湖南省洞口縣第一中學(xué)2020屆高三寒假數(shù)學(xué)輔導(dǎo) 第6講 空間向量與立體幾何復(fù)習(xí)及單元檢測(cè)卷 湘教版（通用）

1、第六講 空間向量與立體幾何復(fù)習(xí)在引入空間向量后，許多空間問題（如空間角、空間距離等）的求解，已經(jīng)從傳統(tǒng)的“作證算”轉(zhuǎn)化為，將所求問題表示為向量的閉回路（課本稱為“封口向量”），然后利用數(shù)量積求解，即已從傳統(tǒng)意義上的幾何方法轉(zhuǎn)向以空間向量為媒介的代數(shù)運(yùn)算特別是法向量的應(yīng)用，更是大大拓展了求解空間問題的思路！一. 空間向量的概念及其線性運(yùn)算空間向量的概念包括空間向量、相等向量、零向量、向量的長度（模）、共線向量等1.在空間，既有大小又有方向的量稱為向量,可以用有向線段；用或表示2.空間向量的加法法則：三角形法則（首尾相接由起到終）且可以推廣到任意多邊形；平行四邊形法則（只適用于兩個(gè)不共線的向量）3

2、.空間向量的減法法則：三角形法則（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量）4.空間向量的數(shù)乘：是一個(gè)向量。其長度；方向?yàn)楫?dāng)時(shí)，與同向，當(dāng)時(shí)，與反向，當(dāng)或時(shí)，5.空間向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算律交換律：；結(jié)合律：；分配律：注：因?yàn)榭臻g任意兩個(gè)向量一定共面，所以其線性運(yùn)算的定義以及運(yùn)算律與平面向量一樣二.空間向量的共線1.定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量規(guī)定：與任一向量共線 （故“”是錯(cuò)誤的）2.共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量, ,與共線的充要條件是存在實(shí)數(shù),使 (向量形式) 3. 與共線的單位向量三.共面向量定理1.共面向量定理：如果兩個(gè)向量不共線，

3、那么向量與向量共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組，使得2.空間四點(diǎn)共面定理：設(shè)空間任意一點(diǎn)和不共線三點(diǎn)，點(diǎn)滿足，四點(diǎn)共面的充要條件是三.空間向量的坐標(biāo)表示1.空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組，使。注：稱為空間的一個(gè)基底，叫作基向量如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩互相垂直，那么這個(gè)基底叫做正交基底；當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通常用表示2.推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任意一點(diǎn)，都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組，使得。3.在空間直角坐標(biāo)系中，分別取與軸同向的單位向量為基向量，則對(duì)空間任一向量，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組，使，有

4、序?qū)崝?shù)組叫做向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作4.向量的坐標(biāo)運(yùn)算：已知, ,則，注：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去它的起點(diǎn)坐標(biāo)5.向量平行的坐標(biāo)表示： 6.若ABC的重心為G（G分中線2：1），O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則；若已知A, B，C，則重心G的坐標(biāo)為OAB四空間向量的數(shù)量積1.若是非零向量，則其中是的夾角,其范圍是規(guī)定：特別地 ；注：是銳角且與不共線；是直角，即是鈍角且與不共線；2.設(shè)空間兩個(gè)非零向量為, ,則 特別地 3.向量在向量方向的投影是 4.向量數(shù)量積的運(yùn)算律 ：注：一般情況下數(shù)量積不滿足結(jié)合律即5.向量數(shù)量積的性質(zhì)：（e為單位向量）；五. 直線的方向向量

5、與平面的法向量1.直線的方向向量：直線上的向量以及與共線的向量叫做直線的方向向量2.平面的法向量：若干表示非零向量的有向線段所在的直線垂直于平面，那么稱向量為平面的法向量六、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算1空間直角坐標(biāo)系若一個(gè)基底的三個(gè)基向量是互相垂直的單位向量，叫單位正交基底，用表示；在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底，可建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，作空間直角坐標(biāo)系時(shí)，一般使xOy=135（或45），yOz=90；在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系（立體幾何中建立的均為右手系）2空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)運(yùn)算給定空間直

6、角坐標(biāo)系Oxyz和向量a，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組使，則叫作向量a在空間的坐標(biāo)，記作對(duì)空間任一點(diǎn)A，存在惟一的，點(diǎn)的坐標(biāo)，記作分別叫的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)3空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律（1）若，則，（2）若，則即一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo) 七空間向量的應(yīng)用（一）證“平行與垂直”1.證“線線平行或垂直”設(shè)空間兩條直線的方向向量是，則2.證“線面平行或垂直”設(shè)空間直線的方向向量是，平面的法向量是，則平行法一：；法二：在平面找不共線的向量，使可以由可以線性表示，則有垂直法一：法二：在平面找不共線的向量，證得，則有3. 證“面面平行或垂直”設(shè)空間兩個(gè)平面

