第二章 壓電復(fù)合材料有限元分析方法 (恢復(fù))

1、第二章 壓電復(fù)合材料有限元分析方法2.1 13型壓電復(fù)合材料常用的研究方法第一、理論研究，包括利用細(xì)觀力學(xué)和仿真軟件進(jìn)行數(shù)值分析的方法。人們對(duì)1-3型壓電復(fù)合材料宏觀等效特征參數(shù)進(jìn)行研究時(shí)，從不同角度出發(fā)采用了形式多樣的模型和理論，其中夾雜理論和均勻場(chǎng)理論具有代表性。夾雜理論的思想是，從細(xì)觀力學(xué)出發(fā)，將1-3形壓電復(fù)合材料的代表性體積單元（胞體）作為夾雜處理。求解過(guò)程中，使用的最著名的兩個(gè)模型為：Dilute模型和Mori-Tanaka模型。夾雜理論的優(yōu)點(diǎn)是其解析解能較好地反映材料的真實(shí)狀況，解精度較高；缺點(diǎn)是其解題和計(jì)算過(guò)程煩瑣，有時(shí)方程只能用數(shù)值方法求解。均勻場(chǎng)理論的思想是基于均勻場(chǎng)理論和

2、混合定律，同時(shí)借助1-3型壓電復(fù)合材料的細(xì)觀力學(xué)模型導(dǎo)出其宏觀等效特征參數(shù)。其基本的研究思路是：假設(shè)組成復(fù)合材料的每一相中力場(chǎng)和電場(chǎng)均勻分布，結(jié)合材料的本構(gòu)方程得到1-3型壓電復(fù)合材料的等效特征參數(shù)。Smith， Auld采用此理論研究了1-3型壓電柱復(fù)合材料的彈性常數(shù)、電場(chǎng)、密度等等效特征參數(shù)。Gordon， John采用此理論研究了機(jī)電耦合系數(shù)、耗損因子、電學(xué)品質(zhì)因子等等效特征參數(shù)。Bent, Hagood和Yoshikawa等基于此理論對(duì)交叉指形電極壓電元件等效特征參數(shù)進(jìn)行了研究。均勻場(chǎng)理論優(yōu)點(diǎn)在于物理模型簡(jiǎn)單，物理概念清晰，計(jì)算也不復(fù)雜，并具有相當(dāng)?shù)木群涂煽啃?；不足在于其假設(shè)妨礙了兩

3、相分界面上的協(xié)調(diào)性。有限元作為一種廣泛應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)值分析方法，將其引入壓電復(fù)合材料研究中具有重要的意義。John，Gordon等用有限元方法分析了1-3型壓電柱復(fù)合材料中壓電柱為方形柱、圓形柱、二棱柱時(shí)的力電耦合系數(shù)及其波速特性，得到了壓電柱在幾何界面不同的情況下的等效力電耦合系數(shù)及等效波速曲線。第二、實(shí)驗(yàn)研究。Helen，Gordon等對(duì)1-3型壓電復(fù)合材料的宏觀等效特征參數(shù)進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究，結(jié)果表明兩者符合良好；LVBT等運(yùn)用了1-3型壓電復(fù)合材料進(jìn)行了聲學(xué)方面的控制取得了良好的效果；John， Bent等對(duì)壓電纖維復(fù)合材料的性能進(jìn)行了深入的研究，結(jié)果顯示壓電纖維復(fù)合材料在高

4、電場(chǎng)、大外載荷環(huán)境下具有優(yōu)良的傳感和作動(dòng)性能。參數(shù)辨識(shí)研究是試驗(yàn)研究中重要的一種方法，基本思路是：分析1-3型壓電纖維復(fù)合材料的響應(yīng)特性，從中得到其等效宏觀的模態(tài)和彈性波的傳播特性參數(shù)。Guraja，Walter等采用的就是這種方法，他們研究了1-3型壓電纖維復(fù)合材料薄板、厚板、變截面板的響應(yīng)特性，得到了其相應(yīng)的聲波傳播速度c，頻率f,機(jī)械品質(zhì)因素Q等參數(shù)的表達(dá)式，為1-3型壓電纖維復(fù)合材料在超聲波方面的應(yīng)用提供了依據(jù)。綜合對(duì)比以上的研究方法，夾雜理論得出的結(jié)果比較接近實(shí)際結(jié)果，但是計(jì)算煩瑣，而且對(duì)于高體積百分比的復(fù)合材料其計(jì)算結(jié)果跟實(shí)際相差較大；均勻場(chǎng)理論計(jì)算較為簡(jiǎn)單，但是模糊了兩相材料之間

