高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 1.2.1 函數(shù)的概念教材梳理素材 新人教A版必修1（通用）

1、1.2.1函數(shù)的概念水皰丁巧解牛知識(shí)巧妙地升華一、函數(shù)1 .函數(shù)的定義函數(shù)的傳統(tǒng)定義：假設(shè)在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y，則x在某個(gè)范圍內(nèi)的每個(gè)確定值，如果y是唯一確定的值及其對(duì)應(yīng)的話，y稱為x的函數(shù)，x稱為自變量。函數(shù)的現(xiàn)代定義：通常，a，b都為非空的整數(shù)集合，并且當(dāng)在集合b中唯一指定的數(shù)f(x )根據(jù)特定對(duì)應(yīng)關(guān)系f對(duì)集合a中的任何數(shù)x對(duì)應(yīng)時(shí)，將f:AB稱為集合a到集合b的一個(gè)函數(shù)，y=f(x )，和找到f(x)|xAB并不容易要點(diǎn)請(qǐng)注意，這里空白半格函數(shù)是特殊的對(duì)應(yīng)。 要驗(yàn)證兩個(gè)給定變量之間是否存在函數(shù)關(guān)系，必須驗(yàn)證以下內(nèi)容定義域和對(duì)應(yīng)規(guī)則是否被給出根據(jù)給定的對(duì)應(yīng)規(guī)則，自變量x在其定義域

2、的各個(gè)值中是否有唯一確定的函數(shù)值y對(duì)應(yīng)2 .函數(shù)的三要素(1)定義領(lǐng)域定義域是自變量x取的值的范圍，有時(shí)函數(shù)的定義域可以省略，但除非特別說(shuō)明，函數(shù)的定義域是表示該式的所有實(shí)數(shù)x的集合。 在實(shí)際問(wèn)題中，還必須考慮自變量x表示的具體量的容許值的范圍例如，函數(shù)y=，因?yàn)槎x域沒(méi)有被指定，所以該定義域可以被認(rèn)為是x-3并且x0的實(shí)數(shù)。 另外，矩形的寬度是x m，長(zhǎng)度是寬度的2倍，其面積是y=2x2，該函數(shù)的定義域是x0，而不是整體的實(shí)數(shù)。要點(diǎn)在此，注意用空的半格求出函數(shù)的定義域，應(yīng)該考慮分?jǐn)?shù)的分母不為零、根式有意義等，在遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)，也必須考慮自變量x表示的具體量。(2)對(duì)應(yīng)規(guī)則對(duì)應(yīng)法則f是核心，是

3、“操作”自變量x的“程序”或“方法”，通過(guò)連接x和y的紐帶，根據(jù)該“程序”，從定義域集合a取1個(gè)x時(shí)，值域y|y=f(x )且xA中唯一的y可以對(duì)應(yīng)一般而言，在函數(shù)f(x )中，“f”可以用具體的字符來(lái)記述，例如f(x)=x2，f表示“求平方”的f(x)=2x 1， f表示為“相乘2加1”，但是函數(shù)f(x )沒(méi)有解析式，所以如教材例(2)、(3)所示，我們不能用文字寫(xiě)其對(duì)應(yīng)規(guī)則，用相同的“f”操作“操作”不同形式的變量，例如f(x )操作x，f(x2 )操作x2(3)值域函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合，必須熟練掌握常見(jiàn)的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比函數(shù)的值域反比函數(shù)y=(k0 )的定義域?yàn)閤|xR且x0

4、，對(duì)應(yīng)規(guī)律為f(x)=，值域?yàn)閥|yR且y0 . 因此，反比函數(shù)y=(k0 )可以理解為對(duì)x|xR且x0中的任一參數(shù)x，y|yR且y0中唯一的實(shí)數(shù)y=(k0 )及其對(duì)應(yīng).記憶的密鑰在這里注意空半格函數(shù)的新概念，記住要素3的定義域值域，關(guān)系式連接的函數(shù)表現(xiàn)法，記住最難的圖像和列表，解析最常見(jiàn)的函數(shù)變量映射，不僅是數(shù)據(jù)集變量，也不是幾集二、區(qū)間區(qū)間是數(shù)學(xué)中常用的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，這是集合的表現(xiàn)形式。 記住閉區(qū)間、開(kāi)區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間的符號(hào)表示及其意義。 如果數(shù)a、數(shù)b為閉區(qū)間和開(kāi)區(qū)間的端點(diǎn)，則在軸上用實(shí)心點(diǎn)表示，b用空白點(diǎn)表示區(qū)間的意義、名稱、符號(hào)和幾何如下表所示定義名字符號(hào)數(shù)軸表示x|axb閉區(qū)間a，

