線性代數(shù)第三章矩陣的初等變換與線性方程組課件

1、2020/6/16,線性代數(shù),第三章矩陣的初等變換與線性方程組,第一節(jié)矩陣的初等變換,第二節(jié)矩陣的秩,第三節(jié)線性方程組的解,本章先引進矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念,并利用初等變換討論矩陣的秩的性質(zhì)然后利用矩陣的秩討論線性方程組無解、有唯一解或有無窮多解的充分必要條件，并介紹用初等變換解線性方程組的方法,1矩陣的初等變換,一、消元法解線性方程組,二、矩陣的初等變換,三、小結,引例,一、消元法解線性方程組,求解線性方程組,分析：用消元法解下列方程組的過程,解,用“回代”的方法求出解：,于是解得,（2）,小結：,1上述解方程組的方法稱為消元法,2始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換,

2、（1）交換方程次序；,（2）以不等于的數(shù)乘某個方程；,（3）一個方程加上另一個方程的k倍,3上述三種變換都是可逆的,由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換,因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知量并未參與運算,若記,則對方程組的變換完全可以轉換為對矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換,定義1,二、矩陣的初等變換,下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:,定義2矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換,初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同,同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”),逆變換,逆變換,逆

3、變換,等價關系的性質(zhì)：,具有上述三條性質(zhì)的關系稱為等價,例如，兩個線性方程組同解，,就稱這兩個線性方程組等價,用矩陣的初等行變換解方程組（1）：,特點：,（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；,（2）、每個臺階只有一行，,臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元,注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的,行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標準形,例如，,特點：,所有與矩陣等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標準形是這個等價類中最簡單的矩陣.,行變換,定理1設與為矩陣，那么,（1）的充分必要條件是存在

4、階可逆矩陣，使,（2）的充分必要條件是存在階可逆矩陣，使,（3）的充分必要條件是存在階可逆矩陣階可逆矩陣,使,推論：方陣可逆的充分必要條件是,利用初等變換求逆陣的方法：,解,例,即,初等行變換,例,解,解：,例4設的行最簡形矩陣為，求，并求一個可逆矩陣，使,三、小結,1.初等行(列)變換,初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同,3.矩陣等價具有的性質(zhì),4.利用初等變換求逆陣的步驟是:,2矩陣的秩,一、矩陣秩的概念,二、矩陣秩的求法,三、小結,一、矩陣秩的概念,矩陣的秩,簡單結論:,1、,4、,2、,3、,例1,解,例2,解,例3,解,計算A的3階子式，,另解,顯然，非零行的行數(shù)為2，,此

5、方法簡單！,問題：經(jīng)過初等變換矩陣的秩變嗎？,二、矩陣秩的求法,推論若可逆矩陣使則,初等變換求矩陣秩的方法：,把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.,例4,解,由階梯形矩陣有三個非零行可知,則這個子式便是的一個最高階非零子式.,例5,解,分析：,例6設,已知，求與的值。,矩陣秩的的性質(zhì)：,1、,2、,證明：,例7設A為n階矩陣，證明R(A+E)+R(A-E),例8證明：若且，則,三、小結,(2)初等變換法,1.矩陣秩的概念,2.求矩陣秩的方法,(1)利用定義,(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).,(即尋找矩陣

6、中非零子式的最高階數(shù));,思考題,3線性方程組的解,一、線性方程組有解的判定條件,二、線性方程組的解法,三、小結、思考題,一、線性方程組有解的判定條件,問題：,（3）,線性方程組（3）如果有解，就稱它是相容的，如果無解，就稱它不相容。,故方程有惟一解。,（*）,解（*）稱為線性方程組（3）的通解。,定理4n元齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是R(A)n.,定理5線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是R(A)=R(A,b).,定理6矩陣方程AX=B有解的充分必要條件是R(A)=R(A,B).,定理7設AB=C，則,小結,齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；,非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；,例1求解齊次線性方程組,解,二、線性方程組的解法,即得與原方程組同解的方程組,由此即得,例求解非齊次線性方程組,解,對增廣矩陣B進行初等變換，,故方程組無解,例求解非齊次方程組的通解,解對增廣矩陣B進行初等變換,故方程組有解，且有,所以方程組的通解為,例,解證,對增廣矩陣B進行初等變換，,方程組的增