2016-2017學(xué)年河南省鄭州市高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、2016-2017學(xué)年河南省鄭州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.1（5分）不等式1的解集為（）A（，1）B（0，1）C（1，+）D（0，+）2（5分）ab的一個充分不必要條件是（）Aa=1，b=0BCa2b2Da3b33（5分）在ABC中，若a=1，b=2，cosA=，則sinB=（）ABCD4（5分）等比數(shù)列an中，a2+a4=20，a3+a5=40，則a6=（）A16B32C64D1285（5分）兩座燈塔A和B與海洋觀測站C的距離分別是akm和2akm，燈塔A在觀測站C的北偏東20，燈

2、塔B在觀測站C的南偏東40，則燈塔A與燈塔B之間的距離為（）AakmB2akmCakmDakm6（5分）在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)滿足=3，=3，則BE與DF所成角的正弦值為（）ABCD7（5分）等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a1009=1，則S2017（）A1008B1009C2016D20178（5分）過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A，B兩點，若O為坐標(biāo)原點，則=（）A1B2C3D49（5分）設(shè)橢圓C：=1（ab0）的左、右焦點分別為F1、F2，P是C上的點PF2F1F2，PF1F2=30，則C的離心率為（）ABCD10（5分）在ABC中，若BC=2，A=12

3、0，則的最大值為（）ABCD11（5分）正實數(shù)ab滿足+=1，則（a+2）（b+4）的最小值為（）A16B24C32D4012（5分）圓O的半徑為定長，A是平面上一定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡為（）A一個點B橢圓C雙曲線D以上選項都有可能二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13（5分）命題“x，tanxm”的否定為 14（5分）若x，y滿足，則z=x+2y的取值范圍為 15（5分）已知F為雙曲線C：=1的左焦點，A（1，4），P是C右支上一點，當(dāng)APF周長最小時，點F到直線AP的距離為 16（5分）若數(shù)列an滿

4、足an+1+（1）nan=2n1，則an的前40項和為 三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.17（10分）設(shè)f（x）=（m+1）x2mx+m1（1）當(dāng)m=1時，求不等式f（x）0的解集；（2）若不等式f（x）+10的解集為，求m的值18（12分）在ABC中，a，b，c的對角分別為A，B，C的對邊，a2c2=b2，a=6，ABC的面積為24（1）求角A的正弦值；（2）求邊b，c19（12分）Sn為數(shù)列an的前n項和，已知an0，an2+an=2Sn（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）若bn=，求數(shù)列bn的前n項和Tn20（12分）已知命題p：函數(shù)f（x）

5、=lg（x22x+a）的定義域為R，命題q：對于x1，3，不等式ax2ax6+a0恒成立，若pq為真命題，pq為假命題，求實數(shù)a的取值范圍21（12分）如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D平面ABCD，底面為邊長為1的正方形，側(cè)棱AA1=2（1）求直線DC與平面ADB1所成角的大??；（2）在棱上AA1是否存在一點P，使得二面角AB1C1P的大小為30，若存在，確定P的位置，若不存在，說明理由22（12分）在圓x2+y2=3上任取一動點P，過P作x軸的垂線PD，D為垂足，=動點M的軌跡為曲線C（1）求C的方程及其離心率；（2）若直線l交曲線C交于A，B兩點，且坐標(biāo)原點到直線l的距離為，

6、求AOB面積的最大值2016-2017學(xué)年河南省鄭州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.1（5分）不等式1的解集為（）A（，1）B（0，1）C（1，+）D（0，+）【分析】不等式可化為x（x1）0，即可得到不等式1的解集【解答】解：不等式可化為x（x1）0，0x1，不等式1的解集為（0，1），故選B【點評】本題考查不等式的解法，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵2（5分）ab的一個充分不必要條件是（）Aa=1，b=0BCa2b2Da3b3【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定

7、義進(jìn)行判斷即可【解答】解：A當(dāng)a=1，b=0時，滿足ab，反之不成立，則a=1，b=0是ab的一個充分不必要條件B當(dāng)a0，b0時，滿足，但ab不成立，即充分性不成立，C當(dāng)a=2，b=1時，滿足a2b2，但ab不成立，即充分性不成立，D由a3b3得ab，即a3b3是ab成立的充要條件，故選：A【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵3（5分）在ABC中，若a=1，b=2，cosA=，則sinB=（）ABCD【分析】由A的范圍和平方關(guān)系求出sinA的值，由條件和正弦定理求出sinB的值【解答】解：0A，且cosA=，sinA=，由正弦定理得，則si

