自適應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)分析

1、青海民族大學(xué) 畢 業(yè) 論 文（設(shè)計(jì)）論文題目： 自適應(yīng)濾波器設(shè)計(jì) 學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)： 指導(dǎo)教師： 職稱(chēng)： 院 系： 專(zhuān)業(yè)班級(jí)： 年 月 日 19 獨(dú)創(chuàng)性聲明本人聲明所呈交的畢業(yè)論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的理論學(xué)習(xí)、實(shí)習(xí)實(shí)踐以及研究所取得的成果，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝之處外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果，也不包含獲得 或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書(shū)而使用過(guò)的材料。與我一起探討、工作的同學(xué)對(duì)本論文所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說(shuō)明并表示了謝意。畢業(yè)論文作者簽名： 簽字日期： 年 月 日畢業(yè)論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū)本畢業(yè)論文作者完全了解 青海民族大學(xué) 有關(guān)保留、使用畢業(yè)論文的規(guī)定。特

2、授權(quán)青海民族大學(xué)可以將畢業(yè)論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，并采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存、匯編以供查閱和借閱。同意學(xué)校向國(guó)家有關(guān)部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤(pán)。論文作者簽名： 簽字日期： 年 月 日 指導(dǎo)教師簽名： 簽字日期： 年 月 日 摘 要 本文介紹了傳統(tǒng)濾波器和自適應(yīng)濾波器基本工作原理和性能，以及濾波技術(shù)的現(xiàn)狀和發(fā)展前景。然后系統(tǒng)闡述了自適應(yīng)濾波器的基本結(jié)構(gòu)模型，接著在此基礎(chǔ)上引出LMS算法（Least mean square ），中文是最小均方算法。LMS算法是自適應(yīng)濾波器中常用的一種算法，與維納算法不同的是，其系統(tǒng)的系數(shù)隨輸入序列而改變。在這我運(yùn)用matlab設(shè)

3、計(jì)了一個(gè)LMS自適應(yīng)濾波器，接著驗(yàn)證分析了自適應(yīng)濾波器的性能，最后分析了影響自適應(yīng)濾波結(jié)果的因素，通過(guò)適當(dāng)取值來(lái)改善濾波結(jié)果。關(guān)鍵字： 自適應(yīng)濾波器，LMS算法，設(shè)計(jì)仿真，分析性能 Abstract This article describes the basic working principle and performance of traditional filters and adaptive filters,and filter technology status and development prospects.Systematically expounded the basic

4、 structure of the adaptive filter model leads to theLMS algorithm (Least mean square) and then on this basis, the Chinese is the least mean square algorithm. LMS algorithm is commonly used in adaptive filter algorithm,the Wiener algorithm, the coefficients of its system with the input sequence. Use

5、of matlab I designed a LMS adaptive filter, and then verify the performance of the adaptive filter, the last of the factors affecting the results of adaptive filtering to improve the filtering results through the appropriate value.Keywords: Adaptive filter, LMS algorithm, design and simulation, perf

6、ormance analysis 目 錄1 緒論11. 1 引言11. 2 濾波器的研究現(xiàn)狀11. 3 應(yīng)用領(lǐng)域32 自適應(yīng)濾波器的理論基礎(chǔ) 32. 1 自適應(yīng)濾波器的原理32. 2 基本自適應(yīng)濾波器的模塊結(jié)構(gòu) 43 LMS濾波原理及算法 5 3.1 最陡下降算法的原理 5 3.2 從最陡下降算法導(dǎo)出LMS算法 8 3.3 LMS算法公式及核心 94 Matlab 實(shí)驗(yàn)仿真 114.1.實(shí)驗(yàn)原理 114.2.實(shí)驗(yàn)程序 124.3.實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析 13（1） 收斂因子u對(duì)系統(tǒng)仿真結(jié)果的影響 13（2） 級(jí)數(shù)N對(duì)系統(tǒng)仿真結(jié)果的影響 16（3） 適當(dāng)取值改善濾波結(jié)果 175 總結(jié) 186 參考文獻(xiàn)

7、197 致謝20 1. 緒論1.1 引言濾波器是進(jìn)行信號(hào)處理的一種裝置，由于傳統(tǒng)濾波技術(shù)進(jìn)行信號(hào)處理需要知道有用信號(hào)和干擾噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，而在實(shí)際應(yīng)用中，卻沒(méi)有充足的信息來(lái)設(shè)計(jì)固定系數(shù)的數(shù)字濾波器，或者設(shè)計(jì)規(guī)則會(huì)在濾波器正常運(yùn)行時(shí)改變，因此我們需要研究自適應(yīng)濾波器。根據(jù)環(huán)境的改變，使用自適應(yīng)算法來(lái)改變?yōu)V波器的參數(shù)和結(jié)構(gòu)。這樣的濾波器就稱(chēng)之為自適應(yīng)濾波器。自適應(yīng)濾波器的系數(shù)是由自適應(yīng)算法更新的時(shí)變系數(shù)。即其系數(shù)自動(dòng)連續(xù)地適應(yīng)于給定信號(hào)，以獲得期望響應(yīng)。自適應(yīng)濾波器的最重要的特征就在于它能夠在未知環(huán)境中有效工作，并能夠跟蹤輸入信號(hào)的時(shí)變特征。 由Widrow B等提出的自適應(yīng)濾波理論，是在維納濾波

