★教學生學會思考—解題教學PPT課件

1、.,1,教學生學會思考 解 題 教 學,南京師范大學 涂榮豹 sxzy.,2,一、教學的首要任務(wù)教“怎樣思考”,經(jīng)常聽到學生說：“老師講的我都懂，但自己做就不會了?！?什么原因？你老師沒有把“讓他自己會做”的方法教給他。 首先是解決“你是怎么想到的”？然后解決怎樣讓他也想到？ 好的教師“想給學生聽”，“想給學生看”。 差的教師做給學生看，或 讓好學生做給差學生看。 教大多數(shù)學生能想到的方法“教育效法自然” (盧梭)。 教本原的方法，有“技巧”也要教技巧怎么想出來的。 如求 1+2+3+100，要想高斯怎么會想到“首尾相加”的? 而不是僅學習“首尾相加”這一操作。 教“

2、怎樣思考”，“怎樣才能想到”是數(shù)學教學的首要任務(wù)。,.,3,二、解題教學教學生“學解題”,學生的主要任務(wù)并不是解題，而是“學”解題 教師教的重點和學生學的重點， 不在于“解”而在于“學解”。,作為,關(guān)注,“解” 出發(fā)點,解題的結(jié)果,“學解” 出發(fā)點,思路的尋找,作為,關(guān)注,學解題,為了,學解一類題,笛卡兒名言 我所解決的每一個問題都將成為一個范例，用以解其它問題。,.,4,“理解題意” 解題學習第一環(huán)節(jié) 解題第一位的是理解題意，但它卻往往被學習者所忽視。 善于解題的人用一半時間理解問題, 只用另一半時間完成解答 學生不能很好解題的最重要原因， 沒有樹立重視理解題意的意識， 沒有養(yǎng)成理解題意的良

3、好習慣， 更沒有掌握如何理解題意的方法。,遇到一個陌生的問題，怎么去想？如何著手解題? 如何“從無到有” 地尋找思路，由“所有”探索“所無”,如何著手解題?如何理解題意?,三、“從無到有” 地尋找思路,教學生學,.,5,四、著手解題 的 啟發(fā)性提示語,1)它是一個什么問題？它要求(證)的是什么？ 什么范疇的問題？“盯著目標”求(證)什么? 2)現(xiàn)有哪些材料？題設(shè)中的條件 3)有哪些工具？已經(jīng)學過的 相關(guān)概念、 命題、公式 和 方法 4)還缺少什么材料？能否從現(xiàn)有的材料和工具中找到？ 5)如何運用這些 條件 和 工具？ 6)是否還有條件沒有利用？如何利用？,這些思考，不是 文字的簡單瀏覽 和 思

4、想上的一掠而過， 是深究每一個對象的意義、性質(zhì)， 不同對象的關(guān)系, 特別 能否轉(zhuǎn)換 為其它的意義、關(guān)系. 這些思考并不是孤立進行，是貫穿在上述所有問題思考之中。 這是用于著手解題的最基本的思考方法，但不是萬能的方法。,如何深究？如何轉(zhuǎn)換?,.,6,五、理解題意 的 啟發(fā)性提示語,它是什么？如何表示？還能如何表示？(轉(zhuǎn)換) 它有什么性質(zhì)？如何表示？還能如何表示？ 它們有什么關(guān)系？如何表示？ 還能如何表示？ 由題設(shè)中的條件能夠推出什么？還能推出什么？ 中途結(jié)論之間有什么關(guān)系？它們可以怎樣利用？ 它是否與某個解過的題有聯(lián)系？能否利用這個聯(lián)系？,如何深究？ 對題意深究,如何轉(zhuǎn)換？ 將形式轉(zhuǎn)換,教學生尋

5、找解題思路 就要提供 有效的指導思維操作的策略, 解題的啟發(fā)性提示語 正提供了 有效的指導思維操作的程序。,“它” 每一個句子，名詞，概念，關(guān)系，表達式，符號， 符號的上標下標，圖形，圖形中的點線面，等等。,.,7,已知函數(shù) f (x)= (a0)是偶函數(shù)，求 a.,它是一個什么問題？函數(shù)問題。 求什么？ 求a。 已有什么材料？條件是什么？ 理解題意逐一搞清楚：“它”是什么？怎么表示？還能 f(x) 是什么？與自然對數(shù)、分式有關(guān)的比較復(fù)雜的函數(shù)。,f (-x) = f (x),“偶函數(shù)”是什么? f (-x) =f (x)。,f(-x)是什么? 還能怎么表示?, a 是什么?, a 是參數(shù),