5、的界面作用；實(shí)驗(yàn)研究方法是最接近實(shí)際的一種方法，但是由于實(shí)驗(yàn)條件、測(cè)試技術(shù)等一系列因素的制約使其不能廣泛應(yīng)用十實(shí)際中。由于交叉指形電極壓電復(fù)合材料的復(fù)雜性，利用上面提到的夾雜理論和均勻場(chǎng)理論的方法，很難得到壓電元件整體模型的性能狀況。而數(shù)值研究有限元法，利用先進(jìn)的分析軟件ANSYS進(jìn)行壓電復(fù)合材料性能分析，可以超越目前現(xiàn)有的生產(chǎn)工藝和測(cè)試技術(shù)水平得到比較準(zhǔn)確的分析結(jié)果，又可以減小壓電元件的設(shè)計(jì)周期，減少實(shí)驗(yàn)制作壓電元件的材料浪費(fèi)和設(shè)備損耗。2.2 有限元分析方法概述有限元法（又稱為有限單元法或有限元素法）是利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值模擬分析的方法。誕生于20世紀(jì)50年代初，最初只應(yīng)用于力學(xué)領(lǐng)域中，現(xiàn)在

6、廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)、熱、流體、電磁、聲學(xué)等學(xué)科的設(shè)計(jì)分析及優(yōu)化，有限元計(jì)算結(jié)果已成為各類工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)和性能分析的可靠依據(jù)。該方法的主要思想是將所探討的工程系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成一個(gè)有限元系統(tǒng)，該有限元系統(tǒng)由結(jié)點(diǎn)及單元所組合而成，以取代原有的工程系統(tǒng)，有限元系統(tǒng)又可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)學(xué)模式，并根據(jù)該數(shù)學(xué)模式，進(jìn)而得到該有限元系統(tǒng)的解答，并通過(guò)節(jié)點(diǎn)、單元表現(xiàn)出來(lái)。具體的手段是將實(shí)體對(duì)象分割成不同大小、種類的小區(qū)域(有限元)，然后求得每一元素的作用力方程，接著利用能量最低原理（Minimum Potential Energy Theory）與泛函數(shù)值定理（Stationary Functional Theory）將作用

7、力方程轉(zhuǎn)換成一組線性聯(lián)立方程組，組合整個(gè)系統(tǒng)的元素并構(gòu)成系統(tǒng)方程組，最后將系統(tǒng)方程組求解。ANSYS（Analysis System）是世界著名力學(xué)分析專家、匹茲堡大學(xué)教授J. Swanson創(chuàng)立的SASI（Swanson Analysis System Inc.）的大型通用有限元分析軟件，是世界上最權(quán)威的有限元產(chǎn)品之一，其準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性都比較好。廣泛應(yīng)用于機(jī)械、航空航天、能源、交通運(yùn)輸、土木建筑、水利、電子、地礦、生物醫(yī)學(xué)、教學(xué)科研等眾多領(lǐng)域，是這些領(lǐng)域進(jìn)行國(guó)際國(guó)內(nèi)分析設(shè)計(jì)技術(shù)交流的主要分析平臺(tái)。ANSYS的主要功能包括結(jié)構(gòu)分析、熱力學(xué)分析、流體分析、電磁場(chǎng)分析和耦合場(chǎng)分析。其中耦合場(chǎng)分析是

