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1、1,第五講 全微分方程與積分因子,三、積分因子法,一、全微分方程與原函數(shù),二、全微分方程判定定理與不定積分法,四、小結(jié),2,定義:,即,若,例如,全微分方程 或恰當(dāng)方程,是全微分方程,,一、全微分方程與原函數(shù),的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)的全微分,,則稱(1)為全微分方程或恰當(dāng)方程, 稱為(1)的一個(gè)原函數(shù)。,是方程的一個(gè)原函數(shù)。,3,容易證明,如果 是微分方程(1)的一個(gè)原函數(shù),則(1)的通積分為,其中C為任意常數(shù)。,于是,求解全微分方程的關(guān)鍵在于求出它 的一個(gè)原函數(shù)。,例如,4,我們通過觀察尋找方程的一個(gè)原函數(shù)。,對于一個(gè)一般的方程,怎樣判斷它是否是全微分方程呢?若是,又怎樣求原函數(shù)?,5,6
2、,二、全微分方程判定定理與不定積分法,定理:設(shè)函數(shù) M(x,y)、N(x,y) 在 xoy 平面上的單連通區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)可微,那么方程(1)是全微分方程的充要條件是在 D 內(nèi)恒成立,演示證明。,7,8,一般地,若 為全微分方程,則它的通積分為,從而求得一個(gè)原函數(shù),9,解,是全微分方程,原方程的通解為,例2,10,11,解,是全微分方程,將左端重新組合,原方程的通解為,例3,12,13,定義:,問題: 如何求方程的積分因子?,3、積分因子法,前面我們討論了全微分方程的求解問題,而對于給定微分方程()未必都是全微分方程,但其中有些則可利用積分因子化為全微分方程。,14,我們用反推的辦法來求積分因
3、子,為了求出積分因子,必須求解上式,不容易。但對于某些特殊情況,上式可求解。,(2)為全微分方程,15,16,以上求積分因子的方法稱為公式法。,17,例1: 求解微分方程:,解,郁無關(guān),18,思考與練習(xí):,試求一階線性方程和Bernoulli方程的積分因子,例1: 求解微分方程:,例2: 求解微分方程:,19,例3,解,則原方程化為,可積組合法,20,觀察法:,憑觀察湊微分得到,常見的全微分表達(dá)式,21,受上述結(jié)論的啟發(fā)通常我們經(jīng)??梢赃x用的積分因子有:,這種方法給我們又提供了一種求解微分方程的方法-可積(微)組合法,請看下面的例子:,22,解,將方程左端重新組合,有,例4 求微分方程,原方程
4、的通解為,23,解,將方程左端重新組合,有,原方程的通解為,可積組合法,例5 求微分方程,24,解1,整理得,A 常數(shù)變易法:,B 公式法:,例6,一題多解:,25,解2,整理得,A 用公式:,B 湊微分法:,26,C 不定積分法:,原方程的通解為,27,作業(yè):P38 T1(1)(3)(5) , T2, T5,拓展思維訓(xùn)練題:,28,若能從(1)解出 y 的一階導(dǎo)數(shù),那么會(huì)得到一個(gè)或幾個(gè)顯式方程,用前面的辦法求解。,前面討論的方程都是可解出一階導(dǎo)數(shù)的微分方程,即顯式方程( ),一階隱式微分方程是指,第六講 一階隱式方程的解法,例1: 試求解微分方程:,29,本節(jié)主要介紹三種類型隱式微分方程的求
5、解方法。,(1)不含 y (或 x)的方程 (2)可解出 x 的方程 (3)可解出 y 的方程,若不能從(1)解出 y 的一階導(dǎo)數(shù),或者即使能解出,但很難求解,則需要借助于其它辦法進(jìn)行討論。,30,1、若方程(1)不含y,即,31,例1,32,33,例2:,若方程(1)不含 x,即 則完全類似求解。,例3:,例4:,34,2、若可從方程(1)解出 x,即,解法:,這個(gè)方程可化為顯式形式,用前面類似的方法能求出(1)的解。,35,例5,36,37,3、若可從方程(1)解出 y,即,解法:,38,39,40,例6,41,42,例7,43,44,45,小 結(jié),(1)可解出 y 的方程 (2)可解出 x 的方程,(3)不含 x (或 y)的方程,* 借助于一些變量
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