福建省福州市2020屆高考數(shù)學(xué)下學(xué)期3月適應(yīng)性測試（線上）試題 理（通用）

1、福建省福州市2020屆高考數(shù)學(xué)下學(xué)期3月適應(yīng)性測試（線上）試題 理（完卷時間120分鐘；滿分150分）本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分第卷1至2頁，第卷3至5頁注意事項：1. 答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的班級、座號、姓名2. 第卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號第卷用毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答在試題卷上作答，答案無效3. 考試結(jié)束，考生必須將答題卡交回第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與對

2、應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則ABCD2. 已知集合，若，則實數(shù)ABCD3. 已知兩個單位向量，若，則的夾角為ABCD4. 一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，將這組數(shù)據(jù)的每個數(shù)都乘以得到一組新數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是A這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為B這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為C這組新數(shù)據(jù)的方差為D這組新數(shù)據(jù)的標準差為5. 已知平面平面，直線，則“”是“”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件6. 若，則ABCD7. 若，則ABC或D或8. 拋物線的焦點為，點為上的動點，點為的準線上的動點，當為等邊三角形時，其周長為AB2CD9. 在同一平面直角坐標系中，畫出三個函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則A.為

3、為為B.為為為C.為為為D.為為為10. 射線測厚技術(shù)原理公式為，其中分別為射線穿過被測物前后的強度，是自然對數(shù)的底數(shù)，為被測物厚度，為被測物的密度，是被測物對射線的吸收系數(shù)工業(yè)上通常用镅241（）低能射線測量鋼板的厚度.若這種射線對鋼板的半價層厚度為0.8，鋼的密度為7.6，則這種射線的吸收系數(shù)為（注：半價層厚度是指將已知射線強度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度，結(jié)果精確到0.001）ABCD11. 已知雙曲線的一條漸近線方程為，是上關(guān)于原點對稱的兩點，是上異于的動點，直線的斜率分別為，若，則的取值范圍為ABCD12. 在三棱錐中，底面，是線段上一點，且三棱錐的各個頂點都在球表面上，過點作球的截面，

4、若所得截面圓的面積的最大值與最小值之差為，則球的表面積為ABCD第卷注意事項：用毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答在試題卷上作答，答案無效二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13. 曲線在點處的切線方程為_14. 勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的曲線，它是由德國機械工程專家、機構(gòu)運動學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，其作法是：以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形如圖中的兩個勒洛三角形，它們所對應(yīng)的等邊三角形的邊長比為，若從大的勒洛三角形中隨機取一點，則此點取自小勒洛三角形內(nèi)的概率為_15. 已知的內(nèi)角的對邊分別為若，則角大小為_16. 已

5、知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，都有,則不等式的解集為_三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一）必考題：共60分17. （本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，設(shè)（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和18. （本小題滿分12分）為抗擊新型冠狀病毒，普及防護知識，某校開展了“疫情防護”網(wǎng)絡(luò)知識競賽活動.現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求的值，并估計這100名學(xué)生的平均成績（同一組

6、中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”請將下面的22列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男生40女生50合計100參考公式及數(shù)據(jù)：.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.82819. （本小題滿分12分）在底面為菱形的四棱柱中，平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.20. （本小題滿分12分）已知橢圓()的離心率為，以的短軸為直徑的圓與直線相切（1）求的方程；（2）直線交于，兩點，且已知上存在點，使得是

7、以為頂角的等腰直角三角形，若在直線的右下方，求的值21. （本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的極值點；（2）當時,當函數(shù)恰有三個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍.（二）選考題：共10分請考生在第22，23兩題中任選一題作答如果多做，則按所做第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑22. （本小題滿分10分）選修：坐標系與參數(shù)方程已知直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）寫出的普通方程和的直角坐標方程；（2）設(shè)點為上的任意一點，求到距離的取值范圍23. （本小題滿分10分）選修：不等式選講已知，且（1

8、）求的取值范圍；（2）求證：福州市2020屆高三畢業(yè)班適應(yīng)性練習(xí)卷數(shù)學(xué)(理科)詳細解答及評分細則評分說明：1本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制定相應(yīng)的評分細則。2對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分。3解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù)。4只給整數(shù)分數(shù)。選擇題和填空題不給中間分。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，