8、、卡爾曼濾波等線(xiàn)性濾波基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一種最佳濾波方法。由于它具有更強(qiáng)的適應(yīng)性和更優(yōu)的濾波性能，從而廣泛應(yīng)用于通信、系統(tǒng)辨識(shí)、回波消除、自適應(yīng)譜線(xiàn)增強(qiáng)、自適應(yīng)信道均衡、語(yǔ)音線(xiàn)性預(yù)測(cè)和自適應(yīng)天線(xiàn)陣等諸多領(lǐng)域1。自適應(yīng)濾波器最大的優(yōu)點(diǎn)在于不需要知道信號(hào)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性的先驗(yàn)知識(shí)就可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的最佳濾波處理。本文通過(guò)一個(gè)具體例子和結(jié)果論證了自適應(yīng)濾波器的濾波效果，并指出收斂因子u和階數(shù)N對(duì)LMS自適應(yīng)濾波器濾波結(jié)果的影響。1.2 濾波器的研究現(xiàn)狀凡是有能力進(jìn)行信號(hào)處理的裝置都可以稱(chēng)為濾波器。在近代電信裝備和各類(lèi)控制系統(tǒng)中，濾波器應(yīng)用極為廣泛；在所有的電子部件中，使用最多，技術(shù)最復(fù)雜要算濾波器了。濾波

9、器的優(yōu)劣直接決定產(chǎn)品的優(yōu)劣，所以，對(duì)濾波器的研究2和生產(chǎn)歷來(lái)為各國(guó)所重視。 濾波器是一種用來(lái)消除干擾雜訊的器件，將輸入或輸出經(jīng)過(guò)過(guò)濾而得到純凈的交流電。目前去噪的濾波技術(shù)可以分為兩大類(lèi)：傳統(tǒng)濾波和現(xiàn)代濾波。傳統(tǒng)濾波技術(shù)是建立在已知有用信號(hào)和干擾噪聲的統(tǒng)計(jì)特性（自相關(guān)函數(shù)或功率譜）的基礎(chǔ)上的噪聲去除；現(xiàn)代濾波技術(shù)則是根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)，即可對(duì)噪聲進(jìn)行有效濾除。早在20世紀(jì)40年代，就對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)建立了維納濾波理論。根據(jù)有用信號(hào)和干擾噪聲的統(tǒng)計(jì)特性（自相關(guān)函數(shù)或功率譜），以線(xiàn)性最小均方誤差（MSE）估計(jì)準(zhǔn)則所設(shè)計(jì)的最佳濾波器，稱(chēng)為維納濾波器。這種濾波器能最大程度的濾除干擾噪聲，提取有用信號(hào)。但是，當(dāng)輸

10、入信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性偏離設(shè)計(jì)條件，則它就不再是最佳的了，這在實(shí)際應(yīng)用中受到了限制。到60年代初，由于空間技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了卡爾曼濾波理論，即利用狀態(tài)變量模型對(duì)非平穩(wěn)、多輸入多輸出隨機(jī)序列作最優(yōu)估計(jì)。卡爾曼濾波器既可以對(duì)平穩(wěn)的和平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)作線(xiàn)性最佳濾波，也可以作為非線(xiàn)性濾波。然而只有在對(duì)信號(hào)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性已知的情況下，這兩種濾波器才能獲得最優(yōu)解。在實(shí)際的應(yīng)用中，往往無(wú)法得到這些統(tǒng)計(jì)特性的先驗(yàn)知識(shí)，或者統(tǒng)計(jì)特性是隨時(shí)間變化的，因此，這兩種濾波器就實(shí)現(xiàn)不了真正的最佳濾波。Widrow B.和Hoff于1967年提出的自適應(yīng)濾波理論，可使在設(shè)計(jì)自適應(yīng)濾波器時(shí)不需要事先知道關(guān)于輸入信號(hào)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性