8、求解兩個(gè)或多個(gè)物理場(chǎng)之間相互作用。當(dāng)兩個(gè)物理場(chǎng)之間相互影響時(shí)，單獨(dú)求解一個(gè)物理場(chǎng)得不到正確的結(jié)果，因此需要將兩個(gè)物理場(chǎng)組合到一起來(lái)分析求解，ANSYS可以實(shí)現(xiàn)的耦合場(chǎng)分析包括:熱結(jié)構(gòu)、磁一熱、磁結(jié)構(gòu)、流體一熱、流體結(jié)構(gòu)、熱電、電磁熱流體結(jié)構(gòu)等。壓電復(fù)合材料分析涉及電場(chǎng)結(jié)構(gòu)兩個(gè)物理場(chǎng)的作用，需要使用ANSYS禍合場(chǎng)分析的Multiphysics和Mechanical模塊，在用壓電分析時(shí)，可以采用的單元有SOLID5,PLANE13和SOLID98。這些耦合單元包含分析中所有必要的自由度，通過(guò)適當(dāng)?shù)膯卧仃嚕ň仃囻詈希┗蚴菃卧d荷矢量（載荷矢量禍合）來(lái)實(shí)現(xiàn)場(chǎng)的耦合。在用矩陣耦合方法計(jì)算的線性問(wèn)題中

9、，通過(guò)一次迭代即可完成耦合場(chǎng)相互作用的計(jì)算，而載荷矢量耦合方法在完成一次耦合響應(yīng)中，至少需要二次迭代。對(duì)于非線性問(wèn)題，矩陣方法和載荷矢量耦合方法均需迭代。壓電分析采用矩陣耦合的方法。在ANSYS進(jìn)行壓電復(fù)合材料分析時(shí)，根據(jù)壓電元件模型和分析目的不同，可以采用不同分析方法和途徑。當(dāng)分析單元選擇好后，對(duì)材料常數(shù)的準(zhǔn)確設(shè)定是后續(xù)分析的基礎(chǔ)，材料常數(shù)設(shè)定的不準(zhǔn)確，有限元分析結(jié)果不可能正確。以往利用ANSYS進(jìn)行壓電分析的研究，沒(méi)有涉及到此方面內(nèi)容，由于本文分析的主要對(duì)象一一交叉指形電極壓電纖維復(fù)合材料模型的復(fù)雜性（結(jié)構(gòu)復(fù)雜、平面內(nèi)極化方向復(fù)雜），下面對(duì)于在ANSYS軟件中材料常數(shù)的設(shè)定進(jìn)行細(xì)致的研究。

10、2.3 壓電復(fù)合材料的彈性矩陣為了研究壓電復(fù)合材料的需要，現(xiàn)假設(shè)如下：（1）本文所分析的壓電相材料和聚合物相材料為均質(zhì)彈性體；（2）壓電相和聚合物相的應(yīng)力水平在線彈性范圍之內(nèi)，應(yīng)力分量與應(yīng)變分量呈線性關(guān)系，服從廣義虎克定律。在直角坐標(biāo)系下，用應(yīng)力表示應(yīng)變的廣義虎克定律表示為：=S或=C其中：和分別為應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣而S和C為6X6的矩陣，各元素Sij和Cij（i，j=1，2，6）是表征均質(zhì)彈性體彈性特征的系數(shù)，通常稱Sij為柔度系數(shù)，Cij為剛度系數(shù)。剛度矩陣C是柔度矩陣S的逆矩陣，即：C=S-1或S=C-1。對(duì)于均質(zhì)彈性體來(lái)說(shuō)，Sij和Cij都是常數(shù)，所以可以稱其為彈性常數(shù)，而對(duì)于非均質(zhì)彈