9、只有一項是符合題目要求的24. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則ABCD【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、運算及其幾何意義等基礎(chǔ)知識，意在考查直觀想象、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)【答案】A【解析】由題得,所以.故選A.25. 已知集合，若，則實數(shù)ABCD【命題意圖】本題主要考查集合的概念與運算、解方程等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)【答案】C【解析】因為，所以直線與直線平行，所以.故選C.26. 已知兩個單位向量，若，則的夾角為ABCD【命題意圖】本題主要考查平面向量的概念及運算等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯推理，數(shù)學(xué)運算，直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)【答案】B【解析】

10、因為，所以，所以，所以，又因為，所以，故選B.27. 一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，將這組數(shù)據(jù)的每個數(shù)都乘以得到一組新數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是A這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為B這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為C這組新數(shù)據(jù)的方差為D這組新數(shù)據(jù)的標準差為【命題意圖】本題主要考查統(tǒng)計和統(tǒng)計量的理解等基礎(chǔ)知識，意在考查數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)【答案】D【解析】由題意知：這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，標準差為.故選D28. 已知平面平面，直線，則“”是“”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【命題意圖】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系及其相互轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識，意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)

11、學(xué)抽象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)【答案】C【解析】若，則根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得；若，則由，可得.故選C.29. 若，則ABCD【命題意圖】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)、冪的運算及性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)【答案】B【解析】，所以，故.故選B.30. 若，則ABC或D或【命題意圖】本題主要考查三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)【答案】D【解析】由得,所以,所以或,故或.故選D.31. 拋物線的焦點為，點為上的動點，點為的準線上的動點，當為等邊三角形時，其周長為AB2CD【命題意圖】本題主要考查拋物線的概念與性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，意在

12、考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)【答案】D【解析】方法一、因為為等邊三角形，所以垂直的準線于，易知，因為，所以，所以的周長為，故選D.方法二、因為為等邊三角形，所以垂直的準線于，設(shè)，則，所以，又因為，且，所以，解得，所以，所以的周長為，故選D.32. 在同一平面直角坐標系中，畫出三個函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則A.為為為B.為為為C.為為為D.為為為【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)【答案】A【解析】，的最大值分別為，1，1，由于圖象的最大值最大，故為；，的最小正周期分別為，圖象的最小正周期比小，故為，為，故

13、選A.33. 射線測厚技術(shù)原理公式為，其中分別為射線穿過被測物前后的強度，是自然對數(shù)的底數(shù)，為被測物厚度，為被測物的密度，是被測物對射線的吸收系數(shù)工業(yè)上通常用镅241（）低能射線測量鋼板的厚度.若這種射線對鋼板的半價層厚度為0.8，鋼的密度為7.6，則這種射線的吸收系數(shù)為（注：半價層厚度是指將已知射線強度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度，結(jié)果精確到0.001）ABCD【命題意圖】本題主要考查函數(shù)的概念與性質(zhì)，在物理背景下考查學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識，意在考查邏輯推理，數(shù)學(xué)運算，數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)【答案】C【解析】依題意得，所以，所以，故選C.34. 已知雙曲線的一條漸近線方程為，是上關(guān)于原點對稱的

14、兩點，是上異于的動點，直線的斜率分別為，若，則的取值范圍為ABCD【命題意圖】本題主要考查雙曲線的概念與性質(zhì)、直線和雙曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)【答案】A【解析】雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的方程為：,設(shè)，則,所以，即，.故選A.35. 在三棱錐中，底面，是線段上一點，且三棱錐的各個頂點都在球表面上，過點作球的截面，若所得截面圓的面積的最大值與最小值之差為，則球的表面積為ABCD【命題意圖】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，球體與截面等基礎(chǔ)知識，意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)【答案】C【解析】將三棱錐補成直

15、三棱柱，且三棱錐和該直三棱柱的外接球都是球，記三角形的中心為，設(shè)球的半徑為，則球心到平面的距離為，即，連接，則，在中，取的中點為，連接，則，所以在中，由題意得到當截面與直線垂直時，截面面積最小，設(shè)此時截面圓的半徑為，則，所以最小截面圓的面積為，當截面過球心時，截面面積最大為，所以，球的表面積為二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.36. 曲線在點處的切線方程為_【命題意圖】本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)幾何意義等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)【答案】【解析】因為，所以，所以在點處的切線方程為，即.37. 勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的曲線，它是由德國機械工程