11、的知識(shí)，它能夠在自己的工作過(guò)程中逐漸估計(jì)出所需的統(tǒng)計(jì)特性，并以此為依據(jù)自動(dòng)調(diào)整自己的參數(shù)，以達(dá)到最佳濾波效果。一旦輸入信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性發(fā)生變化，它又能夠跟蹤這種變化，自動(dòng)調(diào)整參數(shù)，使濾波器性能重新達(dá)到最佳。自適應(yīng)濾波器自動(dòng)調(diào)節(jié)參數(shù)可以通過(guò)各種不同的遞推算法來(lái)實(shí)現(xiàn)，由于它采用的是逼近的算法，使得實(shí)際估計(jì)值和理論值之間必然存在差距，也就造成了自適應(yīng)濾波問(wèn)題沒(méi)有唯一的解。依照各種遞推算法的特點(diǎn)，我們把它應(yīng)用于不同的場(chǎng)合?，F(xiàn)在廣為應(yīng)用的自適應(yīng)濾波方法主要是基于以下幾種基本理論，再融合遞推算法導(dǎo)出來(lái)的：（1）基于維納濾波理論的方法維納濾波是在最小均方誤差準(zhǔn)則下通過(guò)求解維納霍夫方程來(lái)解決線(xiàn)性最優(yōu)濾波問(wèn)題的。

12、基于維納濾波原理，我們利用相關(guān)的瞬時(shí)值通過(guò)在工作過(guò)程中的逐步調(diào)整參數(shù)逼近信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波。由此，我們得到一種最常用的算法最小均方算法，簡(jiǎn)稱(chēng)LMS算法。（2）基于卡爾曼濾波理論的方法 卡爾曼濾波是線(xiàn)性無(wú)偏最小方差濾波遞推濾波，它能使濾波器工作在平穩(wěn)的或非平穩(wěn)的環(huán)境，得到最優(yōu)解。利用卡爾曼濾波理論的遞推求解法導(dǎo)出自適應(yīng)濾波器更新權(quán)矢量得不同遞推算法。比LMS算法有極快的收斂速率，可是計(jì)算復(fù)雜度也增大了，它需要計(jì)算卡爾曼矩陣。（3）基于最小二乘準(zhǔn)則的方法維納濾波和卡爾曼濾波推導(dǎo)的算法是基于統(tǒng)計(jì)概念的，而最小二乘估計(jì)算法是以最小誤差平方和為優(yōu)化目標(biāo)的。根據(jù)濾波器的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，有以下3種不同的

13、最小二乘自適應(yīng)濾波算法：自適應(yīng)遞歸最小二乘法（RLS），自適應(yīng)最小二乘格型算法，QR分解最小二乘算法。在一系列的自適應(yīng)算法中，雖然基于后面2種基本理論的方法在收斂速率和穩(wěn)定、堅(jiān)韌性方面有著更好的性能，但是， 基于維納濾波理論的LMS算法因其算法簡(jiǎn)單，而且能達(dá)到滿(mǎn)意的性能，得到了青睞，成為了應(yīng)用最廣泛的自適應(yīng)算法。1.3 應(yīng)用領(lǐng)域?yàn)V波器是一種用來(lái)消除干擾雜訊的器件，將輸入或輸出經(jīng)過(guò)過(guò)濾而得到純凈的交流電。您可以通過(guò)基本的濾波器積木塊二階通用濾波器傳遞函數(shù)，推導(dǎo)出最通用的濾波器類(lèi)型：低通、帶通、高通、陷波和橢圓型濾波器。自適應(yīng)濾波器應(yīng)用于通信領(lǐng)域的自動(dòng)均衡、回波消除、天線(xiàn)陣波束形成，以及其他有關(guān)領(lǐng)

14、域信號(hào)處理的參數(shù)識(shí)別、噪聲消除、譜估計(jì)等方面。對(duì)于不同的應(yīng)用，只是所加輸入信號(hào)和期望信號(hào)不同，基本原理則是相同的。在近代電信裝備和各類(lèi)控制系統(tǒng)中，濾波器應(yīng)用極為廣泛；在所有的電子部件中，使用最多，技術(shù)最復(fù)雜要算濾波器了。濾波器的優(yōu)劣直接決定產(chǎn)品的優(yōu)劣，所以，對(duì)濾波器的研究2和生產(chǎn)歷來(lái)為各國(guó)所重視。 2. 自適應(yīng)濾波器理論基礎(chǔ)2.1 自適應(yīng)濾波器的原理在實(shí)際應(yīng)用中常常會(huì)遇到這樣的情況：隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性是未知的，或者信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性是緩慢的變化著的（非平穩(wěn)信號(hào)），這就促使人們?nèi)パ芯恳活?lèi)特殊的濾波器，這類(lèi)濾波器具有以下特點(diǎn)：當(dāng)輸入過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性未知時(shí)，或者輸入過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性變化時(shí)，能夠相應(yīng)的調(diào)整自身

