ShowsVariationRelativetoMeanUsedtoCompare2orMoreGro