江西省景德鎮(zhèn)市2020屆高三數(shù)學(xué)第二次質(zhì)檢試題 文（含解析）（通用）

1、景德鎮(zhèn)市2020屆高三第二次質(zhì)檢試題數(shù)學(xué)（文科）第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則集合中元素個(gè)數(shù)為（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域可解得x的范圍，結(jié)合，即可求出A中元素的個(gè)數(shù)?！驹斀狻坑深}意得，即，解得，又，所以滿(mǎn)足條件的x為1,2,3,4,5，共5個(gè)，故選C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域問(wèn)題，考查了一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題，2.若（，為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限【答案

2、】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)可得，根據(jù)兩復(fù)數(shù)相等原則，解出a，b，即可得結(jié)果【詳解】由題意得，所以，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（3，-2）在第四象限【點(diǎn)睛】本題考查兩復(fù)數(shù)相等的概念，即兩復(fù)數(shù)實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等，屬基礎(chǔ)題。3.袋子中有四張卡片，分別寫(xiě)有“瓷、都、文、明”四個(gè)字，有放回地從中任取一張卡片，將三次抽取后“瓷”“都”兩個(gè)字都取到記為事件，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)事件發(fā)生的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生整數(shù)0，1，2，3四個(gè)隨機(jī)數(shù)，分別代表“瓷、都、文、明”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取卡片三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：232321230023123021132

3、220001231130133231031320122103233由此可以估計(jì)事件發(fā)生的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】事件A即為表中包含數(shù)字0和1的組，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，即可求解【詳解】事件A包含“瓷”“都”兩字，即包含數(shù)字0和1，隨機(jī)產(chǎn)生的18組數(shù)中，包含0,1的組有021,001,130,031,103，共5組，故所求概率為，故選C【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，熟記概率計(jì)算公式即可，屬基礎(chǔ)題。4.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】通過(guò)三視圖的俯視圖可知，該幾何體是由兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體組成，故選5.設(shè)函數(shù)，若角

4、的終邊經(jīng)過(guò)，則的值為（ ）A. B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】由題意得，代入分段函數(shù)，即可求解?！驹斀狻恳?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)，所以，所以，則，故選C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的概念，分段函數(shù)求值，考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬基礎(chǔ)題。6.已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足不等式組，若的最小值為（ ）A. 3B. 9C. 22D. 25【答案】B【解析】【分析】根據(jù)約束條件，做出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，找到最優(yōu)解，從而得到最值【詳解】做出可行域，如圖所示，做出直線：，平移直線，由圖可知，當(dāng)過(guò)點(diǎn)A（2,1）時(shí)，截距最大，此時(shí)z最小，所以，故選B【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題7.執(zhí)行如下圖所

5、示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（ ）A. B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】執(zhí)行框圖，寫(xiě)出每次循環(huán)得到的和i的值，得到取值的周期，當(dāng)i=2020時(shí)，退出循環(huán)，輸出即可得答案?！驹斀狻块_(kāi)始=4，i=1，執(zhí)行第一次循環(huán)，=，i=2，執(zhí)行第二次循環(huán)，=，i=3，執(zhí)行第三次循環(huán)，=4，i=4故的取值周期為3，由于2020=6733，可得當(dāng)i=2020時(shí)，退出循環(huán)，此時(shí)輸出的值為，故選B【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的和i的值，根據(jù)循環(huán)的周期，得到退出循環(huán)時(shí)的的值，屬基礎(chǔ)題。8.若直線（，）過(guò)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)直線的斜率為（ ）A. 2B. C. D. 【答案】A【解析

6、】【分析】將點(diǎn)帶入直線可得，利用均值不等式“1”的活用即可求解?！驹斀狻恳?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)所以斜率，故選A【點(diǎn)睛】本題考查均值不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬基礎(chǔ)題。9.已知正四面體的內(nèi)切球的表面積為，過(guò)該四面體的一條棱以及球心的平面截正四面體，則所得截面的面積為A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由內(nèi)切球的表面積，可得內(nèi)切球半徑r=3，結(jié)合正四面體的性質(zhì)，可求出正四面體棱長(zhǎng)為，代入公式，即可求解?！驹斀狻吭O(shè)內(nèi)切球半徑為r，由題意得，所以?xún)?nèi)切球的半徑，即，設(shè)正四面體半徑為，由三角形的性質(zhì)可得，,所以在中，又，所以，又因?yàn)椋此?，所以，在中，所?/p>

7、過(guò)該四面體的一條棱以及球心的截面面積為，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查正四面體的內(nèi)切球及其幾何性質(zhì)，考試空間想象，計(jì)算推理的能力，屬中檔題。10.已知在上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)x的范圍，可求出的范圍，結(jié)合的圖像與性質(zhì)，即可求解。【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)橛凶钚≈?，結(jié)合的圖像與性質(zhì)可得，即，故t的范圍可以是，故選D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查分析推理的能力，屬基礎(chǔ)題11.已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)，則的最小值是（ ）A. B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)P做PM垂直于準(zhǔn)線，垂足為M，由拋物線的