15、的參數(shù)，以滿(mǎn)足某種準(zhǔn)則的要求，由于這類(lèi)濾波器能變動(dòng)自身的參數(shù)以“適應(yīng)”輸入過(guò)程統(tǒng)計(jì)特性的估計(jì)或變化，因此，就把這類(lèi)濾波器稱(chēng)為自適應(yīng)濾波器。 自適應(yīng)濾波原理圖3，如圖2.1所示。 圖2.1 自適應(yīng)濾波原理圖在自適應(yīng)濾波器中，參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器一般為FIR數(shù)字濾波器，IIR數(shù)字濾波器或格型數(shù)字濾波器4。自適應(yīng)濾波分2個(gè)過(guò)程。第一，輸入信號(hào)像x(n)通過(guò)參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器后得輸出信號(hào)y(n)，y(n)與參考信號(hào)d(n)進(jìn)行比較得誤差信號(hào)e(n)；第二，通過(guò)一種自適應(yīng)算法和x(n)和e(n)的值來(lái)調(diào)節(jié)參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器的參數(shù)，即加權(quán)系數(shù)，使之達(dá)到最佳濾波效果。 2.2基本自適應(yīng)濾波器的模塊結(jié)構(gòu)自

16、適應(yīng)濾波器通常由兩部分構(gòu)成5，其一是濾波子系統(tǒng)，根據(jù)它所要處理的功能而往往有不同的結(jié)構(gòu)形式。另一是自適應(yīng)算法部分，用來(lái)調(diào)整濾波子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的參數(shù)，或?yàn)V波系數(shù)。在自適應(yīng)調(diào)整濾波系數(shù)的過(guò)程中，有不同的準(zhǔn)則和算法。算法是指調(diào)整自適應(yīng)濾波系數(shù)的步驟，以達(dá)到在所描述的準(zhǔn)則下的誤差最小化。自適應(yīng)濾波器含有兩個(gè)過(guò)程，即自適應(yīng)過(guò)程和濾波過(guò)程。前一過(guò)程的基本目標(biāo)是調(diào)節(jié)濾波系數(shù)，使得有意義的目標(biāo)函數(shù)或代價(jià)函數(shù)最小化，濾波器輸出信號(hào)逐步逼近所期望的參考信號(hào)，由兩者之間的誤差信號(hào)驅(qū)動(dòng)某種算法對(duì)濾波系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，使得濾波器處于最佳工作狀態(tài)以實(shí)現(xiàn)濾波過(guò)程。所以自適應(yīng)過(guò)程是一個(gè)閉合的反饋環(huán)，算法決定了這個(gè)閉合環(huán)路的自適應(yīng)過(guò)程

17、所需要的時(shí)間。但是，由于目標(biāo)函數(shù)是輸入信號(hào),參考信號(hào)及輸出信號(hào)的函數(shù)，即,因此目標(biāo)函數(shù)必須具有以下兩個(gè)性質(zhì)：（1） 非負(fù)性 ( 2.1 )（2） 最佳性 ( 2.2 )在自適應(yīng)過(guò)程中，自適應(yīng)算法逐步使目標(biāo)函數(shù)最小化，最終使逼近于，濾波參數(shù)或權(quán)系數(shù)收斂于，這里是自適應(yīng)濾波系數(shù)的最優(yōu)解即維納解。因此，自適應(yīng)過(guò)程也是自適應(yīng)濾波器的最佳線(xiàn)性估計(jì)的過(guò)程，既要估計(jì)濾波器能實(shí)現(xiàn)期望信號(hào)的整個(gè)過(guò)程，又要估計(jì)濾波權(quán)系數(shù)以進(jìn)行有利于主要目標(biāo)方向的調(diào)整。這些估計(jì)過(guò)程是以連續(xù)的時(shí)變形式進(jìn)行的，這就是自適應(yīng)濾波器需要有的自適應(yīng)收斂過(guò)程。如何縮短自適應(yīng)收斂過(guò)程所需要的收斂時(shí)間，這個(gè)與算法和結(jié)構(gòu)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)人們一直重視研究

18、的問(wèn)題之一6。當(dāng)然濾波子系統(tǒng)在整個(gè)自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)中也占有很重要的地位，因?yàn)樗鼘?duì)最終的濾波性能有很大的影響。本文要研究的是基于matlab軟件7設(shè)計(jì)的LMS算法自適應(yīng)濾波器，下面我們需要介紹一下LMS濾波原理。 3. LMS濾波原理及算法3.1 最陡下降算法的原理首先考慮如下圖所示的橫向FIR自適應(yīng)濾波器： 圖3.1 橫向自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)示意圖它的輸入序列以向量的形式記為5： ( 3.1 )假設(shè)取自一均值為零，自相關(guān)矩陣為的廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，而濾波器的系數(shù)矢量（加權(quán)矢量）為： ( 3.2 )以上二式中括號(hào)內(nèi)的為時(shí)間指數(shù)，因此，和分別表示時(shí)刻的濾波器輸入序列和加權(quán)值，濾波器的輸出為： ( 3.