6、a0。,a =1,a0,.,8,若 3a = 0.618, ak, k+1, kZ . 則 k = .,a-1, 0,k =-1,k, k+1是什么?,求值問題， 求 k，區(qū)間左端點。,是什么問題?求什么？,3a = 0.618 是什么?,數(shù)學符號,具體化,相鄰整數(shù)區(qū)間,冪；當 a =？時 3 a = 0.618,3k 3a 3k+1,ak , k+1是什么?,kak+1,-1a 0, 3a ,30,3-1,它能推出什么？,1/3=0.33 ,3a =0.618, 1 = 30,還能推出什么？,基本策略,k 是什么？,k =0,1,2,-1,-2,抽象符號具體化,.,9,反比例函數(shù)y1=(3-

7、k)/x (x0)和一次函數(shù)y2=kx+m(k, m常數(shù), 且k1)的圖像交于A, B兩點。已知 A, B 橫 坐標是1和4. (1)求使y2y1的x的取值范圍; (2)求兩函數(shù)的具體表達式；(3)求AOB的面積。 著手解題：這是什么問題？ 求什么？,理解題意：“使 y2y1”是什么(意思)？ 直線y2在曲線y1的上方部分, 即線段AB； 在A, B的橫坐標之間，已知A, B 橫坐標是1和4， (2)求具體表達式就是求k, m, (3)AOB的面積怎么表示？ 設(shè)AB交x軸C(5,0)， 它們的底和高是什么？是A, B的坐標(1,4), (4,1)。,(1)求 x 的取值范圍；,“底乘高除以2”

8、？不通.,還能怎么表示？,能求出 SAOC和 SBOC 嗎?,SAOB=SAOC-SBOC，,得SAOB=15/2。,將 y1, y2聯(lián)立方程組, 解得 k=-1, m=5;,函數(shù)及其圖像的問題。,使 y2y1 。,這部分x取值范圍是什么？,還能怎么表示？,恰好是 1x4；,有什么要求？,圖形表示。,.,10,著手解題：它是一個什么問題？ 求什么？ 理解題意：A, B在第二象限, 是什么(意思)？ 點C(-1, 0)還表示什么？ B點橫坐標是a， 則a=OP, CP=a+1= 2CP。 解：|OP|=OC+CP， 所以|OP|=PC+OC=(a+1)/2+1=(a+3)/2， 得 -|OP|=

9、-(a+3)/2。,如圖A, B在第二象限, 點C(-1, 0), 以C為中心 作ABC位似圖形ABC，且把邊長放大 2倍。B橫坐標是a, 則B的橫坐標是( ). (A)-1/2 (B)-(a+1)/2 (C)-(a-1)/2 (D)-(a+3)/2,求 B點的橫坐標。,CB =2CB。,直角坐標系里的位似圖形問題。,B的橫坐標是 -(a+3)/2，選D。,A, B橫坐標是負的。,OC=1。,能不能求出|OP|？,由 CP=a+1=2CP, 有CP=(a+1)/2；又OC=1；,還能怎樣表示？,B的橫坐標=-|OP|。,邊長放大2倍是什么？,過B, B作x軸垂線，垂足P，P，,B的橫坐標是什么

10、？,D,.,11,(2011.13) 設(shè) 1=a1a2a7, 其中a1, a3, a5, a7 成公比為 q 的等比數(shù)列, a2, a4, a6 成公差為 1 的等差數(shù)列, 求 q 的最小值.,它是一個什么問題? 求什么? 數(shù)列問題,奇數(shù)項等比數(shù)列,偶 數(shù)項等差數(shù)列,求公比q最小值.,1=a1a2a7, a1=1，其它各項遞增不減；,它表示什么?,1=a1a2 a7， 它還能怎么表示？具體化。 1a2qa2+1q2a2+2q3 還缺少什么？ a2 有什么性質(zhì)？ q 有什么性質(zhì)？ 要 q 最小， 代入，有2 q2 , 3q3，,缺少a2 和q ;,1=a1a2a3 ,得 q,1=a1a2,1a2

11、q,必須q=a2,則 a2=1.,1a2q, q1,a2, a4, a6成等差數(shù)列, 公差為1 它還能怎么表示？ a2， a4=a2+1， a6=a2+2；,a1, a3, a5, a7成等比數(shù)列, 公比q 它還能怎么表示？ a3=a1q=q， a5=q2， a7=q3；,那么a2要最小，,得 q, ，,得 q .,.,12,如圖，O為正方形ABCD中心，DBC的平分線交CD于E，延長BC 到點F，使CF=CE，連接 DF 交 BE 延長線于G，連接OG。 (1)求證：BCEDCF；(2) OG與BF 有什么數(shù)量關(guān)系？ (3)若EGBG=4-2 ，求正方形ABCD的面積。,(2)由(1)得FD