16、專家、機構(gòu)運動學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，其作法是：以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形如圖中的兩個勒洛三角形，它們所對應(yīng)的等邊三角形的邊長比為，若從大的勒洛三角形中隨機取一點，則此點取自小勒洛三角形內(nèi)的概率為_【命題意圖】本題主要考查概率與幾何概型、平面幾何等基礎(chǔ)知識，考查閱讀能力與應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力，意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算和邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)【答案】【解析】設(shè)圖中的小的勒洛三角形所對應(yīng)的等邊三角形的邊長為，則小勒洛三角形的面積為，因為大小兩個勒洛三角形，它們所對應(yīng)的等邊三角形的邊長比為，所以大勒洛三角形的面積為，若從大的勒洛三

17、角形中隨機取一點，則此點取自小勒洛三角形內(nèi)的概率為38. 已知的內(nèi)角的對邊分別為若，則角大小為_【命題意圖】本題主要考查解三角形、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)【答案】【解析】因為所以所以所以因為，所以，則，所以，又，則，因為，所以，故39. 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，都有,則不等式的解集為_【命題意圖】本題主要考查函數(shù)的概念與性質(zhì)及其應(yīng)用、解不等式等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)【答案】【解析】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以關(guān)于軸對稱，由向左平移個單位得到，所以關(guān)于直線對稱.，且，都有,所以在上單調(diào)遞增，所以在

18、上單調(diào)遞減，因為，且，所以，所以，解得，所以原不等式的解集為.三、解答題：本大題共6小題，共70分40. （本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，設(shè)（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滿分12分【解析】方法一：（1）因為且，所以，2分又因為，3分所以是以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列4分所以6分（2）由（1）及題設(shè)得，7分所以數(shù)列的前項和9分11分12分方法二：（1）因為，所以，又因為，所以，1分即，3分又因為，3分所以是以2為首項，以2為公差的等差數(shù)列4分所以6分（2）略，同方法一.41. （

19、本小題滿分12分）為抗擊新型冠狀病毒，普及防護知識，某校開展了“疫情防護”網(wǎng)絡(luò)知識競賽活動.現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求的值，并估計這100名學(xué)生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）在抽取的100名學(xué)生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”請將下面的22列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男生40女生50合計100參考公式及數(shù)據(jù)：.0.050.010.0050.0013.8416.63

20、57.87910.828【命題意圖】本題主要考查概率與統(tǒng)計等基礎(chǔ)知識，意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滿分12分【解析】（1）由題可得，2分解得3分因為，所以估計這100名學(xué)生的平均成績?yōu)?4.5分（2）由（1）知，在抽取的100名學(xué)生中，比賽成績優(yōu)秀的有人，由此可得完整的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀合計男生女生合計7分的觀測值，10分有的把握認為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”12分42. （本小題滿分12分）在底面為菱形的四棱柱中，平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.【命題意圖】本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，意在考查直觀想象、邏

21、輯推理與數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滿分12分【解析】方法一：（1）依題意，且，1分四邊形是平行四邊形，2分，3分平面，平面，平面4分（2）平面，且為的中點，平面且，平面，5分以為原點，分別以為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，則.7分設(shè)平面的法向量為，則，取，則.9分，11分設(shè)二面角的平面角為，則，二面角的正弦值為.12分方法二：（1）證明：連接交于點，因為四邊形為平行四邊形，所以為中點，又因為四邊形為菱形，所以為中點，2分在中，且，3分平面，平面，平面.4分（2）略，同方法一.43. （本小題滿分12分）已知橢圓()的離心率為，以的短軸為直徑的圓與直

22、線相切（1）求的方程；（2）直線交于，兩點，且已知上存在點，使得是以為頂角的等腰直角三角形，若在直線的右下方，求的值【命題意圖】本題主要考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，直線和圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，意在考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算滿分12分.【解析】（1）依題意，2分因為離心率，所以，解得，4分所以的標準方程為5分（2）因為直線的傾斜角為，且是以為頂角的等腰直角三角形，在直線的右下方，所以軸，6分過作的垂線，垂足為，則為線段的中點，所以，故，7分所以，即，整理得8分由得.所以，解得，9分所以，10分由得，將代入得，11分將代入得，解得.綜上，的值為.12分44. （本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的極值點；（2）當時,當函數(shù)恰有三個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍.【命題意圖】本題主要考查函數(shù)和導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、函數(shù)零點等基礎(chǔ)知識，意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滿分12分.【解析】（1）因為所以，所以,1分當時，,所以函數(shù)無極值點；2分當時,令，解得.由,解得;由,解得.故函數(shù)有極大值點，無極小值點.4分綜上，當時，函數(shù)無極值點；當時,函數(shù)有極大值點，無極小值點.5分（2）當時