19、3 )式中M為濾波器的長(zhǎng)度。圖3.1 中的稱(chēng)為“期望理想響應(yīng)信號(hào)”，有時(shí)也可稱(chēng)為“訓(xùn)練信號(hào)”，它決定了設(shè)計(jì)最佳濾波器加權(quán)向量的取值方向。在實(shí)際應(yīng)用中，通常用一路參考信號(hào)來(lái)作為期望響應(yīng)信號(hào)。是濾波器輸出相對(duì)于的誤差，即 （ 3.4 )顯然，自適應(yīng)濾波控制機(jī)理是用誤差序列按照某種準(zhǔn)則和算法對(duì)其系數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)的，最終使自適應(yīng)濾波的目標(biāo)（代價(jià)）函數(shù)最小化，達(dá)到最佳濾波狀態(tài)。按照均方誤差（MSE）準(zhǔn)則所定義得目標(biāo)函數(shù)是 ( 3.5 )將式（3.4）代入式（3.5），目標(biāo)函數(shù)可以化為 ( 3.6 )當(dāng)濾波系數(shù)固定時(shí)，目標(biāo)函數(shù)又可以寫(xiě)為 ( 3.7 )其中，是長(zhǎng)度為N的期望信號(hào)與輸入信號(hào)的互相關(guān)矢量，是NN的

20、輸入向量得自相關(guān)矩陣。由式（3.7）可見(jiàn)，自適應(yīng)濾波器的目標(biāo)函數(shù)是延遲線(xiàn)抽頭系數(shù)（加權(quán)或?yàn)V波系數(shù)）的二次函數(shù)。當(dāng)矩陣R和矢量P已知時(shí)，可以由權(quán)矢量直接求其解。現(xiàn)在我們將式（3.7）對(duì)W求導(dǎo)，并令其等于零，同時(shí)假設(shè)R是非奇異的，由此可以得到目標(biāo)函數(shù)最小的最佳濾波系數(shù)為 ( 3.8 )這個(gè)解就是維納解，即最佳濾波系數(shù)值。因?yàn)榫秸`差函數(shù)是濾波系數(shù)的二次方程，由此形成一個(gè)形如圖（2.2）的超拋物面，當(dāng)濾波器工作在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的環(huán)境下，這個(gè)誤差性能曲面就具有固定邊緣的恒定形狀。自適應(yīng)濾波系數(shù)的起始值是位于性能曲面上的某一點(diǎn)，結(jié)果自適應(yīng)調(diào)節(jié)過(guò)程，使對(duì)應(yīng)于濾波系數(shù)變化的點(diǎn)移動(dòng)，朝碗底最小點(diǎn)方向移動(dòng)，最終到

21、達(dá)碗底的最小點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了最佳維納濾波。最陡下降法就是實(shí)現(xiàn)上述搜索最佳值的一種優(yōu)化技術(shù)，它利用梯度信息分析自適應(yīng)濾波性能和追蹤最佳濾波狀態(tài)。梯度矢量是由均方誤差的梯度來(lái)定義的，在多維超拋物面上任意一點(diǎn)的梯度矢量是對(duì)應(yīng)于均方誤差對(duì)濾波系數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，由起始點(diǎn)變化到下一點(diǎn)的濾波系數(shù)變化量正好是梯度矢量的負(fù)數(shù)。換句話(huà)說(shuō)，自適應(yīng)過(guò)程是在梯度矢量的負(fù)方向接連的校正濾波系數(shù)的，即在誤差性能曲面的最陡下降方向移動(dòng)和逐步校正濾波系數(shù)，最終到達(dá)均方誤差為最小的碗底最小點(diǎn)，獲得最佳濾波或準(zhǔn)優(yōu)工作狀態(tài)。令代表k時(shí)刻的維梯度矢量，這里M等于濾波器濾波系數(shù)的數(shù)目，為自適應(yīng)濾波器在k時(shí)刻的濾波系數(shù)和權(quán)矢量。按照最陡下降法調(diào)節(jié)