5、bx|axb拉開(kāi)區(qū)間(a，b )x|axb半開(kāi)半閉區(qū)間a，bx|a a(a，)x|xa(-，a )x|x0時(shí)，原函數(shù)的定義域?yàn)閤|x； 當(dāng)a0時(shí)，原函數(shù)的定義域是x|x深化升華在這里關(guān)注空半格已知函數(shù)的解析公式，求出函數(shù)的定義域是使函數(shù)的解析公式求有意義的自變量的范圍(1)如果1)f(x )是正規(guī)的，則函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)組r .(2)如果2)f(x )是分?jǐn)?shù)，則函數(shù)的定義域是分母不為零的實(shí)數(shù)的集合(3)f(x )為二次根式時(shí)，函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式為0以上的實(shí)數(shù)的集合(4)f(x )如果由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式構(gòu)成，函數(shù)的定義域是各部分式中有意義的實(shí)數(shù)集合(即使是每個(gè)部分有意義的實(shí)數(shù)集合的交點(diǎn))

6、。(5)包含參數(shù)的函數(shù)定義域總是受到參數(shù)變化范圍的制約，應(yīng)該研究參數(shù)，例1的第四小問(wèn)題包含參數(shù)a，所以必須對(duì)其進(jìn)行分類研究。 另外，從函數(shù)的定義可以知道函數(shù)的定義域不是空集合，因此例1的第四小問(wèn)題即使沒(méi)有指定a0，也不必考慮a=0的情況。 這是因?yàn)閍=0時(shí)，式中不存在有意義的x例4求出下面各問(wèn)題中f(x )的解析式(1)求出已知函數(shù)f(x 1)=x2-3x 2、f(x )。(2)求出已知的f(4)=x 8、f(x2)。(3)已知函數(shù)y=f(x )滿足2f(x) f()=2x、x-r且x0，并求出f(x )已知一次函數(shù)f(x )滿足ff(x)=4x-1，求出f(x ) .思考解析：求函數(shù)的解析式

7、的關(guān)鍵是明確“f”相對(duì)于“x”是什么樣的對(duì)應(yīng)規(guī)律，與選擇哪個(gè)符號(hào)表示自變量無(wú)關(guān)(1)可以把x1看作整體，利用變換法求原來(lái)的函數(shù)f (x ) (2)分配方法或如果將f(x )、f ()考慮為整體，則已知本問(wèn)題可以變換為與f(x )、f ()有關(guān)的方程式問(wèn)題的(4)f(x )是一次函數(shù)，所以可以設(shè)f(x)=ax b(a0 )，用未定系數(shù)法求出a、b .解： (t=x 1時(shí)，x=t-1，代入f(t)=(t-1)2-3(t-1) 2f(t)=t2-5t 6，即f(x)=x2-5x 6也可以使用配合方法.f (x1)=x2-3x2=(x1)2-5x1=(x1)2-5(x1) 6f(x)=x2-5x 6。

8、(2)解法1:f(4)=x8=(4)2-16f(x)=x2-16(x4)=x4-16(x-2或x2 )解法2:4=t4時(shí)，t-4，x=(t-4)2f (t )=(t-4 ) 28 (t-4 )=t2- 16 .f (x )=x2- 16 (x4 )f (x2)=x4- 16 (x2或x2 )(2f(x) f()=2x 如果將x切換為x，則可以獲得2f() f(x)=2-，獲得3f(x)=4x-，即f(x)=-。由于4)f(x )是一次函數(shù)，所以f(x)=ax b(a0 )f f (x ) =f (AXB )=a (AXB ) b=a2 xaab=4x-1?；騠(x)=-2x 1或f(x)=-2

9、x 1。為了加深升華，這里用空間半格求解析式的方法很多，上述例子分別用配法、換元法、方程式法、未定系數(shù)法求f(x )。對(duì)于已知fg(x)的式，求出f(x )的式的問(wèn)題一般是變換法，即設(shè)g(x)=t，解用t表示x的式，代入求出f(x )的解析式.關(guān)于主題中已知函數(shù)f(x )的函數(shù)類型，一般采用未定系數(shù)法，例如第二個(gè)(4)的小主題.從甲地到乙地的高速公路長(zhǎng)度為500公里，現(xiàn)在汽車以100公里/小時(shí)的速度從甲地到乙地，汽車離甲地的距離s (公里)用時(shí)間t (時(shí)間)的函數(shù)表示，求出定義域。構(gòu)思解析：已知這輛汽車是等速運(yùn)動(dòng)，容易求出函數(shù)解析式，其定義域由甲乙兩地之間的距離決定解： 9222222222222222222222汽車行駛速度為100公里/小時(shí)，兩地距離為1 500公里從甲地到乙地所需時(shí)間為t=15小時(shí)a :求出的函數(shù)是s=100t，t|0t15 。為了加深升華注意，在這里，求出函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的函數(shù)解析式，分析問(wèn)題意義所賦予的等量關(guān)系，構(gòu)筑函數(shù)模型是很重要的。 關(guān)于實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)定義域的求方法，不僅要根據(jù)函數(shù)解析式來(lái)解，還必須考慮問(wèn)題的實(shí)際意義。例6求出次函數(shù)的值域：(1)y=|x|-1，x-2，- 1，0，1，2 ； (2)y=x2 4x 3，(-3x1) (3)y=； (4)y=2x-3； (5)y=.想法解析：為了求出函數(shù)的值域，需要