7、的法向量是，則平行法一：法二：線面平行（見2）面面平行垂直法一：法二：線面垂直（見2）面面垂直（二）空間的角的計(jì)算1.空間兩條異面直線所成的角（1）定義：與是異面直線,經(jīng)過空間任意一點(diǎn),作直線,則與所成的銳角(或直角) 叫做異面直線所成的角。（2）兩條異面直線所成角的范圍是（3）設(shè)空間兩條異面直線的方向向量是，則夾角與相等或互補(bǔ)（4）求所成的角的一般步驟：求；利用2. 空間直線與平面所成的角（1）斜線與平面所成的角：平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這個(gè)直線與這個(gè)平面所成的角.如：右圖中是斜線與平面所成的角注：若一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；若一條直線與平面平行或

8、在平面內(nèi)，則它們所成的角是的角是直線與平面內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)的直線所成的角中最小的角（2）直線與平面所成角的范圍是（3）設(shè)空間直線的方向向量是，平面的法向量是，則夾角（4）求直線與平面所成的角的一般步驟：求；利用3.二面角的大小（1）二面角：一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面。（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。它的范圍是（3）設(shè)平面的法向量分別是，則夾角與相等或互補(bǔ)（4）二面角的大小的一般步驟：求；由圖形判斷是銳二面角還是鈍二面角，若是銳二

9、面角則；若是鈍二面角則（5）斜線與平面所成角是斜線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角（最小角定理）與最小角定理聯(lián)系密切的一個(gè)重要公式是，要注意其應(yīng)用?。ㄈ?空間距離主要有：點(diǎn)面距：設(shè)n是平面的法向量，則B到的距離為；對(duì)于不容易作出的空間距離（如線線距、點(diǎn)面距等）、空間角（如線線角、無棱二面角等），利用法向量求解和傳統(tǒng)方法相比具有明顯的優(yōu)勢(shì)如證明直線和平面垂直的判定定理（本文例1），傳統(tǒng)方法是構(gòu)造并多次利用平面幾何中的三角形全等，技巧性大、思想方法靈活（多次轉(zhuǎn)化），雖然典型但許多同學(xué)難以理解和熟練掌握，更不便于表述，而用向量法證明的篇幅大大縮短，容易理解記憶，方法簡(jiǎn)捷！再如，證明垂直于同一個(gè)

10、平面的兩條直線平行（本文例2），使用空間向量則簡(jiǎn)單明了，易于掌握第六講 空間向量與立體幾何單元檢測(cè)題湖南省洞口縣第一中學(xué) 肖丹楓一選擇題1已知向量a（1，1，0），b（1，0，2），且ab與2 ab互相垂直，則的值是（ ）A 1 B C D 2已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，下列條件中能確定點(diǎn)M與點(diǎn)A、B、C一定共面的是（ ）ABC D3已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），則BC邊上的中線長為 （ ）A2 B3 C4 D54在下列命題中：若a、b共線，則a、b所在的直線平行；若a、b所在的直線是異面直線，則a、b一定不共面；若a、b、

11、c三向量兩兩共面，則a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，則空間任意一個(gè)向量p總可以唯一表示為pxaybzc其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）A 0 B1 C 2 D35已知空間四邊形ABCD，M、G分別是BC、CD的中點(diǎn)，連結(jié)AM、AG、MG，則+等于（ ） A B C D 6直三棱柱ABCA1B1C1中，若， 則 （ ）A B C D 7在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，向量、是 （ ）A有相同起點(diǎn)的向量 B等長向量 C共面向量 D不共面向量8已知點(diǎn)A（4，1，3），B（2，5，1），C為線段AB上一點(diǎn)，且,則點(diǎn)的坐標(biāo)是 ( ) A B C D 二填空題9已知 .10已知向量a（

12、0，2，1），b（1，1，2），則a與b的夾角為 .11已知向量a=(+1,0,2)，b=(6,2-1,2),若ab,則與的值分別是 12已知a,b,c是空間兩兩垂直且長度相等的基底，m=a+b,n=b-c,則m，n的夾角為 13已知向量a和c不共線，向量b0，且，dac，則 14已知正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC平面ABCD，且GC2，則點(diǎn)B到平面EFG的距離為 。15（如圖）一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都等于1，且它們彼此的夾角都是，那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長為 。三解答題16如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C

13、1D1中，E是DC的中點(diǎn)，取如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 （1）寫出A、B1、E、D1的坐標(biāo)； （2）求AB1與D1E所成的角的余弦值 17在正方體中，如圖、分別是，的中點(diǎn)，（1）求證：平面ADE；（2）cos 18如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)，作交PB于點(diǎn)F. （1）證明 平面； （2）證明平面EFD19如圖，四邊形ABCD是直角梯形，ABCBAD90，SA平面ABCD， SAABBC1，AD（1）求SC與平面ASD所成的角余弦；（2）求平面SAB和平面SCD所成角的余弦 參考答案一選擇題題號(hào)12345678答案DDBAADCC二填空題9、15 10、9011 、12 6013 9014、15、三解答題（本大題6小題，共74分）16 解：(1) A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2) (2) (0, -2, 2)，(0, 1, 2) |2，|，0242, cos ， AB1與ED1所成的角的余弦值為17 解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，（1）不妨設(shè)正方體的棱長為1，則D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），E（1，1，），F(xiàn)（0，0）， 則（0，1），（1，0，0），