12、C=FBG, 易得FGB=90, BG 既是角平分線 又是高，得BD=BF，DG=FG；則 OG是中位線，OG:BF=1:2。 (3)求什么？ 設(shè)正方形邊長BC=x， ABCD面積=x2. EG是DEG的一邊，BG是BDG的一邊；,(1)明顯；略。,DEG與BDG 有什么關(guān)系？ 都是直角三角形，DEGBDG； 相似三角形有什么性質(zhì)？ EG:DG=DG:BG，得 DG2=EGBG； 則 DG2=EGBG= 4-2 .,ABCD的面積怎么表示？,EG，BG是什么？,怎么求邊長x？,求正方形ABCD面積。,.,13,利用提示語仔細地對問題中涉及的所有對象逐個理解、表示、 整理，包括過程中出現(xiàn)的新對象

13、，要一個不漏。 那么在理解題意的同時，基本上就能得到問題的解法。 對提示語的掌握也有一個從不會到會, 不熟練到熟練的過程, 只要堅持，不斷領(lǐng)悟，就能產(chǎn)生明顯的效果。,知道了DG有什么好處？ 那又有什么好處呢？ CDF是Rt，如求出CF即可求出CD(x)。 能求出CF 嗎？ CF2+CD2=DF2， 得(BF-BC)2+CD2=(2DG)2， 解得 x2= 4 .,就知道 DF=2DG。,嘗試嘗試。,CF=BF-BC，,DF和CD在CDF中,又BF=BD= x，,正方形ABCD面積是4 。,由勾股定理,得 ( x-x)2+x2=4(4-2 )2,.,14,著手解題：這是一個什么問題？ 求什么？

14、(2) 求P點坐標； 函數(shù) y圖像的頂點B及點A怎么表示? 由(1)容易得 B(-2, 0)，A(0，1)。 圓O與AB相切于B, 可推出什么？ PBAB。 連接PC，BPC+CBP=90， 即BCP=90， 由此可推出什么？,已知函數(shù)y=ax2+x+1的圖像與x軸只有一個公共點。(1)求a； (2)設(shè)函數(shù)y圖像頂點是B，與y軸交點是A，圖像上任一點P ；圓O以PB為直徑，與AB相切于點B，交x 軸另一點C，求P點坐標； (3)設(shè)點C關(guān)于PB的對稱點是點M，試問M是否在函數(shù)y圖像上？如果在，求出M點坐標；如果不在，說明理由。,得 a=0, 或a=1/4.,理解題意,(1)求系數(shù)a；,還能推出什

15、么？,二次函數(shù)圖像與圓的綜合問題。,RtBPCRtABO；,且ABO=BPC ；,可得BC:PC=AO:BO=1:2,怎么求？,.,15,BC:PC=AO:BO=1:2, P坐標怎么表示? BO=2, 得 P點坐標是 (-b-2, 2b). P點在函數(shù)y 圖像上, P點坐標代入函數(shù)式, 函數(shù)值=縱坐標, 即得 2b=(-b-2)2+(-b-2)+1, 解得 b=8, b=0(舍去).,得 PC=2BC.,CO=BC+BO.,(3) M是否在函數(shù)y圖像上？ M點坐標代入函數(shù)式, 函數(shù)值=縱坐標. 作C, M關(guān)于PB對稱, 過M, Q作x 軸垂線, 垂足為D, E; 易知 RtBPC RtABO

16、RtBCQ RtBQE RtQCE 由(2), 相似比是1:2, 所以EQ=16/5, 將14/5代入(1/4)x2+x+1, 得 144/5,畫圖,則E是CD中點.,它是什么(意思)?,則PB垂直平分CM于Q, Q是CM中點.,怎么求M點坐標？,要求M, 先求出Q.,M在函數(shù)y圖像上, 它是什么(意思)?,則CE=2QE=4BE;,BC=8, BC=5BE, 得BE=8/5;,OD=CD-CO=14/5,MD=32/5,CD=64/5;,M (14/5, 32/5).,所以M不在函數(shù)y圖像上.,32/5.,設(shè)BC=b,則CP=2b, CO=b+2,得 P(-10, 16).,先求CO,.,1

17、6,六、培養(yǎng)學生良好的讀題習慣,1要求學生解題時先反復(fù)讀題。 2要求學生用自己的語言反復(fù)敘述問題。 3要求達到不看題就能完整敘述問題后，才開始動筆解題。 4要求用不同的表達方式反復(fù)敘述問題。 5要求解釋題中各個名詞的意義(用概念思考)，包括每個符號 的含義(用符號表示)，每句話的含義(換一種說法或表述)。 6要求盡可能畫一張圖。 7要求盡可能對每個名詞, 每個符號, 每句話換一種表示。 8要求把看不懂的符號或表達式具體化。(抽象符號具體化) 9要求解釋圖中每一個點、線、面的含義，盡可能寫出它們的 表達形式。 10要求發(fā)揮想象力，訴說自己對題意的聯(lián)想或猜想。,.,17,七、培養(yǎng)學生尋找解題思路,