8、nB=，故選D【點評】本題考查了正弦定理，以及平方關(guān)系的應(yīng)用，注意內(nèi)角的范圍，屬于基礎(chǔ)題4（5分）等比數(shù)列an中，a2+a4=20，a3+a5=40，則a6=（）A16B32C64D128【分析】由等比數(shù)列通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出a6【解答】解：等比數(shù)列an中，a2+a4=20，a3+a5=40，解得a=2，q=2，a6=225=64故選：C【點評】本題考查等比數(shù)列的第6項的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用5（5分）兩座燈塔A和B與海洋觀測站C的距離分別是akm和2akm，燈塔A在觀測站C的北偏東20，燈塔B在觀測站C的南偏東40，則燈塔A與

9、燈塔B之間的距離為（）AakmB2akmCakmDakm【分析】先根據(jù)題意確定ACB的值，再由余弦定理可直接求得|AB|的值【解答】解：根據(jù)題意，ABC中，ACB=1802040=120，AC=akm，BC=2akm，由余弦定理，得cos120=，解之得AB=akm，即燈塔A與燈塔B的距離為akm，故選：D【點評】本題給出實際應(yīng)用問題，求海洋上燈塔A與燈塔B的距離著重考查了三角形內(nèi)角和定理和運用余弦定理解三角形等知識，屬于基礎(chǔ)題6（5分）在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)滿足=3，=3，則BE與DF所成角的正弦值為（）ABCD【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，

10、建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出BE與DF所成角的正弦值【解答】解：如圖，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1中棱長為4，點E，F(xiàn)滿足=3，=3，B（4，4，0），E（4，3，4），D（0，0，0），F(xiàn)（0，1，4），=（0，1，4），=（0，1，4），設(shè)異面直線BE與DF所成角為，則cos=sin=，BE與DF所成角的正弦值為故選：A【點評】本題考查異面直線所成角的正弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用7（5分）等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a1009=1，則S2017（）A1008B1009C2

11、016D2017【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得S2017=（a1+a2017）=2017a1009，由此能求出結(jié)果【解答】解：等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a1009=1，S2017=（a1+a2017）=2017a1009=2017故選：D【點評】本題考查等差數(shù)列的前2017項和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用8（5分）過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A，B兩點，若O為坐標(biāo)原點，則=（）A1B2C3D4【分析】由拋物線y2=4x與過其焦點（1，0）的直線方程聯(lián)立，消去y整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點坐標(biāo)，則=x1x2

12、+y1y2，由韋達(dá)定理可以求得答案【解答】解：由題意知，拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)為（1，0），直線AB的方程為y=k（x1），由，得k2x2（2k2+4）x+k2=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，x1+x2=1，y1y2=k（x11）k（x21）=k2x1x2（x1+x2）+1則=x1x2+y1y2=x1x2+k（x11）k（x21）=3故選：C【點評】題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是聯(lián)立拋物線方程與過其焦點的直線方程，利用韋達(dá)定理予以解決，屬于基礎(chǔ)題9（5分）設(shè)橢圓C：=1（ab0）的左、右焦點分別為F1、F2，P是C上的點PF2F1F2，PF1F2=3

13、0，則C的離心率為（）ABCD【分析】設(shè)|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依題意可求得|PF1|與|F1F2|，利用橢圓離心率的性質(zhì)即可求得答案【解答】解：|PF2|=x，PF2F1F2，PF1F2=30，|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c2a=3x，2c=x，C的離心率為：e=故選D【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，求得|PF1|與|PF2|及|F1F2|是關(guān)鍵，考查理解與應(yīng)用能力，屬于中檔題10（5分）在ABC中，若BC=2，A=120，則的最大值為（）ABCD【分析】由，4=AC2+AB22ACABcosA4=AC2+AB2+AC

14、AB2ACAB+ACAB=3ACABACAB，=ACABcos120即可【解答】解：，4=AC2+AB22ACABcosA4=AC2+AB2+ACAB2ACAB+ACAB=3ACABACAB=ACABcos120，則的最大值為 ，故選：A【點評】考查向量減法的幾何意義，數(shù)量積的運算及其計算公式，涉及了不等式a2+b22ab的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題11（5分）正實數(shù)ab滿足+=1，則（a+2）（b+4）的最小值為（）A16B24C32D40【分析】正實數(shù)a，b滿足+=1，利用基本不等式的性質(zhì)得ab8把b+2a=ab代入（a+2）（b+4）=ab+2（b+2a）+8=3ab+8，即可得出【解答】解：正實

