高中數(shù)學 第4章 圓與方程 4.2 直線、圓的位置關(guān)系 4.2.3 直線與圓的方程的應用教材梳理素材 新人教A版必修2（通用）

1、4.2.3直線和圓的方程應用牛起水泡知識聰明首先，解決與圓相關(guān)的實際問題運用原相關(guān)知識，可以解決現(xiàn)實生活中的相關(guān)問題，并采取解決這些問題的基本步驟。(一)閱讀理解，認真審議；(2)引入數(shù)學符號或圓的方程，建立數(shù)學模型。(3)通過使用數(shù)學方法得出的通常數(shù)學問題(即數(shù)學模型)，求出結(jié)果；(4)切換到特定的問題來回答。用方法點和圓方程解決實際問題時，要注意建立數(shù)學模型，把實際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學問題來解決，通常要建立適當?shù)恼蛔鴺讼?，應用方程的思想來處理。二、坐標法用坐標法解決幾何問題時，首先用坐標和表達式表示相應的幾何元素。將點、線、圓、幾何問題化為代數(shù)問題；然后通過代數(shù)運算解決代數(shù)問題。最后，闡述了代

2、數(shù)運算結(jié)果的幾何意義，得出了幾何問題的結(jié)論。這是用坐標方法解決平面幾何問題的“三部曲”。第一步：設(shè)置合適的平面笛卡爾坐標系，用坐標和方程式表示問題的幾何元素，并將幾何問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算解決代數(shù)問題。第三步：把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論。重點是應用幾何方法，即坐標方法解決平面幾何問題，首先要構(gòu)建系統(tǒng)，用坐標或方程表示相應的幾何元素，將幾何問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題，用代數(shù)運算解決，最后得出幾何問題的結(jié)論，注意該方法的三個步驟。探索問題問題1如何判斷直線和圓的位置關(guān)系？線與圓分離時，如何尋找圓上的點直線距離的最大值或最小值？在確定直線和圓的位置關(guān)系時，可以代數(shù)使用：但是研究中心點

3、直線距離和半徑大小之間關(guān)系的幾何簡單、不直觀。直線和圓相距時，圓心處的d r，根據(jù)圖形分析，圓上直線距離的最小值為d-r，最大值為d r。問題2有人說，研究兩個圓位置關(guān)系是把兩個圓整理成關(guān)于聯(lián)立，x的方程來判斷那個方程的解的個數(shù)，如果方程有解的話，那么兩個圓是相切的，對嗎？請舉例說明。:不準確，例如圓1: x 2 y2=4，圓c 2:(x-2)2 y2=4。用x=1的方程式移除y，然后用x的方程式清理。這個方程對x=1只有一個解，但是圖形分析：由于兩個圓相交且有兩個公共點，因此在判斷兩個圓位置關(guān)系時，最好用中心距離和兩個圓關(guān)系來判斷，而不是用方程來解決。經(jīng)典標題列問題范例1尋找線y=kx 1和

4、圓x2 y2 kx-y-4=0的兩個交點a，b尋找線y=x對稱的交點a，b的座標和| |AB| |長度。想法分析：作為問題，利用問題的對稱關(guān)系獲取k值，找到交點坐標，并替換兩點之間的距離公式，從而獲得弦長| |AB| |。解決方案：直線y=kx 1和圓x2 y2 kx-y-4=0的兩個交點a，b關(guān)于直線y=x對稱。也就是說，點(x1，y1)和點(y1，x1)都位于直線和圓上，因此k=-1滿足圓的條件。求解方程式的兩個交點A(2，-1)、B(-1，2)。所以|AB|=。區(qū)分和比較這個問題不求k值，通過方程將交點a，b包含在，a，b的坐標表示中，然后通過對稱關(guān)系確定k值，就可以找到，但計算不僅復雜

5、，而且比上述更簡單。例2圖4-2-3，在圓拱橋的情況下，水面離金庫2米遠時水面寬度為12米，水面下降1米時水面寬度為多少米？圖4-2-3圖4-2-4想法分析：這個問題要用坐標法研究平面圖形的實際問題，所以要設(shè)置適當?shù)淖鴺讼?，并利用圓的方程來解決。解決方案：使用螺栓作為坐標的原點，創(chuàng)建與y軸垂直的直線的正交坐標系，將圓的圓心設(shè)置為c，具有水面的弦的端點為a，b，A(6，-2)。設(shè)定圓的方程式為x2 (y r)2=r2。如果用方程式取代A(6，-2)，則r=10。圓的方程式為x2 (y 10)2=100，當水面向下移動一公尺時，可以設(shè)定點A(x0，-3)(x00)。在圖4-2-4中，用圓方程替換A

6、(x0，-3)以使x0=。睡眠為1米，睡眠寬度為2 x0=14.28(米)。方法總結(jié)為數(shù)學的實際應用問題。一般的想法是根據(jù)問題設(shè)定條件建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，盡可能減少未知數(shù)。把實際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學問題，通過用待定系數(shù)法設(shè)定圓的方程解決。范例3已知線l: y=k()和圓o: x2y2=4為a，b，o為座標原點，ABO的面積為s(1)用k的函數(shù)S(k)表示S，并查找相應的域。求出(2) s的最大值，求出最大值時的k值。想法分析：(1) ABO的面積為S=底部高度，底部為| ab |，高度為距中心點的直線距離。(2)可以使用ABO的幾何特性解決。解決方案：(1) y=k()到kx-y=0，l距離中心點d=，|AB|=，sABO=| ab | d=，d 2，即k0，k-(-1，0)-(0，1)、-s(k)=、k-(-1，0)-(0，1)。(2)s=| OA | | ob | sin | AOB=2s