18、數(shù)學解題的啟發(fā)性提示語要在“用”上下工夫 數(shù)學解題的啟發(fā)性提示語是對波利亞解題表的運用和發(fā)展 看上去很普通，但對啟發(fā)尋找解題思路作用很大。 關(guān)鍵在于堅持用，用好了，用習慣了，用的水平提高了， 解題能力就能大大提高，它的價值就體現(xiàn)出來了。 必須在運用提示語的過程中學習提示語，在“用”中學， 只有不斷運用，才能提高運用的水平，提高解題能力。 對解題的啟發(fā)性提示語，教師要首先提高自己運用的水平。 教師教學生學習上述提示語時，關(guān)鍵也在于教師自己要用。 教學上要求學生做到的，教師自己首先要做到。 教師首先自己一定要堅持用，用給學生看， 學生學著用，逐步感悟，潛移默化，持之以恒，習慣成自然,然后是,.,1

19、8,八、理解題意是一種獨創(chuàng)性活動,“理解題意的啟發(fā)性提示語”是一種元認知提示語 是引導學生自我啟發(fā)的方法，本質(zhì)是教學生學會思考。 啟發(fā)性提示語的作用只是引導學生自己去探索，去發(fā)現(xiàn)， 而不是代替學生去探索和發(fā)現(xiàn)。 所以，用啟發(fā)性提示語理解題意是一種重要的探索活動。 波利亞：“問題的求解比起問題的明確表達來， 就常常不需要那么多的見識和獨創(chuàng)了?！?可見，理解題意，明確表達問題是需要較多見識和獨創(chuàng)的。 說明，理解題意是富有獨創(chuàng)性的工作，是需要相當見識的。 所以，理解題意的探索過程，是探索能力和創(chuàng)造力的培養(yǎng)。 教學生“理解題意的啟發(fā)性提示語”， 就是教學生如何去探索，就是教學生學會思考。,.,19,數(shù)

20、學特色的教學設(shè)計原理,1. “教學生學會思考”的新授課原理; 2. “運用研究問題一般方法”的原理; 3. “問題結(jié)構(gòu)推進教學”的原理 (“問題解決問題解決”結(jié)構(gòu)) ; (每課提出問題說，化新授課為解題教學說，課堂問題結(jié)構(gòu)說) 4. “創(chuàng)設(shè)情境，提出問題”的原理 ; 5. “從無到有探究”的原理; (引導式探究，發(fā)現(xiàn)式探究；教師引導策略，學生探究方式) 6. “由遠及近啟發(fā)”的提示語原理; (元認知, 方法論, 認知性提示語) 7. “反思性教學”的原理(回顧，追問，反詰) ; 8. “歸納先導，演繹跟進”的原理 ; 9.“以理解題意為核心”的解題教學原理; (“學解新問題”的解題教學) 10

21、. “教師是教學向?qū)е鹘? 學生是探究活動主體”的原理.,理念：教育的科學發(fā)展觀 數(shù)學教學的“二重對應(yīng)”原理,.,20,.,21,謝 謝 大 家,.,22,.,23,P是 f (x)= ex (x0)圖像上的動點,理解題意每一個句子,名詞,表達式,符號,符號的上標,下標,圖形, 以及圖形的點, 線, 面。,它是一個什么問題？求什么？,是關(guān)于函數(shù) y=ex 的, 與圖像切線有關(guān)的最值問題; 求線段中點縱坐標 t 的最大值.,函數(shù) f (x)= ex (x0)圖像,它是什么 (意思) ?,P 是圖像上的動點 過 P 點的切線 l1 交 y 軸于點 M, (畫) 過 P 點垂直于 l1 的直線交 y

22、 軸于點 N,畫圖,圖像的右半支,MN 中點縱坐標 t .,P 是圖像上一點；,已知 P 是函數(shù) f (x)= ex (x0)圖像上的動點, 過 P 點的切線 l 交 y 軸于點 M, 過 P 點垂直于 l 的直線交 y 軸于點 N. 設(shè) MN 中點 的縱坐標為 t, 則 t 的最大值是 . (2012年江蘇高考12題),.,24,P點 怎么符號表示?,過P點的切線l1, 切線方程：y-y0=k1(x-x0), k1是切線 l1的斜率,還能怎么符號表示？,斜率k1怎么表示？,先求函數(shù) f (x)= ex 的導數(shù) f (x)=ex, x=x0代入, 得 y0=f (x0)=ex0, k1=f (