15、數(shù)a，b滿足+=1，12，解得ab8，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=4時取等號b+2a=ab（a+2）（b+4）=ab+2（b+2a）+8=3ab+832故選：C【點評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題12（5分）圓O的半徑為定長，A是平面上一定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡為（）A一個點B橢圓C雙曲線D以上選項都有可能【分析】結(jié)合雙曲線的定義及圓與直線的相關(guān)性質(zhì)，推導(dǎo)新的結(jié)論，熟練掌握雙曲線的定義及圓與直線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵【解答】解：A為O外一定點，P為O上一動點線段AP的垂直平分線交直線OP于點Q，

16、則QA=QP，則QAQO=QPQO=OP=R，即動點Q到兩定點O、A的距離差為定值，根據(jù)雙曲線的定義，可知點Q的軌跡是：以O(shè)，A為焦點，OP為實軸長的雙曲線故選：C【點評】雙曲線是指與平面上兩個定點的距離之差的絕對值為定值的點的軌跡，也可以定義為到定點與定直線的距離之比是一個大于1的常數(shù)的點之軌跡二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13（5分）命題“x，tanxm”的否定為x，tanxm【分析】根據(jù)已知中的原命題，結(jié)合特稱命題的否定方法，可得答案【解答】解：命題“x，tanxm”的否定為命題“x，tanxm”，故答案為：x，tanxm【點評】本題考查的知識點是特稱命題的否定，難度

17、不大，屬于基礎(chǔ)題14（5分）若x，y滿足，則z=x+2y的取值范圍為0，【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求解范圍即可【解答】解：x，y滿足，不是的可行域如圖：z=x+2y化為：y=+，當(dāng)y=+經(jīng)過可行域的O時目標(biāo)函數(shù)取得最小值，經(jīng)過A時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，由，可得A（，），則z=x+2y的最小值為：0；最大值為：=則z=x+2y的取值范圍為：0，故答案為：0，【點評】本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，其中利用角點法是解答線性規(guī)劃類小題最常用的方法，一定要掌握15（5分）已知F為雙曲線C：=1的左焦點，A（1，4），P是C右支上一點，當(dāng)APF周長最小時，點F到直線AP

18、的距離為【分析】設(shè)雙曲線的右焦點為F（4，0），由題意，A，P，F(xiàn)共線時，APF周長最小，求出直線AP的方程，即可求出點F到直線AP的距離【解答】解：設(shè)雙曲線的右焦點為F（4，0），由題意，A，P，F(xiàn)共線時，APF周長最小，直線AP的方程為y=（x4），即4x+3y16=0，點F到直線AP的距離為=，故答案為：【點評】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查點到直線的距離公式，屬于中檔題16（5分）若數(shù)列an滿足an+1+（1）nan=2n1，則an的前40項和為820【分析】根據(jù)熟練的遞推公式，得到數(shù)列通項公式的規(guī)律，利用構(gòu)造法即可得到結(jié)論【解答】解：由于數(shù)列an滿足an+1+（1）n an=2n1

19、，故有 a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a50a49=97從而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，從第一項開始，依次取2個相鄰奇數(shù)項的和都等于2，從第二項開始，依次取2個相鄰偶數(shù)項的和構(gòu)成以8為首項，以16為公差的等差數(shù)列an的前40項和為 102+（108+16）=820，故答案為：820【點評】本題主要考查數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列求和，根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵三、解答題：本大題共6小題，共

20、70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.17（10分）設(shè)f（x）=（m+1）x2mx+m1（1）當(dāng)m=1時，求不等式f（x）0的解集；（2）若不等式f（x）+10的解集為，求m的值【分析】（1）直接把m=1代入，把問題轉(zhuǎn)化為求2x2x0即可；（2）直接根據(jù)一元二次不等式的解集與對應(yīng)方程的根之間的關(guān)系求解即可【解答】（本題12分）解：（1）當(dāng)m=1時，不等式f（x）0為：2x2x0x（2x1）0x，x0；因此所求解集為； （6分）（2）不等式f（x）+10即（m+1）x2mx+m0不等式f（x）+10的解集為，所以是方程（m+1）x2mx+m=0的兩根因此 （12分）【點評】本題主要考

