數(shù)學史選講---高一數(shù)學講座

1、2020/6/21,不懂數(shù)學者，不得入內(nèi)！,2020/6/21,一天，一群年輕人來到位于雅典城郊外林蔭中的“柏拉圖學園”。只見學園的大門緊閉著，門口掛著一塊木牌，上面寫著：“不懂數(shù)學者，不得入內(nèi)! ”這是當年柏拉圖親自立下的規(guī)矩，為的是讓學生們知道他對數(shù)學的重視，然而卻把前來求教的年輕人給鬧糊涂了。有人在想，正是因為我不懂數(shù)學，才要來這兒求教的呀，如果懂了，還來這兒做什么?正在人們面面相覷，不知是退、是進的時候，有一個人從人群中走了出來，只見他整了整衣冠，看了看那塊牌子，然后果斷地推開了學園大門，頭也沒有回地走了進去。,2020/6/21,數(shù)學的發(fā)展歷程,順德一中-李忠華 2011.9.27,

2、2020/6/21,初等數(shù)學的開創(chuàng) 公元前6 世紀6 世紀,數(shù)學萌芽時期 遠古 公元前6 世紀,近代數(shù)學創(chuàng)立時期 17 世紀18 世紀,近代數(shù)學成熟時期 19 世紀初 現(xiàn)在,初等數(shù)學交流發(fā)展時期 公元6 世紀16 世紀末,2020/6/21,“ 用十個記號來表示一切數(shù)，每個記號不但有 絕對值，而且有位置的值，這種巧妙的方法 出自印度。這是一個深遠而又重要的思想， 它今天看來如此簡單，以致我們忽視了它的 真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切 計算都提供了極大的方便，才使我們的算術 在一切有用的文明中列在首位；而當我們想 到它竟逃過了古代最偉大的兩個人物阿基米 德和阿波羅尼奧斯的天才思想的關注時

3、，我 們更感到這成就的偉大了.” 拉普拉斯,數(shù)學萌芽時期 遠古 公元前6 世紀,2020/6/21,初等數(shù)學時期 公元前6 世紀6 世紀,1:演繹體系的形成：幾何原本-古希臘.,2:代數(shù)學的發(fā)展： 算術 -古希臘,算術、幾何、代數(shù)、三角術全面開創(chuàng)，崇尚邏輯證明和推理，形成理論體系,古 希 臘 數(shù) 學 公元前600年600年,數(shù)學作為一門有組織、獨立的和理性的學科來說，在古希臘學者登場之前是不存在的。 -M克萊因,一、古希臘數(shù)學的先行者,伊奧尼亞學派創(chuàng)始人 古希臘最早的數(shù)學家、哲學家 “希臘七賢”之首,泰勒斯最先證明了如下的定理: 1.兩直線相交，對頂角相等。 2.等腰三角形兩底角相等。 3.圓

4、被直徑二等分。 4.半圓上的圓周角是直角。 -泰勒斯定理 5.兩個三角形全等的邊角邊定理。,從泰勒斯開始，命題證明成為希臘數(shù)學的基本精神。,泰勒斯,公元前551前479年 精于哲學、數(shù)學、天文 學、音樂理論,二、畢達哥拉斯學派,1畢達哥拉斯（Pythagoras）,希臘論證數(shù)學的另一位祖師,畢達哥拉斯學派創(chuàng)始人,信奉“萬物皆數(shù)”,費洛羅斯曾說:“人們所知道的任何事物都包含數(shù)。因此，如果沒有數(shù)就既不可能表達，也不可能理解任何事物?！?2勾股定理（畢達哥拉斯定理）,二、畢達哥拉斯學派,2002.8 國際數(shù)學家大會會徽,歐幾里得的證明原圖,趙爽的“弦圖”,二、畢達哥拉斯學派,3不可公度,萬物皆數(shù),理

5、性的火炬已經(jīng)點燃,希臘數(shù)學的黃金時期即將來臨。,那是一個涌動著智慧、思想和理性的光輝時代,歐幾里德與幾何原本,幾何原本是希臘時期乃至整個人類歷史上最重要的數(shù)學著作.古希臘數(shù)學家歐幾里德將之前的希臘數(shù)學進行了整理,它成書與公元前300年左右.,幾何原本建立的歷史背景,1、泰勒斯開始了命題的證明，為幾何建立到論證體系中邁出了第一步。,2、畢達哥拉斯學派開始了數(shù)學的抽象研究。,3、體系的劃定，主要是研究幾何作圖的三大問題：化圓為方、立方倍積、三等分任意角。,4、內(nèi)容的積累、方法的積累窮竭法,6、歐幾里德完成了對幾何原本的歷史性整理,5、邏輯作為工具,幾何原本的基本內(nèi)容分析,目錄 第一卷 幾何基礎 第