23、x0)=ex0, 把 y0= ex0, k1= ex0 代入 y -y0 =k1 (x-x0), 得切線 l1方程： y-ex0= ex0(x-x0).,過P 垂直于l1的直線l2,還能怎么表示？,直線 l2 的斜率是 k2=-k1-1= -e-x0, 直線 l2 方程為: y-ex0=-e-x0(x-x0).,M, N點坐標怎么表示? 設(shè)M(0, yM), N(0, yN), yM , yN 怎么表示？,由 l1方程, 令 x =0 得 yM=ex0-x0ex0 ; 由 l2方程, 令 x =0 得 yN= ex0+ x0e-x0 .,t =(yM + yN), t(x0)=2ex0+x0(

24、e-x0-ex0) t(x0)=ex0+x0(e-x0-ex0).,中點 公式,圖形語言,符號語言,設(shè)P(x0, y0),除了圖形表示, 還能怎樣表示?,k1是什么？,線段 MN 中點縱坐標 t 怎么表示?,P是動點,M, N點坐標怎么表示? 設(shè)M(0, yM), N(0, yN), yM , yN 怎么表示？,由 l1方程, 令 x =0 得 yM=ex0-x0ex0 ; 由 l2方程, 令 x =0 得 yN= ex0+ x0e-x0 .,.,25,盯著目標 求什么？,求函數(shù)t (x0)最大值,怎么求?,求極值點:由 t (x0)=0, 求出 x0=?,t(x0)=ex0+ x0(e-x0

25、-ex0) t (x0) (求導) = (e-x0+ex0)-x0(e-x0+ex0) = (e-x0+ex0)(1-x0) 由于e-x0+ex00, 所以 1-x0= 0, 得 x0=1. 即 x0=1 時, t(x0) 取極值. 還要證明取最大值, 怎么證明？ 考查x0=1附近t(x0)單調(diào)性,當 x0(-, 1)時, t (x0)0; 即 t(x0)在(-, 1)單調(diào)增. 當 x0(1,+)時, t (x0)0; 即 t(x0)在(1, +)單調(diào)減. 所以, 當 x0=1時, t (x0)取得最大值： t(x0)max=t(1)= (e-1+e).,注：這部分基本是運算操作，是基本 技能

26、,牢固掌握十分必要。,接下來做什么？,=0,.,26,著手解題：它是什么問題？ 理解題意： 5c-3ab4c-a , 由可得, 2ac,已知正數(shù)a，b，c，且 5c-3ab4c-a，clnba+clnc，那么b/a 的取值范圍是 . (2012年江蘇高考13題),是由不等關(guān)系，求取值范圍的問題。,求 b/a 的取值范圍。,b/a 是什么?,將代入 b4c-a,還能寫出b/a其它的表達式嗎？,“它”是什么(意思)?,“它”怎么表示?,求: ？ b/a ？,只能到條件里去找！,求什么？,還能怎么表示？,5c-3a4c-a, ,則b/a7.,得 b8a-a,b7a,b4c-a.,5c-3ab,已知a

27、, b, c是正數(shù),(這極大便利不等式運算),還能怎么表示?,(8a4c),b/a 大于什么？小于什么？,再求 b/a？,.,27,所以 x=e 時, lnx=1, y取最小值，,已知正數(shù)a，b，c，且 5c-3ab4c-a，clnba+clnc，那么b/a 的取值范圍是 .,e，7,由clnba+clnc 能推出什么?,推得 aclnb-clnc=cln(b/c)，,缺少什么?b。,y=(x/lnx)=(lnx-1)/ln2x,令(lnx-1)/ln2x=0 解得 x=e.,得a/b(c/b)ln(b/c),得 b/a y e.,用它能表示b/a 嗎？,要求 b/a？,將不等式兩邊同除以b,

28、b/a x/ lnx, (lnx0).,要求 x/ lnx 極值, 怎么求?,xe 時, lnx1, y=(lnx-1)/ln2x0。,即y = x/lnxe.,已得 b/a7,b/a還能怎么表示？,得 ac ln(b/c) ，,顛倒分子分母, 可得 b/a(b/c)/ln(b/c),令(b/c)=x, 由得,用函數(shù)求導.,令 y= x/lnx,xe 時, lnx1, y=(lnx-1)/ln2x0；,ln(b/c) a/c0,?,還能怎樣表示？,.,28,例題 已知A, B是橢圓 上兩點，F(xiàn)1 是左焦點, 若 |AF1|+|BF1|=12a/5(), AB中點到左準線距離3/2, 求橢圓方程

29、.,它是一個什么問題？求什么？ 解幾題, 求橢圓方程, 實際求a. A, B 怎么表示？ 設(shè)A(x1, y1), B(x2, y2). 此橢圓有什么性質(zhì)(基本量)? 長半軸為a; b = 3a/5; c = a; 式是什么? 是A, B到左焦點F2 距離之和. AB中點怎么表示？ 還能怎么表示? x0=(x1+x2)/2, y0=(y1+y2)/2.,有哪些材料？理解題意。,M 到左準線距離還能怎么表示? M到左準線距離橫坐標作差. x0 + 5a/4 = 3/2.,設(shè)M(x0, y0).,左準線怎么表示? 左準線方程: x=-a2/c,畫圖,=-5a/4,e = c/a = .,用中點公式：