21、察根與系數(shù)的關(guān)系解決本題的關(guān)鍵在于一元二次不等式的解集的區(qū)間端點值是對應(yīng)方程的根18（12分）在ABC中，a，b，c的對角分別為A，B，C的對邊，a2c2=b2，a=6，ABC的面積為24（1）求角A的正弦值；（2）求邊b，c【分析】（1）已知等式整理后，利用余弦定理化簡求出cosA的值，進(jìn)而求出sinA的值；（2）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將sinA與已知面積代入求出bc的值，再將a與bc的值代入已知等式求出b2+c2的值，聯(lián)立即可求出b與c的值【解答】解：（1）由在ABC中，a2c2=b2，整理得cosA=，則sinA=；（2）S=bcsinA=24，sinA=，bc=80，將a=6，

22、bc=80代入得：b2+c2=164，與bc=80聯(lián)立，解得：b=10，c=8或b=8，c=10【點評】此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵19（12分）Sn為數(shù)列an的前n項和，已知an0，an2+an=2Sn（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）若bn=，求數(shù)列bn的前n項和Tn【分析】（1）由題得an2+an=2Sn，an+12+an+1=2Sn+1，兩式子相減得an是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，即可求數(shù)列an的通項公式；（2）若bn=，利用錯位相減法，求數(shù)列bn的前n項和Tn【解答】解：（1）由題得an2+an=2Sn，an+12+an+1=2Sn+

23、1，兩式子相減得：結(jié)合an0得an+1an=1 .（4分）令n=1得a12+a1=2S1，即a1=1，所以an是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，即an=n.（6分）（2）因為bn=（n2）所以Tn=+Tn=+.（8分）得Tn=1+=，所以數(shù)列bn的前n項和Tn=3.（12分）【點評】本題考查數(shù)列的通項與求和，考查錯位相減法的運用，屬于中檔題20（12分）已知命題p：函數(shù)f（x）=lg（x22x+a）的定義域為R，命題q：對于x1，3，不等式ax2ax6+a0恒成立，若pq為真命題，pq為假命題，求實數(shù)a的取值范圍【分析】若pq為真命題，pq為假命題，則p，q一真一假，進(jìn)而得到答案【解答】解：當(dāng)P

24、真時，f（x）=lg（x22x+a）的定義域為R，有=44a0，解得a1.（2分）當(dāng)q真時，即使g（x）=ax2ax6+a在x1，3上恒成立，則有a在x1，3上恒成立，而當(dāng)x1，3時，=，故a.（5分）又因為pq為真命題，pq為假命題，所以p，q一真一假，.（6分）當(dāng)p真q假時，a1.（8分）當(dāng)p假q真時，a.（10分）所以實數(shù)a的取值范圍是（，）（1，+）.（12分）【點評】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查復(fù)合命題，函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的最值與值域，難度中檔21（12分）如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D平面ABCD，底面為邊長為1的正方形，側(cè)棱AA1=2（1）求直線DC與

25、平面ADB1所成角的大?。唬?）在棱上AA1是否存在一點P，使得二面角AB1C1P的大小為30，若存在，確定P的位置，若不存在，說明理由【分析】（1）以點D為坐標(biāo)原點O，DA，DC，DA1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線DC與平面ADB1所成角的大小（2）假設(shè)存在點P（a，b，c），使得二面角AB1C1P的大小為30，利用向量法能求出棱AA1上存在一點P，使得二面角AB1C1P的大小為30，且AP=2PA1【解答】解：（1）四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D平面ABCD，底面為邊長為1的正方形，側(cè)棱AA1=2，以點D為坐標(biāo)原點O，DA，DC，DA1分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，.（2分）D（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，1，），C（0，1，0），=（0，1，），=（0，1，0），設(shè)平面ADB1的法向量為，則，取z=1，得=（0，1），.（4分）設(shè)直線DC與平面所ADB1成角為，則sin=|cos|=，0，=，直線DC與平面ADB1所成角的大小為.（6分）（2）假設(shè)存在點P（a，b，c），使得二面角AB1C1P的大小為30，設(shè)=，由A1（0，0，），得（a1，b，c）=（a，b，），解得，B1（0，1，），C1（1，1，），=（1，0，0），=（，1，），設(shè)平面的法向量為