圖像重建資料

1、數(shù)字圖像處理學(xué) 第7章 圖像重建 （Image Reconstruction）,醫(yī)學(xué)信息與圖像教研室 李明彩,圖像重建核心:由一系列投影重建一幅圖像 理論基礎(chǔ)：二維或者三維物體能夠通過其無限多個投影確定。 二維圖像重建 一個物體的多個軸向投影圖重建目標(biāo)圖像 三維物體重建 由物體的圖像重建三維物體模型 問題：能否從投影中恢復(fù)原圖？ 答復(fù)是肯定的。,引言,投影顯示的僅僅是立體的“橫斷面” 設(shè)想一個平頭改錐（螺絲刀）的頭部 投影只截取到物體所具有的信息中屬于較低維度的一部分信息。例如“測量身高”，是將三維降低為一維的投影。,我們所見到的是否是真實的立體？ 位于眼球深處的“視網(wǎng)膜”是接受來自外界光線的

2、一個屏幕。左右眼球相隔一定的距離，同一物體映照在左眼和右眼視網(wǎng)膜上的二維圖像并不相同。大腦會根據(jù)這種微小的差異補上遠近信息。,本章內(nèi)容,計算機斷層(CT)原理,2,傅里葉切片定理,4,投影和雷登變換,3,概述,1,使用平行射線束濾波反投影重建,5,1.圖像重建原理的直觀定性描述： 假設(shè)右圖是人體三維區(qū)域的一個橫斷面。圖中背景表示均勻的軟組織，它所環(huán)繞的物體是一個腫瘤，腫瘤也是均勻的，但有較高的吸收特性。,7.1 概述,假設(shè)用一束細(xì)平行X 射線從左到右掃描圖像平 面，并假設(shè)物體比背景吸 收的射線束能量多，利用 另一端的X射線吸收檢測 帶將產(chǎn)生紅框所示信號。 該圖像幅度（亮度）與吸 收成正比。,信

3、號中任意一點都是所穿過的相應(yīng)空間點的該射線束中單一射線束吸收值的和（射線和）,單一投影無法確定射 線路徑處理的是單個物 體還是多個物體，基于 此開始重建，沿射線來 的方向把投影穿過該區(qū) 域反“涂抹”回去。 沿垂直于射線方向復(fù)制 橫穿圖像的相同的一維 信號。這就是反投影 法。,復(fù)制矩形圖像中所有列中的一維信號創(chuàng)建,源-檢測器對旋轉(zhuǎn)90度。重復(fù)剛才的步驟，得到第二幅反投影圖像。,反投影相交處的亮度是各個反投影的亮度的兩倍,將兩次的反投影結(jié)果相加，我們感興趣的物體已經(jīng)包含在右圖所示的正方形中了，其幅度是單個投影幅度的兩倍多。隨著投影數(shù)量的增加，不相交反投影的強度相對于多個反投影相交區(qū)域的強度降低。,

4、0度和180度投影互為鏡像,注意到“光暈”模糊效果,例1：包含兩個不同吸收特性物體的簡單平面的反投影,二維：解聯(lián)立方程組,得,2.在三維重建中的數(shù)據(jù)形式有： 透射模型 ； 發(fā)射模型 ； 反射模型,(1)透射斷層重建成像(Transmission Computed Tomography,TCT)： TCT是射線源的射線穿過物體或者人體組織，然后由接收器接收經(jīng)過物體或人體組織吸收后的剩余射線，由于不同的物質(zhì)或組織對射線的吸收不同，剩余射線反映了物體內(nèi)部的狀況和人體內(nèi)部的不同組織，通過這些數(shù)據(jù)再重建圖像，從而發(fā)現(xiàn)物體內(nèi)部欠缺或人體內(nèi)部病變。 如光，x射線。,(2)放射斷層重建成像（Emission

5、Computed Tomograhpy,ECT） ECT是在物體中注入放射性物質(zhì)，然后從物體外部檢測通過物體后放射出來的能量，由于物體內(nèi)部不同的物質(zhì)或人體不同的組織對放射能量有不同的吸收或衰減，由此可以獲取不同的數(shù)據(jù)，用這些數(shù)據(jù)可以重建出所需要的圖像，從而達到檢測物體內(nèi)部的分布情況或人體內(nèi)部病變的目的。,(3)反射斷層重建成像(Reflection Computed Tomography,RCT) 常用于雷達系統(tǒng)。雷達圖像通常是由物體反射的回波產(chǎn)生的。例如光線、電子束、雷達，激光或超聲波等都可以用來進行這種測定。,（4）核磁共振重建圖像(Megnetic Resonance Imaging,M