6、八卷 數(shù)論（二） 第二卷 幾何與代數(shù) 第九卷 數(shù)論（三） 第三卷 圓與角 第十卷 無理量 第四卷 圓與正多邊形 第十一卷 立體幾何 第五卷 比例 第十二卷 立體的測量 第六卷 相似 第十三卷 建正多面體 第七卷 數(shù)論（一）,幾何原本的基本內(nèi)容分析,五條公設 1.過兩點能作且只能作一直線； 2.線段(有限直線)可以無限地延長； 3.以任一點為圓心,任意長為半徑,可作一圓； 4.凡是直角都相等； 5.同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側(cè)的兩個內(nèi)角之和小于180，則這兩條直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)一定相交,五條公理 1.等于同量的量彼此相等； 2.等量加等量，其和相等； 3.等量減等量，其

7、差相等； 4.彼此能重合的物體是全等的； 5.整體大于部分。,幾何原本對數(shù)學發(fā)展的意義,幾何原本幾乎概括了古希臘當時所有的數(shù)學理論,包括幾何學,數(shù)論等,成為近代西方數(shù)學的重要源泉.,幾何原本是希臘人根據(jù)幾何材料的內(nèi)在聯(lián)系,以概念作為判斷和推理的基礎逐步形成了數(shù)學證明的觀念,這是對數(shù)學認識的一個質(zhì)的飛躍,幾何原本自成書以后,在數(shù)學界產(chǎn)生巨大而深遠的影響,成為數(shù)學史上乃至科學史上嚴格的演繹的公理化體系的最早的典范.,（約前287年前212年），偉大的古希臘哲學家、數(shù)學家、物理學 家、力學家，靜力學和流體靜力學的奠基人。,代數(shù)的發(fā)展,二次方程的解法,三次、四次方程的解法,一元多項式方程是否可用 根式

8、求解的問題,卡丹公式,2020/6/21,代數(shù)學的中心問題即五次以上的一元多項式方程是否可用根式求解的問題時,經(jīng)由J.-L.拉格朗日、P.魯菲尼、N.H.阿貝爾和E.伽羅瓦引入和發(fā)展，并有成效地用它徹底解決了這個中心問題。,一元三次、四次方程求根公式找到后，人們在努力尋找一元五次方程求根公式，三百年過去了，但沒有人成功，這些經(jīng)過嘗試而沒有得到結(jié)果的人當中，不乏有大數(shù)學家。,2020/6/21,時至今日，群的概念已經(jīng)普遍地被認為是數(shù)學及其許多應用中最基本的概念之一。它不但滲透到諸如幾何學、代數(shù)拓撲學、函數(shù)論、泛函分析及其他許多數(shù)學分支中而起著重要的作用，還形成了一些新學科如拓撲群、李群、代數(shù)群、

9、算術群等，它們還具有與群結(jié)構(gòu)相聯(lián)系的其他結(jié)構(gòu)如拓撲、解析流形、代數(shù)簇等，并在結(jié)晶學、理論物理、量子化學以至（代數(shù)）編碼學、自動機理論等方面，都有重要的應用。作為推廣“群”的概念的產(chǎn)物：半群和幺半群理論及其近年來對計算機科學和對算子理論的應用，也有很大的發(fā)展。群論的計算機方法和程序的研究，已在迅速地發(fā)展。,1651年，法國一位貴族梅素向法國數(shù)學家、物理學家帕斯卡提出了一個十分有趣的 “分賭注”問題,問題是這樣的:一次梅素和賭友擲硬幣，各押賭注32個金幣雙方約定，梅素如果先擲出三次正面，或者賭友先擲三次正面，就算贏了對方賭博進行了一段時間，梅素已經(jīng)兩次擲出正面，賭友已經(jīng)一次擲出正面這時候梅素接到通