30、,(又表示中點),.,29,橢圓第一定義: |AF1|+|AF2|=2a, |BF1|+|BF2|=2a. 橢圓第二定義: 前已得左準線方程 x=-5a/4 由A點有: |AF1| / (x1+5a/4) = e = , 化簡得 |AF1|= x1+a 由B點有: |BF1| / (x2+5a/4) = e = , 化簡得 |BF1|= x2+a 這些結(jié)論有什么關(guān)系?可推出什么? 得 |AF1|+|BF1|= (x1+x2)+2a 還有什么條件沒有用上？ 已知 |AF1|+|BF1| = 12a/5 得 (x1+x2) +2a = 12a/5,化簡得 x1+x2= a/2 前已得中點M 的x0

31、兩種表示： x0 =(x1+x2)/2, x0 +5a/4=3/2, 得 x1+x2= 3-5a/2 得 3-5a/2 =a/2, 解得 a = 1 . 橢圓方程是 .,有哪些工具？ 怎么表示？,.,30,已知：a,b是實數(shù),函數(shù) f (x)=x3+ax, g(x)=x2+bx, f (x)和g(x)分別是 f(x), g(x)導函數(shù), 若f (x)g(x)0在區(qū)間 I 上恒成立, 就稱f(x)與g(x)在I上單調(diào)一致.,它是一個什么問題？求什么? 是多項式函數(shù)代數(shù)證明題, 與導函數(shù)性質(zhì)有關(guān); (2)求區(qū)間長度|b-a|的最大值.,(1) b是什么? 導函數(shù) f (x)和g(x)怎么表示? f

32、 (x)=3x2+a 和 g(x)=2x+b f (x)g(x)0 是什么?具體化.,得 (3x2+a)(2x+b)0, 即 (3x2+a)(2x+b)0 在 I 上恒成立. 這句話是什么(意思)？ 即在-1, +)中任取一個數(shù)代入, 不等式都成立. 取特殊值 x=-1 代入, 得 (3+a)(-2+b)0, (3+a)？(b-2)？ 得 b-20, b2. 即,b是 g(x)常數(shù)項.,(1)a0, 求參數(shù)b的取值范圍;,具體化看一看。,由此可推出什么?,由a0, 知 3+a0;,b2, +),理解題意：它是什么?怎么表示?具體化.理清楚寫下來. (2012-19),(1)設(shè)a0, I=-1,

33、 +), 求 b 的取值范圍;,(2)設(shè)a0, ba, I是以 a, b 為端點的開區(qū)間, 求|b-a| 的最大值。,.,31,I是a, b為端點開區(qū)間. 表示什么? 區(qū)間I 開的, a, b為左右端點, 不定. (3x2+a)(2x+b)0 在Ia, b恒成立.,(2)求區(qū)間長度|b-a|的最大值.,現(xiàn)a0, 那b是什么? b0? b0? 不妨先假設(shè)一種情況。設(shè)b0, 由 a0, b0, 得 ab0 b0, 則b為右端點. 有什么性質(zhì)? 在(a, b)上 f (x)g(x)0 恒成立, 具體化, 推出什么結(jié)論?取特殊值. 取0(a, b)，則 f (0)g(0)0， 得 f (0)g(0)=

34、ab0, 與矛盾。 即 b0不可能，所以 b0 。,a0, b0, I (-, 0.(負半軸) 此時 f (x), g(x)有什么性質(zhì)? x0, 則g (x)=2x+b0 那 f (x)有什么性質(zhì)？即 f (x)0呢？還是f (x)0呢? f (x)在零點兩側(cè)異號，所以 先求零點：x=?時， f (x)=0。 f (x)=3x2+a=0, 解得 x= (零點) 點C(- , 0)是 (-, 0上分段點； 分段點表示什么？ (-, 0被分兩段.,|b-a|的最大值是什么意思？ 即 a, b的最大值與最小值的差.,.,32,若-x- (右端點) 則 f (x)0; (如圖) 由得, f (x)g(

35、x)0， 不滿足 f (x)g(x)0. 若- x0 (左)， 則 f (x)0，由式得， f (x)g(x)0; (滿足條件) 所以 (- , 0 為左端點。 這個結(jié)論還表示什么(意思)? 同時有 a、b- 。,已得結(jié)論 g (x)=2x+b0.,a- ，則 a2-a/3 ， 解得 -a0; b- , 得 b- ， 即 -b0; 于是 |a-b|， 且當a=-，b=0時等號成立。,當a=-，b=0時， 任取x-, 0), 即 -x0， 代入, 得 f (x)g (x)=6x(x2-), x0，x2-0， f (x)g(x)0。 所以 |a-b| 的最大值為。,在Ia, b上f (x)g(x)