6、RI) MRI是由于具有奇數(shù)個質(zhì)子或中子的原子核包含有一定的磁動量或旋量的質(zhì)子，一般情況下質(zhì)子在磁場中任意排列，當(dāng)有適當(dāng)強度和頻率的共振場作用于物體時，質(zhì)子吸收能量并轉(zhuǎn)向與磁場相交的方向。如果此時把共振磁場去掉，質(zhì)子吸收的能量會被釋放并被檢測器收集，根據(jù)檢測的信號就可以確定質(zhì)子的密度。通過控制共振磁場強度，可檢測一條直線上的信號，從而通過該信號數(shù)據(jù)可以重建出物體圖像。,7.2 計算機斷層原理,1.傳統(tǒng)的X線系統(tǒng) 胸部X線系統(tǒng)把物體放在對X射線敏感的平板對 面并用圓錐形X射線束照射該個體。X射線平板產(chǎn)生 一幅圖像，圖像上每一點的亮度與X射線通過該物 體后照射到該點上的X射線能量成正比。 通過多次

7、反投影，并將多次反投影結(jié)果相加， 可以產(chǎn)生胸腔結(jié)構(gòu)的三維再現(xiàn)。,2.計算機斷層(Computerized Tomography,CT)原理 斷層成像是一種將物體的每一片層完全隔離出 來進行觀察的無損檢測技術(shù)。它用于人體頭部、 腹部等內(nèi)部器官的無損傷診斷，其基本方法就是 根據(jù)人體截面投影，經(jīng)過計算機處理來重建截 面圖象。通過身體產(chǎn)生的切片得到物體的三維 再現(xiàn)。三維描述就是堆積這些切片得到。主要在 放射醫(yī)療、工業(yè)檢測設(shè)備中，顯示人體（對象） 各個部位斷層圖象。,(1) CT發(fā)展歷史： CT 理論基礎(chǔ)源于1917年，奧地利數(shù)學(xué)家約翰雷登(Radon)所發(fā)表的論文。證明了二維或三維物體能夠通過其無限多

8、個投影來確定，但限于當(dāng)時技術(shù)條件沒能實現(xiàn)。 45年后，Tufts大學(xué)的物理學(xué)者埃蘭M考瑪克重新發(fā)現(xiàn)了這些概念，并應(yīng)于與CT，在1963和1964年發(fā)表了他的最初發(fā)現(xiàn)，并說明了如何從不同角度方向得到的X射線圖像重建人體橫截面圖像，給出了數(shù)學(xué)公式，并構(gòu)建了一個用于展示其概念的實際CT原型。,英國EMI公司中央研究所工程師高德弗里 N 豪斯菲爾德（Godfrey N.Hounsfield），經(jīng)四年努力，在1972年研制成診斷頭顱用的第一臺計算機X線斷層攝影裝置，這一新設(shè)備在1974年5月蒙特利爾(Montreal)召開第一次國際CT會議上，正式命名為“電子計算機斷層攝影技術(shù)”簡稱CT。 1979年E

9、MI公司又研制出全身CT。 1979年為了表章這些學(xué)者的貢獻，考瑪克和豪斯菲爾德共同獲得這項技術(shù)的諾貝爾醫(yī)學(xué)獎。,(2) 幾代產(chǎn)品簡介（按掃描方式的改進）: 第一代(G1)：單束掃描方式，”鉛筆型”X射線管與單探測器沿所示線性方向增量式平移，0度-180度內(nèi)所有期望的角度重復(fù)，生成完整投影，反投影獲得一張切片圖像，堆積切片生成人體截面三維體。G1時間長，一周需3-5分鐘左右,第二代(G2)：與第一代原理相同，窄角扇束射線束掃描，張角1020度，2030個探測器相配合。掃描時間18秒左右。允許使用多個檢測器，因此檢測器的平移較少。,第三代(G3)：廣角扇束掃描方式，張角為30度左右，探測器增加到