11、性體來(lái)說(shuō)，它們是坐標(biāo)的某種函數(shù)，所以稱為彈性特征函數(shù)。2.3.1 壓電陶瓷的彈性矩陣如果經(jīng)過(guò)均質(zhì)彈性體的每一點(diǎn)都可以找到某一相互平行的平面，并目在該平面內(nèi)各個(gè)方向的彈性性質(zhì)均相同，則該平面即為各向同性面，這樣的彈性體即為橫觀各向同性體。另外，若經(jīng)過(guò)均質(zhì)彈性體的每一點(diǎn)都可以找到一個(gè)彈性對(duì)稱軸，即彈性旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，則這樣的彈性體也稱為橫觀各向同性體。極化后的壓電陶瓷就屬于橫觀各向同性體，假設(shè)坐標(biāo)系的方向與壓電陶瓷材料的彈性主方向一致，取Z軸與極化方向3即彈性對(duì)稱軸相平行，X軸平行與1方向和Y軸平行與2方向，則X-Y軸構(gòu)成的平面就是各向同性面，此時(shí)，獨(dú)立的彈性系數(shù)只有5個(gè)，壓電陶瓷的柔度矩陣表示為：S

12、=S11S12S12S11S13 0S13 0 0 00 0S13S1300 S3300 S440 00 00 00 00 00 0 S44 0 0 2S11-S12在工程實(shí)際中，為了便于理解所得結(jié)果的物理意義，一般用工程常數(shù)來(lái)表示彈性矩陣。所謂工程常數(shù)主要是指廣義的彈性模量、泊松比和剪切模量等彈性系數(shù)，這些常數(shù)通過(guò)簡(jiǎn)單的單軸拉伸和純剪切試驗(yàn)即可確定。壓電陶瓷柔度矩陣用工程常數(shù)表示的形式為：S=1E1-12E1-13E1-12E11E1-13E1-13E1-13E11EGGG12 其中G12=E121+122.3.2 聚合物的彈性矩陣如果經(jīng)過(guò)均質(zhì)彈性體內(nèi)每一點(diǎn)的任意方向上的彈性性質(zhì)相同，則稱之

13、為各向同性體。在各向同性材料中，每一個(gè)平面都是彈性對(duì)稱面，每一個(gè)方向都是彈性對(duì)稱軸。壓電復(fù)合材料中聚合物相就是各向同性的材料，聚合物相獨(dú)立的彈性系數(shù)只有2個(gè)，其柔度矩陣表示為：S=S11S12S12S12S11S12S12S12SS11-SS11-SS11-S12用工程常數(shù)表示的聚合物柔度矩陣為：S=1E-E-E-E1E-E-E-E1EG0001G0001G 其中G=E21+2.3.3 壓電陶瓷彈性系數(shù)的坐標(biāo)變換壓電陶瓷的彈性矩陣是建立在極化坐標(biāo)系（123，3為極化方向）上的，由于極化坐標(biāo)系同元件坐標(biāo)系方向存在的差異，所以壓電陶瓷的彈性系數(shù)是方向的函數(shù)，它們與坐標(biāo)的取向有關(guān)。只有在各向同性一一

14、聚合物相的情況下，彈性系數(shù)對(duì)任意正交坐標(biāo)系才是不變的，因此各向同性體的彈性系數(shù)是不變量。對(duì)于壓電陶瓷相，若所選擇的坐標(biāo)軸不位于材料的彈性主方向上，則需要求得新坐標(biāo)系下的彈性關(guān)系一一新的彈性系數(shù)。設(shè)原坐標(biāo)系為（x, y, z），新坐標(biāo)系為（x，y z）。新坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系的方向余弦列于下表：表2.1 兩坐標(biāo)系間的方向余弦xyzxl11l12l13yl21l22l23zl31l32l33則新坐標(biāo)系下的柔度矩陣，即柔度系數(shù)的坐標(biāo)變換公式為：Sij=Smnqimqjn （i，j，m，n=1，2，6）可見(jiàn)Sij是Smn的線性函數(shù)，并是lij的四次齊次函數(shù)。式中qij與方向余弦的關(guān)系見(jiàn)表2.2，其中下標(biāo)i代表行標(biāo)，j代表列標(biāo)。新坐標(biāo)系下的剛度矩陣，即剛度系數(shù)的坐標(biāo)變換公式為：Cij=Cmnqimqjn （i，j，m，n=1，2，6）表2.2 系數(shù)qij的值1234561l112l122l132l12l13l11l13l11l122l212l222l232l23l2