8、定義可得,則，為銳角。即當(dāng)PA和拋物線相切時(shí)，最小。再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解。【詳解】由題意可得，拋物線的焦點(diǎn)F（0,1），準(zhǔn)線方程為過(guò)點(diǎn)P做PM垂直于準(zhǔn)線，垂足為M，由拋物線的定義可得,則，為銳角。故當(dāng)最小時(shí)，最小，即當(dāng)PA和拋物線相切時(shí)，最小。設(shè)切點(diǎn)，由，得，則PA的斜率為解得，即，此時(shí)，所以，故選A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查分析推理，化簡(jiǎn)求值的能力，綜合性較強(qiáng)，屬中檔題。12.函數(shù)定義域?yàn)?，且函?shù)滿(mǎn)足:對(duì)任意，非零實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足 ，則下列關(guān)系式中正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】因?yàn)?，可得，又對(duì)任意，可得在上單調(diào)遞減，結(jié)

9、合的奇偶性，可得上單調(diào)遞增，分析選項(xiàng)，即可得答案。【詳解】因?yàn)?，整理得 ，即，又對(duì)任意，即在上單調(diào)遞減，又=所以為偶函數(shù)，即上單調(diào)遞增， 結(jié)合，可得，即，故選D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，考查推理計(jì)算，轉(zhuǎn)化化歸的思能力，屬中檔題。第卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.過(guò)年時(shí)小明的舅舅在家庭微信群里發(fā)了一個(gè)10元的紅包，紅包被隨機(jī)分配為2.51元，3.32元，1.24元，0.26元，2.67元，共五份.現(xiàn)已知小明與爸爸都各自搶到了一個(gè)紅包，則兩人搶到紅包的金額總和不小于4元的概率為_(kāi).【答案】【解析】分析】分別列出兩人各搶一個(gè)紅包可能的情況，及金額總和不小于4的

10、情況，根據(jù)古典概型公式，即可求解?！驹斀狻啃∶髋c爸爸各搶到一個(gè)紅包，總的可能情況有（2.51，3.32）、（2.51，1.24）、（2.51，0.26）、（2.51，2.67）、（3.32，1.24）、（3.32，0.26）、（3.32，2.67）、（1.24，0.26）、（1.24，2.67）、（0.26，2.67）共10種。滿(mǎn)足條件，即兩人搶到紅包的金額總和不小于4元的共有4種：（2.51，3.32）、（2.51，2.67）、（3.32，1.24）、（3.32，2.67）。所以滿(mǎn)足條件的概率為，故答案為?！军c(diǎn)睛】本題考查古典概型及其概率的計(jì)算問(wèn)題，需認(rèn)真審題，利用列舉法寫(xiě)出滿(mǎn)足條件即金額總

11、和不小于4的情況是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生推理運(yùn)算的能力，屬基礎(chǔ)題。14.已知兩個(gè)單位向量，的夾角為，則_.【答案】【解析】【分析】，結(jié)合數(shù)量積公式，代入數(shù)據(jù)，即可求解。【詳解】= ，所以，故答案為?！军c(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題15.公元前6世紀(jì)，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過(guò)研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為.若，則_.【答案】【解析】【分析】利用同角的基本關(guān)系式，可得，代入所求，結(jié)合輔助角公式，即可求解?！驹斀狻恳?yàn)?，所以，所以，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，輔助角公式，考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬基礎(chǔ)題16.函數(shù)的圖

12、像經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】【分析】當(dāng)時(shí)顯然不成立，當(dāng)時(shí)，分和兩種情況討論原函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，當(dāng)，只需要極大值大于0，極小值小于0，即可求出的范圍，同理當(dāng)時(shí)，也可解出的范圍。【詳解】，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，顯然不成立，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)， 當(dāng)，時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)由題意得，即解得，又，所以同理當(dāng)時(shí)，解得，所以，【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值問(wèn)題，考查計(jì)算化簡(jiǎn)，推理想象的能力屬中檔題三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必做題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選做題，考生根據(jù)要求作答.17.已知首項(xiàng)為1的等

13、差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知為與的等差中項(xiàng).數(shù)列滿(mǎn)足.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和為.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)公差為d，則，即可求出d，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解。（2）利用錯(cuò)位相減法，即可求出前項(xiàng)和為【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意可列方程：，解得：，. ，.（2）【解1】：，下式減上式，即： ，【解2】： ，.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用，通項(xiàng)公式的求解，錯(cuò)位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和，考查計(jì)算化簡(jiǎn)，分析求解的能力，屬基礎(chǔ)題。18.如圖，在三棱錐中，.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】分析】（1）由