36、0恒成立.,證明了必要性,要證充分性,將代入,.,33,簡 單 的 線 性 規(guī) 劃 問 題,情境問題：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)1t甲種產(chǎn)品需要原料4 t，產(chǎn)生的利潤 2萬元；生產(chǎn)1 t 乙種產(chǎn)品需要原料1 t，產(chǎn)生的利潤1萬元受生產(chǎn)能力限制, 最多生產(chǎn)甲種產(chǎn)品和乙種產(chǎn)品各2 t現(xiàn)庫存原料8 t. 問甲、乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少噸可使工廠獲得最大利潤？求最大利潤,一、創(chuàng)設(shè)情境 提出問題,1. 建立數(shù)學模型： 這是一個什么問題？是一個與工業(yè)生產(chǎn)利潤有關(guān)的應(yīng)用問題. 求什么？ 甲、乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少噸可獲得最大利潤？求最大利潤.,原料(t) 利潤(萬元) 最大產(chǎn)量(t) 甲產(chǎn)品(1t) 4 2 2 乙

37、產(chǎn)品(1t) 1 1 2 產(chǎn)品利潤=每噸利潤產(chǎn)量) 總利潤 = 甲利潤 + 乙利潤 設(shè)：生產(chǎn)甲 x t，生產(chǎn)乙 y t，利潤為 z z = 2x + y,有哪些材料？有哪些已知條件？ 材料很多, 怎樣才能理清楚?(列表) 哪些對象？哪些數(shù)量？ 能列出表格描述問題的條件嗎？ 甲、乙的利潤各怎么計算？ 總利潤是什么？ 總利潤怎么計算？,.,34,利潤可以無限大嗎？ 為什么？ 有哪些限制條件？ 限制條件怎樣表示？,4x+y8 x0 x2 , y0 y2,數(shù)學問題：,名詞：z=2x+y 稱為“目標函數(shù)”； 不等式組稱為“約束條件”,提出問題：現(xiàn)在已經(jīng)得到了一個數(shù)學問題，接下來你會怎么想？ 這個問題怎么

38、解決呢？提出本節(jié)課的問題.,現(xiàn)在得到一個純粹的數(shù)學問題.,還不行吧？為什么？,1. 探索約束條件的幾何意義 這個約束條件還能怎樣表示？ 它有其它表達形式嗎？ 不等式組是什么表達形式？(代數(shù)) 它有幾何表示形式嗎？(平面區(qū)域) 能把這個平面區(qū)域畫出來嗎？,二、探索題意 尋找思路,現(xiàn)在可以求利潤 z 的最大值了嗎？,對目標函數(shù) z = 2x+y來說, 這個平面區(qū)域 表示什么？,表示目標函數(shù) z = 2x+y 中 x, y取值范圍.,滿足z = 2x+y的點(x，y)在平面區(qū)域內(nèi).,已知 求 z = 2x+y 的最大值,約束條件,目標函數(shù),.,35,在這些直線中，方程里的 z 在哪里？ (每條直線,

39、 z有各自對應(yīng)的值) 這說明 z 的幾何意義是什么？ (直線在y軸上的截距),2. 探索目標函數(shù)的幾何意義 接下來你想知道什么？ 約束條件的幾何意義是平面 區(qū)域，那你會想到什么？ 目標函數(shù)z = 2x+y的幾何意義 是什么？ (直線) 把z = 2x+y看成直線, 那它的 斜率是什么？(-2) 為什么? 這個直線方程還可以寫成什 么形式?(y=-2x+z) (斜率是-2) 它是一條直線嗎？ (無數(shù)條, 一組直線) 這組直線有什么共同特點？ (斜率相同) 斜率相同說明什么？ 它們是什么樣的直線？ (平行直線) 能畫出這組平行直線嗎？,3. 探索目標函數(shù)在約束條件下最值問題 這組直線中每一條都滿足

40、要求嗎？ 哪些滿足，哪些不滿足？ (直線需要與可行域相交) 現(xiàn)在應(yīng)該怎樣找 z 的 最大值呢？ (直線與可行域相交； 直線在 y 軸上截距最大) 何時最大？(經(jīng)過兩直線 交點(1.5, 2)時最大) 最大值為多少？(z =6),線性規(guī)劃問題: 問題新, 方法新,.,36,1、回顧解決問題的過程，歸納是如何求目標函數(shù)的最大值？ (1)找到約束條件和目標函數(shù)；(找) (2)畫約束條件的平面區(qū)域，畫目標函數(shù)所表示的平行直線 l；(畫) (3)在平面區(qū)域內(nèi)平移直線 l 到 z 取得最值的位置；(移) (4)求出該位置的點的坐標(x，y)；(求) (5)將(x，y)代入目標函數(shù)z=2x+y，解出z的值(

