2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考數(shù)學(xué)文（湖南卷）解析版（通用）

1、2020年高考湖南文科數(shù)學(xué)試題及全解全析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1的值為【 D 】A B C D 解:由,易知D正確. 2拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是【 B 】 A（2，0） B（- 2，0） C（4，0） D（- 4，0）解:由,易知焦點(diǎn)坐標(biāo)是，故選B. 3設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，則等于【 C 】A13 B35 C49 D 63 解: 故選C.或由, 所以故選C.4如圖1， D，E，F(xiàn)分別是ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，則【 A 】ABCD 圖1解: 得，故選A. 或.5某地政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé)人開(kāi)會(huì)，其中甲企業(yè)

2、有2人到會(huì)，其余4家企業(yè)各有1人到會(huì)，會(huì)上有3人發(fā)言，則這3人來(lái)自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為【 B 】A14 B16 C20 D48解:由間接法得，故選B. 6平面六面體中，既與共面也與共面的棱的條數(shù)為【 C 】A3 B4 C5 D6 解:如圖，用列舉法知合要求的棱為：、，故選C.7若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)ababaoxoxybaoxyoxyb在區(qū)間上的圖象可能是【 A 】yA B C D解: 因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，即在區(qū)間上各點(diǎn)處的斜率是遞增的，由圖易知選A. 注意C中為常數(shù)噢. 8設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù) 取函數(shù)。當(dāng)=時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間

3、為【 C 】A B C D 解: 函數(shù)，作圖易知，故在上是單調(diào)遞增的，選C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分.把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上。9 某班共30人，其中15人喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)，8人對(duì)這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不喜愛(ài)，則喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為 12 .解: 設(shè)所求人數(shù)為，則只喜愛(ài)乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為，故. 注：最好作出韋恩圖！10若，則的最小值為 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解: ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).11在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為 6 (用數(shù)字作答).解: ，故得的系數(shù)為12 一個(gè)總體分為A

4、，B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本。已知B層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為，則總體中的個(gè)體數(shù)為 120 .解: 設(shè)總體中的個(gè)體數(shù)為，則13過(guò)雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)作圓的兩條切線， 切點(diǎn)分別為A，B，若（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線線C的離心率為 2 . 解: , 14在銳角中，則的值等于 2 ，的取值范圍為 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解: 設(shè)由正弦定理得由銳角得，又，故，15如圖2，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起，若，則 ， . 圖2解:作,設(shè)，,由解得故三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16（每小題滿分12分） 已

5、知向量（）若，求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）若求的值。 解：（） 因?yàn)?，所以于是，故（）由知，所以從而，即，于?又由知，所以，或.因此，或 17（本小題滿分12分）為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的、.現(xiàn)有3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè).求：（I）他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率； （II）至少有1人選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的概率.解: 記第名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件 i=1，2，3.由題意知相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，（i，j

6、，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互獨(dú)立，且 （）他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率P=（）至少有1人選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的概率w.w.w.k.s.5.u.c.o.m P= 18（本小題滿分12分） 如圖3，在正三棱柱中，AB=4, ,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DEE.（）證明：平面平面; （）求直線AD和平面所成角的正弦值。解:（）如圖所示，由正三棱柱的性質(zhì)知平面.又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,所以DE平面.又DE 平面，故平面平面. （）解法 1: 過(guò)點(diǎn)A作AF垂直于點(diǎn),連接DF.由（）知，平面平面，所以AF平面,故是直線AD和平面所成的角。 因?yàn)镈E，所以D

7、EAC.而ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，于是AD=，AE=4-CE=4-=3.又因?yàn)?，所以E= = 4, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m , .即直線AD和平面所成角的正弦值為 .解法2 : 如圖所示，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1, ,0), E(-1,0,0).易知=（-3，-），=（0，-，0），=（-3，0）.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則解得.故可取.于是 = . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由此即知，直線AD和平面所成角的正弦值為 .19（本小題滿分13分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直

8、線x=2對(duì)稱.（）求b的值；（）若在處取得最小值，記此極小值為，求的定義域和值域。解: （）.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以，于是 （）由（）知，.（）當(dāng)c 12時(shí)，此時(shí)無(wú)極值。 （ii）當(dāng)c12時(shí)，有兩個(gè)互異實(shí)根,.不妨設(shè)，則2.當(dāng)x時(shí)， 在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)； 當(dāng)x時(shí)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù);當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù). 所以在處取極大值，在處取極小值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處存在唯一極小值，所以.于是的定義域?yàn)?由 得.于是 .當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，故的值域?yàn)?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20（本小題滿分13分） 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩

9、個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的正方形（記為Q）.（）求橢圓C的方程;（）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)線段MN的中點(diǎn)落在正方形Q內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線的斜率的取值范圍。解: （）依題意，設(shè)橢圓C的方程為焦距為，由題設(shè)條件知， 所以 故橢圓C的方程為 .（）橢圓C的左準(zhǔn)線方程為所以點(diǎn)P的坐標(biāo)，顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 如圖，設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為線段MN的中點(diǎn)為G， 由得. 由解得. 因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，所以，于?=， .因?yàn)?，所以點(diǎn)G不可能在軸的右邊，又直線,方程分別為所以點(diǎn)在正方形內(nèi)（包

10、括邊界）的充要條件為 即 亦即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解得，此時(shí)也成立.故直線斜率的取值范圍是21（本小題滿分13分）對(duì)于數(shù)列,若存在常數(shù)M0,對(duì)任意的，恒有 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 則稱數(shù)列為數(shù)列.（）首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由;（）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和.給出下列兩組判斷：A組：數(shù)列是B-數(shù)列, 數(shù)列不是B-數(shù)列;B組：數(shù)列是B-數(shù)列, 數(shù)列不是B-數(shù)列.請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題.判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；()若數(shù)列是B-數(shù)列，證明：數(shù)列也是B-數(shù)列。解: （）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為,則.于是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m =所以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列 .（）命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列.此命題為假命題.事實(shí)上設(shè)=1，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但=n， .由n的任意性知，數(shù)列不是B-數(shù)列。命題2：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列不是B-數(shù)列