10、2501000個，射線源和探測器同步旋轉(zhuǎn)掃描，每個角度都產(chǎn)生完整的投影，消除了部分平移需要，掃描時間可縮短2.5秒。,第四代(G4):圓環(huán)檢測器5000個左右，布滿整個360。 固定不動，X線源旋轉(zhuǎn)掃描。約2秒，僅射線源轉(zhuǎn)動。G3，G4掃描速度快，主要缺點是造價高和較大的X射線散射。需要比G1,G2掃描器更高的劑量才能達到可以比擬的信噪比特性。,第五代(G5)：電子束計算機斷層(EBCT)掃描器，排除了所有機械運動，使用電磁控制電子束，通過觸發(fā)環(huán)繞病人的鎢極板,電子束產(chǎn)生X射線，然后X射線被整形為通過病人的扇形射線束，并激發(fā)G4掃描器那樣的檢測器環(huán)。 第六代(G6)螺旋CT：G3，G4掃描器使

11、用一種所謂滑動環(huán)來配置，不需要在源/檢測器和處理單元之間的電氣和信號連接。然后，源/檢測器對連續(xù)旋轉(zhuǎn)360度，同時病人在垂直于掃描的方向恒速移動，結(jié)果是連續(xù)的螺旋數(shù)值，這些數(shù)據(jù)經(jīng)過處理后就可以得到各幅切片圖像。,第七代(G7)多切片CT掃描器：即將問世，采用“厚”的扇形射線束與平行檢測器族相配合同時收集CT數(shù)據(jù)，即三維橫截“厚片層”，而不是每個X射線脈沖產(chǎn)生單一的橫截面圖像。優(yōu)點是使用的X射線管更經(jīng)濟，從而降低了成本并降低了劑量。,3. 關(guān)于計算機斷層成像 對于醫(yī)學(xué)上的應(yīng)用來說被計算的特性是組織的衰減系數(shù)，人體雖大部分軟組織是水，但仍有足夠的差異以產(chǎn)生不同的衰減系數(shù)，這樣就可以給出一幅解剖橫截

12、面圖像。計算機成像示意圖如右側(cè)：,衰減系數(shù)的單位H(豪斯費爾德Hounsfield)， 豪斯費爾德將線性衰減系數(shù)分為2000個單位，稱為 CT值，一個豪斯費爾德等于水的衰減系數(shù)的0.1%，標(biāo) 度上選擇H（水）=0 對于空氣 H=-1000 衰減最?。ú凰p） 骨骼 H=+1000 衰減最大,X射線經(jīng)過物體時會發(fā)生衰減，不同的物質(zhì)衰減是不一樣的。得到物體的圖像最直接的方法是沿Y軸經(jīng)衰減直接在膠片上成像。這與X光透視是一樣的，這樣會造成圖像的混疊。,CT是把物體在Y軸方向劃分成小的薄片，薄片的厚度是一個重要的參數(shù)，一般為1、2、3、4、5、8、10mm。每個薄片再劃分為小的單元，即體素。,設(shè)某一物

13、體體素對X射線的衰減系數(shù)為， 體素厚度為d ， 和 為穿透物體前后的X射線的 輻射強度。射線遵循如下的衰減定律：,在斷層掃描時，生成大量的數(shù)據(jù)，根據(jù)該數(shù)據(jù)再計算出每個體素的衰減系數(shù)，然后把這些衰減系數(shù)按一定的函數(shù)關(guān)系顯示在屏幕上，這樣，就產(chǎn)生了斷層圖像。,假如一條直線上有n個體素， 第一個體素的衰減為:,第二個體素衰減為：,對于第n個體素有：,即： 一般情況探測器只能測到 ，而不能測到 ，因此，不能直接記錄各個體素的衰減系數(shù)。但是，我們可以用數(shù)學(xué)方法求解衰減系數(shù)。,假如某斷層有2X2個體素，相應(yīng)的衰減系數(shù)為 ，,分別從X和Z方向投影，測得的衰減系數(shù)為A，B，C，D，即：,從而可以解出 的值來。

14、我們用一定的函數(shù)關(guān)系在屏幕上顯示出來就可以得到相應(yīng)的斷層圖像。 如果圖像的分辨率為512X512，則圖像有262144個獨立陣元，需要解262144元的方程組，計算出值，重建出圖像。,7.3 投影和雷登變換,下面詳細(xì)推導(dǎo)根據(jù)X射線計算機斷層重建圖像所需要的數(shù)學(xué)問題： 笛卡爾坐標(biāo)系中一條直線可以用斜截式來表示，y=ax+b，也可以用法線來表示-極坐標(biāo),平行線束的投影可以由一組直線建模，投影信號中任意一點由沿著直線 的射線和給出。工作在連續(xù)變量情況下，線求和變成了積分,由沖擊函數(shù)性質(zhì)，積分只有沿著直線進行才會不為零,給出沿xy平面中任意一條線的f(x,y)的投影(線積分)的公式就是雷登變換，符號