22、濾波系數(shù)，則在k+1時(shí)刻的濾波系數(shù)或權(quán)矢量可以用下列簡(jiǎn)單遞歸關(guān)系來(lái)計(jì)算： ( 3.9 )式中，為自適應(yīng)收斂系數(shù)或步長(zhǎng)，是一個(gè)正實(shí)常數(shù)。根據(jù)梯度矢量定義，可寫(xiě)成 ( 3.10 )當(dāng)濾波系數(shù)為最佳值，即是維納解時(shí)，梯度矢量應(yīng)等于零。將式（3.7）代入（3.10）得到 ( 3.11 )因此，在最陡下降算法中，當(dāng)相關(guān)矩陣R和互相關(guān)矢量P已知時(shí)，由濾波系數(shù)矢量可以計(jì)算梯度矢量，把式（3.11）代入（3.9）中，可以計(jì)算出濾波系數(shù)的更新值( 3.12 )式（3.12）所描述的即是最陡下降算法自適應(yīng)迭代的基本公式，且由該式我們可以不用再直接求R的逆。（3.12）式所示的迭代算法是一個(gè)反饋模型，因此算法的收斂

23、性（穩(wěn)定性）就非常重要。3.2 從最陡下降法導(dǎo)出LMS算法最陡下降算法不需要知道誤差特性曲面的先驗(yàn)知識(shí)，其算法就可以收斂到最佳維納解，且與起始條件無(wú)關(guān)。但是最陡下降算法的主要限制是它需要準(zhǔn)確測(cè)得每次迭代的梯度矢量，這妨礙了它的應(yīng)用。為了減少計(jì)算復(fù)雜度和縮短自適應(yīng)收斂時(shí)間，1960年，美國(guó)斯坦福大學(xué)的Widrow等提出了最小均方（LMS）算法，這是一種用瞬時(shí)值估計(jì)梯度矢量的方法，即( 3.13 ) 可見(jiàn)，這種瞬時(shí)估計(jì)法是無(wú)偏的，因?yàn)樗钠谕荡_實(shí)等于式（3.10）的梯度矢量。所以，按照自適應(yīng)濾波器濾波系數(shù)矢量的變化與梯度矢量估計(jì)的方向之間的關(guān)系，可以寫(xiě)出LMS算法的公式如下：( 3.14 )3.

24、3 LMS算法公式及核心自適應(yīng)濾波器，其權(quán)系數(shù)可以根據(jù)自適應(yīng)算法來(lái)不斷修改，使得系統(tǒng)中的沖激響應(yīng)滿(mǎn)足給定的性能。例如語(yǔ)音信號(hào)的ADPCM編碼8，采用線(xiàn)性預(yù)測(cè)自適應(yīng)就可以實(shí)現(xiàn)誤差信號(hào)與輸入信號(hào)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)，并由此作為依據(jù)，不斷調(diào)節(jié)濾波器的權(quán)系數(shù)，最終使得誤差信號(hào)趨近于0，使得該濾波器完全適應(yīng)該輸入信號(hào)；同樣，只要輸入信號(hào)出現(xiàn)變換，自適應(yīng)濾波器根據(jù)誤差信號(hào)的變化再次調(diào)整其權(quán)系數(shù)，從而跟上信號(hào)的變化。自適應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)的算法采用的是自適應(yīng)算法，即LMS算法。LMS算法是通過(guò)對(duì)未知系統(tǒng)傳遞函數(shù)的建模，識(shí)別該未知系統(tǒng)，并對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行噪聲濾波。 算法最核心的思想是用平方誤差代替均方誤差5。因此該算法簡(jiǎn)化了計(jì)算

25、量。在自適應(yīng)噪音抵消系統(tǒng)中,如自適應(yīng)濾波器參數(shù)選擇不當(dāng),就達(dá)不到應(yīng)有的濾波效果,而且還可能得到適得其反的效果。因此針對(duì)不同的信號(hào)和噪聲應(yīng)選擇相應(yīng)的參數(shù) 9。可見(jiàn)，參數(shù)的選擇對(duì)濾波效果是至關(guān)重要的。下面僅以L(fǎng)階加權(quán)自適應(yīng)橫向?yàn)V波器為例，推導(dǎo)LMS算法的公式。L階加權(quán)自適應(yīng)橫向?yàn)V波器，如圖3.2所示。 圖3.2 L階加權(quán)自適應(yīng)橫向?yàn)V波器LMS算法公式推導(dǎo)10：設(shè); ；其中x(k)為輸入信號(hào)，w(k)為加權(quán)系數(shù)。誤差公式： （3.15） 公式（3.15）中為參考信號(hào)，為輸出信號(hào)。誤差信號(hào)均方值： （3.16） 由公式（3.15）和公式（3.16）得：均方誤差性能曲面的梯度： （3.17） 而最陡下降