41、解) 2、回顧解決問題的過程，總結(jié)解題是怎樣進行的？ (1)實際問題數(shù)學問題； (2)代數(shù)問題幾何問題； (3)利用幾何意義解決問題,三、回顧過程 歸納方法,.,37,2011年江蘇省高考 第20題解題教學,.,38,設(shè)數(shù)列an的 首項 a1=1，前 n 項和為 Sn。 已知 對任意整數(shù) k, 當 nk 時，Sn+k+Sn-k =2(Sn+Sk) 都成立。,這是一個什么問題? 要求什么? 數(shù)列問題, 與數(shù)列前n項和有關(guān);,a2 =2, a3=4, a4=6, a5=8。,nk, Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)(). (1)中，這個()式表示什么？ k=1, n1, 有Sn+1+Sn-1=

42、2(Sn+S1) 下標間什么關(guān)系?還可怎么表示? Sn+1Sn(SnSn-1)=2S1=2a1=2， 還能怎么表示?項的關(guān)系具體化. 得 an+1-an=2， 表示什么？ 相鄰兩項之差是常數(shù)2，公差=2.,nk, Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk) () (2)中，這個()式表示什么？ n4, 有Sn+3+Sn-3=2(Sn+S3) 還能怎么表示? 改變n有什么結(jié)果？ 有 S(n+1)+3+S(n+1)-3=2(S(n+1)+S3) 即 Sn+4+Sn-2=2(Sn+1+S3) n5，Sn+4+Sn-4=2(Sn+S4) 中途結(jié)論有什么關(guān)系？,(1)求數(shù)列第5項;,(2)求通項公式.,(1)

43、設(shè)k=1, a2=2，求a5的值；,(2)設(shè)k3，4, 求數(shù)列an的通項。,如 nn+1 會怎么樣?,.,39,有什么關(guān)系？具體化。 -, n4, an+4-an-3=2a4 它表示什么？還能怎么表示? 改變n有什么結(jié)果?(nn+1?) 由，有a(n+1)+4-a(n+1)-3=2a4 即 an+5-an-2=2a4 -, an-2+an-3=2(an+1-a4) -, an+5-an+4=an-2-an-3 +，得 an+4+an-2=2an+1 還能怎么表示？ 即 an+1-an-2=an+4-an+1 ,Sn+3+Sn-3=2(Sn+S3) Sn+4+Sn-2=2(Sn+1+S3) Sn

44、+4+Sn-4=2(Sn+S4) ,由具體化, 設(shè) n5, a3-a2=d1 a4-a3=d2 a5-a4=d3 a6-a5=d4 a7-a6=d5 a8-a7=d6 a9-a8=d7 a10-a9 =a3-a2 =d1=d8 a11-a10 = a4-a3=d2=d9 a12-a11=a5-a4=d3=d10 a13-a12=a6-a5=d4=d11 a14-a13=a7-a6=d5=d12,由具體化, 設(shè) n4 a5-a2=a8-a5 a6-a3=a9-a6 a7-a4=a10-a7 a8-a5=a11-a8 a9-a6=a12-a9 a10-a7=a13-a10 a11-a8=a14-a

45、11,如何用它們? 還缺少什么? d1=d7=d 兩組式子下標有什么關(guān)系？ a5-a2=a8-a5 是什么?看(),嘗試, 嘗試, 再嘗試.,+,+,可推出什么?,(),(),d1+d2+d3,d4+d5+d6,d7+d1+d2,d3+d4+d5,.,40,d1+d2+d3=d4+d5+d6 d2+d3+d4=d5+d6+d7 d3+d4+d5=d6+d7+d1 d4+d5+d6=d7+d1+d2 d5+d6+d7=d1+d2+d3 d6+d7+d1=d2+d3+d4 d7+d1+d2=d3+d4+d5,解方程組由得 d3=d7 : d1=d4, : d2=d5 : d3=d6, 得d3=d6=d7 代入: d2=d3=d5=d6=d7 代入: d5=d1=d4, 從而 d1=d2=d3=d4=d5=d6=d7=d an等差數(shù)列, 首項a2.,由 an+5-an+4=an-2-an-3=d，n=4時， 得 a9-a8=a2-a1=d，即an為等差數(shù)列, 首項a1，通項公式為 an=1+d(n-1). 缺d=？怎么求？什么條件可利用？ 僅有 Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)() ()式還能怎么表示? 下標間什么關(guān)系?各項能否重新組合? 由(), (Sn+k-Sn)-(Sn-Sn-k)=2Sk, 具體化. k=3時, (Sn+3-Sn