15、都可以用來表示f的雷登變化，雷登變換是投影重建的基石。離散情況下：,例2：使用雷登變換得到圓形區(qū)域的投影 圓的解析式,圓是對稱的，只需求0度投影,不管 角是多少，投影都一樣，說明 圖像關(guān)于原點對稱。,當(dāng)雷登變換 以 為直線坐標(biāo)顯示為一幅圖像 時，結(jié)果稱之為正弦圖(sinogram),概念上類似所產(chǎn)生 的傅里葉譜。正弦圖包括重建f(x,y)所需要的數(shù)據(jù)。下 圖右圖是左圖的正弦圖，底部一行是矩形在水平方向 上的投影，中間一行是在垂直方向上的投影，水平方 向較窄，物體是對稱的，且平行于x,y軸，圖像平滑說 明物體具 有均勻灰 度。,如下圖是一幅Shepp-Logan幻影圖像，是廣泛使用的 合成圖像，

16、設(shè)計用于模擬腦部主要區(qū)域的吸收，包括 幾個小的腫瘤。解釋這個正弦圖是很困難的，其視覺 分析僅限于實際應(yīng)用，但有時對于開發(fā)算法是有幫助 的。,CT的關(guān)鍵目的：得到物體的三維表示 1）反投影每一個投影 2）反投影求和產(chǎn)生一個切片圖像 3）堆積所有切片圖像產(chǎn)生三維物體的再現(xiàn),公式推導(dǎo)： 單點開始： 是全部投影 的一個固定 旋轉(zhuǎn)值 的投影，反涂抹或者反投影后，線 上每一點的值是 ，對投影信號中所有 重 復(fù)這個過程，角度不變，可得到,任意角度均成立，即 對所有反投影圖像積分，得到最終圖像 離散情況下,這種方法形成的反投影圖像有時候稱為層圖（laminogram），是對產(chǎn)生投影的圖像的一個近似。,從正弦圖

17、得到反投影圖像的例子，嚴(yán)重的模糊說明直接利用上述推導(dǎo)的公式在實際中是不可接受的，必須在重建中做有意義的改善。,傅里葉切片（投影切片）定理：一個投影的傅里葉 變換是得到投影區(qū)域的二維傅里葉變換的一個 切片。如圖：任何一投影的一維傅里葉變換可以沿 著一個角度提取一條線的F(u,v)來得到，該角度就 是產(chǎn)生投影所用的角度，得到所有一維投影的切片 組成二維傅里葉變化，反變換求原圖f(x,y)。,7.4 傅里葉切片定理,關(guān)于 投影的一維傅里葉變換為,關(guān)于投影的一維傅里葉變換為,表示 的二維傅里葉變換。,傅里葉切片（投影切片）定理：一個投影的傅里葉 變換是得到投影區(qū)域的二維傅里葉變換的一個 切片。如圖：任

18、何一投影的一維傅里葉變換可以沿 著一個角度提取一條線的F(u,v)來得到，該角度就 是產(chǎn)生投影所用的角度，得到所有一維投影的切片 組成二維傅里葉變化，反變換求原圖f(x,y)。,7.5 使用平行射線束濾波反投影的重建,直接反投影會生成不可接受的模糊結(jié)果，如何 消除模糊反投影之前對投影進行簡單的濾波。 F(u,v)的二維反傅里葉變換為 極坐標(biāo)表達,根據(jù)切片定理,是一個一維傅里葉反變換的形式，附加 了一個 項，這是一個一維濾波函數(shù)， 是一個斜坡濾波 器，由于它在兩個積分方向上都是擴展到無窮，傅里葉反變 換無定義，所以對斜坡加窗，使得它在定義之外為零，這就 是一個加窗限制帶寬的斜坡濾波器。,a圖：使用一個盒狀濾波器限制帶寬后的濾波器的頻率域剖面線 b圖：空間域表示 c圖：漢明窗函數(shù) d圖：