10、知，要他馬上陪同國王接見外賓，賭博只好中斷了請問：兩個人應該怎樣分這64個金幣才算合理呢?,分賭注,賭友說，他要再碰上兩次正面，或梅素要再碰上一次正面就算贏，所以他主張賭金應按2：1來分。即自己分64個金幣的 ，梅素分64個金幣的 ,梅素爭辯說，不對，即使下一次賭友擲出了正面，他還可以得到 ，即32個金幣；再加上下一次他還有一半希望得到16個金幣，所以他應該分得64個金幣的 ，賭友只能分得64個金幣的 兩人到底誰說得對呢?,帕斯卡是17世紀有名的“神童”數(shù)學家。 可是，梅素提出的“分賭注”的問題，卻把他難住了他苦苦思考了兩三年，到1654年才算有了點眉目，于是寫信給他的好友費馬，兩人討論結(jié)果，

11、取得了一致的意見：梅素的分法是對的，他應得64個金幣的四分之三，賭友應得64金幣的四分之一。這時有位荷蘭的數(shù)學家惠更斯在巴黎聽到這件新聞，也參加了他們的討論,結(jié)果他們這樣回答了梅素的問題；“先做一個樹結(jié)構(gòu)圖，根據(jù)樹結(jié)構(gòu)圖A勝的概率是34時，就把賭錢的34分給A，把剩下的14分給B就可以了”于是，概率的計算就這樣產(chǎn)生了,討論結(jié)果，惠更斯把它寫成一本書叫做論賭博中的計算(1657年)，這就是概率論最早的一部著作 概率論現(xiàn)在已經(jīng)成了數(shù)學的一個重要分支，在科學技術各領域里有著十分廣泛的應用,哥尼斯堡七橋問題,例1（七橋問題）如圖，能否從某個橋出發(fā)，走過所有的橋，但每座橋只 經(jīng)過一次？,A,B,C,D,

12、？ ？,一次走完（一筆畫）,一次走不完（一筆畫不出）,能否一筆畫出？,2,4,2,1,3,3,1,3,3,3,5,偶,奇,奇,否,Euler,2020/6/21,圖 論,歐拉對“七橋問題”的研究是圖論研究的開始，同時也為拓撲學的研究提供了一個初等的例子。,點線圖拓撲學topology: 不注重數(shù)量關系和形狀特征，而注重點與點的連接方式！ 如：建立校園網(wǎng)絡系統(tǒng)。從網(wǎng)絡中心到各辦公樓、教學樓、學生宿舍樓，到各辦公室、教室和寢室。你任何設計呢？你需要建立一個網(wǎng)絡的拓撲圖即可。實際上如果兩個圖的點與連接方式一致，它們實際上就是拓撲意義下的一張圖。,課后學習建議：,1.去讀書館，借閱一本關于數(shù)學史的書；

13、,比如：數(shù)學史上的三次危機、古今數(shù)學思想等。,2.找一位感興趣的數(shù)學家，了解他的生平軼事；,3.做一個研究興學習的課題,比如：中國古代的數(shù)學成就、中外數(shù)學發(fā)展對比等。,2020/6/21,祝愿同學們 熱愛數(shù)學， 學好數(shù)學！,2020/6/21,再見！,2020/6/21,希爾伯特23問:,1 連續(xù)統(tǒng)假設 2 算術公理的相容性 3 兩個等底等高四面體的體積相等問題 4 兩點間以直線為距離最短線問題 5. 一個連續(xù)變換群的李氏概念 6. 物理學的公理化 7. 某些數(shù)的無理性與超越性 8. 素數(shù)問題 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素數(shù)問題等。 9 在任意數(shù)域中證明最一般的互反律 10 丟番圖方程可解性,2020/6/21,11 系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型 . 12 將阿貝爾域上的克羅克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去 13 不可能用只有兩個變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程 14 證明某類完備函數(shù)系的有限性 15 舒伯特計數(shù)演算的嚴格基礎 一個典型問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？ 16 代數(shù)曲線和代數(shù)曲線面的拓撲問題 17 半正定形式的平方和表示 18 用全等多面體構(gòu)造空間 19 正則變分問題的解是否一定解析 20 一般邊值問題 21 具有給定單值群的線性微分方程解的存在性證明 22 由自守函數(shù)構(gòu)成的解析函數(shù)的單值化 23 變分法的進一步發(fā)展,2020/6/2