14、題意得為正三角形，所以，結(jié)合余弦定理，可得，即，又根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得，再根據(jù)線面垂直的判斷定理，即可得證。（2）由題意得 ，代入數(shù)據(jù)，即可求解?！驹斀狻浚?），又，為正三角形，又，由余弦定理可知，根據(jù)勾股定理可知.又，.（2）， ，即三菱錐的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何元素垂直關(guān)系的證明，考查空間幾何體體積的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，屬基礎(chǔ)題。19.某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，顧客購(gòu)買(mǎi)一定金額的商品后即可參加一次抽獎(jiǎng).隨著抽獎(jiǎng)活動(dòng)的有效開(kāi)展，參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)越來(lái)越多，該商場(chǎng)對(duì)前5天抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，表示第天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)，得到統(tǒng)計(jì)表如下：123455060

15、7080100經(jīng)過(guò)進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)與具有線性相關(guān)關(guān)系. （1）若從這5天隨機(jī)抽取兩天，求至少有1天參加抽獎(jiǎng)人數(shù)超過(guò)70的概率；（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程，并估計(jì)該活動(dòng)持續(xù)7天，共有多少名顧客參加抽獎(jiǎng)？參考公式及數(shù)據(jù)：，【答案】（1）；（2），588名【解析】【分析】（1）列出5天中隨機(jī)抽取2天的所有情況，共10種結(jié)果，選出滿(mǎn)足條件的情況，代入公式，即可求解。（2）求出，的值，結(jié)合題中條件，求出，代入即可求出回歸直線方程，并預(yù)測(cè)第6,7天參與抽獎(jiǎng)的人數(shù)，即可求出總?cè)藬?shù)?！驹斀狻浚?）設(shè)第天的人數(shù)為，從這5天中隨機(jī)抽取2天的情況為：，共10種結(jié)果；這5天中只

16、有第4，5天的人數(shù)超70人，至少有1天參加抽獎(jiǎng)人數(shù)超過(guò)70人的情況為：，共7種結(jié)果；則所求事件的概率為.（2）依題意， ，時(shí)，時(shí)，則此次活動(dòng)參加抽獎(jiǎng)的人數(shù)約為.線性回歸方程，若該活動(dòng)持續(xù)7天，共有588名顧客參加抽獎(jiǎng).【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，回歸直線的求解與應(yīng)用，仔細(xì)審題是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題20.已知橢圓 的離心率為，分別是它的左、右焦點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程； （2）過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作斜率為，的兩條直線，兩直線分別與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線是否過(guò)定點(diǎn)？若是求出該定點(diǎn)，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題意，結(jié)合的關(guān)系即可求解。（2）設(shè)直線,，聯(lián)立方程可得，又

17、，結(jié)合韋達(dá)定理可得，化簡(jiǎn)計(jì)算即可求解?！驹斀狻浚?）因?yàn)椋?，又，所以，橢圓的方程為；（2）因?yàn)椋灾本€斜率存在設(shè)直線,，消理得，（*）又理得即所以（*）代入得整理的得，所以直線定點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的理解程度和掌握水平，屬中檔題。21.函數(shù).（1）若，在上遞增，求的最大值；（2）若，證明：對(duì)任意，恒成立.【答案】（1）-2；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）因?yàn)樵谏线f增，所以在R上恒成立，結(jié)合的單調(diào)性，可求得的最小值，即可求b的最大值。（2），可看成關(guān)于的一次函數(shù)，結(jié)合的單調(diào)性及可得 ，設(shè)，結(jié)合的單調(diào)性，即可證明。【詳解】（1

18、）當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏线f增所以任意恒成立令，則令，得x=0，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以 得最小值，所以所以最大值為-2（2）因?yàn)?，所以將看成關(guān)于的一次函數(shù).即，令，所以所以，即此關(guān)于的一次函數(shù)遞增又因?yàn)椋?令，所以 所以在上遞增，即，所以恒成立【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)在于將看成關(guān)于的一次函數(shù)，運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，考查分析計(jì)算，化簡(jiǎn)證明的能力，屬難題。（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題做答.如果多做，則按所做的第一題記分.22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的方程為，曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）分別求出直線與曲線的極坐標(biāo)方程：（2）點(diǎn)是曲線上位于第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上位于第二象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，請(qǐng)求出的最大值.【答案】（1） ， ；（2）【解析】【分析】（1）利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即可得答案。（2）設(shè)，則，所以，化簡(jiǎn)整理，即可得結(jié)果?！驹斀狻浚?）直線的極坐標(biāo)系方程為，曲線的平面直角坐標(biāo)系方程為，極坐標(biāo)系方程為；（2）設(shè)，則，不妨令. ，當(dāng)時(shí)，取最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化，以及極坐標(biāo)的應(yīng)