常微分方程 第五講：全微分方程

1、1,第五講 全微分方程與積分因子,三、積分因子法,一、全微分方程與原函數(shù),二、全微分方程判定定理與不定積分法,四、小結(jié),2,定義:,即,若,例如,全微分方程 或恰當(dāng)方程,是全微分方程，,一、全微分方程與原函數(shù),的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)的全微分，,則稱（1）為全微分方程或恰當(dāng)方程， 稱為（1）的一個(gè)原函數(shù)。,是方程的一個(gè)原函數(shù)。,3,容易證明，如果 是微分方程（1）的一個(gè)原函數(shù)，則（1）的通積分為,其中C為任意常數(shù)。,于是，求解全微分方程的關(guān)鍵在于求出它 的一個(gè)原函數(shù)。,例如,4,我們通過(guò)觀察尋找方程的一個(gè)原函數(shù)。,對(duì)于一個(gè)一般的方程，怎樣判斷它是否是全微分方程呢？若是，又怎樣求原函數(shù)？,5,6

2、,二、全微分方程判定定理與不定積分法,定理：設(shè)函數(shù) M(x,y)、N(x,y) 在 xoy 平面上的單連通區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)可微，那么方程(1)是全微分方程的充要條件是在 D 內(nèi)恒成立,演示證明。,7,8,一般地，若 為全微分方程，則它的通積分為,從而求得一個(gè)原函數(shù),9,解,是全微分方程,原方程的通解為,例2,10,11,解,是全微分方程,將左端重新組合,原方程的通解為,例3,12,13,定義:,問(wèn)題: 如何求方程的積分因子?,3、積分因子法,前面我們討論了全微分方程的求解問(wèn)題，而對(duì)于給定微分方程（）未必都是全微分方程，但其中有些則可利用積分因子化為全微分方程。,14,我們用反推的辦法來(lái)求積分因

3、子,為了求出積分因子，必須求解上式，不容易。但對(duì)于某些特殊情況，上式可求解。,（2）為全微分方程,15,16,以上求積分因子的方法稱為公式法。,17,例1: 求解微分方程：,解,郁無(wú)關(guān),18,思考與練習(xí)：,試求一階線性方程和Bernoulli方程的積分因子,例1: 求解微分方程：,例2: 求解微分方程：,19,例3,解,則原方程化為,可積組合法,20,觀察法:,憑觀察湊微分得到,常見(jiàn)的全微分表達(dá)式,21,受上述結(jié)論的啟發(fā)通常我們經(jīng)?？梢赃x用的積分因子有：,這種方法給我們又提供了一種求解微分方程的方法-可積（微）組合法，請(qǐng)看下面的例子：,22,解,將方程左端重新組合,有,例4 求微分方程,原方程

4、的通解為,23,解,將方程左端重新組合,有,原方程的通解為,可積組合法,例5 求微分方程,24,解1,整理得,A 常數(shù)變易法:,B 公式法:,例6,一題多解：,25,解2,整理得,A 用公式:,B 湊微分法:,26,C 不定積分法:,原方程的通解為,27,作業(yè)：P38 T1（1）（3）（5） , T2, T5,拓展思維訓(xùn)練題：,28,若能從(1)解出 y 的一階導(dǎo)數(shù)，那么會(huì)得到一個(gè)或幾個(gè)顯式方程，用前面的辦法求解。,前面討論的方程都是可解出一階導(dǎo)數(shù)的微分方程，即顯式方程（ ）,一階隱式微分方程是指,第六講 一階隱式方程的解法,例1: 試求解微分方程：,29,本節(jié)主要介紹三種類型隱式微分方程的求

5、解方法。,（1）不含 y （或 x）的方程 （2）可解出 x 的方程 （3）可解出 y 的方程,若不能從(1)解出 y 的一階導(dǎo)數(shù)，或者即使能解出，但很難求解，則需要借助于其它辦法進(jìn)行討論。,30,1、若方程（1）不含y，即,31,例1,32,33,例2：,若方程（1）不含 x，即 則完全類似求解。,例3：,例4：,34,2、若可從方程（1）解出 x，即,解法：,這個(gè)方程可化為顯式形式，用前面類似的方法能求出（1）的解。,35,例5,36,37,3、若可從方程（1）解出 y，即,解法：,38,39,40,例6,41,42,例7,43,44,45,小 結(jié),（1）可解出 y 的方程 （2）可解出 x 的方程,（3）不含 x （或 y）的方程,* 借助于一些變量