26、法迭代計(jì)算全矢量公式： （3.18） 公式（3.18）中為控制穩(wěn)定性和收斂速度的參數(shù)。由公式（3.17）和公式（3.18）得： （3.19） 圖3.3： 基本LMS算法的實(shí)現(xiàn)流程圖公式（3.19）說(shuō)明了LMS算法的核心是用每次迭代的粗略估計(jì)值代替了實(shí)際的精確值，這樣大大簡(jiǎn)化了計(jì)算量，但是不可否認(rèn)，加權(quán)系數(shù)不可能準(zhǔn)確的沿著理想的最陡下降路徑來(lái)調(diào)整自身的參數(shù)，而加權(quán)系數(shù)與有著密切的關(guān)系。因此，適當(dāng)?shù)倪x擇自適應(yīng)濾波器性能參數(shù)顯得格外重要。 4. matlab實(shí)驗(yàn)仿真4.1 實(shí)驗(yàn)原理LMS算法是自適應(yīng)濾波器中常用的一種算法，與維納算法不同的是，其系統(tǒng)的系數(shù)隨輸入序列而改變。維納算法中截取輸入序列自相關(guān)

27、函數(shù)的一段構(gòu)造系統(tǒng)的最佳系數(shù)。而LMS算法則是對(duì)初始化的濾波器系數(shù)依據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則進(jìn)行不斷修正來(lái)實(shí)現(xiàn)的。因此，理論上講LMS算法的性能在同等條件下要優(yōu)于維納算法，但是LMS算法是在一個(gè)初始化值得基礎(chǔ)上進(jìn)行逐步調(diào)整得到的，因此，在系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定之前有一個(gè)調(diào)整的時(shí)間，這個(gè)時(shí)間受到算法步長(zhǎng)因子u的控制，在一定值范圍內(nèi)，增大u會(huì)減小調(diào)整時(shí)間，但超過(guò)這個(gè)值范圍時(shí)系統(tǒng)不再收斂，u的最大取值為R的跡。權(quán)系數(shù)更新公式為：Wi+1=Wi+2ueiXi依據(jù)上述算式，制定LMS自適應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)程序。（1） 設(shè)定數(shù)長(zhǎng)，由于自適應(yīng)濾波器有一個(gè)調(diào)整時(shí)間，因此序列的長(zhǎng)度length必須足夠長(zhǎng)，至少要大于濾波器的激勵(lì)時(shí)間！

28、否則濾波器輸出都是無(wú)效數(shù)據(jù)，濾波器的設(shè)計(jì)也沒(méi)有意義！（2） 設(shè)計(jì)濾波器的初始化權(quán)系數(shù)W（0）=0，收斂因子u；（3） 設(shè)計(jì)輸入信號(hào)，亦是無(wú)失真的期望信號(hào)。由于濾波器的權(quán)系數(shù)是依據(jù)輸入序列來(lái)更新的，當(dāng)輸入序列未達(dá)到X（N）時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)部分存儲(chǔ)器中沒(méi)有數(shù)值或者造成濾波器輸出誤差只有l(wèi)ongth- N個(gè)，系數(shù)更新達(dá)不到要求，因此要對(duì)輸入前的存儲(chǔ)器進(jìn)行賦零初始化。（4） 輸入噪聲信號(hào)，在期望信號(hào)上疊加噪聲信號(hào)。（5） 計(jì)算輸入序列經(jīng)過(guò)濾波器后的實(shí)際輸出值： y(n)=WT(n)*X(n); （6）計(jì)算估計(jì)誤差e(n)=d(n)-y(n);（7）計(jì)算n+1階的濾波器系數(shù)Wn+1=Wn+2*u*e(n)

29、*X(n);（8）設(shè)計(jì)繪圖程序，畫(huà)出期望信號(hào)、加噪輸入信號(hào)、濾波器輸出信號(hào)、誤差信號(hào)的變化。 4.2 matlab程序clearlength=1000*16; N=100; u=0.00001; t=0:2*pi/ (length-1):2*pi;d=sin(2*pi*t)+sin(8*pi*t)/2; for n=1:100 %假設(shè)信號(hào)輸入以前，系統(tǒng)存儲(chǔ)器中的值全為0 d(n)=0; endnoise=sqrt(0.04)*randn(1, length); x=d+noise; w=zeros(N,1); %初始化濾波器的權(quán)系數(shù) for n=1: 15900 y(n)= x(n:n+N-1

30、)*w; %輸出序列在循環(huán)體內(nèi)部實(shí)現(xiàn)，表明其自適應(yīng)特性 e(n)=d(n)-y(n); w=w+2*u*e(n)*x(n:n+N-1); %權(quán)系數(shù)更新 end %繪圖程序subplot(4,1,1)plot(d)title(期望信號(hào))subplot(4,1,2)plot(x,r)title(加噪輸入信號(hào))subplot(4,1,3)plot(y)title(濾波器輸出)hold onsubplot(4,1,4)plot(e,g)title(誤差信號(hào)變化)4.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析 （1）收斂因子u對(duì)系統(tǒng)仿真結(jié)果的影響圖4.1為信號(hào)長(zhǎng)度是1000*16，濾波器階數(shù)N=100，收斂因子u=0.00001

31、時(shí)，自適應(yīng)濾波器的仿真結(jié)果。我們可以看出這時(shí)候的濾波器輸出信號(hào)中，前面一段時(shí)間的信號(hào)誤差較大，這是因?yàn)閡取值相對(duì)較小，濾波器參數(shù)還沒(méi)有調(diào)整到最佳，所以誤差信號(hào)收斂速度很慢，濾波器輸出信號(hào)的調(diào)整時(shí)間也很長(zhǎng)。 之后我們來(lái)比較一下當(dāng)信號(hào)長(zhǎng)度不變，濾波器階數(shù)不變，收斂銀子u分別變化成0.00001，0.001，0.01和0.1的仿真結(jié)果。 圖4.1 N=100，u=0.00001 圖4.2 N=100，u=0.001 圖4.3 N=100，u=0.01 圖4.4 N=100，u=0.1由上面4種不同的仿真結(jié)果可看出u取值不同，濾波結(jié)果的區(qū)別。當(dāng)u=0.00001時(shí)，圖4.1中濾波器輸出序列的開(kāi)始部分有

32、一個(gè)很長(zhǎng)的調(diào)整時(shí)間，而且誤差信號(hào)的收斂速度很慢，在整個(gè)輸入訊列中都未完成調(diào)整。當(dāng)u=0.001時(shí)，圖4.2與圖4.1相比，濾波效果得到了明顯的改進(jìn)，誤差信號(hào)顯示收斂情況迅速，但是輸出信號(hào)卻沒(méi)有圖1的平滑。當(dāng)u=0.01是，圖4.3相對(duì)于圖4.2,圖4.1，濾波效果更好，誤差信號(hào)顯示的收斂情況更加迅速，但是輸出信號(hào)也沒(méi)有其它兩種情況的平滑。當(dāng)u=0.1時(shí)，由圖4.4可以看出系統(tǒng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)收斂，這是因?yàn)槭諗恳蜃觰的最大取值超過(guò)矩陣R的跡。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：選擇不同的收斂因子，則會(huì)得到不同的濾波效果。通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)觀察得出：u偏小時(shí),系統(tǒng)比較穩(wěn)定,輸出信號(hào)變化小，失調(diào)也小,但自適應(yīng)過(guò)程卻相應(yīng)加長(zhǎng)，誤差信號(hào)的

33、收斂速度很慢；偏大時(shí),自適應(yīng)時(shí)間越短，過(guò)程越快, 誤差信號(hào)收斂速度越快，但同時(shí)它引起的失調(diào)也越大,導(dǎo)致濾波結(jié)果越差；當(dāng)大于某個(gè)值時(shí), 系統(tǒng)輸出混亂，無(wú)法實(shí)現(xiàn)收斂。（2） 階數(shù)N對(duì)系統(tǒng)仿真結(jié)果的影響 圖4.5 N=100，u=0.001 圖4.6 N=50，u=0.001 圖4.7 N=10，u=0.001結(jié)果分析： 對(duì)比圖4.5，圖4.6，圖4.7，可以看出，當(dāng)階數(shù)N取值越少，濾波效果越差，誤差信號(hào)越粗糙，其信號(hào)中所含雜波成分較大。而隨著濾波器階數(shù)的提高，濾波器效果會(huì)得到改善，但階數(shù)N不可大于100，否則仿真系統(tǒng)會(huì)報(bào)錯(cuò)，仿真失敗。（3） 適當(dāng)取值改善濾波結(jié)果在滿(mǎn)足收斂速度要求的條件下，適當(dāng)?shù)慕档褪諗恳蜃?，提高濾波器的階數(shù)可以改善濾波器輸出波的精確度，但減小收斂因子會(huì)使收斂速度減慢而且收斂時(shí)間較長(zhǎng)，可能會(huì)在很長(zhǎng)一段時(shí)間產(chǎn)生一個(gè)較大的均方誤差。所以收斂速度和濾波效果之間存在一個(gè)矛盾，需要按需選擇，兩者取中可能會(huì)是最好的結(jié)果。其外提高濾波器的階數(shù)也可以改善濾波效果，但階數(shù)N的取值不能超過(guò)系統(tǒng)限定，可以通過(guò)提高存儲(chǔ)空間來(lái)提高階數(shù)N的最大取值范圍。 5. 總結(jié)與展望本文首先介紹了自適應(yīng)濾波器的研究現(xiàn)狀，綜述了自適